2013年全国高考数学第二轮复习 选修4—1 几何证明选讲 理

1 选修选修 4 4 1 1 几何证明选讲几何证明选讲 真题试做真题试做 1 2012 北京高考 理 5 如图 ACB 90 CD AB于点D 以BD为直径的圆与 BC交于点E 则 A CE CB AD DB B CE CB AD AB C AD AB CD2 D CE EB CD2 2 2012 天津高考 理 13 如图 已知AB和AC是圆的两条弦 过点B作圆的切线与 AC的延长线相交于点D 过点C作BD的平行线与圆相交于点E 与AB相交于点 F AF 3 FB 1 EF 则线段CD的长为 3 2 3 2012 课标全国高考 理 22 如图 D E分别为 ABC边AB AC的中点 直线DE 交 ABC的外接圆于F G两点 若CF AB 证明 证明 1 CD BC 2 BCD GBD 考向分析考向分析 从近几年的高考情况看 本部分内容主要有两大考点 一是会证明并应用圆周角定理 圆的切线的判定定理及其性质定理 二是会证明并应用相交弦定理 圆内接四边形的性质定 理与判定定理 切割线定理等 在高考中常以圆为背景 主要考查最基本 最重要的内容 试题多以填空题 解答题的形式呈现 试题难度属中低档 预计在今后高考中 几何证明选讲主要考查最基本 最重要的内容 如相似三角形 圆 的切线 弦切角 圆内接四边形的性质与判定 与圆有关的比例线段等 试题难度中等 另 外 对平行线等分线段定理及平行线分线段成比例定理 直角三角形的射影定理 切线长定 理等内容的考查 也应引起足够的重视 热点例析热点例析 热点一 相似三角形问题 例 例 如图 点P是 O的直径CB的延长线上一点 PA和 O相切于点A 若 2 PA 15 PB 5 1 求 tan ABC的值 2 若弦AD使 BAD P 求AD的长 规律方法规律方法 在求线段的长度或计算比例线段的比值时 应注意的问题 1 应先寻找所求线段或比例线段所在的两个三角形 2 判断寻找的两个三角形是否具备相似的条件 3 如果条件不能直接找出时 可巧添辅助线 4 如果有平行线时可应用平行线分线段成比例定理加以解决 变式训练变式训练 1 1 如图 过圆O外一点M作它的一条切线 切点为A 过A点作一直线AP垂 直于直线OM 垂足为P 1 证明OM OP OA2 2 N为线段AP上一点 直线NB垂直直线ON 且交圆O于B点 过B点的切线交直线 ON于K 证明 OKM 90 热点二 有关圆的切线 弦切角问题 例 例 如图 已知圆上的弧 过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点 AA ACBD 证明 证明 1 ACE BCD 2 BC2 BE CD 规律方法规律方法 与圆的切线有关的几何证明问题处理思路 1 若两圆相切 往往需要添加两圆的公切线 转化为弦切角与圆心角 圆周角之间的 关系 2 在利用圆的切线 弦切角解题时 应特别注意圆周角 圆心角与弦切角的特殊关 系 变式训练变式训练 2 2 如图 圆O1与圆O2内切于点A 其半径分别为r1与r2 r1 r2 圆O1的弦 AB交圆O2于点C O1不在AB上 3 求证 AB AC为定值 热点三 圆内接四边形的判定与性质 例 例 如图 四边形ABCD是圆O的内接四边形 延长AB和DC相交于点P 若 PB 1 PD 3 则的值为 BC AD 规律方法规律方法 有关圆内接四边形问题的处理思路 1 圆内接四边形 亦即四点共圆 的判定与性质 在近几年高考中常有考查 处理此类 问题的关键是掌握对角的互补关系 同边所形成的弦 角的等量关系以及外角与其内对角的 相等关系等 2 通常情况下先把圆内接四边形问题转化为圆周角 圆心角 圆内角 圆外角 弦切 角以及圆内接四边形的对角等问题 再利用题设条件来解决问题 3 值得注意的有 在平面几何中求角的大小 经常考虑借助三角形内角和定理及其推 论 在圆中求角的大小常常借助与圆有关的角的定理来完成 变式训练变式训练 3 3 如图 A B C D四点在同一圆上 AD的延长线与BC的延长线交于E点 且EC ED 1 证明 证明 CD AB 2 延长CD到F 延长DC到G 使得EF EG 证明 证明 A B G F四点共圆 热点四 有关与圆相关的比例线段问题 例 例 如图 在 ABC中 C 90 BE是 CBD的角平分线 DE BE交AB于 D O是 BDE的外接圆 1 求证 AC是 O的切线 2 如果AD 6 求BC的长 6 2AE 规律方法规律方法 与圆有关的比例线段问题的处理思路 解决与圆有关的比例线段问题 常常 结合圆的切割线定理 割线定理 相交弦定理等来进行分析 当然 在解题过程中善于发现 构造相似三角形 寻找平行线截线段成比例等也是解决问题的关键环节 变式训练变式训练 4 4 如图 已知 O的割线PAB交 O于A B两点 割线PCD经过圆心 若 PA 3 AB 4 PO 5 则 O的半径为 4 1 如图 ABCD中 N是AB延长线上一点 的值等于 BC BM AB BN A B 1 C D 1 2 3 2 2 3 2 原创题 如图 矩形ABCD中 DE AC于点E 则图中与 ABC相似的三角形有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 3 2012 北京丰台区 3 月模拟 12 如图所示 Rt ABC内接于圆 ABC 60 PA 是圆的切线 A为切点 PB交AC于点E 交圆于点D 若PA AE PD BD 3 则 33 AP AC 4 2012 湖北华中师大一附中 5 月模拟 15 如图所示 圆O的直径为 6 C为圆周上 一点 BC 3 过点C作圆的切线l 过点A作l的垂线AD 垂足为D 则CD 5 如图 已知 Rt ABC的两条直角边AC BC的长分别为 3 cm 4 cm 以AC为直径的圆 与AB交于点D 则 BD DA 5 6 2012 江苏镇江 5 月模拟 21 如图 O的半径OB垂直于直径AC D为AO上一点 BD的延长线交 O于点E 过E点的圆的切线交CA的延长线于P 求证 PD2 PA PC 7 2012 吉林长春实验中学模拟 22 如图 在 ABC中 AB AC 过点A的直线与 ABC的外接圆交于点P 交BC的延长线于点D 1 求证 PC AC PD BD 2 若AC 3 求AP AD的值 参考答案参考答案 命题调研 明晰考向 真题试做真题试做 1 A 2 4 3 3 证明 证明 1 因为D E分别为AB AC的中点 所以DE BC 又已知CF AB 故四边形BCFD是平行四边形 所以CF BD AD 而CF AD 连接AF 所以ADCF是平行四边形 故CD AF 因为CF AB 所以BC AF 故CD BC 2 因为FG BC 故GB CF 由 1 可知BD CF 所以GB BD 而 DGB EFC DBC 故 BCD GBD 6 精要例析 聚焦热点 热点例析热点例析 例例 1 1 解 解 1 连接AC BC为 O的直径 BAC 90 又 PA为切线 BAP C 又 P P PAB PCA 3 AP BP AC BA 15 5 在 Rt ABC中 tan ABC 3 AC AB 2 由切割线定理 得PA2 PB PC 即PA2 PB PB BC 又PA 15 PB 5 BC 40 设AB x 则AC 3x 由勾股定理 得AC2 AB2 BC2 即x2 3x 2 402 得x 4 舍去负根 10 连接BD 在 PAB和 ADB中 PAB D P BAD PAB ADB AD AP AB PB AD 12 AP AB PB 15 4 10 510 变式训练变式训练 1 1 证明 证明 1 因为MA是圆O的切线 所以OA AM 又因为AP OM 在 Rt OAM中 由射影定理 知OA2 OM OP 2 因为BK是圆O的切线 BN OK 同 1 有OB2 ON OK 又OB OA 所以OP OM ON OK 即 ON OP OM OK 又 NOP MOK 所以 ONP OMK 故 OKM OPN 90 例例 2 2 证明 证明 1 因为 AA ACBD 所以 BCD ABC 又因为EC与圆相切于点C 故 ACE ABC 所以 ACE BCD 2 因为 ECB CDB EBC BCD 所以 BDC ECB 7 故 即BC2 BE CD BC BE CD BC 变式训练变式训练 2 2 证明 证明 过A作两圆的公切线 连接O1A O1B O2C 由弦切角定理 易得 AO2C AO1B 所以O1B O2C 所以 O1AB O2AC 所以AB AC O1A O2A r1 r2 故AB AC为定值 例例 3 3 解析 解析 P P A PCB PCB PAD 1 3 PB PD BC AD 1 3 变式训练变式训练 3 3 证明 证明 1 因为EC ED 所以 EDC ECD 因为A B C D四点在同一圆上 所以 EDC EBA 故 ECD EBA 所以CD AB 2 由 1 知 AE BE 因为EF EG 故 EFD EGC 从而 FED GEC 连接AF BG 则 EFA EGB 故 FAE GBE 又CD AB EDC ECD 所以 FAB GBA 所以 AFG GBA 180 故A B G F四点共圆 例例 4 4 1 证明 证明 连接OE 因为OE OB 8 所以 OEB OBE 又因为BE平分 CBD 所以 CBE DBE 所以 OEB CBE 所以EO CB 因为 C 90 所以 AEO 90 即AC OE 因为E为 O半径OE的外端 所以AC是 O的切线 2 解 解 因为AC是 O的切线 所以AE2 AD AB 因为AE 6 AD 6 2 所以 6 2 6 AB 2 解得AB 12 则OD OB 3 因为EO CB 所以 AO AB OE BC 所以 解得BC 4 9 12 3 BC 变式训练变式训练 4 4 2 创新模拟 预测演练 1 B 2 C 3 2 3 4 5 33 3 3 2 16 9 6 证明 证明 连接OE 因为PE切 O于点E 所以 OEP 90 所以 OEB BEP 90 因为OB