【拿高分 选好题】（新课程）高中数学二轮复习 第一部分 18个必考问题 专项突破《必考问题9 不等式及线性规划问题》热点命题 苏教版

1 必考问题必考问题 9 9 不等式及线性规划问题不等式及线性规划问题 真题体验 1 2011 南京模拟 已知A x 1 x 2 B x x2 2x a 0 A B的交集不是 空集 则实数a的取值范围是 解析 若A B的交集是空集时 即x2 2x a 0 在 1 x 2 上恒成立 令f x x2 2x a 因为对称轴为x 1 所以y f x 在集合A上递增 所以f 2 0 即可 所以a 8 所以A B的交集不是空集时 实数a的取值范围是a 8 答案 8 2 2012 江苏 13 已知函数f x x2 ax b a b R R 的值域为 0 若关 于x的不等式f x c的解集为 m m 6 则实数c的值为 解析 由题意知f x x2 ax b 2 b x a 2 a2 4 f x 的值域为 0 b 0 即b f x 2 a2 4 a2 4 x a 2 又 f x c 2 c 即 x x a 2 a 2c a 2c Error 由 得 2 6 c 9 c 答案 9 3 2012 江苏 14 已知正数a b c满足 5c 3a b 4c a cln b a cln c 则 的取值范围是 b a 解析 由题意知Error 作出可行域 如图所示 由Error 2 得a b c c 2 7 2 此时 max 7 b a 由Error 得a b 此时 min e 所以 e 7 4c e 1 4ce e 1 b a 4ce e 1 4c e 1 b a 答案 e 7 4 2010 江苏 12 设实数x y满足 3 xy2 8 4 9 则的最大值是 x2 y x3 y4 解析 根据不等式的基本性质求解 2 16 81 x2 y 1 xy2 1 8 1 3 2 2 27 的最大值是 27 x3 y4 x2 y 1 xy2 x3 y4 答案 27 5 2012 南京模拟 已知变量x y满足约束条件Error 则目标函数z 2x y的取 值范围是 解析 约束条件对应的可行域如图 由图可知 当目标函数经过图中点 3 2 时取得最 小值 4 经过点 0 2 时 取得最大值 2 所以取值范围是 4 2 答案 4 2 高考定位 高考对本内容的考查主要有 1 一元二次不等式是 C 级要求 要求在初中所学二次函 数的基础上 掌握二次函数 二次不等式 二次方程之间的联系和区别 可以单独考查 也可以与函数 方程等构成综合题 2 线性规划的要求是 A 级 理解二元一次不等式对应 的平面区域 能够求线性目标函数在给定区域上的最值 同时对一次分式型函数 二次型 函数的最值也要有所了解 3 不等式作为一种重要工具 要理解不等式的性质 简单不等 式的解法及含参数不等式的分类讨论等 应对策略 对不等式的学习要立足基础 重在理解 加强训练 学会建模 培养能力 提高素质 3 具体要注意以下几点 1 学习不等式性质时 要弄清条件与结论 要克服 想当然 和 显然成立 的思维定势 要以比较准则和实数运算法则为依据解决问题 2 解决某些不 等式时 要与函数定义域 值域 单调性联系起来 注重数形结合思想 解含参数不等式 时要注意分类讨论思想 3 要强化不等式的应用意识 同时要注意到不等式与函数和方程 的对比与联系 充分利用函数与方程思想 数形结合处理不等式问题 4 利用线性规划解 决实际问题时 充分利用数形结合思想 会达到事半功倍的效果 因此要力求画图准确 必备知识 1 一元二次不等式的求解步骤 一变 二求 三画 四结论 2 一元二次不等式恒成立的条件 设f x ax2 bx c a 0 则ax2 bx c 0 恒成立 解集为 R R y f x 图象恒在 x轴上方 f x min 0 Error ax2 bx c 0 恒成立 解集为 R R y f x 图象恒在x轴下方 f x max 0 Error 3 二元一次不等式表示的平面区域 直线定界 特殊点定域 注意 边界的虚实线 必备方法 1 三个 二次 的关系 一元二次不等式解集的端点值是相应一元二次方程的根 也是相应的二次函数图象与 x轴交点的横坐标 即二次函数的零点 2 对于给定集合M和给定含参数的不等式f x 0 求不等式中的参数的取值范围问 题 要看清楚题目的要求 再相应求解 不妨 对号入座 1 若M是f x 0 的解集 则由M x f x 0 来求 2 若f x 0 在M上有解 则由M x f x 0 来求 3 若f x 0 在M上恒成立 则由M x f x 0 来求 3 简单的线性规划问题解题步骤 一画二移三算四答 充分挖掘目标对象的几何意义 通常与直线的纵截距 斜率 圆的半径或半径的平方有关 命题角度一 一元二次不等式 命题要点 简单一元二次不等式的解法 含参数的一元二次不等式的解法 例 1 解关于x的不等式ax2 2a 1 x 2 0 审题视点 4 听课记录 审题视点 不等式的左端可以先分解因式 然后根据a 0 a 0 a 0 的情况和方 程ax2 2a 1 x 2 0 两个根的大小进行分类求解 解 不等式ax2 2a 1 x 2 0 即 ax 1 x 2 0 1 当a 0 时 不等式可以化为 x 2 0 x 1 a 若 0 a 则 2 1 2 1 a 此时不等式的解集为 2 1 a 若a 则不等式为 x 2 2 0 不等式的解集为 1 2 若a 则 2 此时不等式的解集为 1 2 1 a 1 a 2 2 当a 0 时 不等式即 x 2 0 此时不等式的解集为 2 3 当a 0 时 不等式可以化为 x 2 0 x 1 a 由于 2 故不等式的解集为 2 1 a 1 a 综上所述 当a 0 时 不等式的解集为 2 1 a 当a 0 时 不等式的解集为 2 当 0 a 时 不等式的解集为 1 2 2 1 a 当a 时 不等式的解集为 1 2 当a 时 不等式的解集为 1 2 1 a 2 含有参数的一元二次不等式在能通过因式分解求出对应方程根的情况下 按照本题的方法求解 但如果不能根据因式分解的方法求出其根 则需要按照不等式对应 方程根的判别式的情况进行分类 突破训练 1 已知关于x的不等式 0 的解集是 1 则 ax 1 x 1 1 2 5 a 解析 由题意 可得a 0 且不等式等价于a x 1 0 由不等式解集的特 x 1 a 点可得a 0 且 故a 2 1 a 1 2 答案 2 命题角度二 含参不等式恒成立问题 命题要点 一元二次不等式有解 恒成立 求参数的取值范围 例 2 2012 镇江质量检测 不等式a2 8b2 b a b 对任意a b R R 恒成立 则实数 的取值范围为 审题视点 听课记录 审题视点 不等式中有两个变量 可以先看成关于其中一个变量的一元二次不等式恒 成立 再考虑另一个变量 解析 先将不等式整理为关于a的一元二次不等式为a2 ba 8b2 b2 0 对任 意a R R 恒成立 所以 2b2 4 8b2 b2 0 即 2 4 32 b2 0 对任意b R R 恒 成立 则 2 4 32 0 解得 8 4 答案 8 4 含有多变量的不等式是近年来考查热点 要将不等式逐个看成关于某一变 量的不等式 其它变量先看作常数 这样可以逐步减少变量个数 同时要看清是恒成立还 是有解 突破训练 2 已知不等式ax2 4x a 1 2x2对一切实数x恒成立 求实数a的取 值范围 6 解 原不等式等价于 a 2 x2 4x a 1 0 对一切实数恒成立 显然a 2 时 解 集不是 R R 因此a 2 从而有Error 整理 得Error 所以Error 所以a 2 故a的取值范围是 2 7 命题角度三 线性规划问题 命题要点 线性规划考题的新变化为 问题中的目标函数形式已不再局限为单一的 线性的 甚至有的问题隐含有线性规划知识 以上这些变化都可以通过适当的方法转化为 较为基本的问题来解决 例 3 2012 苏锡常镇调研 设实数n 6 若不等式 2xm 2 x n 8 0 对任 意x 4 2 都成立 则的最小值为 m4 n4 m3n 审题视点 听课记录 审题视点 先对题干中恒成立问题进行转化 得到关于m n的关系式 再利用线性 规划知识解决 解析 因为不等式 2xm 2 x n 8 0 即为 2m n x 8 2n 对任意x 4 2 都 成立 所以Error 所以m n满足的不等式为Error 所以点 m n 对应的平面区域如图 的几何意义是可行域上的点与原点的连线的斜率 所以 而目标函数 n m n m 12 7 3 m4 n4 m3n 3 令 t 则目标函数即为y t3 其导数y 3t2 0 所以 m n n m n m 12 7 3 1 t 1 t2 函数y t3在t 上递减 故t 3 时取得最小值 1 t 12 7 3 80 3 答案 80 3 线性规划是不等式的重要内容 与函数的综合是常见题型 一般方法是利 用线性规划求出某个中间变量的取值范围 再利用换元法 导数等方法求最值 8 突破训练 3 2012 南师附中模拟 已知向量a a x z 1 b b 2 y z 且 a a b b 若x y满足不等式组Error 则z的取值范围是 解析 由a a b b得 2 x z y z 0 z 作出不等式组对应的平面区域如图 2x y 3 当目标函数y 2x 3z经过点 0 1 时 z取得最小值 经过点 2 2 时 z取得最大值 1 3 2 所以 z 2 1 3 答案 1 3 2 9 解不等式要留意等号 画可行域要注意边界的虚实 一 注意解不等式不能漏解 例 1 不等式 x 4 0 的解集是 x2 3x 4 解析 当x2 3x 4 0 时 x 4 0 解得x 4 当x2 3x 4 0 即x 1 或 4 时 原不等式也成立 所以解集是 x x 4 或x 1 答案 x x 4 或x 1 老师叮咛 要考虑二次根式有意义的条件 当二次根式等于 0 时 则对x 4 没有条件限制 所以要对根式是否为零进行讨论 否则 本题会出现下面的错误 因为 r x2 3x 4 0 所以x 4 0 解得x 4 造成遗漏解的情况 二 注意可行域边界的虚实 例 2 已知函数f x ax2 bx 1 a 0 的一个零点在区间 1 2 内 则a b的 取值范围是 9 解析 因为二次函数f x ax2 bx 1 a 0 开口向上 纵截距是 1 一个零点在 区间 1 2 内 所以a b满足不等式组Error 作出点 a b 对应的平面区域如图 由图可 知 当目标函数过点 0 1 不在区域内 时取得最小值 1 取不到 即 a b 1 答案 1 老师叮咛 画可行域要特别注意边界能否取到 当区域不包含边界时 取值范围中等 号取不到 如果忽视这一点 容易在等号上出错 三 注意目标函数的几何意义 尤其是平方 开方之类的问题 例 3 在平面直角坐标系xOy中 设A B C是圆x2 y2 1 上相异三点 若存 在正实数 使得 则 2 3 2的取值范围是 OC OA OB 解析 由 两边平方得2 2 2 2 即为 OC OA OB OC OA OB OA