专题十-与几何图形有关的探究题

专题十 与几何图形有关的探究题 图形变化问题 例 1 2016 沈阳 在 ABC 中 AB 6 AC BC 5 将 ABC 绕点 A 按顺时 针方向旋转 得到 ADE 旋转角为 0 180 点 B 的对应点为点 D 点 C 的对 应点为点 E 连接 BD BE 1 如图 当 60 时 延长 BE 交 AD 于点 F 求证 ABD 是等边三角形 求证 BF AD AF DF 请直接写出 BE 的长 2 在旋转过程中 过点 D 作 DG 垂直于直线 AB 垂足为点 G 连接 CE 当 DAG ACB 且线段 DG 与线段 AE 无公共点时 请直接写出 BE CE 的值 分析 1 由旋转性质知 AB AD BAD 60 即可得证 由 BA BD EA ED 根据垂直平分线的性质即可得证 分别求出 BF EF 的长即可得答案 2 由等量代换可证 BAE BAC 根据三线合一可得 CE AB 从而可得 CE 2CH 8 BE 5 即可得答 案 解 1 ABC 绕点 A 顺时针方向旋转 60 得到 ADE AB AD BAD 60 ABD 是等边三角形 由 得 ABD 是等边三角形 AB BD ABC 绕点 A 顺时针方向旋转 60 得到 ADE AC AE BC DE 又 AC BC EA ED 点 B E 在 AD 的垂 直平分线上 BE 是 AD 的垂直平分线 点 F 在 BE 的延长线上 BF AD AF DF 由 知 BF AD AF DF AF DF 3 AE AC 5 EF 4 在等边三 角形 ABD 中 BF AB sin BAF 6 3 BE BF EF 3 4 3 233 2 如图 DAG ACB DAE BAC ACB BAC ABC DAG DAE ABC 180 又 DAG DAE BAE 180 BAE ABC AC BC AE BAC ABC BAE BAC AB C E 且 CH HE CE AC BC AH BH AB 3 则 1 2 1 2 CE 2CH 8 BE AE 5 BE CE 13 几何图形中的动点问题 例 2 2016 达州 ABC 中 BAC 90 AB AC 点 D 为直线 BC 上一动点 点 D 不与 B C 重合 以 AD 为边在 AD 右侧作正方形 ADEF 连接 CF 1 观察猜想 如图 1 当点 D 在线段 BC 上时 BC 与 CF 的位置关系为 垂直 BC CD CF 之间的数量关系为 BC CD CF 2 数学思考 如图 2 当点 D 在线段 CB 的延长线上时 结论 是否仍然成立 若成立 请给 予证明 若不成立 请你写出正确结论再给予证明 3 拓展延伸 如图 3 当点 D 在线段 BC 的延长线上时 延长 BA 交 CF 于点 G 连接 GE 若已知 AB 2 CD BC 请求出 GE 的长 2 1 4 分析 2 根据正方形的性质得到 BAC DAF 90 推出 DAB FAC 根据全 等三角形的性质以及等腰直角三角形的角的性质可得到结论 3 过 A 作 AH BC 于点 H 过 E 作 EM BD 于点 M EN CF 于点 N 先求出 AH DH 证 ADH DEM AAS 得 到 EM DH DM AH 由等量代换得到 CN EM EN CM 根据等腰直角三角形的性 质得到 CG BC 4 根据勾股定理即可得到结论 解 2 CF BC 成立 BC CD CF 不成立 CD CF BC 证明 正方形 ADEF AD AF BAC DAF 90 BAD CAF 可证 DAB FAC SAS ABD ACF BAC 90 AB AC ACB ABC 45 ABD 180 45 135 BCF ACF ACB 135 45 90 CF BC CD DB BC DB CF CD CF BC 3 过 A 作 AH BC 于点 H 过 E 作 EM BD 于点 M EN CF 于点 N BAC 90 AB AC BC AB 4 AH BC 2 CD BC 1 CH BC 2 DH 3 2 1 2 1 4 1 2 由 2 证得 BC CF CF BD 5 四边形 ADEF 是正方形 AD DE ADE 90 BC CF EM BD EN CF 四边形 CMEN 是矩形 NE CM EM CN AHD ADC EMD 90 ADH EDM EDM DEM 90 ADH DEM 可证 ADH DEM AAS EM DH 3 DM AH 2 CN EM 3 EN CM 3 ABC 45 BGC 45 BCG 是等腰直角三角形 CG BC 4 GN 1 EG GN2 EN210 几何图形中的动线问题 例 3 2016 广东 如图 BD 是正方形 ABCD 的对角线 BC 2 边 BC 在其所在 的直线上平移 将通过平移得到的线段记为 PQ 连接 PA QD 并过点 Q 作 QO BD 垂足为 O 连接 OA OP 1 请直接写出线段 BC 在平移过程中 四边形 APQD 是什么四边形 2 请判断 OA OP 之间的数量关系和位置关系 并加以证明 3 在平移变换过程中 设 y S OPB BP x 0 x 2 求 y 与 x 之间的函数关系式 并求出 y 的最大值 分析 2 证 AOB POQ 可得 AO 与 OP 的数量与位置关系 3 根据等腰直角三 角形的性质可得 OE 的长 根据三角形的面积公式可得二次函数 根据二次函数的性质可 得答案 解 1 四边形 APQD 为平行四边形 2 OA OP OA OP 证明 四边形 ABCD 是正方形 AB BC PQ ABO OBQ 45 OQ BD PQO 45 ABO OBQ PQO 45 OB OQ 可证 AOB POQ SAS OA OP AOB POQ AOP BOQ 90 OA OP 3 过点 O 作 OE BC 于点 E 如图 1 当 P 点在 B 点右侧时 则 BQ x 2 OE y x 即 y x 1 2 又 0 x 2 当 x 2 时 y 有最大值为 x 2 2 1 2 x 2 2 1 4 1 4 2 如图 2 当 P 点在 B 点左侧时 则 BQ 2 x OE y x 即 2 x 2 1 2 2 x 2 y x 1 2 又 0 x 2 当 x 1 时 y 有最大值为 综上所述 平移过程中 1 4 1 4 1 4 OPB 的面积的最大值为 2 1 导学号 2016 福州 如图 矩形 ABCD 中 AB 4 AD 3 M 是边 CD 上一点 将 ADM 沿直线 AM 对折 得到 ANM 1 当 AN 平分 MAB 时 求 DM 的长 2 连接 BN 当 DM 1 时 求 ABN 的面积 3 当射线 BN 交线段 CD 于点 F 时 求 DF 的最大值 解 1 由折叠知 ANM ADM MAN DAM AN 平分 MAB MAN NAB DAM MAN NAB 四边形 ABCD 是矩形 DAB 90 DAM 30 DM AD tan DAM 3 tan30 3 3 33 2 如图 1 延长 MN 交 AB 延长线于点 Q 四边形 ABCD 是矩形 AB DC DMA MAQ 由折叠知 ANM ADM DMA AMQ AN AD 3 MN MD 1 MAQ AMQ MQ AQ 设 NQ x 则 AQ MQ 1 x ANM 90 ANQ 90 在 Rt ANQ 中 由勾股定理得 AQ2 AN2 NQ2 x 1 2 32 x2 解得 x 4 NQ 4 AQ 5 AB 4 AQ 5 S NAB S 4 5 NAQ AN NQ 3 4 4 5 1 2 4 5 1 2 24 5 3 如图 2 过点 A 作 AH BF 于点 H 四边形 ABCD 是矩形 AB DC HBA BFC AHB BCF 90 ABH BFC BH AH AH AN 3 AB 4 当点 N H 重合 即 AH AN 时 AH 最大 BH 最小 CF BC CF 最小 DF 最大 此时点 M F 重合 B N M 三点共线 如图 3 由折叠知 AD AH AD BC AH BC 可证 ABH BFC AAS CF BH 由勾股定理 得 BH CF DF 的最大值 DC CF 4 AB2 AH242 3277 7 2 导学号 2016 黑龙江 如图 在平面直角坐标系中 四边形 OABC 的顶点 O 是 坐标原点 点 A 在第一象限 点 C 在第四象限 点 B 在 x 轴的正半轴上 OAB 90 且 OA AB OB OC 的长分别是一元二次方程 x2 11x 30 0 的两个根 OB OC 1 求点 A 和点 B 的坐标 2 点 P 是线段 OB 上的一个动点 点 P 不与点 O B 重合 过点 P 的直线 l 与 y 轴平 行 直线 l 交边 OA 或边 AB 于点 Q 交边 OC 或边 BC 于点 R 设点 P 的横坐标为 t 线段 QR 的长度为 m 已知 t 4 时 直线 l 恰好过点 C 当 0 t 3 时 求 m 关于 t 的函数关系 式 3 当 m 3 5 时 请直接写出点 P 的坐标 解 1 方程 x2 11x 30 0 的解为 x1 5 x2 6 OB 6 OC 5 B 点坐标 为 6 0 作 AM x 轴于点 M OAB 90 且 OA AB AOB 为等腰直角三角 形 OM BM AM OB 3 A 点坐标为 3 3 1 2 2 作 CN x 轴于点 N t 4 时 直线 l 恰好过点 C ON 4 在 Rt OCN 中 CN 3 C 点坐标为 4 3 可求直线 OC 的解析式为 OC2 ON252 42 y x 直线 OA 的解析式为 y x P t 0 0 t 3 Q t t R t t 3 4 3 4 QR t t t 即 m t 0 t 3 3 4 7 4 7 4 3 可求直线 AB 的解析式为 y x 6 直线 BC 的解析式为 y x 9 当 0 t 3 3 2 时 m t 若 m 3 5 则 t 3 5 解得 t 2 此时 P 点坐标为 2 0 当 3 t 4 时 7 4 7 4 Q t t 6 R t t m t 6 t t 6 若 m 3 5 则 t 6 3 5 3 4 3 4 1 4 1 4 解得 t 10 不合题意舍去 当 4 t 6 时 Q t t 6 R t t 9 3 2 m t 6 t 9 t 15 若 m 3 5 则 t 15 3 5 解得 t 此时 P 点坐 3 2 5 2 5 2 23 5 标为 0 综上所述 满足条件的 P 点坐标为 2 0 或 0 23 5 23 5 3 导学号 2016 扬州 已知正方形 ABCD 的边长为 4 一个以点 A 为顶点的 45 角绕点 A 旋转 角的两边分别与边 BC DC 的延长线交于点 E F 连接 EF 设 CE a CF b 1 如图 1 当 EAF 被对角线 AC 平分时 求 a b 的值 2 当 AEF 是直角三角形时 求 a b 的值 3 如图 3 探索 EAF 绕点 A 旋转的过程中 a b 满足的关系式 并说明理由 解 1 四边形 ABCD 是正方形 BCD 90 AC 是正方形 ABCD 的对角线 ACB ACD 45 ACF ACE EAF 被对角线 AC 平分 CAF CAE 可证 ACF ACE ASA AF CE CF CE CE a CF b a b AF CE AEF AFE E AF 45 AEF AFE 67 5 CE CF ECF 90 CEF CFE 45 AEC AFC 22 5 CAF CAE 22 5 CAE CEA CE AC 4 即 a b 4 22 2 当 AEF 是直角三角形时 若 AEF 90 EAF 45 AFE 45 AEF 是等腰直角三角形 AE EF AEB BEF 90 AEB BAE 90 BEF BAE 可证 ABE ECF AAS AB EC BE CF 即 a AB 4 b BE BC CE 8 若 AFE 90 同 的方法知 CF 4 CE 8 a 8 b 4 3 ab 32 理由 如图 AC 是正方形 ABCD 的对角线 EAF 45 ACD 45 ACF 135 ACE 135 又 ACD CAF AFC EAF EAC FAC AFC EAC 又 ACF ACE 135 ACF ECA EC CF AC2 2AB2 32 ab 32 AC EC CF AC 1 导学号 2016 随州 爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时 发 现了 中垂三角形 即两条中线互相垂直的三角形称为 中垂三角形 如图 1 图 2 图 3 中 AM BN 是 ABC 的中线 AM BN 于点 P 像 ABC 这样的三角形均为 中 垂三角形 设 BC a AC b AB c 特例探究 1 如图 1 当 tan PAB 1 c 4时 a 4 b 4 255 如图 2 当 PAB 30 c 2 时 a b 713 归纳证明 2 请你观察 1 中的计算结果 猜想 a2 b2 c2三者之间的关系 用等式表示出来 并 利用图 3 证明你的结论 拓展证明 3 如图 4 ABCD 中 E F 分别是 AD BC 的三等分点 且 AD 3AE BC 3BF 连接 AF BE CE 且 BE CE 于点 E AF 与 BE 相交点 G AD 3 AB 3 求 AF 的长 5 解 2 a2 b2 5c2 证明 连接 MN AM BN 是中线 MN AB MN AB MPN APB 1 2 MP AP PN PB 1 2 设 MP x NP y 则 AP 2x BP 2y a2 BC2 4BM2 4 MP2 BP2 4x2 16y2 b2 AC2 4AN2 4 PN2 AP2 4y2 16x2 c2 AB2 AP2 BP2 4x2 4y2 a2 b2 20 x2 20y2 5 4x2 4y2 5c2 3 由 AAS 可证 AGE FGB BG FG 取 AB 中点 H 连接 FH 并延长交 DA 的延长线于点 P 同理可证 APH BFH AP BF PE CF 2BF 即 PE CF PE CF 四边形 CEPF 是平行四边形 FP CE BE CE FP BE 即 FH BG ABF 是中垂三角形 由 2 可知 AB2 AF2 5BF2 AB 3 BF AD 1 35 9 AF2 5 2 AF 4 5 2 导学号 2016 河南 1 发现 如图 1 点 A 为线段 BC 外一动点 且 BC a AB b 填空 当点 A 位于 CB 的延长线上 时 线段 AC 的长取得最大值 且最大值为 a b 用含 a b 的式子表示 2 应用 如图 2 点 A 为线段 BC 外一动点 且 BC 3 AB 1 分别以 AB AC 为 边 作等边三角形 ABD 和等边三角形 ACE 连接 CD BE 请找出图中与 BE 相等的线段 并说明理由 直接写出线段 BE 长的最大值 3 拓展 如图 3 在平面直角坐标系中 点 A 的坐标为 2 0 点 B 的坐标为 5 0 点 P 为线段 AB 外一动点 且 PA 2 PM PB BPM 90 请直接写出线段 AM 长的 最大值及此时点 P 的坐标 解 2 CD BE 理由 ABD 与 ACE 是等边三角形 AD AB AC AE BAD CAE 60 BAD BAC CAE BAC 即 CAD EAB 可证 CAD EAB SAS CD BE 线段 BE 长的最大值 线段 CD 长的最大值 由 1 知 当线段 CD 的长取得最大 值时 点 D 在 CB 的延长线上 最大值为 BD BC AB BC 4 3 如图 1 连接 BM 将 APM 绕着点 P 顺时针旋转 90 得到 PBN 连接 AN 则 APN 是等腰直角三角形 PN PA 2 BN AM A 的坐标为 2 0 点 B 的坐标 为 5 0 OA 2 OB 5 AB 3 线段 AM 长的最大值 线段 BN 长的最大值 当点 N 在线段 BA 的延长线上时 线段 BN 取得最大值 最大值 AB AN AN AP 2 最大值为 2 3 如