【备战2013年】历届高考数学真题汇编专题4 数列 理（2007-2012）

用心 爱心 专心 1 2012 2012 高考试题高考试题 一 选择题 1 2012 高考真题重庆理 1 在等差数列中 则的前 5 项和 n a1 2 a5 4 a n a 5 S A 7 B 15 C 20 D 25 2 2012 高考真题浙江理 7 设是公差为 d d 0 的无穷等差数列 an 的前 n 项和 n S 则下列命题错误的是 A 若 d 0 则数列 Sn 有最大项 B 若数列 Sn 有最大项 则 d 0 C 若数列 Sn 是递增数列 则对任意 均有 Nn 0 n S D 若对任意 均有 则数列 Sn 是递增数列 Nn 0 n S 3 2012 高考真题新课标理 5 已知 n a为等比数列 56 8a a 则 47 2aa 110 aa A7 B5 C D 答案 D 解析 因为为等比数列 所以 又 所以 n a8 7465 aaaa2 74 aa 或 若 解得 24 74 aa 42 74 aa 24 74 aa 18 101 aa 用心 爱心 专心 2 若 解得 仍有 综上选7 101 aa42 74 aa 18 110 aa 7 101 aa D 4 2012 高考真题上海理 18 设 在 25 sin 1 n n an nn aaaS 21 中 正数的个数是 10021 SSS A 25 B 50 C 75 D 100 5 2012 高考真题辽宁理 6 在等差数列 an 中 已知a4 a8 16 则该数列前 11 项和S11 A 58 B 88 C 143 D 176 答案答案 B 解析解析 在等差数列中 答案为 B 111 1114811 11 16 88 2 aa aaaas 6 2012 高考真题四川理 12 设函数 是公差为的等差数列 2cosf xxx n a 8 则 125 5f af af a 51 2 3 aaaf A B C D 0 2 1 16 2 1 8 2 13 16 7 2012 高考真题湖北理 7 定义在 0 0 上的函数 f x 如果对于任意给定的等 用心 爱心 专心 3 比数列 n a n f a仍是等比数列 则称 f x为 保等比数列函数 现有定义在 0 0 上的如下函数 2 f xx 2xf x f xx ln f xx 则其中是 保等比数列函数 的 f x的序号为 A B C D 8 2012 高考真题福建理 2 等差数列 an 中 a1 a5 10 a4 7 则数列 an 的公差为 A 1 B 2 C 3 D 4 答案 B 解析 由等差中项的性质知 又 故选 B 5 2 51 3 aa a2 7 344 aada 9 2012 高考真题安徽理 4 公比为等比数列的各项都是正数 且 则 3 2 n a 311 16a a 162 log a A4 B5 C D 答案 B 解析 29 31177167216 1616432log5a aaaaaqa 10 2012 高考真题全国卷理 5 已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn a5 5 S5 15 则数列 的前 100 项和为 A B C D 100 101 99 101 99 100 101 100 用心 爱心 专心 4 答案 A 二 填空题 11 2012 高考真题浙江理 13 设公比为 q q 0 的等比数列 an 的前 n 项和为 Sn 若 S2 3a2 2 S4 3a4 2 则 q 答案 3 2 解析 将 两个式子全部转化成用 q表示的式子 22 32Sa 44 32Sa 1 a 即 两式作差得 即 111 233 11111 32 32 aa qa q aa qa qa qa q 232 111 3 1 a qa qa q q 解之得 舍去 2 230qq 3 1 2 qq或 12 2012 高考真题四川理 16 记为不超过实数的最大整数 例如 xx 2 2 设为正整数 数列满足 1 5 1 0 3 1 a n x 1 xa 现有下列命题 1 2 n n n a x x xnN 当时 数列的前 3 项依次为 5 3 2 5a n x 对数列都存在正整数 当时总有 n xknk nk xx 当时 1n 1 n xa 对某个正整数 若 则 k 1kk xx n xa 其中的真命题有 写出所有真命题的编号 答案 解析 当时 故 正确 同样验证5a 1 5xa 2 5 5 5 3 2 x 3 5 3 3 2 2 x 用心 爱心 专心 5 可得 正确 错误 13 2012 高考真题新课标理 16 数列满足 则的前项 n a 1 1 21 n nn aan n a60 和为 14 2012 高考真题辽宁理 14 已知等比数列 an 为递增数列 且 则数列 an 的通项公式an 2 51021 2 5 nnn aaaaa 答案答案 2n 解析解析 2429 510111 n n aaa qa qaqaq 22 21 1 2 5 2 1 5 2 1 5 2 2 2 n nnnnnn aaaaqa qqqqqa 解得或舍去 15 2012 高考真题江西理 12 设数列 an bn 都是等差数列 若 7 11 ba 则 21 33 ba 55 ba 答案 35 解析 设数列的公差分别为 则由 得 nn babd 21 33 ba21 2 11 dbba 即 所以 14721 2 db7 db 所以 35747 4 1155 dbbaba 用心 爱心 专心 6 16 2012 高考真题北京理 10 已知等差数列为其前 n 项和 若 n a n S 2 1 1 a 32 aS 则 2 a 18 2012 高考真题重庆理 12 nnn n 5 1 lim 2 答案 5 2 解析 5 5 5 lim 5 1 lim 22 2 2 nnnnnn nnn nnn nn 5 2 5 11 5 1 5 1 lim 5 5 lim 2 n n nnn nn 19 2012 高考真题上海理 6 有一列正方体 棱长组成以 1 为首项 为公比的等比数列 2 1 体积分别记为 则 n VVV 21 lim 21n n VVV 答案 7 8 解析 由题意可知 该列正方体的体积构成以 1 为首项 为公比的等比数列 8 1 1 V 2 V n V 8 1 1 8 1 1 n 8 1 1 7 8 n lim 21n n VVV 7 8 用心 爱心 专心 7 20 2012 高考真题福建理 14 数列 an 的通项公式 前 n 项和为 Sn 则 S2012 三 解答题 21 2012 高考江苏 20 1616 分 分 已知各项均为正数的两个数列和满足 n a n b 22 1 nn nn n ba ba a Nn 1 设 求证 数列是等差数列 n n n a b b 1 1 Nn 2 n n b a 2 设 且是等比数列 求和的值 n n n a b b 2 1 Nn n a 1 a 1 b 答案答案 解 1 n n n a b b 1 1 1 1 222 1 nnn n nn n n abb a ab b a 2 1 1 1 nn nn bb aa 2 2222 1 1 11 nnnn nnnn bbbb nN aaaa 数列是以 1 为公差的等差数列 2 n n b a 2 00 nn a b 2 2 22 2 nn nnnn ab ab ab 1 22 12 nn n nn ab 0q 1q 用心 爱心 专心 8 若则 当时 与 矛盾 1 q 2 12 2 a a a 11 2 n n aa q 解析解析 1 根据题设和 求出 从而 22 1 nn nn n ba ba a n n n a b b 1 1 2 1 1 1 nn nn bb aa 证明而得证 22 1 1 1 nn nn bb aa 2 根据基本不等式得到 用反证法证明等比数列 1 22 12 nn n nn ab k 时 都成立 n S 2 knknkn SSSS 用心 爱心 专心 35 1 设 M 1 求的值 2 2 a 5 a 2 设 M 3 4 求数列的通项公式 n a 2 由题意 333444 3 2 1 4 2 2 nnnnnn nSSSSnSSSS 42135314 4 2 3 5 2 4 nnnnnn nSSSSnSSSS 当时 由 1 2 得 5n 434 2 5 nn aaa 由 3 4 得 524 2 6 nn aaa 由 1 3 得 421 2 7 nnn aaa 由 2 4 得 531 2 8 nnn aaa 由 7 8 知 成等差 成等差 设公差分别为 412 nnn aaa 513 nnn aaa 12 d d 由 5 6 得 532442421541 222 9 222 10 nnnnnn aadaadaadaad 由 9 10 得 成 54214122321 2 nnnn aaddaddaadd a 2 n n 等差 设公差为 d 在 1 2 中分别取 n 4 n 5 得 12122 2 6a152 255 452 adaadad 即 12122 28282 279 351aadaadad 即 2 3 2 21 n adan 2222 2011 2011 年高考江苏卷年高考江苏卷 23 23 本小题满分 本小题满分 1010 分 分 设整数设整数 是平面直角坐标系是平面直角坐标系中的点 其中中的点 其中4n P a bxOy 用心 爱心 专心 36 1 2 3 a bnab 1 1 记 记为满足为满足的点的点的个数 求的个数 求 n A3ab P n A 2 2 记 记为满足为满足是整数的点是整数的点的个数 求的个数 求 n B 1 3 ab P n B 23 2011 2011 年高考北京卷理科年高考北京卷理科 20 20 本小题共 13 分 若数列满足 数列为数列 12 2 nn Aa aa n 11 1 1 2 1 n aakn n AE 记 n S A 12 n aaa 写出一个满足 且 0 的数列 1 0 s aa s S AE n A 若 n 2000 证明 E 数列是递增数列的充要条件是 2011 1 12a n A n a 对任意给定的整数 n n 2 是否存在首项为 0 的 E 数列 使得 0 n A n S A 如果存在 写出一个满足条件的 E 数列 如果不存在 说明理由 n A 解 0 1 2 1 0 是一具满足条件的 E 数列 A5 答案不唯一 0 1 0 1 0 也是一个满足条件的 E 的数列 A5 必要性 因为 E 数列 A5是递增数列 用心 爱心 专心 37 所以 1999 2 1 1 1 kaa kk 1 2 1 1 1 2 1 121 n cncnc nn 因为 1 1 1 1 nkcc kk 为偶数所以 所以为偶数 1 2 1 1 1 21n cncnc 所以要使为偶数 2 1 0 nn AS n 必须使 即 4 整除 144 1 Nmmnmnnn 或亦即 当 1 0 14 241414 kkkn aaaAENmmn的项满足数列时 1 4 k a 用心 爱心 专心 38 时 有 2 1 mk 0 0 1 n ASa 0 0 0 2 1 1 1144 nkk ASaamka有时 当的项满足 n AENmmn数列时 14 1 0 243314 kkk aaa 当不能被 4 整除 此时不存在 E 数 1 3424 mnNmmnmn时或 列 An 使得 0 0 1 n ASa 24 2011 2011 年高考福建卷理科年高考福建卷理科 16 16 本小题满分 13 分 已知等比数列 an 的公比 q 3 前 3 项和 S3 13 3 I 求数列 an 的通项公式 II 若函数在处取得最大值 且最 sin 2 0 0 f xAxAp 6 x 大值为 a3 求函数 f x 的解析式 25 2011 2011 年高考上海卷理科年高考上海卷理科 22 22 18 分 已知数列和的通项公式分别为 n a n b 将集合36 n an 27 n bn nN 用心 爱心 专心 39 中的元素从小到大依次排列 构成数列 nn x xa nNx xb nN 123 n c c cc 1 求 1234 c c c c 2 求证 在数列中 但不在数列中的项恰为 n c n b 242 n a aa 3 求数列的通项公式 n c 2010 2010 年高考试题年高考试题 20102010 浙江理数 浙江理数 3 设为等比数列的前项和 则 n S n an 25 80aa 5 2 S S A 11 B 5 C D 8 11 解析 解析 通过 设公比为 将该式转化为 解得 2 25 80aa q08 3 22 qaaq 带入所求式可知答案选 D 本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前 n 项和 公式 属中档题 用心 爱心 专心 40 20102010 全国卷全国卷 2 2 理数 理数 4 如果等差数列 n a中 345 12aaa 那么 127 aaa A 14 B 21 C 28 D 35 201201 0 0 辽宁理数 辽宁理数 6 设 an 是有正数组成的等比数列 为其前 n 项和 已知 a2a4 1 n S 3 7S 则 5 S A B C D 15 2 31 4 33 4 17 2 答案 B 命题立意 本题考查了等比数列的通项公式与前 n 项和公式 考查了同学们解决问 题的能力 解析 由 a2a4 1 可得 因此 又因为 联 24 1 1a q 1 2 1 a q 2 31 1 7Saqq 力两式有 所以 q 所以 故选 B 11 3 2 0 qq 1 2 5 5 1 4 1 31 2 1 4 1 2 S 20102010 江西理数 江西理数 5 等比数列中 4 函数 n a 1 2a 8 a 则 128 f xx xaxaxa 0f A B C D 6 2 9 2 12 2 15 2 答案 C 解析 考查多项式函数的导数公式 重点考查学生创新意识 综合与灵活地应用所学的数 学知识 思想和方法 考虑到求导中 含有 x 项均取 0 则只与函数的一次项有 0f f x 关 得 412 123818 2a aaaa a 用心 爱心 专心 41 20102010 江西理数 江西理数 4 2 111 lim 1 333n x A 5 3 B 3 2 C 2 D 不存在 答案 B 解析 考查等比数列求和与极限知识 解法一 先求和 然后对和取极限 1 1 3 3 lim 1 2 1 3 n n 20102010 重庆理数 重庆理数 1 在等比数列中 则公比 q 的值为 n a 20102007 8aa A 2 B 3 C 4 D 8 解析 8 3 2007 2010 q a a 2 q 20102010 四川理数 四川理数 8 已知数列的首项 其前项的和为 且 n a 1 0a n n S 则 11 2 nn SSa lim n n n a S A 0 B C 1 D 2 1 2 20102010 天津理数 天津理数 6 已知是首项为 1 的等比数列 是的前 n 项和 且 n a n s n a 则数列的前 5 项和为 36 9ss 1 n a 用心 爱心 专心 42 A 或 5 B 或 5 C D 15 8 31 16 31 16 15 8 答案 C 解析 本题主要考查等比数列前 n 项和公式及等比数列的性质 属于中等题 显然 q1 所以 所以是首项为 1 公比为的 36 3 9 1 q 1 12 1 q1 q qq q 1 n a 1 2 等比数列 前 5 项和 5 5 1 1 31 2 1 16 1 2 T 温馨提示 在进行等比数列运算时要注意约分 降低幂的次数 同时也要注意基本量 法的应用 20102010 广东理数 广东理数 4 已知为等比数列 Sn是它的前n项和 若 且与 n a 231 2aaa 4 a 2的等差中项为 则 7 a 5 4 5 S A 35 B 33 C 31 D 29 1 2010 安徽理数 10 设是任意等比数列 它的前项和 前项和与前项和分 n an2n3n 别为 则下列等式中恒成立的是 X Y Z A B 2XZY Y YXZ ZX C D 2 YXZ Y YXX ZX 答案 D 分析 取等比数列 令得代入验算 只有选项 D 满足 1 2 41n 1 3 7XYZ 用心 爱心 专心 43 方法技巧 对于含有较多字母的客观题 可以取满足条件的数字代替字母 代入验证 若 能排除 3 个选项 剩下唯一正确的就一定正确 若不能完全排除 可以取其他数字验证继续 排除 本题也可以首项 公比即项数 n 表示代入验证得结论 2010 湖北理数 7 如图 在半径为 r 的园内作内接正六边形 再作正六边 形的内切圆 又在此内切圆内作内接正六边形 如此无限继续下去 设为 n s 前 n 个圆的面积之和 则 lim n n s A 2 B C 4 D 6 2 r 8 3 2 r 2 r 2 r 20102010 福建理数 福建理数 3 设等差数列的前 n 项和为 若 则当 n a n S 1 11a 46 6aa 取最小值时 n 等于 n S A 6 B 7 C 8 D 9 答案 A 解析 设该数列的公差为 则 解得d 461 282 11 86aaadd 2d 所以 所以当时 取最小值 22 1 11212 6 36 2 n n n Snnnn 6n n S 命题意图 本题考查等差数列的通项公式以及前 n 项和公式的应用 考查二次函数最 用心 爱心 专心 44 值的求法及计算能力 20102010 辽宁理数 辽宁理数 16 已知数列满足则的最小值为 n a 11 33 2 nn aaan n a n 20102010 福建理数 福建理数 11 在等比数列中 若公比 且前 3 项之和等于 21 则该数列的通 n aq 4 项公式 n a 答案 n 1 4 解析 由题意知 解得 所以通项 111 41621aaa 1 1a n a n 1 4 命题意图 本题考查等比数列的通项公式与前 n 项和公式的应用 属基础题 3 20102010 江苏卷 江苏卷 8 函数 y x2 x 0 的图像在点 ak ak2 处的切线与 x 轴交点的横坐标为 ak 1 k为正整数 a1 16 则a1 a3 a5 解析 考查函数的切线方程 数列的通项 在点 ak ak2 处的切线方程为 当时 解得 2 2 kkk yaaxa 0y 2 k a x 所以 1135 164 121 2 k k a aaaa 20102010 江西理数 江西理数 22 本小题满分 14 分 证明以下命题 1 对任一正整 a 都存在整数 b c b1 设 n s 1 1 ab 22 a b nn a b n T 1 1 ab 22 a b 1 1 n nn a b n N 1 若 1 a 1 b 1 d 2 q 3 求 3 S 的值 用心 爱心 专心 66 2 若 1 b 1 证明 1 q 2n S 1 q 2n T 2 2 2 1 1 n dqq q n N 3 若正数 n 满足 2 n q 设 1212 12 nn k kkl ll和是 n 的两个不同的排列 12 112 n kkkn ca ba ba b 12 212 n llln ca ba ba b 证明 12 cc 本小题主要考查等差数列的通项公式 等比数列的通项公式与前 n 项和公式等基础知识 考 查运算能力 推理论证能力及综合分析和解决问题的能力的能力 满分 14 分 所以 222222 1 1 nnnnnn q Sq TSTq ST 321 2 2 2 2 1 1 n n d qqq dqq nN q K 证明 1122 1212 nn klklkln ccaa baabaab K 1 1112211 n nn kl dbkl dbqkl dbq K 用心 爱心 专心 67 因为 1 0 0 db 所以 1 12 1122 1 n nn cc klkl qkl q db K 若 nn kl 取 i n 若 nn kl 取 i 满足 ii kl 且 1 jj kl ijn 2008 2008 年高考试题年高考试题 4 2008 广东卷理 2 记等差数列的前项和为 若 则 n an n S 1 1 2 a 4 20S 6 S A 16 B 24 C 36 D 48 答案 D 解析 故2062 4 dS3 d48153 6 dS 7 2008 广东理 2 记等差数列 n a的前n项和为 n S 若 1 1 2 a 4 20S 则 6 S A 16B 24C 36D 48 答案 D 用心 爱心 专心 68 3 2008 海南宁夏卷理 17 已知数列是一个等差数列 且 n a 2 1a 5 5a 1 求的通项 n a n a 2 求前 n 项和的最大值 n a n S 解 设的公差为 由已知条件 解出 n ad 1 1 1 45 ad ad 1 3a 2d 所以 1 1 25 n aandn 2 1 1 4 2 n n n Snadnn 2 4 2 n 所以时 取到最大值 2n n S4 4 2008 山东理 19 文 20 将数列 an 中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如 下数表 a1 a2 a3 a4 a5 a6 用心 爱心 专心 69 a7 a8 a9 a10 记表中的第一列数 a1 a2 a4 a7 构成的数列为 bn b1 a1 1 Sn为数列 bn 的前n 项和 且满足 n Nn n SSb b 2 2 1 n 2 证明数列 n S 1 成等差数列 并求数列 bn 的通项公式 上表中 若从第三行起 每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列 且公比 为同一个正数 当 91 4 81 a时 求上表中第k k 3 行所有项和的和 解 设上表中从第三行起 每行的公比都为q 且q 0 因为 12 13 121278 2 所以表中第 1 行至第 12 行共含有数列 an 的前 78 项 故 a82在表中第 13 行第三列 因此 2 8213 4 91 abq A 又 13 2 13 14 b 所以 q 2 记表中第k k 3 行所有项的和为S 则 1 2 1 2 2 1 2 1 1 1 2 1 kk k k bq S qk kk k A k 3 点评 本题考查等差数列 等比数列的基本知识 考查数列求和及推理运算能力 用心 爱心 专心 70 5 2008 江苏卷 19 设 12 n a aa 是各项均不为零的等差数列 4n 且公差 0d 若将此数列删去某一项得到的数列 按原来的顺序 是等比数列 当 n 4 时 求 1 a d 的数值 求n的所有可能值 求证 对于一个给定的正整数 n n 4 存在一个各项及公差都不为零的等差数列 12 n b bb 其中任意三项 按原来顺序 都不能组成等比数列 当 n 5 时 12345 a a a a a 中同样不可能删去首项或末项 若删去 2 a 则有 15 a aA 34 a aA 即 1111 423aadadad AA 故得 1 a d 6 若删去 3 a 则 15 a aA 24 a aA 即 1111 43aadadad AA 化简得 3 2 d 0 因为 d 0 所以也不能删去 3 a 若删去 4 a 则有 15 a aA 23 a ag 即 1111 42aadadad gg 故得 1 a d 2 当 n 6 时 不存在这样的等差数列 事实上 在数列 1 a 2 a 3 a 2n a 1n a n a 中 由于不能删去首项或末项 若删去 2 a 则必有 1n a aA 32n a a A 这与 d 0 矛盾 同样 若删去 2n a 也有 1n a aA 32n a a A 这与 d 0 矛盾 若删去 3 a 2n a 中任意一个 则必 有 1n a aA 21n a a A 这与 d 0 矛盾 综上所述 n 4 5 点评 等差等比数列这部分内容主要考查公式的灵活应用 这是高考的热点 6 2008 广东卷 21 设pq 为实数 是方程 2 0 xpxq 的两个实根 数列 用心 爱心 专心 71 n x满足 1 xp 2 2 xpq 12nnn xpxqx 3 4n 1 证明 p q 2 求数列 n x的通项公式 3 若1p 1 4 q 求 n x的前n项和 n S 当 时 此时方程组 stp stq 的解记为 12 12 ss tt 或 112 nnnn xxxx 112 nnnn xxxx 即 11 nn xt x 21 nn xt x分别是公比为 1 s 2 s 的等比数列 由等比数列性质可得 2 121 n nn xxxx 2 121 n nn xxxx 两式相减 得 22 12121 nn n xxxxx 2 21 xpq xp 22 2 x 1 x 222 21 A nnn xx 222 21 A nnn xx 1 nn n x 即 1 nn n x 11 nn n x 当 时 即方程 2 0 xpxq 有重根 2 40 pq 即 2 40 stst 得 2 0 stst