【走向高考】（2013春季发行）高三数学第一轮总复习 8-6抛物线 新人教A版

1 8 68 6 抛物线抛物线 基础巩固强化 1 2011 东北三校联考 抛物线y2 8x的焦点到双曲线 1 的渐近线的距离为 x2 12 y2 4 A 1 B C D 3 3 3 3 6 答案 A 解析 抛物线y2 8x的焦点F 2 0 到双曲线 1 的渐近线y x的距离 x2 12 y2 4 3 3 d 1 2 过点P 3 1 且方向向量为a a 2 5 的光线经直线y 2 反射后通过抛物线 y2 mx m 0 的焦点 则抛物线的方程为 A y2 2x B y2 x 3 2 C y2 4x D y2 4x 答案 D 解析 设过P 3 1 方向向量为a a 2 5 的直线上任一点Q x y 则 a a 5x 2y 13 0 此直线关于直线y 2 对称的直线方程为 PQ x 3 2 y 1 5 5x 2 4 y 13 0 即 5x 2y 5 0 此直线过抛物线y2 mx的焦点 F m 4 故选 D m 4 0 3 文 2011 茂名一模 直线y x 3 与抛物线y2 4x交于A B两点 过A B两 点向抛物线的准线作垂线 垂足分别为P Q 则梯形APQB的面积为 A 48 B 56 C 64 D 72 答案 A 解析 由题意不妨设A在第一象限 联立y x 3 和y2 4x可得A 9 6 B 1 2 而抛物线的准线方程是x 1 所以 AP 10 QB 2 PQ 8 故S梯形 APQB AP QB PQ 48 故选 A 1 2 理 2011 石家庄模拟 直线 3x 4y 4 0 与抛物线x2 4y和圆x2 y 1 2 1 从 左到右的交点依次为A B C D 则的值为 AB CD 2 A 16 B 1 16 C 4 D 1 4 答案 B 解析 由Error 得x2 3x 4 0 xA 1 xD 4 yA yD 4 1 4 直线 3x 4y 4 0 恰过抛物线的焦点F 0 1 AF yA 1 DF yD 1 5 5 4 故选 B AB CD AF 1 DF 1 1 16 4 已知P为抛物线y2 4x上一个动点 Q为圆x2 y 4 2 1 上一个动点 那么点 P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是 A 5 B 8 C 1 D 2 175 答案 C 解析 抛物线y2 4x的焦点为F 1 0 圆x2 y 4 2 1 的圆心为C 0 4 设点 P到抛物线的准线距离为d 根据抛物线的定义有 d PF PQ d PQ PF PC 1 PF CF 1 1 17 5 文 2012 山西四校联考 已知双曲线 1 a 0 b 0 与抛物线y2 8x有一 x2 a2 y2 b2 个公共的焦点F 且两曲线的一个交点为P 若 PF 5 则双曲线的渐近线方程为 A y x B y x 3 33 C y x D y x 2 2 2 答案 B 解析 设点P m n 依题意得 点F 2 0 由点P在抛物线y2 8x上 且 PF 5 得Error 由此解得m 3 n2 24 于是有Error 由此解得a2 1 b2 3 该双 曲线的渐近线方程为y x 选 B 3 理 2012 辽宁文 12 已知P Q为抛物线x2 2y上两点 点P Q的横坐标分别为 4 2 过P Q分别作抛物线的切线 两切线交于点A 则点A的纵坐标为 A 1 B 3 C 4 D 8 3 答案 C 解析 本题考查了导数的几何意义 由已知可设P 4 y1 Q 2 y2 点P Q在抛物线x2 2y上 Error Error P 4 8 Q 2 2 又 抛物线可化为y x2 y x 1 2 过点P的切线斜率为k1 4 切线方程为y 4x 8 又 过点Q的切线斜率为k2 2 过点Q的切线为y 2x 2 联立Error 解得x 1 y 4 点A的纵坐标为 4 点评 注意对抛物线方程的整理 化为二次函数形式 然后利用导数求切线方程 6 2011 湖北文 4 将两个顶点在抛物线y2 2px p 0 上 另一个顶点是此抛物线 焦点的正三角形个数记为n 则 A n 0 B n 1 C n 2 D n 3 答案 C 解析 由抛物线的对称性知 在抛物线上的两个顶点关于x轴对称 所以过抛物线 焦点F作斜率为 或斜率为 的直线与抛物线有两个不同交点 它们关于x轴的对称 3 3 3 3 点也在抛物线上 这样可得到两个正三角形 4 7 若点 3 1 是抛物线y2 2px的一条弦的中点 且这条弦所在直线的斜率为 2 则 p 答案 2 解析 设弦两端点P1 x1 y1 P2 x2 y2 则Error 两式相减得 2 y1 y2 x1 x2 2p y1 y2 y1 y2 2 p 2 8 已知点A 2 0 B 4 0 动点P在抛物线y2 4x上运动 则 取得最小值 AP BP 时的点P的坐标是 答案 0 0 解析 设P 则 y2 4 y AP y2 4 2 y BP y2 4 4 y AP BP y2 4 2 y2 y2 8 8 当且仅当y 0 时取等号 此时点P的坐标为 0 0 y2 4 4 y4 16 5 2 9 文 2011 湖南六校联考 AB是抛物线y2 x的一条焦点弦 若 AB 4 则AB 的中点到直线x 0 的距离为 1 2 答案 9 4 解析 由题可知 AB 4 所以A B两点分别到准线x 的距离之和为 4 所以 1 4 AB的中点到准线x 的距离为 2 所以AB的中点到直线x 的距离为 2 1 4 1 2 1 4 9 4 理 2011 黑龙江哈六中期末 设抛物线y2 8x的焦点为F 过点F作直线交抛物线 于A B两点 若线段AB的中点E到y轴的距离为 3 则AB的长为 答案 10 解析 2p 8 2 E到抛物线准线的距离为 p 2 5 AB AF BF 2 5 10 10 文 2011 福建文 18 如图 直线l y x b与抛物线C x2 4y相切于点A 5 1 求实数b的值 2 求以点A为圆心 且与抛物线C的准线相切的圆的方程 解析 1 由Error 消去y得 x2 4x 4b 0 直线l与抛物线相切 4 2 4 4b 0 b 1 2 由 1 知b 1 方程 为x2 4x 4 0 解得x 2 代入x2 4y中得 y 1 A 2 1 圆A与抛物线准线y 1 相切 r 1 1 2 所以圆A的方程为 x 2 2 y 1 2 4 理 2011 韶关月考 已知动圆过定点F 0 2 且与定直线L y 2 相切 1 求动圆圆心的轨迹C的方程 2 若AB是轨迹C的动弦 且AB过F 0 2 分别以A B为切点作轨迹C的切线 设 两切线交点为Q 证明 AQ BQ 解析 1 依题意 圆心的轨迹是以F 0 2 为焦点 L y 2 为准线的抛物线 因为抛物线焦点到准线距离等于 4 所以圆心的轨迹方程是x2 8y 2 证明 因为直线AB与x轴不垂直 设AB y kx 2 A x1 y1 B x2 y2 由Error 可得x2 8kx 16 0 x1 x2 8k x1x2 16 抛物线方程为y x2 求导得y x 1 8 1 4 所以过抛物线上A B两点的切线斜率分别是k1 x1 k2 x2 1 4 1 4 k1k2 x1 x2 x1 x2 1 1 4 1 4 1 16 6 所以AQ BQ 能力拓展提升 11 文 2011 山东文 9 设M x0 y0 为抛物线C x2 8y上一点 F为抛物线C的 焦点 以F为圆心 FM 为半径的圆和抛物线C的准线相交 则y0的取值范围是 A 0 2 B 0 2 C 2 D 2 答案 C 解析 设圆的半径为r 因为F 0 2 是圆心 抛物线C的准线方程y 2 圆与准 线相切时半径为 4 若圆与准线相交则r 4 又因为点M x0 y0 为抛物线x2 8y上一点 所 以有x 8y0 又点M x0 y0 在圆x2 y 2 2 r2上 所以x y0 2 2 r2 16 所以 2 02 0 8y0 y0 2 2 16 即有y 4y0 12 0 解得y0 2 或y02 故选 C 理 已知抛物线y2 2px p 0 过焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于A B两点 若 线段AB的中点的纵坐标为 2 则该抛物线的准线方程为 A x 1 B x 1 C x 2 D x 2 答案 B 解析 设A x1 y1 B x2 y2 则线段AB的中点 x1 x2 2 y1 y2 2 2 Error 得y y 2p x1 x2 kAB y1 y2 22 12 2 y1 y2 x1 x2 2p y1 y2 p 2 kAB 1 p 2 y2 4x 准线方程为 x 1 故选 B 12 2012 安徽理 9 过抛物线y2 4x的焦点F的直线交该抛物线于A B两点 O 为坐标原点 若 AF 3 则 AOB的面积为 A B 2 22 C D 2 3 2 22 答案 C 解析 设 AFx 0 0 的焦点为F F关于原点的对称点为 P 过F作x轴的垂线交抛物线于M N两点 有下列四个命题 PMN必为直角三角形 PMN不一定为直角三角形 直线PM必与抛物线相切 直线PM不一定与抛物线相切 其中正确的命题是 A B C D 答案 A 解析 因为 PF MF NF 故 FPM FMP FPN FNP 从而可知 MPN 90 故 正确 错误 令直线PM的方程为y x 代入抛物线方程可得 p 2 y2 2py p2 0 0 所以直线PM与抛物线相切 故 正确 错误 14 2012 陕西理 13 下图是抛物线形拱桥 当水面在l时 拱顶离水面 2m 水面 宽 4m 水位下降 1m 后 水面宽 m 答案 2 6 解析 本题考查了抛物线方程在实际问题中的应用 如图建立坐标系 设方程x2 2py p 0 由题意知点 2 2 在抛物线上 可得p 1 8 则方程为x2 2y 当y 3 时 x 6 所以水面宽 2m 6 点评 抛物线方程在实际问题中的应用 关键是合理建立平面直角坐标系 还要注 意数据的实际意义 15 文 已知点A 0 2 B 0 4 动点P x y 满足 y2 8 PA PB 1 求动点P的轨迹方程 2 设 1 中所求轨迹与直线y x 2 交于C D两点 求证 OC OD O为原点 解析 1 由题意可得 x 2 y x 4 y y2 8 PA PB 化简得x2 2y 2 证明 将y x 2 代入x2 2y中得 x2 2 x 2 整理得x2 2x 4 0 可知 4 16 20 0 x1 x2 2 x1x2 4 y1 x1 2 y2 x2 2 y1 y2 x1 2 x2 2 x1x2 2 x1 x2 4 4 kOC kOD 1 y1 x1 y2 x2 y1y2 x1x2 OC OD 理 2011 淄博模拟 在平面直角坐标系xOy中 直线l与抛物线y2 4x相交于不同 的A B两点 1 如果直线l过抛物线的焦点 求 的值 OA OB 2 如果 4 证明直线l必过一定点 并求出该定点 OA OB 解析 1 由题意 抛物线焦点为 1 0 设l x ty 1 代入抛物线方程y2 4x中得 y2 4ty 4 0 设A x1 y1 B x2 y2 则y1 y2 4t y1y2 4 x1x2 y1y2 OA OB ty1 1 ty2 1 y1y2 t2y1y2 t y1 y2 1 y1y2 9 4t2 4t2 1 4 3 2 设l x ty b 代入抛物线方程y2 4x中消去x得 y2 4ty 4b 0 设A x1 y1 B x2 y2 则y1 y2 4t y1y2 4b x1x2 y1y2 OA OB ty1 b ty2 b y1y2 t2y1y2 bt y1 y2 b2 y1y2 4bt2 4bt2 b2 4b b2 4b 令b2 4b 4 b2 4b 4 0 b 2 直线l过定点 2 0 若 4 则直线l必过一定点 OA OB 16 已知 0 2 0 2 直线l y 2 动点P到直线l的距离为d OA OB 且d PB 1 求动点P的轨迹方程 2 直线m y x 1 k 0 与点P的轨迹交于M N两点 当 17 时 求直线 k AM AN m的倾斜角 的取值范围 3 设直线h与点P的轨迹交于C D两点 写出命题 如果直线h过点B 那么 OC 12 的逆命题 并判断该逆命题的真假 请说明理由 OD 解析 1 由题意知 动点P到直线l的距离与P到定点B的距离相等 所以P的轨 迹是以B为焦点 l为准线的抛物线 点P的轨迹方程为x2 8y 2 联立Error 消去y并整理得x2 8x 8 0 k 设M x1 y1 N x2 y2 因为k 0 所以 64k 32 0 由韦达定理得x1 x2 8 x1x2 8 k 所以y1 y2 x1 1 x2 1 x1 x2 2 8k 2 kkk y1y2 x1 1 x2 1 kx1x2 x1 x2 1 8k 8 1 1 kkkkk 10 所以 x1 y1 2 x2 y2 2 AM AN x1x2 y1 2 y2 2 x1x2 y1y2 2 y1 y2 4 8 1 2 8k 2 4 16k 1 而 17 所以 16k 1 17 所以k 1 AM AN 即 tan 1 又 0 所以 即直线m的倾斜角 的取值范围是 4 2 4 2 3 逆命题 若 12 则直线h过点B 为假命题 OC OD 设h y nx b 代入x2 8y 消去y得x2 8nx 8b 0 设C x3 y3 D x4 y4 则x3 x4 8n x3 x4 8b 所以 x3x4 y3y4 x3x4 nx3 b nx4 b OC OD 8b n2 8b bn 8n b2 b2 8b 令b2 8b 12 解得b 2 或b 6 此时直线h过点 0 2 或 0 6 故逆命题为假命题 1 设抛物线y2 8x的焦点为F 准线为l P为抛物线上一点 PA l A为垂足 如 果直线AF的斜率为 那么 PF 3 A 4 B 8 3 C 8 D 16 3 答案 B 解析 11 解法 1 如图 kAF AFO 60 3 BF 4 AB 4 即P点的纵坐标为 4 4 333 2 8x x 6 PA 8 PF 8 故选 B 解法 2 设A 2 y F 2 0 kAF y 43 y 4 yp 4 33 P在抛物线上 y 8xp xp 6 2p y2p 8 由抛物线定义可得 PF PA xp xA 6 2 8 故选 B 2 已知直线l1 4x 3y 6 0 和直线l2 x 1 抛物线y2 4x上一动点P到直线 l1和直线l2的距离之和的最小值是 A 2 B 3 C D 11 5 37 16 答案 A 解析 直线l2 x 1 为抛物线y2 4x的准线 由抛物线的定义知 P到l1的距 离等于P到抛物线的焦点F 1 0 的距离 故本题化为在抛物线y2 4x上找一个点P 使得 P到点F 1 0 和直线l2的距离之和最小 最小值为F 1 0 到直线l1 4x 3y 6 0 的距 离 即dmin 2 故选 A 4 0 6 5 3 2011 大连一模 已知抛物线x2 4y上的动点P在x轴上的射影为点M 点A 3 2 则 PA PM 的最小值为 答案 1 10 解析 设d为点P到准线y 1 的距离 F为抛物线的焦点 由抛物线定义及数形 12 结合得 PA PM d 1 PA PA PF 1 AF 1 1 10 4 2011 南京调研 已知点M是抛物线y2 4x上的一点 F为抛物