2012年高考数学 备考冲刺之易错点点睛系列 专题03 数列（教师版）

用心 爱心 专心1 20122012 年高考数学备考冲刺之易错点点睛系列年高考数学备考冲刺之易错点点睛系列 三三 数列数列 教师版教师版 一 高考预测一 高考预测 数列是历年高考的重点与难点 以等差数列与等比数列为基础考查数列的性质及前 n 项和的问题是数列中的中低档难度问题 一般只要熟悉等差数列与等比数列及其前 n 项和 的性质即可正确得出结果 等差数列与等比数列是高中阶段学习的两种最基本的数列 也是 高考中经常考查并且重点考查的内容之一 这类问题多从数列的本质入手 考查这两种基 本数列的概念 基本性质 简单运算 通项公式 求和公式等 本讲内容在高考中多以选 择题和填空题的形式出现 属于中低档题 解题时应从基础处着笔 首先要熟练掌握这两 种基本数列的相关性质及公式 然后要熟悉它们的变形使用 善用技巧 减少运算量 既 准又快地解决问题 除此以外 数列与其他知识的综合考查也是高考中常考的内容 数列是 一种特殊的函数 它能与很多知识进行综合 如方程 函数 不等式 极限 数学归纳法 理 等为主要综合对象 概率 向量 解析几何等为点缀 数列与其他知识的综合问题在 高考中大多属于中高档难度问题 数列是新课程的必修内容 从课程定位上说 其考查难度不应该太大 数列试题倾向 考查基础是基本方向 从课标区的高考试题看 试卷中的数列试题最多是一道选择题或者 填空题 一道解答题 由此我们可以预测 2012 年的高考中 数列试题会以考查基本问题为 主 在数列的解答题中可能会出现与不等式的综合 与函数导数的综合等 但难度会得到 控制 二 知识导学二 知识导学 要点要点 1 1 有关等差数列的基本问题 有关等差数列的基本问题 1 1 涉及等差数列的有关问题往往用等差数列的通项公式和求和公式 知三求二 解 决问题 2 2 等差数列前 n 项和的最值问题 经常转化为二次函数的最值问题 有时利用数列的 单调性 d 0 递增 d 0 递减 3 3 证明数列 为等差数列有如下方法 定义法 证明 与 n 值无 n a 1nn aad 关的常数 等差中项法 证明 11 2 2 nnn aaannN 要点要点 2 2 有关等比数列的基本问题 有关等比数列的基本问题 1 证明数列 为等比数列有如下方法 定义法 证明 n a 1 n n a qn a 与值无关的非零常数 等比中项法 2 11 2 nnn aaannN A 2 求一般数列 通项公式时常用构造数列法 待定系数法等 n a 要点向要点向 3 3 等差 等比数列综合问题 等差 等比数列综合问题 1 在解决等差数列或等比数列的相关问题时 基本量法 是常用的方法 但有时灵活地运 用性质 可使运算简便 而一般数列的问题常转化为等差 等比数列求解 用心 爱心 专心2 2 数列求通项的常见类型与方法 公式法 由递推公式求通项 由 n S求通项 累加法 累乘法等 3 数列求和的常用方法 公式法 裂项相消法 错位相减法 分组法 倒序相加法等 4 解综合题的成败在于审清题目 弄懂来龙去脉 透过给定信息的表象 抓住问题的本 质 揭示问题的内在联系和隐含条件 明确解题方向 形成解题策略 要点要点 4 4 可转化为等差 等比数列的求和问题 可转化为等差 等比数列的求和问题 某些递推数列可转化为等差 等比数列解决 其转化途径有 1 1 凑配 消项变换 如将递推公式 为常数 0 1 1nn apaq pq qp 通过凑配变成 或消常数转化为 1 11 nn qq ap a pp 11 nnnn aap aa 2 2 取倒数法 如将递推公式递推式 考虑函数倒数关系有 1 1 bak ma a n n n 11 1 1 ma k a nn 令则可归为型 m k a k a nn 1 11 n n a b 1 n bqpaa nn 1 3 3 对数变换 如将递推公式取对数得 1 p n n aca 0 0 0 1 n acpp 1 lglglg nn acpa 4 4 换元变换 其中 p q 均为常数 或 n nn qpaa 1 0 1 1 qppq 其中 p q r 均为常数 一般地 要先在原递推公式两边同除以 1 n nn aparq 1 n q 得 引入辅助数列 其中 得 则转化为 1 1 1 nn nn aap qq qq n b n n n q a b q b q p b nn 1 1 的形式 1nn bAaB 要点要点 5 5 数列求和的常用方法 1 直接由等差 等比数列的求和公式求和 注意对公比1 q的讨论 2 错位相减法 主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和 即 等比数列求和公式的推导过程的推广 3 分组转化法 把数列的每一项分成两项 使其转化为几个等差 等比数列 再求解 4 裂项相消法 主要用于通项为分式的形式 通项拆成两项之差求和 正负项相消剩下首 尾若干项 注意一般情况下剩下正负项个数相同 5 倒序相加法 把数列正着写和倒着写相加 即等差数列求和公式的推导过程的推广 三 易错点点睛三 易错点点睛 命题角度 1 数列的概念数列的概念 用心 爱心 专心3 1 已知数列 an 满足 a1 1 an a1 2a2 3a3 n 1 an 1 n 2 则 an 的通项 an 考场错解考场错解 an a1 2a2 3a3 n 1 an 1 an 1 a1 2a2 3a3 n 2 an 2 两式相 减得 an an 1 n 1 an 1 an nan 1 由此类推 an 1 n 1 an 2 a2 2a1 由叠乘法可得 an 2 n 专家把脉专家把脉 在求数列的通项公式时向前递推一项时应考虑 n 的范围 当 n 1 时 a1 与已知 a1 1 矛盾 2 1 对症下药对症下药 n 2 时 an a1 2a2 3a3 n 1 an 1 当 n 3 时 an 1 a1 2a2 3a3 n 2 an 2 得 an an 1 n 1 an 1 当 n 3 时 n an n 4 3 a2 a2 a2 a1 1 1 n n a a 1 n n a a 2 1 n n a a 2 2 3 3 4 a a a a a 2 n 当 n 2 时 an 当 n 1 时 a1 1 故 an 2 n 2 2 1 1 n n n 2 设数列 an 的前 n 项和为 Sn Sn 对于所有 n 1 且 a4 54 则 a1的数 2 13 1 n a 值是 考场错解考场错解 Sn 此数列是等比数列 首项是 a1 公比是 3 由 2 13 1 n a 31 31 1 n a a4 a1 34 1 a1 2 专家把脉专家把脉 此题不知数列 an 的类型 并不能套用等比数列的公式 而答案一致 是巧合 对症下药对症下药 a4 S4 S3 34 1 33 1 54 解得 a1 2 2 1 a 2 1 a 3 已知数列 an 满足 a1 1 an 3n 1 an 1 n 2 1 求 a2 a3 2 求通项 an的表达 式 考场错解考场错解 1 a1 1 a2 3 1 4 a3 32 4 13 2 由已知 an 3n 1 an 1 即 an an 1 3n 1 即 an成等差数列 公差 d 3n 1 故 an 1 n 1 3n 1 专家把脉专家把脉 2 问中 an an 1 3n 1 3n 1不是常数 它是一个变量 故不符合等差数列 的定义 对症下药对症下药 1 a1 1 a2 4 a3 32 4 13 2 由已知 an an 1 3n 1 故 an an an 1 an 1 an 2 a2 a1 a1 3n 1 3n 2 3 1 2 13 n 4 等差数列 an 中 a1 a2 a3 24 a18 a19 a20 78 则此数列前 20 项和等于 A 160 B 180 C 200 D 220 考场错解考场错解 由通项公式 an a1 n 1 d 将 a2 a3 a18 a19 a20都表示成 a1和 d 求 a1 d 再利用等差数列求和 选 C 专家把脉专家把脉 此方法同样可求得解 但解法大繁 花费时间多 计算量大故而出错 用心 爱心 专心4 应运用数列的性质求解就简易得多 对症下药对症下药 B 由公式 m n 2Pam an 2ap 只适用等差数列 即可求解 由 a1 a2 a3 24 可得 3a2 24 由 a18 a19 a20 78 可得 3a19 78 即 a2 8 a19 26 又 S20 10 a2 a19 180 2 20 201 aa 2 若 an 是等差数列 首项 a1 0 a2003 a2004 0 a2003 a2004 0 则使前 n 项和 Sn 0 成立的最大自然数 n 是 A 4005 B 4006 C 4007 D 4008 考场错解考场错解 a2004 a2003 0 即 2a1 2002d 2003d 0 a1 2002d a1 2003d 0 即使 na1 d 0 这样很难求出 a1 d 从而求出最大的自然数 n 故而判断 2 1 nn a2003 0 a20040 专家把脉专家把脉 此题运用等差数列前 n 项的性质及图象中应注意 a2003 0 a20040 a2003 a2004 0 a2003 a2004 0 且 an 为等差数列 an 表 示首项为正数 公差为负数的单调递减等差数列 且 a2003是绝对值最小的正数 a2004是绝 对值最大的负数 第一个负数 且 a2003 a2004 在等差数列 an 中 a2003 a2004 a1 a4006 0 S4006 0 使 Sn 0 成立的最大自然数 n 是 4006 2 4006 40061 aa 3 设无穷等差数列 an 的前 n 项和为 Sn 若首项 a1 公差 d 1 求满足 2 3 Sk2 Sk 2的正整数 k 求所有的无穷等差数列 an 使得对于一切正整数中 k 都有 Sk2 Sk 2成立 考场错解考场错解 1 当 a1 d 1 时 Sn n2 n 由 Sk2 Sk 2得k4 k2 即 2 3 2 1 2 1 2 2 2 1 kk k 0 或 k 4 k 0 故 k 4 由对一切正整数 k 都有 Sk2 Sk 2 成立 即 k2a1 d ka1 2 2 1 22 kk d kk 2 1 即 a1 k2 adk2 k 1 k2 k2 1 k2 k 1 2 0 对 切正整数 k 恒成立故 2 1 a 2 d 4 2 d 0 0 0 1 2 11 d da aa 求得 a1 0 或 1 d 0 等差数列 an 0 0 0 或 an 1 1 1 专家把脉专家把脉 中解法定对一切正整数 k 都成立 而不是一切实数 故而考虑取 k 的特值也均成立 对症下药对症下药 当 a1 d 1 时 Sn na1 由 Sk2 Sk 2 得 2 3 2 1 2 1 2 3 2 1 2 nn nn nd nn k4 k2 k2 k 2 即 k3 0 又 k 0 所以 k 4 2 1 2 1 1 4 1 k 设数列 an 的公差为 d 则在 Sk2 Sk 2中分别取 k 1 2 得 用心 爱心 专心5 2 2 12 2 2 34 4 1 2 11 2 11 2 24 2 11 dada aa SS SS 即 由 1 得 a1 0 或 a1 1 当 a1 0 时 代入 2 得 d 0 或 d 6 若 a1 0 d 0 则 an 0 sn 0 从而 Sk2 Sk 2成立 若 a1 0 d 6 则 an 6 n 1 由 S3 18 S3 2 324 S9 216 知 S9 S3 2 故所得数列不符合题意 当 a1 1 时 代入 2 得 4 6b 2 d 2解得 d 0 或 d 2 若 a1 1 d 0 则 an 1 Sn n 从而 Sk2 Sk 2成立 若 a1 1 d 2 则 an 2n 1 Sn 1 3 2n 1 n2 从而 Sk2 Sk 2成立 综上 共有 3 个满足条件的无穷等差数列 an an 0 即 0 0 0 an an 1 即 1 1 1 an an 2n 1 即 1 3 5 4 已知数列 an 的各项都是正数 且满足 a0 1 an 1 an 4 an nN 1 证明 2 1 an an 1 2 n N 2 求数列 an 的通项公式 an 考场错解考场错解 用数学归纳法证明 1 1 当 n 1 时 a0 1 a1 a0 4 a0 2 1 a0 a1 2 命题正确 2 3 2 假设 n k 时有 ak 1 ak 2 则 n k 1 时 ak ak 1 ak 1 4 ak 1 ak 4 ak 2 1 2 1 2 ak 1 ak ak 1 ak ak 1 ak ak 1 ak 4 ak 1 ak 而 ak 1 ak 0 4 ak 1 2 1 2 1 ak 0 ak ak 1 0 又 ak 1 ak 4 ak 4 ak 2 2 2 n k 1 时命题正确 由 1 2 1 2 1 2 知对一切 n N 时有 an an 1 2 2 an 1 an 4 an an 2 2 4 2 an 1 2 an 2 2 an 1 2 an 2 2令 bn an 2 1 2 1 2 1 2 bn 1 2 2n 1 又 b1 a1 2 bn 2n 2n 1 即an 2 2n 2n 1 2 1 n b2 1 2 1 2 1 2 1 专家把脉专家把脉 在 问中求 bn的通项时 运用叠代法 最后到 b0而不是 b1 对症下药对症下药 同上 方法二 用数学归纳法证明 1 当 n 1 时 a0 1 a1 a0 4 2 1 a0 0 a0 a1 2 2 假设 n k 时有 ak 1 ak 2 成立 令 f x x 4 x f x 2 3 2 1 在 0 2 上单调递增 所以由假设有 f ak 1 f ak f 2 即ak 1 4 ak 1 2 1 ak 4 ak 2 4 2 也即当 x k 1 时 ak ak 1 2 成立 所以对一切 n N 有 2 1 2 1 ak ak 1 2 2 下面来求数列的通项 an 1 an 4 an an 2 2 4 所以 2 an 1 2 an 2 2 2 1 2 1 令 bn an 2 则 bn 2 2 1 2 2n 1b2n 又 2 1 2 1 n b 2 1 2 1 2 2 n b 2 1 2 1 2 2 1 n b 2 1 bn 1 所以 bn 2n 1 即 an 2 bn 2 2n 1 2 1 2 1 用心 爱心 专心6 专家会诊专家会诊 1 要善于运用等差数列的性质 若 m n p q 则 am an ap aq 等差数列前 n 项和符合二次函数特征 借助二次函数性质进行数形结合法解等差数列问题 2 会运用一 般与特殊的逻辑思维 利用满足条件的特值求相关参数的值 学会分析问题和解决问题 命题角度 3 等比数列等比数列 1 数列 an 的前 n 项和记为 Sn 已知 a1 1 aa 1 n 1 2 3 证明 数列 是 n S n n2 n Sn 等比数列 Sn 1 4an 考场错解考场错解 已知 a1 1 an 1 a2 3S1 3 S2 4 n S n n2 a3 S2 2 4 8 S3 1 3 8 12 2 4 即 故 是公比为 2 的等比数列 4 3 2 2 1 1 321 SSS n Sn 由 知 4 于是 Sn 1 4 n 1 4an 又 a2 3 S2 a1 a2 4 因此对于 1 1 n Sn 1 1 n Sn 1 1 n Sn 任意正整数 n 1 都有 Sn 1 4an 专家把脉专家把脉 中利用有限项判断数列类型是运用不完全归纳法 应给予证明 中 运用前推一项必须使 n 2 对症下药对症下药 an 1 Sn 1 Sn an 1 Sn n 2 Sn n Sn 1 Sn 整理得 nSn 1 2 n 1 n n2 Sn 所以 2故 是以 2 为公比的等比数列 1 1 n Sn n Sn n Sn 由 知 4 n2 于是 Sn 1 4 n 1 4an n 2 又 a2 3S1 3 1 1 n Sn 1 1 n Sn 1 1 n Sn 故 S1 a1 a2 4 因此对于任意整数 n 1 都有 Sn 1 4an 2 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn Sn an 1 n N 求 a1 a2 求证数列 an 3 1 是等比数列 考场错解考场错解 S1 a1 1 得 a1 S2 a2 1 即 a1 a2 a2 1 得 a2 3 1 2 1 3 1 3 1 4 1 an Sn Sn 1 an 1 an 1 1 得 所以 an 是首项为 公比为 的 3 1 3 1 2 1 1 n n a a 2 1 2 1 等比数列 专家把脉专家把脉 在利用 an Sn Sn 1公式时 应考虑 n 2 时才能成立 对症下药对症下药 由 S1 a1 1 得 a1 a1 1 a1 又 S2 a2 1 即 3 1 3 1 2 1 3 1 a1 a2 a2 1 得 a2 3 1 4 1 当 n 1 时 an SnSn 1 an 1 an 1 1 得 所以 an 是首项为 公比 3 1 3 1 1 n n a a 2 1 2 1 为 的等比数列 2 1 3 等比数列的四个数之和为 16 中间两个数之和为 5 则该数列的公比 q 的取值为 用心 爱心 专心7 A 或 4 B 或 C 4 或 D 4 或或或 4 1 4 1 8 33415 8 41533 4 1 8 33415 8 41533 考场错解考场错解 设这四个数为 aq aq3 由题意得由 得 a 代入 q a q a 3 2 5 1 16 4 aq q a a 2 1 得 q 或 q2 2 q2 或 q2 4 故所求的公比为或 4 故应选 A 2 1 4 1 4 1 专家把脉专家把脉 上述解答设等比数列的公比为 q2是不合理的 这相当于增加了四个数同 号这个条件 而题设中的四个数不一定同号 因此 产生了漏解现象 对症下药对症下药 设这四个数为 a aq aq2 aq3 则 或 因此 应选 D 8 33415 4 1 4 5 16 2 32 或或解之得q aqaq aqaqqaa 8 41533 4 设数列 an 的首项 a1 a 且 an 1 4 1 3 2 1 4 1 4 1 2 1 12 nab na na nn n n 记 为奇数 为偶数 求 a2 a3 判断数列 bn 是否为等比数列 并证明你的结论 求 b1 b2 b3 bn n lim 考场错解考场错解 a2 a1 a a3 a2 a 4 1 4 1 2 1 2 1 8 1 bn 1 a2n 1 4 1 4 1 4 1 22 2 12 4 1 12 1 n n n n n n a a a a b b 求 b1 b2 b3 bn n lim n lim 4 1 1 4 1 1 1 n b 3 1 3 4 4 1 3 4 4 1 1 4 1 4 1 1 1 aa a b 专家把脉专家把脉 在求证 bn是等比数列是时 式子中 an 中 n 为偶数时 22 2 n n a a 2 1 1 n n a a 是连续两项 并不能得出 4 1 2 n n a a 对症下药对症下药 a2 a1 a a3 a2 a 4 1 4 1 2 1 2 1 8 1 a4 a3 a 所以 a5 a4 a 所以 b1 a1 a b2 a3 a 4 1 2 1 8 3 2 1 4 1 16 3 4 1 4 1 4 1 2 1 4 1 b3 a5 a 猜想 bn 是公比为的等比数列 4 1 4 1 4 1 2 1 证明如下 因为 bn 1 a2n 1 a2n a2n 1 bn n N 所以 bn 是首项为 a 4 1 2 1 4 1 2 1 4 1 2 1 公比为的等比数列 4 1 2 1 用心 爱心 专心8 求 b1 b2 b3 bn n lim n lim 4 1 2 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 a b b n 专家会诊专家会诊 1 证明等比数列时应运用定义证为非 0 常数 而不能 此时 n 2 2 等 n n a a 1 1 n n a a 比数列中 q 可以取负值 不能设公比为 q2 3 会运用等比数列性质 若 m n p k 则 am an ap ak 命题角度 4 等差与等比数列的综合等差与等比数列的综合 1 典型例题 已知数列 an 的前 n 项和 Sn a 2 n 1 b 2 n 1 n 1 n 1 2 其 2 1 2 1 中 a b 是非零常数 则存在数列 xn yn 使得 A an xn yn 其中 xn 为等差数列 yn 为等比数列 B an xn yn 其中 xn 和 yn 都为 等差数列 C an xn yn 其中 xn 为等差数列 yn 为等比数列 D an xn yn 其中 xn 和 yn 都为 等比数列 考场错解考场错解 a 2 n 1 xn b 2 n 1 n 1 yn 又 xn yn成等比数列 故选 D 2 1 2 1 专家把脉专家把脉 应从数列 an 的前 n 项和 Sn的表达式入手 而不能从形式上主观判断 对症下药对症下药 C a1 S1 3a an Sn Sn 1 a 2 n 1 b 2 n 1 n 1 2 1 2 1 a 2 n 2 b 2 n n 2 bn b a n 1 n 1 为等比数列 bn a b 为 2 1 2 1 2 1 2 1 等差数列 2 已知数列 an 是首项为 a 且公比 q 不等于 1 的等比数列 Sn是其前 n 项和 a1 2a7 3a4成等差数列 证明 12S3 S6 S12 S6成等比数列 求和 Tn a1 2a4 3a7 na3n 2 考场错解考场错解 由 a1 2a7 3a4 成等差数列 得 4a7 a1 3a4 4aq6 a 3aq3 从而可求 q3 或 q3 1 当 q3 时 q6 故 12S3 S6 S12 S6成等比数列 当 4 1 4 1 3 6 12S S 16 1 6 612 S SS 16 1 q3 1 时 q6 1 故 12S3 S6 S12 S6不成等比数列 3 6 12S S 6 1 6 612 S SS 专家把脉专家把脉 本题条件中已规定 q 1 故应将 q 1 时舍去 对症下药对症下药 证明 由 a1 2a7 3a4成等差数列 得 4a7 a1 3a4 即 4aq6 a 3aq3 变形得 4q3 1 q3 1 0 所以 q3 或 q3 1 舍去 由 4 1 3 6 12S S 16 1 12 1 1 1 12 1 1 3 3 1 6 1 q q qa q qa 6 612 S SS 1 q6 1 q6 得 所以 12S3 S6 S12 S6成等比数列 1 1 1 1 1 1 6 1 12 1 6 12 q qa q qa S S 16 1 3 6 12S S 6 612 S SS 解法 Tn a1 2a4 3a7 na3a 2 a 2aq3 3aq6 naq3 n 2 用心 爱心 专心9 即 Tn a 2 a 3 2a n n 1a 4 1 4 1 4 1 3a 得 Tn a 2 2a 3 3a n na 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 有 Tn a a 2a 3a n 1a n na 4 5 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 n na a n na 所以 Tn na 4 1 1 4 1 1 n a 4 1 5 4 5 4 4 1 na 5 4 25 16 25 16 4 1 3 如图 OBC 的三个顶点坐标分别为 0 0 1 0 0 2 设 P1为线段 BC 的中点 P2为线段 CO 的中点 P3为线段 OP1的中点 对于每一个正整数 n Pn 3为线段 PnPn 1的中点 令 Pn的坐标为 xn yn an yn yn 1 yn 2 2 1 求 a1 a2 a3及 an 证明 yn 4 1 n N 若记 bn y4n 4 y4n n N 4 n y 证明 bn 是等比数列 考场错解考场错解 1 y1 y2 y4 1 y3 y5 可求得 a1 a2 a3 2 由此类推可求得 2 1 4 3 an 2 将yn yn 1 yn 2 2 同除以 2 得 yn 4 yn 4 1 2 1 2 21 nn yy 4 4y bn 1 y4n 8 y4n 4 y4n 4 y4n bn 故 bn 是等比数 4 1 4 1 n n b b 1 4 1 列 专家把脉专家把脉 第 问题运用不完全归纳法求出 an的通项 理由不充 分 第 问中 要考虑 b1是否为 0 即有意义才更完整 n n b b 1 4 1 n n b b 1 对症下药对症下药 因为 y1 y2 y4 1 y3 y5 所以 a1 a2 a3 2 又 2 1 4 3 由题意可知 yn 3 an 1 yn 1 yn 2 yn 3 yn 1 yn 2 yn yn 1 yn 2 an an 为常数 2 1 nn yy 2 1 2 1 2 1 nn yy 2 1 列 an a1 2 n N 将等式yn yn 1 yn 2 2 两边除以 2 得yn 1 又 2 1 4 1 2 21 nn yy yn 4 yn 4 1 2 21 nn yy 4 n y bn 1 y4n 8 y4n 4 y4n 4 y4n bn 又 b1 y8 y4 4 1 44n y 4 1 4n y 4 1 4 1 0 bn 是公比为 的等比数列 4 1 4 1 4 在等差数列 an 中 公差 d 0 a2是 a1与 a4的等比中项 已知数列 a1 a3 akn 成等比数列 求数列 kn 的通项 kn 21 kk aa 用心 爱心 专心10 考场错解考场错解 an a1 n 1 d a1 a4 2 2 a a1 d 2 a1 a1 3d d a1 an nd a1 d a3 3d 3 q 1 3 d a dka nkn 1 1 dka nkn q 3 kn 是公比为 3 的等比数列 kn 1 3n 1 3n 1 n n k k k k a a n n11 专家把脉专家把脉 错因在把 k1当作数列 an 的首项 k1 1 而实际上 k1 9 对症下药对症下药 依题设得 an a1 n 1 d a1a4 a1 d 2 a1 a1 3d 整理得 d2 a1d 2 2 a d 0 d a1 得 an nd 所以 由已知得 d 3d k1d k2d kndn 是等比数列 由 d 0 所以 数列 1 3 k1 k2 kn 也是等比数列 首项为 1 公比为 q 3 由此得 k1 9 等比数列 1 3 kn 的首项 k1 9 公比 q 3 所以 kn 9 qn 1 3n 1 n 1 2 3 即得到数列 kn 的通项 kn 3n 1 专家会诊专家会诊 1 赋值法在解等差 等比数列问题中是常用方法 从而求出系数的值及从中 找出规律 2 等比数列中应注意考虑公比等于 1 的特殊情况 等比数列中的公差为 0 的特殊 情况在解题时往往被忽视 3 在等差数列与等比数列中 经常要根据条件列方程 组 求解 要 注意常两种情形的不同之处 命题角度 5 数列与解析几何 函数 不等式的综合数列与解析几何 函数 不等式的综合 1 已知定义在 R 上的函数 f x 和数列 an 满足下列条件 a1 a an f aa 1 n 2 3 4 a2 a1 f an f an 1 k an an 1 n 2 3 4 其中 a 为常数 k 为非零常 数 令 bn aa 1 an n N 证明数列 bn 是等比数列 求数列 an 的通项公式 当 k 1 时 求 n an lim 考场错解考场错解 证明 由 b1 a2 a1 0 可得 b2 a3 a2 f a2 f a1 k a2 a1 0 由数 学归纳法可证 bn an 1 an 0 n N 由题设条件 当 n 2 时 k 1 1 1 1 1 1 1 nn nn nn nn nn nn n n aa aak aa afaf aa aa b b 故数列 bn 是公比为 k 的等比数列 由 知 bn kn 1 a2 a1 n N b1 b2 bn 1 a2 a1 n 2 k kn 1 1 1 而 b1 b2 bn 1 a2 a1 a3 a2 an an 1 an a1 n 2 an a1 a2 a1 n 2 k kn 1 1 1 故 an a f a a n N an a n 1 f a a n N k kn 1 1 1 当 k 1 时 a n anlim n lim k k aafa n 1 1 1 k aaf 1 2 如图 直线 l1 y kx 1 k k 0 k 与 l2相交于点 P 直线 2 1 l1与 x 轴交于点 P1 过点 P1作 x 轴的垂线交于直线 l2于点 Q1 过点 Q1 作 y 轴的垂线交直线 l1于点 P2 过点 P2作 x 轴的垂线交直线 l2于点 Q2 这样一直作下去 可得到一系列点 P1 Q1 P2 Q2 点 Pn n 1 2 的横坐标构成数列 xn 用心 爱心 专心11 证明 xn 1 1 xn 1 n N 求数列 xn 的通项公式 k2 1 比较 2 PPn 2与 4k2 PP1 2 5 的大小 考场错解考场错解 证明 设点 Pn的坐标是 xn yn 由已知条件得点 Qn Pn 1的坐标分别是 由 Pn 1在直线 l1上 得 kxn 1 1 k 所以 xn 2 1 2 1 2 1 2 1 1nnnn xaxx 2 1 2 1 n x 2 1 1 k xn 1 1 即 xn 1 1 xn 1 n N k2 1 由 知 故 xn 1 是等比数列 且首项 x1 1 公比为 从而求 1 1 1 n n x x k2 1 k 1 k2 1 得 xn 1 2 n n N k2 1 专家把脉专家把脉 问中对于 xn 1 1 xn 1 先应考虑 xn 1 能否为 0 继而可求 k2 1 对症下药对症下药 同错解中 解法 由题设知 x1 1 x1 1 0 又由 知 xn 1 1 k 1 k 1 xn 1 所以数列 xn 1 是首项为 x1 1 公比为的等比数列 从而 k2 1 k2 1 xn 1 n 1 即 xn 1 2 n n N k 1 k2 1 k2 1 解法 由得点 P 的坐标为 1 1 所以 2 PPn 2 2 xn 1 2 2 kxn 1 k 2 1 2 1 1 xy kkxy 1 2 8 2n 2 2 2n 2 4k2 PP1 2 5 4k2 1 1 2 0 1 2 5 4k2 9 k2 1 k2 1 k 1 i 当 k 即 k 或 k 时 4k2 PP1 2 5 1 9 10 D 而此时 2 1 2 1 2 1 0 1 所以 2 PPn 2 8 1 2 10 故 2 PPn 2 4k2 PP1 2 5 k2 1 ii 当 0 k 即 k 0 0 时 4k2 PP1 2 5 1 9 10 而此时 2 1 2 1 2 1 1 所以 2 PPN 2 8 1 2 10 故 2 PPn 2 4k2 PP1 2 5 k2 1 用心 爱心 专心12 3 已知函数 f x 设数列 an 满足 a1 1 an 1 f an 数列 bn 满足 bn an 1 1 3 x x x Sn b1 b2 bn n N 用数学归纳法证明 bn 证明 Sn 3 1 2 13 n n 3 32 考场错解考场错解 bn an 又 an 1 an 1 n 2 3 1 2 1 n a1 2 1 n a a2 2 a3 a4 2 an 1 bn 由叠代法 bn 3 5 32 3 1 2 2 32 1 2 2 1 n n a a 1 2 13 n n Sn b1 b2 bn 1 3 2 13 1 2 13 1 13 2 13 2 2 13 1 2 n n n 3 32 专家把脉专家把脉 运用叠代法时并不能化简成 1 2 13 n n 对症下药对症下药 证明 当 x 0 时 f x 1 1 因为 a1 1 所以 an 1 n N 下 1 2 x 面用数学归纳法证明不等式 bn 1 2 13 n n 1 当 n 1 时 b1 1 不等式成立 2 假设当 n k 时 不等式成立 即 bk 3 那么 bk 1 ak 1 所以 当 n k 1 时 不 1 2 13 k k 3 k k k k b a a 2 13 2 13 1 3 13 1 等式也成立 根据 1 和 2 可知不等式对任意 n N 都成立 证明 由 知 bn 所以 Sn b1 b2 bn 1 1 2 13 n n 3 2 1 31 31 22 n n 用心 爱心 专心13 1 故对任意 n N Sn 1 31 1 2 31 sin 31 1 2 33 3 2 2 13 1 1 3 3 2 专家会诊专家会诊 函数 数列 解析几何三者的综合 展示了知识的交汇性 方法的灵活性 因此解此类题目应充分运用函数与数列的联系 即数列是一种特殊函数 以及解析几何中 方程与函数 数列的关系来解题 而数列与不等式的综合更显出问题的综合性 命题角度 6 数列的应用数列的应用 1 某企业 20 典型例题 若 an n2 An 且数列 an 为递增数列 则实数的取值范围是 考场错解考场错解 n an nN 是函数 f x x2 x 图象上的点 且数列 an 为递增 数列 只需 1 即 2 的取值范围是 2 2 专家把脉专家把脉 忽视了数列的离散型特征 数列 an 为递增数列 只要求满足 a1 a2 an 对症下药对症下药 数列 an 是递增数列 且 an n2 n 其对称轴 x 既可以不超过直 2 A 线 x 1 也可以在 1 x 之间 故 3 的取值范围是 2 3 2 A 2 3 3 答案不唯一 3 的所有实数均可 4 典型例题 自然状态下的鱼类是一种可再生资源 为持续利用这一资源 需从宏 观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响 用 xn表示某鱼群在第 n 年年初的总量 n N 且 x1 0 不考虑其他因素 设在第 n 年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与 Xn成正比 死 亡量与 x2n成正比 这些比例系数依次为正常数 a b C 求 xn 1与 xn的关系式 猜测 当且仅当 x1 a b c 满足什么条件时 每年年初鱼群的总量保持不变 不要求证明 设 a 2 c 1 为保证对任意 x1 0 2 都有 xn 0 n N 则捕捞强度 b 的最大允 许值是多少 证明你的结论 考场错解考场错解 1 xn 1 xn axn bxn cx2n axn bxn cx2n分别为繁殖量 捕捞量 死亡量 xn x1 n N 由 式得 xn a b cxn 0 x1 c ba x1 0 2 a 2 c 1 0 2 b 2 0 b0 所以 a b 猜测 当且仅 c ba 用心 爱心 专心14 当 a b 且 x1 时 每年年初鱼群的总量保持不变 c ba 若 b 的值使得 xn 0 n N 由 xn 1 xn 3 b xn n N 知 0 xn 3 b n N 特 别地 有 0 x1 3 b 即 0 b 0 又因为 xk 1 xk 2 xk xk 1 2 l 10 n N 则捕捞强度 b 的最大允许值是 1 5 假设某市 2004 年新建住房 400 万平方米 其中有 250 万平方米是中低价房 预计 在今后的若干年内 该市每年新建住房面积平均比上一年增长 8 另外 每年新建住房 中 中低价房的面积均比上一年增加 50 万平方米 那么 到哪一年底 1 该市历年所建 中低价房的累计面积 以 2004 年为累计的第一年 将首次不少于 4750 万平方米 2 当年建 造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85 考场错解考场错解 1 an 是等差数列 an是中低价房面积 a1 250 d 50 Sn 25n2 225n 由 25n2 225n 4750 即 n 10 2 设几年后新建住房面积 S 为 400 1 8 n 85 0 85bn 有 250 n 1 50 400 1 08 n 1 0 85 由计算器解得满足上述不等式的最小正整数 n 6 到 2009 年底 当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85 四 典型习题导练四 典型习题导练 1 各项都为正数的数列满足 求数列的通项公式 n a 1 22 1 1 2 n n aaa n a 求数列的前项和 1 1 nn aa n 解析解析 由可知数列是以 1 为首项 公差为 2 的等差数列 1 22 2 n n aa 2 n a 又 则 2 12 1 21 n ann 0 n a 21 n an 21 n an 1 112121 22121 nn nn aann 12231 111 nn aaaaaa 1 31532121 2 nn 用心 爱心 专心15 1 21 1 2 n 2 已知数列满足 且 n a1 1 a nn a n n a 2 2 1 1 Nn 1212 nnn aab 数列的前项和为 求数列的通项 求证 n bn n S n a n a 2 1 n S 解析解析 1 1 2 2 1 1 a a a a a a a a n n n n n 22 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 2 1 nn n n n 数列的前 12 1 12 1 2 1 12 12 1 12 1 12 1 22 nnnnnn bn n b 项和为 n n S 24 1 2 1 12 1 1 2 1 12 1 12 1 7 1 5 1 5 1 3 1 3 1 1 2 1 nnnn Sn 因为是正整数 所以故n0 24 1 n2 1 n S 3 已知是公比大于的等比数列 它的前项和为 若 n b1n n S 3 S14 成等差数列 且 1 b8 2 3b 3 b6 1 a1 nn 12n 1 111 ab bbb n2 求 求数列的前项和 n b n nan n S 解析解析 依 成等差数列 得 3 S14 1 b8 2 3b 3 b6 2 1 2 111 b 1qq14 6b qbb q14 2 分 从而 得 故 4 分 2 2q5q20 1 q2 b2 n b n 2 当时 n2 n n 2n 1 111 a2 222 n 22 则 n S 123n a2a3ana 23n 12 223 22n 22 1 分 23n 1223 2n2 2 23n 令 23n n T223 2n2 34n 1 n 2T223 2n2 得故 3 n 2 n 1 n 8 12 T8n2 12 n 1 1n2 n 1 n Tn12 分 于是 2 分 n S n 1 n1n2 1n122 2 n 12 n12nn3 用心 爱心 专心16 4 已知数列满足 证明数列 n a 12 1 3aa 11 43 2 nnn aaanNn 且 是等比数列 并求出数列的通项公式 设数列的前项和为 1 nn aa n a n bn n S 且对一切 都有 成立 求 nN 12 12 21 2 n n bbb n aana n S 解析解析 由可得 11 34 nnn aaa 3 11 nnnn aaaa 所以数列是以 2 为首项 3 为公比的等比数列 3 分 1nn aa 故有 6 分 112211 aaaaaaaa nnnnn 1 1 31 31 31 2 n n 由 可知当时 12 2 2 2 1 1 n na b a b a b n n 1 n3 1 1 a b 3 1 b3 1 S 当时 8 分2 n2 12 12 nn na b n n1 32 n n nb 12 21 323323223 n nn nbbbS 设1 3333231 2 1210 n n 1210 3333231 n nx x3 nn nn33 1 3231 121 11 分 333 32 021 nnn nx 2 13 3 n n n 2 3 3 2 1 n n nS 综上 12 分 NnnS n n 2 3 3 2 1 5 已知函数 2 1 4f x x x 0 各项均为正数的数列 n a中 1 1a 2 n 1 1 n f a a x nN 求数列 n a的通项公式 在数列 n b中 对任意的正整数n 2 2 31 1 n n n nan b a 都成立 设 n S为数列 n b的前n项和试比较 n S与 1 2 的大小 解析解析 由题意知 2222 11 1111 44 nnnn aaaa 2 1 n a 是以 1 为首项 4 为公差 的等差数列 用心 爱心 专心17 2 1 43 n n a 0 n a 1 43 n a n 6 分 2 2 2 11 31 31 43 31 n n n n a b n nannnn n a 111 2 2121nn 111111111 1 1 233521212212 n S nnn 13 分 6 已知数列满足 且 求证 数列 n a2 1 a na an a n n n 12 1 Nn 为等比数列 并求数列的通项公式 证明 1 n a n n a 2 1 321 321 n n aaaa n Nn 解析解析 由题得 an 1 an n 2 n 1 an 即 nnnn annaaa 1 2 11 故 又 所以数列为等比数列 3 分11 1 2 1 nn a n a n 2 1 1 1 1 a 1 n a n 6 分 nn n a n 2 1 2 1 2 1 1 1 12 n n n na 由上知 8 分 12 1 1 n n n a n n n n aaaa 2 1 2 1 2 1 2 1 321 321 321 2 1 1 2 1 1 2 1 n n n n 2 1 1 所以 12 分 n n 1 2 1 321 321 n n aaaa n Nn 7 已知等差数列满足 数列的前项和为 n a 15 8 0aa n bn 11 2 2 n n SnN 求数列和的通项公式 解不等式 n a n b nn ab 解析解析 考查等差数列 等比数列 考查探究能力和逻辑思维能力 设数列的公差 n a 为 d 用心 爱心 专心18 由 得 由数列的前项和为 51 4aad 2d 210 n an n bn 可知 11 2 2 n n SnN 当时 当时 该式对也成立 1n 11 1 2 bS 2n 2 1 2n nnn bSS 1n 所以数列的通项公式为的通项公式为 n a 210 nn anb 2 2n n b 由得 时 时 nn ab 2 1022nn 1 2 3n nn ab 4n nn ab 又单调递减 单调递增 不等式的解集为 n a n b nn ab 4 n nnN 8 数列 的前n项和记为 点在曲线上 求数 n a n S n n S 2 4f xxx xN 列 的通项公式 设 求数列 的前n项和的值 n a 1 5 2n nn ba n b n T 解析解析 由点在曲线上 知 1 分 n n S 2 4f xxx xN 2 4 n Snn 当 时 4 分 n 1nnn aSS 22 4 1 4 1 nnnn 25n 当时 满足上式 5 分 数列 的通项公式为 1n 11 3aS n a25 n an 6 分 由得 7 分 1 5 2n nn ba 2n n bn 8 分 231 1 22 23 2