【拿高分 选好题】（新课程）高中数学二轮复习 第一部分 18个必考问题 专项突破《必考问题4 三角函数与三角变换》热点命题 苏教版

1 必考问题必考问题 4 4 三角函数与三角变换三角函数与三角变换 真题体验 1 2012 江苏改编 已知 cos 则 sin x 3 1 3 6 x 解析 sin cos 6 x x 3 1 3 答案 1 3 2 2012 江苏 设 为锐角 若 cos 则 sin的值为 6 4 5 2 12 解析 由条件可得 cos 2ccs2 1 sin 2 3 6 7 25 2 3 24 25 所以 sin sin 2 12 2 3 4 2 2 24 25 7 25 17 2 50 答案 17 2 50 3 2011 江苏 函数f x Asin x A 是常数 A 0 0 的部 分图象如图所示 则f 0 解析 因为由图象可知振幅A 所以周期T 解得 2 T 4 7 12 3 4 2 2 将代入 解得一个符合的 从而y sin f 0 7 12 2 32 2x 3 6 2 答案 6 2 4 2012 南通 泰州 扬州调研 已知角 的终边经过点P 1 2 函数f x 2 sin x 0 图象的相邻两条对称轴之间的距离等于 则f 3 12 解析 由图象的相邻两条对称轴之间的距离等于 得T 3 又角 3 2 3 2 的终边经过点P 1 2 所以 sin cos 所以f x sin 3x 2 5 1 5 f sin 12 4 2 2 1 5 2 5 10 10 答案 10 10 5 2010 江苏 定义在区间上的函数y 6cos x的图象与y 5tan x的图象 0 2 的交点为P 过点P作PP1 x轴于点P1 直线PP1与y sin x的图象交于点P2 则线段 P1P2的长为 解析 线段P1P2的长即为 sin x的值 且其中的x满足 6cos x 5tan x 整理得 6sin2x 5sin x 6 0 解得 sin x 线段P1P2的长为 2 3 2 3 答案 2 3 高考定位 高考对本内容的考查主要有 1 三角函数的有关知识大部分是 B 级要求 只有函数y Asin x 的图象与性 质是 A 级要求 2 两角和 差 的正弦 余弦及正切是 C 级要求 二倍角的正弦 余弦及正切是 B 级要 求 应用时要适当选择公式 灵活应用 试题类型可能是填空题 同时在解答题中也是必考题 经常与向量综合考查 构成中 档题 应对策略 三角函数既是重要知识 又是重要工具 作为知识 它与函数 平面向量有着密不可 分的联系 三角函数的概念 基本性质及图象都是从函数的角度出发的重要基础知识 三 角恒等变换是三角函数作为工具的重要体现 在历年的高考试题中占有重要地位 尤其是 三角函数与向量的综合更是考查重点 题型可能是填空题 也可能是解答题 需要熟练掌 握三角函数内部知识的综合及三角函数与向量的综合 必备知识 1 三角函数的概念 如象限角 轴线角 终边相同的角 三角函数的定义 定义域 3 符号法则 弧度制等 2 同一个角的正弦 余弦 正切函数之间有平方关系和商数关系 平方关系 sin2 cos2 1 商数关系 tan 根据同角三角函数的基本关系 如果已 sin cos 知角 的某一个三角函数值 就可以求出其它两个三角函数值 不过解的个数要根据角 所在的象限或范围确定 3 诱导公式揭示的是k k Z Z 与 的三角函数值之间的等量关系式 记忆 2 口诀是 奇变偶不变 符号看象限 4 正弦函数 余弦函数 正切函数的定义域 值域 奇偶性 单调性 对称性 周期 性等三角函数性质 要熟练掌握 5 熟记两角和与差的三角函数 二倍角公式 掌握公式的常见变形 如辅助角公式 asin bcos sin 降幂公式 cos2 sin2 a2 b2 1 cos 2 2 等 1 cos 2 2 必备方法 1 解决三角函数实际应用问题的一般步骤是 1 认真审题 找出自变量 分析出三 角函数与自变量之间的函数关系 写出解析式 并且根据题意和实际意义确定函数定义域 简单地说 就是建立数学模型 2 利用所学三角函数知识解决这一数学模型 2 三角函数在代数中的应用 一般是用换元法将三角函数看做一个整体变量 利用其 值域等性质限制函数定义域 再利用函数等代数知识求解 3 三角恒等变形的基本思路 1 化异为同 切化弦 1 的代换是三角恒等变换的常用技巧 化异为同 是指 化异名为同名 化异次为同次 化异角为同角 2 角的变换是三角变换的核心 如 2 等 命题角度一 三角变换与求值 命题要点 给角求值 给值求值 给值求角 例 1 2011 江苏 已知 tan 2 则的值为 x 4 tan x tan 2x 审题视点 听课记录 4 审题视点 由已知条件先确定 tan x的值 再化简待求式 然后代入求得 解析 由 tan 2 得 2 解得 tan x x 4 tan x 1 1 tan x 1 3 所以 tan x tan 2x tan x 2tan x 1 tan2x 1 tan2x 2 1 1 9 2 4 9 答案 4 9 给角求值问题 一般方法是利用三角公式将非特殊角转化为特殊角 给值 求值问题 要观察已知与所求的关系 注意从角 三角函数名称等几个方面观察 应用角 的变换 名称变换等寻找关系 给值求角一般要有求两个方面 一是所求角的范围 二是 所求角的某个三角函数值 很多时候还需要缩小角的范围 使得所求三角函数在该区间上 单调 突破训练 1 2012 江西改编 若 tan 4 则 sin 2 1 tan 解析 已知某个角的正切值 求关于正弦 余弦的齐次分式时 常将正弦 余弦转化 为正切 即弦化切 以达到简解的目的 tan 4 4tan 1 tan2 1 tan 1 tan2 tan sin 2 2sin cos 2sin cos sin2 cos2 2tan 1 tan2 2tan 4tan 1 2 答案 1 2 命题角度二 三角函数的图象与性质 命题要点 已知函数图象求函数解析式 三角函数性质的简单应用 例 2 函数y Asin x 的一段图象 如图所示 A 0 0 2 求其解析式 审题视点 5 听课记录 审题视点 先由图象求出函数的周期 从而求得 的值 再由关键点求 最后将 0 代入求A的值 2 解 设函数的周期为T 则T 3 4 7 8 8 3 4 T 2 2 T 又 2 2k k Z Z 2k k Z Z 8 2 4 又 2 4 函数解析式为y Asin 2x 4 又图象过点 0 Asin 2 42 A A 2 2 22 所求函数的解析式为y 2sin 2x 4 1 已知函数y Asin x A 0 0 的图象求解析式时 常采用 待定系数法 由图中的最高点 最低点或特殊点求A 由函数的周期确定 由图象上的 关键点确定 2 求函数的周期时 注意以下规律 相邻的最高点与最低点的横坐标之差的绝对值为 半个周期 最高点 或最低点 的横坐标与相邻零点差的绝对值为 个周期 1 4 突破训练 2 已知函数y Asin x 的图象的一部 A 0 2 0 分如图所示 1 求f x 的表达式 2 试写出f x 的对称轴方程 解 1 观察图象可知 6 A 2 且点 0 1 在图象上 所以 1 2sin 0 即 sin 因为 所以 1 2 2 6 又因为 是函数的一个零点 且是图象上升穿过x轴形成的零点 所以 11 12 11 12 2 所以 2 6 故f x 2sin 2x 6 2 设 2x B 则函数y 2sin B的对称轴方程为B k k Z Z 6 2 即 2x k k Z Z 6 2 解上式得x k Z Z k 2 6 所以f x 2sin的对称轴方程为x k Z Z 2x 6 k 2 6 7 命题角度三 三角函数的图象和性质的综合应用 命题要点 三角函数的值域 三角函数的最小正周期 三角函数的单调区间 三角函数的对称性 例 3 2012 南京 盐城模拟 已知函数f x sin xcos 3 x cos2x x R R 1 2 1 求函数f x 的最小正周期 2 求函数f x 在区间上的函数值的取值范围 0 4 审题视点 听课记录 审题视点 将三角函数化为标准型 利用周期公式求解 再利用三角函数的性质求值 域 解 1 因为f x sin 2x cos 2x sin 故f x 的最小正周期为 3 2 1 2 2x 6 2 当x 时 2x 故所求的值域为 0 4 6 6 3 1 2 3 2 求解三角函数的周期 一般是化为标准型后 再利用周期公式求解 或者 利用三角函数图象求周期 三角函数的值域有几种常见类型 一是可以化为标准型的 利 用三角函数图象求解 二是可以化为二次型的 利用换元法求解 但要注意 新元 的取 值范围 突破训练 3 2012 苏州期中 已知函数f x cos 2sinsin 2x 3 x 4 x 4 1 求函数f x 的最小正周期 2 求函数f x 在区间上的值域 0 2 解 1 f x cos 2sin sin 2x 3 x 4 x 4 cos 2x sin 2x sin x cos x sin x cos x 1 2 3 2 cos 2x sin 2x sin2x cos2x 1 2 3 2 8 cos 2x sin 2x cos 2x sin 1 2 3 2 2x 6 T 2 2 2 x 2x 0 2 6 6 5 6 sin max 1 sinmin 2x 6 2x 6 1 2 即f x sin的值域为 2x 6 1 2 1 4 解决三角函数需注意的两个问题 一 要充分挖掘题中隐含条件 例 1 在 ABC中 如果 4sin A 2cos B 1 2sin B 4cos A 3 则 C的大 3 小是 解析 两式平方相加并化简得 sin A B 所以 sin C 得 C 或 检验 1 2 1 2 6 5 6 当 C 时 A B 则A B sin A cos B 4sin 5 6 6 0 6 0 1 2 3 2 1 A 2cos B 4 与 4sin A 2cos B 1 矛盾 所以 C 舍去 即 C 3 5 6 6 答案 6 老师叮咛 在三角恒等式中 如果不充分挖掘题中条件 又没有对结果检验 很容易 产生增根 如本题两式平方相加并化简得 sin A B 所以 sin C 得 C 或 1 2 1 2 6 产生了增根 5 6 5 6 二 给值求角时要注意缩小所求角的范围 例 2 若 tan tan 且 0 则