【走向高考】2013年高考数学总复习 3-3 导数的实际应用但因为测试 新人教B版

用心 爱心 专心1 走向高考走向高考 2013 2013 年高考数学总复习年高考数学总复习 3 33 3 导数的实际应用但导数的实际应用但 因为测试因为测试 新人教新人教 B B 版版 1 在内接于半径为 R 的半圆的矩形中 周长最大的矩形的边长为 A 和 R B R 和R R 2 3 2 5 5 4 5 5 C R 和 R D 以上都不对 4 5 7 5 答案 B 解析 设矩形垂直于半圆直径的边长为 x 则另一边长为 2 则 l 2x 4 R2 x2 0 x R R2 x2 l 2 令 l 0 解得 x R 4x R2 x2 5 5 当 0 x R 时 l 0 当R x R 时 l 0 5 5 5 5 所以当 x R 时 l 取最大值 即周长最大的矩形的边长为R R 5 5 5 5 4 5 5 2 文 正三棱柱体积为 V 则其表面积最小时 底面边长为 A B C D 2 3 V 3 2V 3 4V 3 V 答案 C 解析 设正三棱柱底面边长为 a 高为 h 则体积 V a2h h 表面积 3 4 4V 3a2 S a2 3ah a2 3 2 3 2 4 3V a 由 S a 0 得 a 故选 C 3 4 3V a2 3 4V 理 做一个圆柱形锅炉 容积为 V 两个底面的材料每单位面积的价格为 a 元 侧面 的材料每单位面积的价格为 b 元 当造价最低时 锅炉的底面直径与高的比为 A B C D a b a2 b b a b2 a 答案 C 解析 用心 爱心 专心2 如图 设圆柱的底面半径为 R 高为 h 则 V R2h 设造价为 y 则 y 2 R2a 2 Rhb 2 aR2 2 Rb 2 aR2 V R2 2bV R y 4 aR 2bV R2 令 y 0 并将 V R2h 代入解得 2R h b a 3 2010 山东文 8 已知某生产厂家的年利润 y 单位 万元 与年产量 x 单位 万 件 的函数关系式为 y x3 81x 234 则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 1 3 A 13 万件 B 11 万件 C 9 万件 D 7 万件 答案 C 解析 y x3 81x 234 1 3 y x2 81 x 0 令 y 0 得 x 9 令 y 9 令 y 0 得 0 x 9 函数在 0 9 上单调递增 在 9 上单调递减 当 x 9 时 函数取得最大值 故选 C 点评 利用导数求函数最值时 令 y 0 得到 x 的值 此 x 的值不一定是极大 小 值时 还要判定 x 值左右两边的导数的符号才能确定 4 文 圆柱的表面积为 S 当圆柱体积最大时 圆柱的底面半径为 A B S 3 3 S C D 3 6 S 6 6 S 答案 C 用心 爱心 专心3 解析 设圆柱底面半径为 r 高为 h S 2 r2 2 rh h S 2 r2 2 r 又 V r2h 则 V 令 V 0 rS 2 r3 2 S 6 r2 2 得 S 6 r2 h 2r r 6 S 6 理 内接于半径为 R 的球并且体积最大的圆锥的高为 A R B 2R C R D R 4 3 3 4 答案 C 解析 设圆锥的高为 h 底面半径为 r 则 R2 h R 2 r2 r2 2Rh h2 V r2h h 2Rh h2 Rh2 h3 1 3 3 2 3 3 V Rh h2 令 V 0 得 h R 4 3 4 3 5 要制做一个圆锥形的漏斗 其母线长为 20cm 要使其体积最大 则高为 A cm B cm 3 3 10 3 3 C cm D cm 16 3 3 20 3 3 答案 D 解析 设圆锥的高为 x 则底面半径为 202 x2 其体积为 V x 400 x2 0 x 20 1 3 V 400 3x2 令 V 0 解得 x 1 3 20 3 3 当 0 x 时 V 0 当 x 20 时 V 0 20 3 3 20 3 3 所以当 x 时 V 取最大值 20 3 3 6 某公司生产某种产品 固定成本为 20000 元 每生产一单位产品 成本增加 100 元 已知总收益 R 与产量 x 的关系是 R Error 则总利润最大时 每年生产的产品是 A 100 B 150 C 200 D 300 答案 D 解析 由题意 总成本为 C 20000 100 x 所以总利润为 P R C Error 用心 爱心 专心4 P Error 令 P 0 得 x 300 易知当 x 300 时 总利润最大 7 文 用长为 18m 的钢条围成一个长方体形状的框架 要求长方体的长与宽之比为 2 1 该长方体的最大体积是 答案 3m3 解析 设长方体的宽为 x 则长为 2x 高为 3x 0 x 2 故体积为 V 2x2 9 2 6x3 9x2 9 2 3x V 18x2 18x 令 V 0 得 x 0 或 1 0 x0 和 x 0 得 0 x 1 6 设容器的容积为 ym3 则有 y x x 0 5 3 2 2x 0 x 1 6 整理得 y 2x3 2 2x2 1 6x y 6x2 4 4x 1 6 令 y 0 有 6x2 4 4x 1 6 0 即 15x2 11x 4 0 解得 x1 1 x2 不合题意 舍去 4 15 高 3 2 2 1 2 容积 V 1 1 5 1 2 1 8 答 高为 1 2m 时容积最大 8 2011 北京模拟 若函数 f x lnx ax2 2x 存在单调递减区间 则实数 a 的取 1 2 值范围是 答案 1 分析 函数 f x 存在单调减区间 就是不等式 f x 0 有实数解 考虑到函数的 定义域为 0 所以本题就是求 f x 0 在 0 上有实数解时 a 的取值范 围 用心 爱心 专心5 解析 解法 1 f x ax 2 由题意知 f x 0 ax2 2x 1 0 有实数解 当 a 0 时 显然满足 当 a0 1 a 1 解法 2 f x ax 2 1 x 1 ax2 2x x 由题意可知 f x 0 在 0 内有实数解 即 1 ax2 2x 在 0 内有实数解 1 x2 2 x x 0 时 1 2 1 1 a 1 1 x2 2 x 1 x 9 有一个容积 V 一定的有铝合金盖的圆柱形铁桶 已知单位面积铝合金的价格是铁的 3 倍 问如何设计使总造价最小 分析 桶的总造价要根据铁与铝合金的用量来定 由于二者单位面积的价格不同 在保持铁桶容积不变的前提下 使总造价最小 问题转化为 V 一定求总造价 y 的最小值 选取恰当变量 圆柱高 h 或底半径 r 来表示 y 即变为函数极值问题 解析 解 设圆柱体高为 h 底面半径为 r 又设单位面积铁的造价为 m 桶总造价 为 y 则 y 3m r2 m r2 2 rh 由于 V r2h 得 h 所以 y 4m r2 r 0 V r2 2mV r 所以 y 8m r 2mV r2 令 y 0 得 r 此时 h 4 V 4 1 3 V r2 V 4 1 3 该函数在 0 内连续可导 且只有一个使函数的导数为零的点 问题中总造价的 最小值显然存在 当 r 时 y 有最小值 即 h r 4 时 总造价最小 V 4 1 3 10 文 已知球的直径为 d 求当其内接正四棱柱体积最 大时 正四棱柱的高为多少 解析 如右图所示 设正四棱柱的底面边长为 x 高为 h 由于 x2 x2 h2 d2 x2 d2 h2 1 2 用心 爱心 专心6 球内接正四棱柱的体积为 V x2 h d2h h3 0 h0 cos 选 D 1 2 点评 若 f x 为三次函数 f x 在 R 上有极值 则 f x 0 应有二不等实根 当 f x 有两相等实根时 不能保证 f x 有极值 这一点要特别注意 如 f x x3 f 1 3 x x2 0 有实根 x 0 但 f x 在 R 上单调增 无极值 即导数为 0 是函数有极值的 必要不充分条件 12 文 2010 安徽合肥市质检 函数 y f x 的图象如图所示 则 y f x 的图 象可能是 用心 爱心 专心8 答案 D 解析 由 f x 的图象知 f x 在 0 上单调递增 在 0 上单调递减 在 0 上 f x 0 在 0 上 f x 0 故选 D 理 如图 过函数 y xsinx cosx 图象上点 x y 的切线的斜率为 k 若 k g x 则函数 k g x 的图象大致为 答案 A 解析 y sinx xcosx sinx xcosx k g x xcosx 易知其图象为 A 13 2010 江苏 14 将边长为 1m 的正三角形薄铁皮 沿一条平行于某边的直线剪成 两块 其中一块是梯形 记 s 则 s 的最小值是 梯形的周长 2 梯形的面积 答案 32 3 3 解析 设 DE x 则梯形的周长为 3 x 梯形的面积为 x 1 1 x 1 x2 1 2 3 2 3 4 用心 爱心 专心9 s x 0 1 3 x 2 3 4 1 x2 4 3 3 x2 6x 9 1 x2 设 h x h x x2 6x 9 1 x2 6x2 20 x 6 1 x2 2 令 h x 0 得 x 或 x 3 舍 1 3 h x 最小值 h 8 1 3 s最小值 8 4 3 3 32 3 3 14 文 2010 陕西宝鸡市质检 高新开发区某公司生产一种品牌笔记本电脑的投入 成本是 4500 元 台 当笔记本电脑销售价为 6000 元 台时 月销售量为 a 台 市场分析的 结果表明 如果笔记本电脑的销售价提高的百分率为 x 0 x 1 那么月销售量减少的百分 率为 x2 记销售价提高的百分率为 x 时 电脑企业的月利润是 y 元 1 写出月利润 y 与 x 的函数关系式 2 如何确定这种笔记本电脑的销售价 使得该公司的月利润最大 解析 1 依题意 销售价提高后变为 6000 1 x 元 台 月销售量为 a 1 x2 台 则 y a 1 x2 6000 1 x 4500 即 y 1500a 4x3 x2 4x 1 0 x 1 2 由 1 知 y 1500a 12x2 2x 4 令 y 0 得 6x2 x 2 0 解得 x 或 x 舍去 1 2 2 3 当 0 x0 当 x 1 时 y 0 1 2 1 2 故当 x 时 y 取得最大值 1 2 此时销售价为 6000 9000 元 3 2 故笔记本电脑的销售价为每台 9000 元时 该公司的月利润最大 理 2010 南通模拟 甲乙两地相距 400 千米 汽车从甲地匀速行驶到乙地 速度不 得超过 100 千米 小时 已知该汽车每小时的运输成本 P 元 关于速度 v 千米 小时 的函数 关系是 P v4 v3 15v 1 19200 1 160 1 求全程运输成本 Q 元 关于速度 v 的函数关系式 2 为使全程运输成本最少 汽车应以多大速度行驶 并求此时运输成本的最小值 用心 爱心 专心10 解析 1 汽车从甲地到乙地需用小时 故全程运输成本为 400 v Q 6000 00 1 1 h2 2 V a2h h 0 1 3 1 3 h 1 h2 V 1 3 1 h2 h 2h 1 h2 2 1 h2 3 1 h2 2 所以当 0 h0 所以 V h 在 0 1 上为增函数 当 h 1 时 V 0 所以 V h 在 1 上为减函数 故 h 1 为函数 V h 的唯一极大值点也是最大值点 Vmax 1 6 答 当高 h 1m 时 容积取最大值 m3 1 6 理 2011 陕西文 21 设 f x lnx g x f x f x 1 求 g x 的单调区间和最小值 2 讨论 g x 与 g 的大小关系 1 x 3 求 a 的取值范围 使得 g a g x 0 成立 1 a 用心 爱心 专心11 解析 f x lnx f x g x lnx 1 x 1 x g x 令 g x 0 得 x 1 x 1 x2 当 x 0 1 时 g x 0 1 是 g x 的单调增区间 因此当 x 1 时 g x 取极小值 且 x 1 是唯一极值点 从而是最小值点 所以 g x 最小值为 g 1 1 2 g lnx x 1 x 令 h x g x g 2lnx x 1 x 1 x 则 h x x 1 2 x2 当 x 1 时 h 1 0 即 g x g 1 x 当 x 0 1 1 时 h x h 1 0 即 g x g 1 x 当 x 1 时 h x h 1 0 即 g x g 1 x 当 x 1 时 g x g 1 x 当 x 1 时 g x g 1 x 3 由 1 可知 g x 最小值为 1 所以 g a g x 0 成立等价于 g a 1 即 lna 1 解得 0 a e 1 a 1 a 所以 a 的取值范围是 0 e 1 函数 f x 的定义域为 R 导函数 f x 的图象如图所示 则函数 f x A 无极大值点 有四个极小值点 B 有三个极大值点 两个极小值点 C 有两个极大值点 两个极小值点 用心 爱心 专心12 D 有四个极大值点 无极小值点 答案 C 解析 设 f x 与 x 轴的 4 个交点 从左至右依次为 x1 x2 x3 x4 当 x0 f x 为增函数 当 x1 x x2时 f x 0 f x 为减函数 则 x x1为极大值点 同理 x x3为极大值点 x x2 x x4为极小值点 2 函数 f x excosx 的图象在点 0 f 0 处的切线的倾斜角的余弦值为 A B 5 5 5 5 C D 1 2 2 答案 C 解析 f x excosx exsinx f 0 1 设 f x 在点 0 f 0 处切线的倾斜角为 则 tan 1 0 cos 4 2 2 3 设函数 f x x3 x2 tan 其中 则导数 f 1 sin 3 3cos 2 0 5 12 的取值范围为 A 2 2 B 23 C 2 D 2 32 答案 D 解析 f x sin x2 cos x 3 f 1 sin cos 2sin 3 3 0 5 12 3 3 3 4 sin f 1 2 故选 D 3 2 2 1 2 4 下图是函数 y f x 的导函数 y f x 的图象 对此图象 有如下结论 用心 爱心 专心13 在区间 2 1 内 f x 是增函数 在区间 1 3 内 f x 是减函数 x 2 时 f x 取到极大值 在 x 3 时 f x 取到极小值 其中正确的是 将你认为正确的序号填在横线上 答案 解析 由 f x 的图象可见在和 2 4 上 f x 0 f x 单调增 只有 正确 3 2 2 5 某工厂要围建一个面积为 128m2的矩形堆料场 一边可以用原有的墙壁 其它三边 要砌新的墙壁 要使砌墙所用的材料最省 堆料场的长 宽应分别为 答案 16m 8m 解析 解 设场地宽为 xm 则长为m 128 x 因此新墙总长度为 y 2x x 0 128 x y 2 令 y 0 x 0 x 8 128 x2 因为当 0 x 8 时 y 0 当 x 8 时 y 0 所以当 x 8 时 y 取最小值 此时宽为 8m 长为 16m 即当堆料场的长为 16m 宽为 8m 时 可使砌墙所用材料最省 6 2010 东北三校二模 已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为 10 万元 每生产 1 千件需另投入 2 7 万元 设该公司一年内生产该品牌服装 x 千件并全部销售完 每千件的销售收入为 R x 万元 且 R x Error 1 写出年利润 W 万元 关于年产量 x 千件 的函数解析式 2 年产量为多少千件时 该公司在这一品牌服装的生产中所获得年利润最大 注 年利润 年销售收入 年总成本 解析 1 当 010 时 W xR x