八下数学各章节知识点总结

1 八年级下册数学各章节知识点总结八年级下册数学各章节知识点总结 第一章第一章 一元一次不等式和一元一次不等式组一元一次不等式和一元一次不等式组 一 不等关系 1 一般地 用符号 或 连接的式子叫做不等式不等式 种类符号实际意义读法举例 小于号 小于 不足小于2 3大于 高出大于3 3 5 小于或 等于号 不大于 不超过 至 多 小于或等于 不大于 x 8 大于或 等于号 不少于 不低于 至 少 大于或等于 不小于 x 5 不等号 不相等不等于4 5 2 区别方程与不等式 方程表示是相等的关系 不等式表示代数式之间的不相等的关系 列不等式的方法 从题目的问题出发从题目的问题出发 找出题目中涉及的各种量找出题目中涉及的各种量 分析它们的数量关分析它们的数量关 系 相等或不等关系 系 相等或不等关系 然后根据题意列出等式或不等式 解决问题 然后根据题意列出等式或不等式 解决问题 3 准确 翻译 不等式 正确理解 非负数 不小于 等数学术语 非负数 大于等于 0 0 0 和正数 不小于 0 非正数 小于等于 0 0 0 和负数 不大于 0 二 不等式的基本性质不等式的基本性质 1 掌握不等式的基本性质 并会灵活运用 1 不等式的两边加上不等式的两边加上 或减去或减去 同一个整式同一个整式 不等号的方向不变不等号的方向不变 即 如果 a b 那么 a c b c a c b c 2 不等式的两边都乘以不等式的两边都乘以 或除以或除以 同一个正数同一个正数 不等号的方向不变不等号的方向不变 即如果 a b 并且 c 0 那么 ac bc c b c a 3 不等式的两边都乘以不等式的两边都乘以 或除以或除以 同一个负数同一个负数 不等号的方向改变不等号的方向改变 即 如果 a b 并且 c 0 那么 acb 那么 a b 是正数 反过来 如果 a b 是正数 那么 a b 如果 a b 那么 a b 等于 0 反过来 如果 a b 等于 0 那么 a b 如果 a b 那么 a b 是负数 反过来 如果 a b 是负数 那么 ab a b 0 a b a b 0 a b a bx a x 或者或者 ab 或 ax0 时 解为 a b x 当 a 0 时 且 b 0 则 x 取一切实数 当 a 0 时 且 b 0 则无解 当 a0 或 4 kx b0 或 y0 或 kx b或 或 分情况求出相应的 x 的值 比较所得的结果 根据问 y1y2y1y2y1y2 题的要求作出判断 五 一元一次不等式组 1 定义 由含有一个相同未知数的几个一元一次不等式组成的不等式组 叫做一元一次不等一元一次不等 式组式组 至少含有两个不等式 2 一元一次不等式组中各个不等式解集的公共部分叫做不等式组的解集不等式组的解集 如果这些不等式 的解集无公共部分 就说这个不等式组无解 几个不等式解集的公共部分 通常是利用数轴来确定 3 解一元一次不等式组的步骤 1 分别求出不等式组中各个不等式的解集 2 利用数轴求出这些解集的公共部分 即这个不等式组的解集 两个一元一次不等式组的解集的四种情况 a b 为实数 且 a b 5 一元一次不 等式 ab ba 两大取较大 bx ax x a b a 两小取小 bx ax a x b b a 大小交叉中间夹 bx ax 无解 b a 大小分离没有解 是空集 6 第二章第二章 分解因式分解因式 一 分解因式 1 把一个多项式化成几个整式相乘的形式 这种变形叫做把这个多项式分解因式把这个多项式分解因式 分解因式必须是对多项式而言 单项式不能分解因式 分解因式一直分解到每个因式都不能再分解为止 若一个多项式不能直接分解因式 就要先变形 以便于多项式进一步分解 2 因式分解与整式乘法是互逆关系 因式分解与整式乘法的区别和联系 1 整式乘法是把几个整式相乘 化为一个多项式 2 分解因式是把一个多项式化为几个因式相乘的形式 二 提公共因式法 公因式 我们把多项式各项都含有的因式叫做多项式的公因式 提公共因式法的理论根据是乘法分配律 1 如果一个多项式的各项含有公因式 那么就可以把这个公因式提出来 从而将多项式化成 两个因式乘积的形式 这种分解因式的方法叫做提公因式法提公因式法 如 cbaacab 2 提取公因式的方法 1 找系数 取多项式中各项系数中的最大公约数 2 找字母 应 取各项都含有的字母 并取相同字母的最低次幂 他们的积就是公因式 3 注意 提出公因式一定要提提出公因式一定要提 干净干净 1 当首项为负时 一般要提出负号 此时括号内各项英改变符号 2 如果多项式中有同类项一定要合并 这时若有公因式 要提出来 3 不能漏项 提出公因式之后 每一项都有剩余部分 某一项若被全部提出后 则剩下 的项应是 1 4 公因式可能是单项式 也可能是多项式 5 要注意隐含的公因式 比如通过适当的变形就能发现 a a b b b a 由于 a b b a 所以公因式是 a b 7 三 运用公式法 1 如果把乘法公式反过来 就可以用来把某些多项式分解因式 这种分解因式的方法叫做运运 用公式法用公式法 2 主要公式 1 平方差公式平方差公式 ba baba 22 22 baba ba 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积 2 完全平方公式完全平方公式 222 2bababa 222 2bababa 两个数的平方和加上 减去 这两个数的积的 2 倍等于这两数的和 或差 的平方 3 因式分解要分解到底 如就没有分解到底 222244 yxyxyx 再比如 1 2 3 4 44 2 x xa 2 161 1 44 2 x x y x xy 2 2 4 运用公式法 1 平方差公式 应是二项式或者视作二项式的多项式 二项式的每项都可以表示是成 平方的形式 二项是异号的 2 完全平方公式 应是三项式 其中两项是同号的 并且是平方的形式 剩下的一项必须是两平方项的底数乘积的 2 倍 5 因式分解的思路与解题步骤 1 先看各项有没有公因式 若有 则先提取公因式 2 再看能否使用公式法 3 用分组分解法 即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的 4 因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积 否则不是因式分解 5 因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止 四 分组分解法 1 分组分解法 利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法分组分解法 如 nmbanmbnmabnbmanam 2 分组分解法的关键是如何分组 要保证通过分组之后有公因式可提 方便于分解因式 3 注意 分组时一定要注意符号的变化 8 五 十字相乘法 1 如果一个二次三项式 将 a 和 c 分别可以分解成两个因数的乘积 cbxax 2 21 aaa 并且满足 往往写成 c2 a2 c1a1 的形式 那么二次三项式可以分解 21 ccc 1221 cacab 为 2211 2 cxacxacbxax 2 二次三项式 可以分解 qpxx 2 abqbap 2 bxaxqpxx 3 理解规律 1 理解 把分解因式时 如果常数项 q 是正数 那么把它分解成两个同号的因数 qpxx 2 它们的符号与一次项系数 p 的符号相同 2 如果常数项 q 是负数 那么把它分解成两个异号因数 其中绝对值较大的因数与一次项系 数 p 的符号相同 对于分解得到的两个因数 还要看它们的和是不是等于一次项系数 p 4 注意 1 用十字相乘法时分解系数要时要反复验证 2 分解时要将分解得到的式子还原 检验分解的结果是否正确 b a 1 1 9 第三章第三章 分式分式 一 分式 1 两个整数不能整除时 出现了分数 类似地 当两个整式不能整除时 就出现了分式 整式 A 除以整式 B 可以表示成的形式 如果除式 B 中含有字母 那么称为分式分式 对于 B A B A 任意一个分式 分母都不能为零 形如 A B 是整式 且 B 中含有字母 B0 的式子叫做分式分式 其中 A 叫做分式的 B A 分子 B 叫做分式的分母 1 分母中含有字母的是分母 2 分母中不含字母的是整式 3 当分母的值不等于 0 即 B0 时 分式有意义 B A 4 当分式的分子等于 0 且分母不等于 0 时 分式的值等于 0 2 整式和分式统称为有理式 即有 分式 整式 有理式 3 分数的基本性质分数的基本性质 与分数的基本性质类似 分式的分子与分母都乘以 或除以 同一个不等于零的整式 分式的值不变 0 M MB MA B A MB MA B A 4 约分 约分 如果一个分式的分子和分母含有公因式 那么可以把这个分式的分子和分母同事 除以公因式 也就是把分子和分母中的公因式约去 这个过程叫做约分 1 约分的理论根据是分式的基本性质 2 当分子和分母没有公因式时 这样的分式叫做最简分式 化简分式通常是化成最简 分式或者整式 二 分式的乘除法 分式的乘除法 1 分式乘以分式分式乘以分式 把分子相乘的积做积的分子 把分母相乘的积做积的分母 2 分式除以分式分式除以分式 把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘 即 bd ac d c b a cb da c d b a d c b a 3 分式乘方 分式乘方 把分子 分母分别乘方 即 为正整数n b a b a n n n 逆向运用 当 n 为整数时 仍然有成立 n n n b a b a n n n b a b a 10 4 分式的乘除混合运算分式的乘除混合运算 类比分数的乘除混合运算可以统一为乘法运算 然后约分再相乘 并把结果整理为一个最简分式 如果有括号 那么先计算括号里的 三 分式的加减法分式的加减法 1 通分通分 分式与分数类似 也可以通分 根据分式的基本性质 把几个异分母的分式化成同 分母的分式的过程叫做分式的通分分式的通分 通分后的分式要与原来的分式相等 通分的关键是确定最简分母 找最简公分母是通分的关键 1 取各分母系数的最小公 倍数作为最简公分母的系数 2 取相同字母的最高次幂作为最简公分母的一个因式 3 只在一个分式的分母中出现的字母连同其指数作为最简公分母的一个因式 4 如果 分母是多项式 则首先对多项式进行因式分解 2 分式的加减法 分式的加减法 分式的加减法与分数的加减法一样 分为同分母的分式相加减和异分母的分式相加减 1 同分母的分式相加减 同分母的分式相加减 分母不变 把分子相加减 表达式为 c ba c b c a 同分母的分式相减时 减式的分式是多项式时要加括号 2 异号分母的分式相加减 异号分母的分式相加减 先通分 化为同分母的分式 然后再相加减 表达式为 bd bcad bd bc bd ad d c b a 整式可以看成分母是 1 的分式进行通分 3 分式的混合运算分式的混合运算 与分数的混合运算一样 其运算顺序是先乘除后加减 有括号先计 算括号里的再计算括号外的 结果要是最简分式或整式 有理数的运算定律也适用于分式 四 分式方程 1 定义 分母中含有未知数的方程是分式方程分式方程 所以判断一个方程是不是分式方程 关键 是看分母中有没有未知数 分式方程的增根分式方程的增根是使分式方程中分式分母为 0 的根 因为我们 把分式方程化成整式方程就会产生增根 2 解分式方程的一般步骤 在方程的两边都乘以最简公分母 约去分母 化成整式方程 解这个整式方程 检验所求的解 把整式方程的根代入所乘的最简公分母 若结果不是零 则是原方程的根 若结果是零 则为原方程的增根 必须舍去 2 列分式方程解应用题的一般步骤 审清题意 设未知数 根据题意找相等关系 列出 分式 方程 11 解这个方程 并检验方程的解是否符合题意 写出答案 第四章第四章 相似图形相似图形 一 线段的比线段的比 1 如果选用同一个长度单位量得两条线段 AB CD 的长度分别是 m n 那么就说这两条线 段的比 AB CD m n 或写成 期中 AB CD 分别叫做这个线段比的前项和后项 n m B A 2 四条线段 a b c d 中 如果 a 与 b 的比等于 c 与 d 的比 即 或 d c b a dcba 那么这四条线段 a b c d 叫做成比例线段成比例线段 简称比例线段 3 注意点 线段的比是没有单位的实数 比与所选线段的长度单位无关 求出时两条 线段的长度单位要一致 四条线段成比例时 一定要将这四条线段按照顺序列出 判 断四条线段是否成比例 只要把四条线段按照顺序排列好 判断前两条之比是否等于后两 条之比 式子中 a d 叫做外项 b c 叫做内项 d 称作 a b c 的第四比例项 如果两 d c b a 内项相同 即 b 就叫做 b d 的比例中项 d b b a 4 比例的性质 1 基本性质基本性质 若 则 ad bc d c b a 若 ad bc 其中 a b c d 都不等于 0 则 d c b a 2 合比的性质合比的性质 由这个两个等式可以得 d c b a d dc b ba d dc b ba 出 dc dc ba ba 3 等比性质 等比性质 如果 那么 0 nfdb n m f e d c b a b a nfdb meca 例题 已知 试求 k 的值 分 a b c 0 或者不等于零 k ba c ca b cb a 12 二 黄金分割黄金分割 1 如图 1 点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC 如果 那么称线段 AB 被点 C AC BC AB AC 黄金分割 点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点 AC 与 AB 的比叫做黄金比黄金比 1 618 0 2 15 ABAC AB AC 2 黄金分割点是最优美 最令人赏心悦目的点 3 已知线段 AB 求其黄金分割点 黄金分割点的画法 1 经过点 B 作 BDAB 使 BD 2 连接 AD 在 AD 上截取 2 1 AB DE BD 3 在 AB 上截取 AC AE 点 C 即为那段 AB 的黄金分割点 三 形状相同的图形 形状相同的图形 实际上就是形状相同 大小 位置不一定相同的图形 全等图形是一种 特殊的形状相同的图形 四 相似三角形 1 在相似多边形中 最为简单的就是相似三角形 2 三个角对应相等 三条边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形相似三角形 相似三角形对应边的比叫做相似比相似比 比例尺比例尺是长度之比 而不是面积之比 3 全等三角形是相似三角形的特例 这时相似比等于 1 注意 1 对应性 两个三角形相似是 通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上 2 顺序性 相似三角形的相似比是有顺序的 比如 它们的相 CBA ABC 似比是 k 则 而 k AB BA kAB BA 1 3 传递性 31322 1 则 若 4 特殊性 当两个相似三角形的相似比是 1 时 这两个三角形全等 二者的区别是全等 图 1 B C A 13 三角形要求对应边相等 而相似三角形要求对应边成比例 4 相似三角形的性质 相似三角形的对应角相等 对应边成比例 对应线段的比等于相似比相似三角形的对应角相等 对应边成比例 对应线段的比等于相似比 比如高 中线 角平分线等 1 相似三角形对应高的比 对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比 2 相似三角形周长的比等于相似比 3 相似三角形面积的比等于相似比的平方 4 已知两个三角形相似 若其中一个是直角三角形 则另一个一定是直角三角形 五 探索三角形相似的条件 1 相似三角形的判定方法相似三角形的判定方法 证两个三角形相似与证两个三角形全等一样 1 定义法 对应角相等 对应边成比例的两个三角形相似 2 判定方法 1 两角对应相等的两个三角形相似 3 判定方法 2 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 4 判定方法 3 三边对应成比例的两个三角形相似 5 仅两边成比例 一对角相等的两个三角形不一定相似 2 判定直角三角形相似 除了以上方法外 还有以下方法 一个锐角对应相等 两条边对应成比例 a 两直角边对应成比例 b 斜边和一直角边对应成比例 3 相似三角形的判定方法的应用 1 可以用来判断两个三角形相似 2 可以间接证明角相等 线段成比例 3 间接地为计算线段长度及角的大小创造条件 4 把握基本图形 1 平行放缩型 14 这样的两个三角形相似 2 重叠放缩型 这样的两个三角形相似 3 母子三角形 这样的三个三角形相似 5 平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线三条平行线截两条直线 所得的对应线段成比例所得的对应线段成比例 如图 2 l1 l2 l3 则 EF BC DE AB EF DE BC AB 6 平行于三角形一边的直线与其他两边平行于三角形一边的直线与其他两边 或两边的延长线或两边的延长线 相交相交 所得到的三角形与原三角形所得到的三角形与原三角形 相似相似 图 2 F E D C B A l 3 l 2 l 1 15 六 测量旗杆高度的方法 都是运用三角形相似得出线段的比例 1 利用太阳光下的影子测量旗杆的高度 由于太阳的体积很大 所以可以把太阳光看成 是平行光线 在同一时刻的太阳光下 根据 已知物体的影长 已知物体高度 其影子的长度 被测物体实际高度 这个 可以计算出旗杆的高度 测量出人高 AB 人影 BE 物影 BD 就能求得 CD 2 利用标杆测量旗杆的高度 测量出人高 AB 标杆 EF 人与杆的距离 AM 杆与 物的距离 MN 根据 EM EF AB 就能求出 CN 则 CD CN AB CN EM AN AM 3 利用镜子的反射测量旗杆的高度 根据 得出 再测得CDEABE DE BE CD AB AB BE DE 的长度 就能计算出 CD 的高度 16 七 相似多边形 1 一般地 形状相同的图形称为相似图形相似图形 2 各角对应相等 各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形相似多边形 相似多边形对应边的比 叫做相似比相似比 3 注意 1 相似多边形的条件缺一不可 只有各角对应相等 各边对应成比例 才是相似多边 形 2 读作 相似于 在写两个多边形相似时 对应的点要写在对应的位置上 4 相似多边形的性质 1 相似多边形的对应角相等 对应边成比例 2 相似多边形的周长等于相似比 面积比等于相似比的平方 3 相似多边形对应对角线的比等于相似比 4 相似多边形被对角线分成的对应三角形相似 相似比等于相似多边形的相似比 八 图形的放大与缩小 1 如果两个图形不仅是相似图形 而且对应点的连线都经过同一个点 那么这样的两个图形 叫做位似图形位似图形 这个点叫做位似中心位似中心 这时的相似比又称为位似比位似比 2 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比位似比 3 位似图形的画法 位似图形的画法 1 确定位似中心 确定位似中心 2 确定原图形的关健点 是多边形的顶点 确定原图形的关健点 是多边形的顶点 3 确定位似比 确定位似比 4 找出新图形的对应关健点 找出新图形的对应关健点 4 位似变换 变换后的图形 不仅与原图相似 而且对应顶点的连线相交于一点 并且对应点到这一交点 的距离成比例 像这种特殊的相似变换叫做位似变换位似变换 这个交点叫做位似中心位似中心 一个图形经过位似变换后得到另一个图形 这两个图形就叫做位似形位似形 利用位似的方法利用位似的方法 可以把一个图形放大或缩小可以把一个图形放大或缩小 17 第五章第五章 数据的收集与处理数据的收集与处理 一 总体 个体 样本是统计学中三个重要的概念 1 总体 所要考察的对象的全体叫做总体总体 2 个体 把组成总体的每一个考察对象叫做个体个体 3 样本 从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本样本 样本中个体的个数叫做样本的容量容量 二 收集数据 1 了解普查和抽样调查 调查方式的选择 调查方式调查方式定义定义优点优点缺点缺点 普查普查 为一定目的而对所 有考察对象进行的 全面调查 可以直接获得总体的 情况 得到的信息较 全面 可靠 工作量大 易受客 观条件限制 有时 具有破坏性 抽样调查抽样调查 从总体中抽取部分 个体进行的调查 所调查的对象应所调查的对象应 是是随机抽取随机抽取的 并的 并 且且有代表性有代表性 个数 个数 不能太少 数据不能太少 数据要要 真实真实 调查范围小 节省时 间 人力 物力和财 力 不如普查得到的 结果准确 得到的 只是估计值 而估 计值是否接近实际 情况还取决于样本 选得是否有代表性 2 收集数据的的方式 3 收集数据的一般过程 收集数据的一般过程 1 明确调查目的 确定调查的对象 2 选择合适的调查方式 应结合实际情况确定是采用普查还是抽样调查 3 展开调查活动 收集数据 普查 抽样调查 18 4 处理数据 由于收集的数据比较乱 为了便于分析 可采用条形图 折线图 扇形 图和统计表等形式对数据进行处理 5 分析数据得出结论 6 对相应的未知事件作出合理的推测和预测 3 极差 方差 标准差 极差 方差 标准差 极差 方差 标准差是刻画数据离散程度 即波动大小 的统计量 1 极差极差是一组数据中最大值与最小值的差 极差 最大值 最小值 2 方差方差 在一组数据中 各数据与它们的平均数的差的平方的平均 xxx n 21x 数 叫做这组数据的方差 用表示 s 2 222 2 21 1 x x x x x x s n n 3 标准差标准差 标准差是衡量一组数据稳定性的重要量 它等于方差的算术平方根 222 21 1 x x x x x x n n s 4 方差的运用 1 方差越小 数据波动越小 2 一般可以用样本的方差来估计 总体的方差 四 频数与频率 1 频数是指每个考察对象出现的次数 频率是每个考察对象出现的次数与总次数的比值 频数是指每个考察对象出现的次数 频率是每个考察对象出现的次数与总次数的比值 2 注意以下问题 1 频数和频率能反应每个对象出现的频繁程度 2 数据总数 某个对象出现的频数 频率 3 所有对象的频率之和等于总次数 各个对象的频率之和等于 1 3 画频率直方图 1 计算极差 2 确定组距 组数 组距 极差 3 确定分点 要精确到数据的下一位 4 列频数分布表 一般包括分组 频数累计和频数这三项 19 5 画频率直方图 每个小长方形的高与这组数据的频数成正比例每个小长方形的高与这组数据的频数成正比例 因为 且组距与数据总数是定值 又由于频率的总和为频数 数据总数组距组距 频率 高 1 1 所以各个小长方形的面积之和是 1 6 画频数分布折线图 一般是取小长方形上方的中点 然后依次连线 第六章第六章 证明证明 一一 一 验证数学结论是否正确的常用方法 实验论证 举出反例 推理论证等等 其中有根据地进行推理论证推理论证是最重要的方法 二 定义与命题 定义与命题 1 定义定义 对术语和名称的含义加以描述 并作出明确的规定 就是给他们一个定义 1 一般地来说 能明确指出概念的含义或者特征的句子就叫做定义 2 定义必须是严密的 一般避免使用含糊不清的词语 比如 一些 大概 差不 多 等不能出现在定义中 2 命题命题 一般来说 判断一件事情的语句叫做命题 1 命题必须是一个完整的句子 而且这个句子必须对某事件作出明确的肯定或否定的作出明确的肯定或否定的 判断 判断 2 命题的构成 每个命题都是由条件和结论这两个部分构成 条件是已知的 结论是命题的构成 每个命题都是由条件和结论这两个部分构成 条件是已知的 结论是 由已知条件推导出来的 一般来说 命题都可以写成由已知条件推导出来的 一般来说 命题都可以写成 如果如果 那么那么 的形式 的形式 如果如果 引出的部分是条件 引出的部分是条件 那么那么 引出的部分是结论 引出的部分是结论 3 正确的命题称为真命题 错误的命题称为假命题 4 反例反例 要说明一个命题是假命题 可以举一个例子 让它具备命题的条件 但是却 能得出命题不具备的结论 与命题中的结论相反或者是命题没有提到过的结论 这种例子 称为反例 3 公理 公认的真命题叫做公理 公理 公认的真命题叫做公理 1 在数学中 有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的 并且把它们作为判 断其他命题真假的原始依据 像这样的真命题叫做公理公理 2 公理可以做判断其他命题真假的依据 公理可以做判断其他命题真假的依据 4 定理 有些命题的正确性是通过推理的方法证实的 这的真命题叫做定理 定理 有些命题的正确性是通过推理的方法证实的 这的真命题叫做定理 20 1 在数学中 有些命题可以从