【步步高】2014届高三数学一轮 9.3 圆的方程导学案 理 北师大版

1 学案学案 4949 圆的方程圆的方程 导学目标 1 掌握确定圆的几何要素 2 掌握圆的标准方程与一般方程 3 初步了解用 代数方法处理几何问题的思想 自主梳理 1 圆的定义 在平面内 到 的距离等于 的点的 叫圆 2 确定一个圆最基本的要素是 和 3 圆的标准方程 x a 2 y b 2 r2 r 0 其中 为圆心 为半径 4 圆的一般方程 x2 y2 Dx Ey F 0 表示圆的充要条件是 其中圆心为 半径r 5 确定圆的方程的方法和步骤 确定圆的方程主要方法是待定系数法 大致步骤为 1 2 3 6 点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种 圆的标准方程 x a 2 y b 2 r2 点M x0 y0 1 点在圆上 x0 a 2 y0 b 2 r2 2 点在圆外 x0 a 2 y0 b 2 r2 3 点在圆内 x0 a 2 y0 b 2 r2 自我检测 1 方程x2 y2 4mx 2y 5m 0 表示圆的条件是 A m1 1 4 C m D m1 1 4 1 4 2 2011 南平调研 圆心在y轴上 半径为 1 且过点 1 2 的圆的方程是 A x2 y 2 2 1 B x2 y 2 2 1 C x 1 2 y 3 2 1 D x2 y 3 2 1 3 点P 2 1 为圆 x 1 2 y2 25 的弦AB的中点 则直线AB的方程是 A x y 3 0 B 2x y 3 0 C x y 1 0 D 2x y 5 0 4 已知点 0 0 在圆 x2 y2 ax ay 2a2 a 1 0 外 则a的取值范围是 5 2011 安庆月考 过圆x2 y2 4 外一点P 4 2 作圆的切线 切点为A B 则 APB的外接圆方程为 2 探究点一 求圆的方程 例 1 求经过点A 2 4 且与直线l x 3y 26 0 相切于点B 8 6 的圆的方 程 变式迁移 1 根据下列条件 求圆的方程 1 与圆O x2 y2 4 相外切于点P 1 且半径为 4 的圆的方程 3 2 圆心在原点且圆周被直线 3x 4y 15 0 分成 1 2 两部分的圆的方程 探究点二 圆的几何性质的应用 例 2 2011 滁州模拟 已知圆x2 y2 x 6y m 0 和直线x 2y 3 0 交于P Q 两点 且OP OQ O为坐标原点 求该圆的圆心坐标及半径 变式迁移 2 如图 已知圆心坐标为 1 的圆M与x轴及直线y x分别相切于A B两点 另 33 一圆N与圆M外切且与x轴及直线y x分别相切于C D两点 3 1 求圆M和圆N的方程 2 过点B作直线MN的平行线l 求直线l被圆N截得的弦的长度 3 探究点三 与圆有关的最值问题 例 3 已知实数x y满足方程x2 y2 4x 1 0 1 求y x的最大值和最小值 2 求x2 y2的最大值和最小值 变式迁移 3 如果实数x y满足方程 x 3 2 y 3 2 6 求 的最大值与最小值 y x 1 求圆的标准方程就是求出圆心的坐标与圆的半径 借助弦心距 弦 半径之间的关 系计算可大大简化计算的过程与难度 2 点与圆的位置关系有三种情形 点在圆内 点在圆上 点在圆外 其判断方法是看 点到圆心的距离d与圆半径r的关系 dr 时 点在圆外 3 本节主要的数学思想方法有 数形结合思想 方程思想 满分 75 分 一 选择题 每小题 5 分 共 25 分 4 1 2011 重庆 在圆x2 y2 2x 6y 0 内 过点E 0 1 的最长弦和最短弦分别为 AC和BD 则四边形ABCD的面积为 A 5 B 10 22 C 15 D 20 22 2 2011 合肥期末 方程x2 y2 ax 2ay 2a2 a 1 0 表示圆 则a的取值范围 是 A a B a 0 2 3 2 3 C 2 a 0 D 2 a0 D 2 E 2 D2 E2 4F 2 5 1 根据题意 选择标准方程或一般方程 2 根据条件列出关于 a b r 或 D E F 的方程组 3 解出 a b r 或 D E F 代入标准方程或一般方程 6 1 2 3 0 圆心坐标为 半径 r 1 2 3 5 2 方法二 如图所示 设弦 PQ 中点为 M O1M PQ kO1M 2 又圆心坐标为 1 2 3 O1M 的方程为 y 3 2 即 y 2x 4 x 1 2 由方程组Error 解得 M 的坐标为 1 2 则以 PQ 为直径的圆可设为 x 1 2 y 2 2 r2 OP OQ 点 O 在以 PQ 为直径的圆上 0 1 2 0 2 2 r2 即 r2 5 MQ2 r2 在Rt O1MQ 中 O1M2 MQ2 O1Q2 2 3 2 2 5 1 2 1 1 6 2 4m 4 m 3 半径为 圆心为 5 2 1 2 3 变式迁移 2 解 1 M 的坐标为 1 M 到 x 轴的距离为 1 即圆 M 的半径为 3 1 则圆 M 的方程为 x 2 y 1 2 1 3 设圆 N 的半径为 r 连接 MA NC OM 则 MA x 轴 NC x 轴 由题意知 M N 点都在 COD 的平分线上 O M N 三点共线 由Rt OAM Rt OCN 可知 8 OM ON MA NC 即 r 3 2 3 r 1 r 则 OC 3 则圆 N 的方程为 x 3 2 y 3 2 9 33 2 由对称性可知 所求的弦长等于过 A 点与 MN 平行的直线被圆 N 截得的弦的长度 此弦的方程是 y x 即 x y 0 3 3333 圆心 N 到该直线的距离 d 3 2 则弦长为 2 r2 d233 例 3 解题导引 与圆有关的最值问题 常见的有以下几种类型 1 形如 形式的最值问题 可转化为动直线斜率的最值问题 2 形如 y b x a t ax by 形式的最值问题 可转化为动直线截距的最值问题 3 形如 x a 2 y b 2 形式的最值问题 可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题 解 1 y x 可看作是直线 y x b 在 y 轴上的截距 当直线 y x b 与圆相切时 纵截距 b 取得最大值或最小值 此时 解得 b 2 2 0 b 236 所以 y x 的最大值为 2 最小值为 2 66 2 x2 y2表示圆上的一点与原点距离的平方 由平面几何知识知 在原点与圆心连线 与圆的两个交点处取得最大值和最小值 又圆心到原点的距离为 2 2 0 2 0 0 2 所以 x2 y2的最大值是 2 2 7 4 33 x2 y2的最小值是 2 2 7 4 33 变式迁移 3 解 设 P x y 则 P 点的轨迹就是已知圆 C x 3 2 y 3 2 6 而 的几何意义就是直线 OP 的斜率 y x 设 k 则直线 OP 的方程为 y kx y x 当直线 OP 与圆相切时 斜率取最值 因为点 C 到直线 y kx 的距离 d 3k 3 k2 1 所以当 3k 3 k2 16 即 k 3 2时 直线 OP 与圆相切 2 即 的最大值为 3 2 最小值为 3 2 y x22 课后练习区 1 B 圆的方程化为标准形式为 x 1 2 y 3 2 10 由圆的性质可知最长弦 AC 2 最短弦 BD 恰以 E 0 1 为中心 设点 F 为其圆心 坐标为 1 3 10 故 EF BD 2 2 510 5 25 S四边形 ABCD AC BD 10 1 22 2 D 3 A 4 B 5 A 6 x 1 2 y2 2 7 x 2 2 y 1 2 2 8 0 9 解 1 AB 的中垂线方程为 3x 2y 15 0 由Error 解得Error 3 分 圆心为 C 7 3 又 CB 65 故所求圆的方程为 x 7 2 y 3 2 65 6 分 2 设圆的方程为 x2 y2 Dx Ey F 0 将 P Q 点的坐标分别代入得Error Error 9 8 分 又令 y 0 得 x2 Dx F 0 由 x1 x2 6 有 D2 4F 36 由 解得 D 2 E 4 F 8 或 D 6 E 8 F 0 故所求圆的方程为 x2 y2 2x 4y 8 0 或 x2 y2 6x 8y 0 12 分 10 解 1 设 t x y 则 y x t t 可视为直线 y x t 的纵截距 所以 x y 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值 即直线与 圆相切时的纵截距 由直线与圆相切 得圆心到直线的距离等于半径 即 1 解得 t 1 或 t 1 2 3 t 222 所以 x y 的最大值为 1 2 最小值为 1 4 分 2 2 可视为点 x y 与原点连线的斜率 的最大值和最小值就是过原点的直线与该圆 y x y x 有公共点时斜率的最大值和最小值 即直线与圆相切时的斜率 设过原点的直线方程为 y kx 由直线与圆相切 得圆心到直线的距离等于半径 即 1 2k 3 1 k2 解得 k 2 或 k 2 2 3 3 2 3 3 所以 的最大值为 2 y x 2 3 3 最小值为 2 8 分 2 3 3 3 x2 y2 2x 4y 5 即 其最值可视为点 x y 到定点 1 2 的距离的最值 x 1 2 y 2 2 可转化为圆心 2 3 到定点 1 2 的距离与半径的和或差 又因为圆心到定点 1 2 的距离为 所以的最大值为 34x2 y2 2x 4y 5 1 最小值为 1 12 分 3434 11 解 建立如图所示的坐标系 设该圆拱所在圆的方程为 x2 y2 Dx Ey F 0 由于圆心在 y 轴上 所以 D 0 那么方程即为 x2 y2 Ey F 0 3 分 下面用待定系数法来确定 E F 的值 因为 P B 都在圆