牛吃草变形(学案)

1 牛吃草问题牛吃草问题 的变形的变形 例 1 一只船发现漏水时 已经进了一些水 水匀速进入船内 如果 10 人淘水 3 小时淘完 如 5 人淘水 8 小时淘 完 如果要求 2 小时淘完 要安排多少人淘水 答案 答案 设 1 人 1 小时淘出的水量是 1 淘水速度是 原有水量 5 8103 83 2 102 324 要求2小时淘完 要安排人淘水242214 巩固 一只船发现漏水时 已经进了一些水 现在水匀速进入船内 如果 3 人淘水 40 分钟可以淘完 6 人淘水 16 分钟可以把水淘完 那么 5 人淘水几分钟可以把水淘完 答案 答案 设 1 人 1 分钟淘出的水量是 1 分钟的进水量为 401624 3406 1624 所以每分钟的进水量为 那么原有水量为 24241 3 14080 5 人淘水需要 分钟 把水淘完 805120 例 2 画展 8 30 开门 但早有人来排队入场 从第一个观众来到时起 若每分钟来的观众一样多 如果开 3 个入场 口 9 点就不再有人排队 如果开 5 个入场口 8 点 45 分就没有人排队 求第一个观众到达的时间 答案 答案 设每分钟 1 个入口进入的人数为 1 个单位 8 30 到 9 00 共 30 分钟 3 个入口共进入 8 30 到3 3090 8 45 共 15 分钟 5 个入口共进入 15 分钟到来的人数 每分钟到来 8 30 以前原5 1575 907515 15 151 有人 所以应排了 分钟 即第一个来人在 7 303 301 3060 60160 巩固 画展 9 点开门 但早有人来排队入场 从第一个观众来到时起 若每分钟来的观众一样多 如果开 3 个入场 口 9 点 9 分就不再有人排队 如果开 5 个入场口 9 点 5 分就没有人排队 求第一个观众到达的时间 答案 答案 如果把入场口看作为 牛 开门前原有的观众为 原有草量 每分钟来的观众为 草的增长速度 那么本 题就是一个 牛吃草 问题 设每一个入场口每分钟通过 1 份人 那么 4 分钟来的人为 即 1 分钟来的人为 原有的人3 95 52 240 5 为 这些人来到画展 所用时间为 分 所以第一个观众到达的时间为 8 点 15 30 5922 5 22 50 545 分 例 3 在地铁车站中 从站台到地面有一架向上的自动扶梯 小强乘坐扶梯时 如果每秒向上迈一级台阶 那么他 走过 20 级台阶后到达地面 如果每秒向上迈两级台阶 那么走过 30 级台阶到达地面 从站台到地面有 级台 阶 答案 答案 本题非常类似于 牛吃草问题 如将题目改为 在地铁车站中 从站台到地面有一架向上的自动扶梯 小强乘坐扶梯时 如果每秒向上迈一级台阶 那么他走过 20 秒后到达地面 如果每秒向上迈两级台阶 那么走过 15 秒到达地面 问 从站台到地面有多少级台阶 采用牛吃草问题的方法 电梯秒内所走的阶数等于小强多走的阶数 阶 电梯的速度为20155 2 151 2010 阶 秒 扶梯长度为 阶 1052 20 12 60 巩固 两个顽皮的孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走 男孩每秒可走 3 级梯级 女孩每秒可走 2 级梯级 结果从扶 梯的一端到达另一端男孩走了 100 秒 女孩走了 300 秒 问 该扶梯共有多少级梯级 答案 答案 本题与牛吃草问题类似 其中扶梯的梯级总数相当于原有草量 而自动扶梯运行的速度则相当于草的增长速度 并且上楼的速度要分成两部分 一部分是孩子自己的速度 另一部分是自动扶梯的速度 自动扶梯的速度 女孩每秒走的梯级 女孩走的时间 男孩每秒走的梯级 男孩走的时间 女孩走的时间 男 孩走的时间 自动扶梯的梯级总数 女孩每秒走的梯级 女孩走的时间 自动 23003 100 300100 1 5 扶梯的速度 女孩走的时间 级 所以自动扶梯共有 150 级的梯级 23001 5 300600450150 例 4 小明从甲地步行去乙地 出发一段时间后 小亮有事去追赶他 若骑自行车 每小时行 15 千米 3 小时可以 追上 若骑摩托车 每小时行 35 千米 1 小时可以追上 若开汽车 每小时行 45 千米 多长时间能追上 答案 答案 本题是 牛吃草 和行程问题中的追及问题的结合 小明在小时内走了千米 那么小3 12 15 335 110 明的速度为 千米 时 追及距离为 千米 汽车去追的话需要 小时 1025 155330 3 30455 4 分钟 45 例 5 快 中 慢三车同时从地出发沿同一公路开往地 途中有骑车人也在同方向行进 这三辆车分别用 7 分AB 2 钟 8 分钟 14 分钟追上骑车人 已知快车每分钟行 800 米 慢车每分钟行 600 米 中速车的速度是多少 答案 答案 可以将骑车人与三辆车开始相差的距离看成原有草量 骑车人的速度看成草生长的速度 所以骑车人速度是 米 分 开始相差的路程为 米 所以中速车速度为 600 148007 147 400 600400 142800 米 分 28008400750 巩固 有固定速度行驶的甲车和乙车 如果甲车以现在速度的 2 倍追赶乙车 5 小时后甲车追上乙车 如果甲车以 现在速度的 3 倍追赶乙车 3 小时后甲车追上乙车 那么如果甲车以现在的速度去追赶乙车 问 几个小时后甲车追 上乙车 答案 答案 分析知道甲车相当于 牛 甲追赶乙的追及路程相当于 原有草量 乙车相当于 新生长的草 设甲车的速度为 1 那么乙车小时走的路程为 所以乙的速度为 追及路程为 532 253 31 120 5 20 557 5 如果甲以现在的速度追赶乙 追上的时间为 小时 7 510 515 例 6 甲 乙 丙三车同时从地出发到地去 甲 乙两车的速度分别是每小时 60 千米和每小时 48 千米 有一AB 辆卡车同时从地迎面开来 分别在它们出发后 6 小时 7 小时 8 小时先后与甲 乙 丙车相遇 求丙车的速度 B 答案 答案 相遇问题可以看成是草匀速减少的过程 全程看成是原有草量 卡车速度看成是草匀速减少的速度 所以卡车 速度为 千米 时 全程 千米 丙车速度为 606487 76 24 6024 6504 千米 时 50482439 巩固 小新 正南 妮妮三人同时从学校出发到公园去 小新 正南两人的速度分别是每分钟 20 米和每分钟 16 米 在他们出发的同时 风间从公园迎面走来 分别在他们出发后 6 分钟 7 分钟 8 分钟先后与小新 正南 妮妮 相遇 求妮妮的速度 答案 答案 当小新和风间相遇时 正南落后小新 米 依题意知正南和风间走这 24 米需要 分钟 6201624 761 正南和风间的速度和为 米 分 风间的速度为 米 分 学校到公园的距离为 24124 24168 米 所以妮妮的速度为 米 分 247168 1688813 例 7 一个装满了水的水池有一个进水阀及三个口径相同的排水阀 如果同时打开进水阀及一个排水阀 则分钟30 能把水池的水排完 如果同时打开进水阀及两个排水阀 则分钟把水池的水排完 问 关闭进水阀并且同时打开三10 个排水阀 需要多少分钟才能排完水池的水 答案 答案 设一个排水阀 1 分钟排水量为 1 那么进水阀 1 分钟进水量为 水池原有水量 1 302 1030100 5 为 关闭进水阀并且同时打开三个排水阀 需要 分钟 才能排完水池的水 10 53015 1535 巩固 一个蓄水池有 1 个进水口和 15 个出水口 水从进水口匀速流入 当池中有一半的水时 如果打开 9 个出水 口 9 小时可以把水排空 如果打开 7 个出水口 18 小时可以把水排空 如果是一满池水 打开全部出水口放水 那 么经过 时 分水池刚好被排空 答案 答案 本题是牛吃草问题的变形 设每个出水口每小时的出水量为 1 则进水口每小时的进水量为 半池水的量为 7 1899 189 5 所以一池水的量为 72 95 936 如果打开全部 15 个出水口 排空水池所需要的时间为小时 即 7 小时 12 分钟 72 155 7 2 例 8 北京密云水库建有个泄洪洞 现在水库的水位已经超过安全线 并且水量还在以一个不变的速度增加 为10 了防洪 需要调节泄洪的速度 假设每个闸门泄洪的速度相同 经测算 若打开一个泄洪闸 个小时以后水位降30 至安全线 若同时打开两个泄洪闸 个小时后水位降至安全线 根据抗洪形势 需要用个小时使水位降至安全线102 以下 则至少需要同时打开泄洪闸的数目为多少个 答案 答案 此题是牛吃草问题的变形 假设每个泄洪洞每小时泄洪的量为 1 则水库每小时增加的水量为 原有的水量超过安全线的部分有 1 302 10 3010 0 5 10 5 3015 如果要用个小时使水位降至安全线以下 至少需要开个泄洪闸 21520 58 巩固 有一个蓄水池装了根相同的水管 其中一根是进水管 其余 根是出水管 开始时 进水管以均匀的速度98 不停地向蓄水池注水 后来 想打开出水管 使池内的水全部排光 如果同时打开 根出水管 则 小时可排尽池内83 的水 如果仅打开根出水管 则需小时才能排尽池内的水 若要在小时内排尽池内的水 那么应当同时打开564 5 3 多少根出水管 答案 答案 设 1 根出水管 1 小时排水的量为 1 那么进水管每小时进水量为 池内原有水量为 568 3632 要在小时内排尽池内的水 应当同时打开根出水管 82318 4 5184 526 巩固 由于环境恶化 气候变暖 官厅水库的水在匀速减少 为了保证水库的水量 政府决定从上游的壶流河水库 以及册田水库分别向官厅水库进行调水 已知这两个水库的每个闸门放水量是相同的 如果同时打开壶流河水库的 5 个闸门 30 小时可以使官厅水库水量达到原来的标准 如果同时打开册田水库的 4 个闸门 40 小时可以使官厅水库水量 达到原来的标准 如果 24 小时使官厅水库水量达到原来的标准 问需同时打开两个水库的几个闸门 答案 答案 设 1 个闸门 1 小时的放水量为 1 那么每小时自然减少的水量为 实际注入 40430540301 水量为 24 小时蓄水需要打开的闸门数是 个 5130120 1202416 例 9 甲 乙 丙三个仓库 各存放着数量相同的面粉 甲仓库用一台皮带输送机和 12 个工人 5 小时可将甲仓库 内面粉搬完 乙仓库用一台皮带输送机和 28 个工人 3 小时可将仓库内面粉搬完 丙仓库现有 2 台皮带输送机 如果 要用 2 小时把丙仓库内面粉搬完 同时还要多少个工人 每个工人每小时工效相同 每台皮带输送机每小时工效也 相同 另外皮带输送机与工人一起往外搬运面粉 答案 答案 设 1 人 1 小时搬运的份数为 1 那么一台皮带运输机 1 小时的工作量为 每个仓库存放的面粉总量为 那么 丙仓库现有 2 台皮带输送机 如 28 3 1255312 12125120 果要用 2 小时把丙仓库内面粉搬完 需要 人 120212236 例 10 小方用一个有洞的杯子从水缸里往三个同样的容积的空桶中舀水 第一个桶距水缸有 1 米 小方用 3 次恰好 把桶装满 第二个桶距水缸有 2 米 小方用 4 次恰好把桶装满 第三个桶距水缸有 3 米 那么小方要多少次才能把它 装满 假设小方走路的速度不变 水从杯中流出的速度也不变 答案 答案 小方装第二个桶比第一个桶多用了一杯水 同时多走了米路 所以从杯中流出的速度是241 35 杯 米 于是 1 桶水原有水量等于杯水 所以小方要次才能把第三个桶150 2 33 0 22 4 2 4 13 0 2 6 装满 例 11 某建筑工地开工前运进一批砖 开工后每天运进相同数量的砖 如果派 250 个工人砌砖墙 6 天可以把砖用 完 如果派 160 个工人 10 天可以把砖用完 现在派 120 名工人砌了 10 天后 又增加 5 名工人一起砌 还需要再砌 几天可以把砖用完 答案 答案 开工前运进的砖相当于 原有草量 开工后每天运进相同的砖相当于 新生长的草 工人砌砖相当于 牛在 吃草 所以设 1 名工人 1 天砌砖数量为 1 那么每天运来的砖为 原有砖的数量 160 10250610625 为 2502561350 如果 120 名工人砌 10 天 将会砌掉 10 天新运来的砖以及 950 原有的砖 还剩的原有的砖未用 变成1350950400 人来砌砖 还需要 天 1205125 400125254 例 12 某建筑工地开工前运进一批砖 开工后每天运进相同数量的砖 如果派 15 个工人砌砖墙 14 天可以把砖用 完 如果派 20 个工人 9 天可以