【绿色通道】2012高三数学一轮复习 第2章函数、导数及其应用检测 文 新人教A版

用心 爱心 专心 1 单元质量检测单元质量检测 二二 一 选择题 1 已知集合A x y y x2 x R R B x y y x x R R 则集合A B中的 元素个数为 A 0 B 1 C 2 D 无穷 解析 集合中表示的元素为点 元素分别在抛物线y x2及直线y x上 而直线 y x与抛物线y x2有两个交点 A B中元素的个数为 2 答案 C 2 函数f x x的图象关于 1 x A y轴对称 B 直线y x对称 C 坐标原点对称 D 直线y x对称 解析 f x x的定义域为 0 0 且f x x 1 x 1 x x f x f x 为奇函数 因此 f x x的图象关于坐标原点对称 1 x 1 x 答案 C 3 设a 20 3 b 0 32 c logx x2 0 3 x 1 则a b c的大小关系是 A a b c B b a c C c b a D b c a 解析 a 20 320 1 1 a 2 又 b 0 321 c logx x2 0 3 logxx2 2 c a b 答案 B 4 函数f x lgx的大致图象是 2 3 解析 f x lgx lg是偶函数 A B 不正确 2 3 3 x2 又 当x 0 时 f x 为增函数 D 不正确 答案 C 5 设函数f x x 1 x 2 x 3 x 4 则f x 0 有 A 分别位于 1 2 2 3 3 4 内三个根 B 四个实根xi i i 1 2 3 4 C 分别位于 0 1 1 2 2 3 3 4 内四个根 D 分别位于 0 1 1 2 2 3 内三个根 解析 用数轴穿根法画出f x 的图象 如右图 根据导函数的值与原函数的单调性之间 的关系可知 A 选项正确 答案 A 6 曲线y ex在点 2 e2 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 用心 爱心 专心 2 A e2 B 2e2 9 4 C e2 D e2 2 解析 y ex y x 2 e2 k 切线为y e2 e2 x 2 y e2x e2的图象与坐标轴围成的图形如右图所示 OA 1 OB e2 S AOB e2 1 1 2 e2 2 答案 D 7 已知x 0 y 0 x 3y 9 则x2y的最大值为 A 36 B 18 C 25 D 42 解析 由x 3y 9 得y 3 0 0 x 9 x 3 将y 3 代入u x2y x 3 得u x2 3 3x2 x 3 x3 3 u x2 6x x x 6 令u 0 得x 6 或x 0 当 0 x0 6 x 9 时 u 0 当x 6 时 u取极大值 又x 0 时 u 0 当x 9 时 u 0 x 6 时 u x2y取最大值 36 答案 A 8 函数f x 的图象如下图所示 下列数值排序正确的是 A 0 f 2 f 3 f 3 f 2 B 0 f 3 f 3 f 2 f 2 C 0 f 3 f 2 f 3 f 2 D 0 f 3 f 2 f 2 3 2 3 2 C m D m 3 2 3 2 解析 因为函数f x x4 2x3 3m 1 2 所以f x 2x3 6x2 令f x 0 得x 0 或x 3 经检验知x 3 是函数的一个最小值点 所以函数的最小值为f 3 3m 27 2 不等式f x 9 0 恒成立 即f x 9 恒成立 所以 3m 9 解得m 27 2 3 2 答案 A 10 已知定义在 R R 上的函数y f x 满足下列三个条件 对于任意的x R R 都有f x 4 f x 对于任意的 0 x1 x2 2 都有f x1 f 5 f 15 5 B f 5 f 6 5 f 15 5 C f 5 f 15 5 f 5 f 6 5 解析 由 知f x 是周期函数 周期T 4 f 5 f 1 又 y f x 2 的图象关于y轴对称 即y f x 2 为偶函数 f x 2 f x 2 f 6 5 f 2 5 f 2 0 5 f 2 0 5 f 1 5 f 15 5 f 12 3 5 f 3 5 f 2 1 5 f 2 1 5 f 0 5 又 对于任意 0 x1 x2 2 都有f x1 f 1 f 0 5 即f 6 5 f 5 f 15 5 答案 A 11 设f x g x 对任意x1 x2 0 若有 恒 x e 2 x2 ex x f x1 k g x2 k 1 成立 则正数k的取值范围是 A 0 1 B 0 C 1 D 1 2e2 1 解析 f x x e 1时 f x 最大 1 x 1 e2x 用心 爱心 专心 4 g x ex x ex x2 ex x 1 x2 x 1 为g x 在 0 上的极小值点 也是最小值点 由题意知 即 k 1 f e 1 k g 1 k 1 e 2k e k 1 答案 C 12 定义在 R R 上的可导函数f x 已知y ef x 的图象如下图所示 则y f x 的增区 间是 A 1 B 2 C 0 1 D 1 2 解析 由题意知 x 2 时 y 1 即f x 0 x 2 时 y 1 即f x 0 时f x 是单调函数 则满足f x f 的所有 x 3 x 4 x之和为 解析 f x 为偶函数且在x 0 时单调 f x f x x 3 x 4 x 3 x 4 x2 3x 3 0 或x2 5x 3 0 由方程 的两根之和为 3 方程 的两根之和为 5 故满足f x f 的所有x x 3 x 4 之和为 8 答案 8 15 已知函数f x 的导函数为f x 且满足f x 3x2 2xf 2 则f 5 解析 f x 6x 2f 2 f 2 12 2f 2 f 2 12 f 5 30 24 6 答案 6 16 规定 x 表示不超过x的最大整数 例如 2 3 2 2 7 3 函数y x 的图象与函数y ax的图象在 0 2010 内有 2010 个交点 则a的取值范围是 解析 依题意y x Error 用心 爱心 专心 5 i i x i 1 i N N 且i 2010 画出y x 及y ax的图象 从图象中可以看出 使两函数在 0 2010 内有 2010 个交 点需 a 1 2009 2010 答案 1 2009 2010 三 解答题 17 已知函数f x x x 1 1 函数g x f2 x 2af x 3 的最小值为h a 1 3 求h a 解 x 1 1 x 3 1 3 1 3 设t x t 3 1 3 1 3 则 t t2 2at 3 t a 2 3 a2 当a3 时 g x min h a 3 12 6a h a Error 18 设a 0 函数f x b为常数 ax b x2 1 1 证明 函数f x 的极大值点和极小值点各有一个 2 若函数f x 的极大值为 1 极小值为 1 试求a的值 1 证明 f x ax2 2bx a x2 1 2 令f x 0 得ax2 2bx a 0 4b2 4a2 0 方程 有两个不相等的实根 记为x1 x2 x1 x2 则f x a x x1 x x2 x2 1 2 当x变化时 f x 与f x 的变化情况如下表 x x1 x1 x1 x2 x2 x2 f x 0 0 f x 极小值 极大值 可见 f x 的极大值点和极小值点各有一个 2 解 由 1 得Error 即Error 两式相加 得a x1 x2 2b x x 2 22 1 x1 x2 x x 0 2b a2 22 1 即 x2 x1 x2 x1 0 又x1 x2 x1 x2 0 从而b 0 a x2 1 0 得x1 1 x2 1 由 得a 2 用心 爱心 专心 6 19 已知函数f x 对任意实数x y均有f x f y 2f f f 0 0 且 x y 2 x y 2 存在非零常数c 使f c 0 1 求f 0 的值 2 判断f x 的奇偶性并证明 3 求证f x 是周期函数 并求出f x 的一个周期 解 1 任意x y R R 均有f x f y 2f f 令x y 0 x y 2 x y 2 2f 0 2f 0 f 0 f 0 0 f 0 1 2 令y x f x f x 2f 0 f x f x f x f x 为偶函数 3 f 2c x f x 2f f 2c 2x 2 2c 2 f c 0 f 2c x f x 0 即f 2c x f x f x f 2c x f 2c 2c x f 4c x f x 的周期为 4c 20 某森林出现火灾 火势正以每分钟 100 m2的速度顺风蔓延 消防站接到警报立即派 消防员前去 在火灾发生后五分钟到达救火现场 已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火 50 m2 所消耗的灭火材料 劳务津贴等费用为每人每分钟 125 元 另附加每次救火所耗损的 车辆 器械和装备等费用平均每人 100 元 而烧毁 1 m2森林损失费为 60 元 问应该派多少 消防队员前去救火 才能使总损失最少 解 设派x名消防员前去救火 用t分钟将火扑灭 总损失为y元 则 t 5 100 50 x 100 10 x 2 y 灭火材料 劳务津贴 车辆 器械 装备费 森林损失费 125tx 100 x 60 500 100t 125x 100 x 30000 10 x 2 60000 x 2 解法一 y 1250 100 x 2 2 30000 x 2 2 x 2 60000 x 2 31450 100 x 2 62500 x 2 31450 2 36450 100 62500 当且仅当 100 x 2 62500 x 2 即x 27 时 y有最小值 36450 故应该派 27 名消防员前去救火 才能使总损失最少 最少损失为 36450 元 解法二 y 100 1250 x 2 x x 2 2 60000 x 2 2 100 62500 x 2 2 令 100 0 62500 x 2 2 解得x 27 或x 23 舍 当x 27 时y 27 时 y 0 x 27 时 y取最小值 最小值为 36450 元 故应该派 27 名消防员前去救火 才能使总损失最少 最少损失为 36450 元 用心 爱心 专心 7 21 已知函数f x ax x 0 常数a R R 1 x2 1 讨论常数f x 的奇偶性 并说明理由 2 若函数f x 在x 3 上为增函数 求a的取值范围 解 1 定义域 0 0 关于原点对称 当a 0 时 f x 满足对定义域上任意x f x f x 1 x2 a 0 时 f x 是偶函数 当a 0 时 f 1 a 1 f 1 1 a 若f x 为偶函数 则a 1 1 a a 0 矛盾 若f x 为奇函数 则 1 a a 1 1 1 矛盾 当a 0 时 f x 是非奇非偶函数 2 任取x1 x2 3 f x1 f x2 ax1 ax2 1 x2 1 1 x2 2 a x1 x2 x2 2 x2 1 x2 1x2 2 x1 x2 a x1 x2 x2 1x2 2 x1 x2 0 f x 在 3 上为增函数 a 即a 在 3 上恒成立 x1 x2 x2 1x2 2 1 x1x2 2 1 x2 1x2 0 且x 1 1 xlnx 1 求函数f x 的单调区间 2 已知 2 xa对任意x 0 1 成立 求实数a的取值范围 1 x 解 1 f x 若f x 0 则