2012年高考数学真题汇编3 导数 理（ 解析版）

用心 爱心 专心 1 20122012 高考真题分类汇编 导数高考真题分类汇编 导数 一 选择题 1 2012 高考真题重庆理 8 设函数在 R 上可导 其导函数为 且函数 f x fx 的图像如题 8 图所示 则下列结论中一定成立的是 1 xfxy A 函数有极大值和极小值 f x 2 f 1 f B 函数有极大值和极小值 f x 2 f 1 f C 函数有极大值和极小值 f x 2 f 2 f D 函数有极大值和极小值 f x 2 f 2 f 答案 D 解析 由图象可知当时 所以此时 函数递增 2 x0 1 xfxy0 xf 当时 所以此时 函数递减 当时 12 x0 1 xfxy0 xf21 x 所以此时 函数递减 当时 0 1 xfxy0 xf2 x 所以此时 函数递增 所以函数有极大值 极0 1 xfxy0 xf xf 2 f 小值 选 D 2 f 2 2012 高考真题新课标理 12 设点在曲线上 点在曲线上 则P 1 2 x ye Qln 2 yx 最小值为 PQ A1 ln2 B2 1 ln2 C1ln2 D2 1ln2 答案 B 用心 爱心 专心 2 解析 函数与函数互为反函数 图象关于对称 1 2 x ye ln 2 yx yx 函数上的点到直线的距离为 1 2 x ye 1 2 x P xeyx 1 2 2 x ex d 设函数 minmin 111 ln2 1 1 ln2 222 xx g xexg xeg xd 由图象关于对称得 最小值为 yx PQ min 22 1 ln2 d 3 2012 高考真题陕西理 7 设函数 则 x f xxe A 为的极大值点 B 为的极小值点1x f x1x f x C 为的极大值点 D 为的极小值点 学1x f x1x f x 答案 D 解析 令 则 当时 xxx xeexfxexf 0 xf1 x1 x 当时 所以为极小值点 故选 D 0 xf1 x0 xf1 x xf 4 2012 高考真题辽宁理 12 若 则下列不等式恒成立的是 0 x A B 2 1 x exx 2 111 1 241 xx x C D 2 1 cos1 2 xx 2 1 ln 1 8 xxx 答案答案 C 解析解析 设 则 22 11 cos 1 cos1 22 f xxxxx sin g xfxxx 所以所以当时 cos1 0g xx 0 x 0 0 g xg xfxg 为增函数 所以 同理即 故选 C 2 1 0 0cos 1 0 2 f xfxx 2 1 cos1 2 xx 点评点评 本题主要考查导数公式 以及利用导数 通过函数的单调性与最值来证明不等式 考查转化思想 推理论证能力 以及运算能力 难度较大 5 2012 高考真题湖北理 3 已知二次函数 yf x 的图象如图所示 则它与x轴所围图形 用心 爱心 专心 3 的面积为 A 2 5 B 4 3 C 3 2 D 2 答案 B 解析解析 根据图像可得 2 1yf xx 再由定积分的几何意义 可求得面积为 1 231 1 1 14 1 33 Sxdxxx 6 2012 高考真题全国卷理 10 已知函数 y x 3x c 的图像与 x 恰有两个公共点 则 c A 2 或 2 B 9 或 3 C 1 或 1 D 3 或 1 答案 A 解析 若函数的图象与轴恰有两个公共点 则说明函数的两个极值中有cxxy 3 3 x 一个为 0 函数的导数为 令 解得 可知当极大值为33 2 xy033 2 xy1 x 极小值为 由 解得 由cf 2 1 2 1 cf02 1 cf2 c 解得 所以或 选 A 02 1 cf2 c2 c2 c 二 填空题 7 2012高考真题浙江理16 定义 曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l 的距离 已知曲线C1 y x2 a到直线l y x的距离等于曲线C2 x2 y 4 2 2到直线l y x的距 离 则实数a 答案 4 9 解析 曲线C2 x2 y 4 2 2到直线l y x的距离为 22222 11 40 22 d 曲线C1 y x2 a对应函数的导数为 令得 所以C1 y x2 a上的点xy2 12 x 2 1 x 为 点到到直线l y x的距离应为 所以 解得 4 1 2 1 a 4 1 2 1 a 22 11 4 1 2 1 22 a 用心 爱心 专心 4 或 舍去 4 9 a 4 7 a 8 2012 高考真题江西理 11 计算定积分 dxxx 1 1 2 sin 答案 3 2 命题立意 本题考查微积分定理的基本应用 解析 3 2 cos 3 1 sin 1 1 3 1 1 2 xxdxxx 9 2012 高考真题山东理 15 设 若曲线与直线所围成封闭图形0a yx 0 xa y 的面积为 则 2 aa 答案 9 4 a 解析 由已知得 所以 所以 2 2 3 0 2 3 0 3 2 3 2 aaxxS a a 3 2 2 1 a 9 4 a 10 2012 高考真题广东理 12 曲线 y x3 x 3 在点 1 3 处的切线方程为 答案 012 yx 解析 当时 此时 故切线方程为 13 2 xy1 x2 y 2 k 1 23 xy 即 012 yx 11 2012 高考真题上海理 13 已知函数的图象是折线段 其中 xfy ABC 0 0 A 函数 的图象与轴围成的图形的面积为 5 2 1 B 0 1 C xxfy 10 xx 答案 4 5 解析 当 线段的方程为 当时 线段方程为 2 1 0 xABxy10 1 2 1 xBC 整理得 即函数 所以 1 2 1 1 05 0 xy 1010 xy 1 2 1 1010 2 1 0 10 xx xx xfy 函数与轴围成的图形面积为 1 2 1 1010 2 1 0 10 2 2 xxx xx xxfyx 用心 爱心 专心 5 dxxxdxx 1010 10 2 1 2 1 2 1 0 2 1 2 1 23 2 1 0 3 5 3 10 3 10 xxx 4 5 12 2012 高考真题陕西理 14 设函数 是由轴和曲线 ln 0 21 0 xx f x xx Dx 及该曲线在点处的切线所围成的封闭区域 则在上的最大值为 yf x 1 0 2zxy D 答案 2 解析 函数在点处的切线为 即 所以 D 表示 xfy 0 1 1 1 0 xfy1 xy 的平面区域如图当目标函数直线经过点 M 时有最大值 最大z 值为 2 1 20 z 三 解答题 13 2012 高考真题广东理 21 本小题满分 14 分 设 a 1 集合 0 xRxA 6 1 32 2 axaxRxB BAD 1 求集合 D 用区间表示 2 求函数在 D 内的极值点 axxaxxf6 1 32 23 答案 本题是一个综合性问题 考查集合与导数的相关知识 考查了学生综合解决问题的 能力 难度较大 用心 爱心 专心 6 14 2012 高考真题安徽理 19 本小题满分 13 分 设 1 0 x x f xaeb a ae I 求在上的最小值 f x 0 II 设曲线在点的切线方程为 求的值 yf x 2 2 f 3 2 yx a b 答案 本题考查函数 导数的基础知识 运用导数研究函数性质等基本方法 考查分 类讨论思想 代数恒等变形能力和综合运用数学知识分析问题解决问题的能力 解析 I 设 则 1 x te t 2 2 22 111a t yatbya atatat 当时 在上是增函数 1a 0y 1 yatb at 1t 得 当时 的最小值为 1 0 tx f x 1 ab a 用心 爱心 专心 7 当时 01a 1 2yatbb at 当且仅当时 的最小值为 1 1 ln x attexa a f x2b II 11 xx xx f xaebfxae aeae 由题意得 2 22 2 2 12 2 33 3 131 2 2 22 faeba aee f aeb ae 15 2012 高考真题福建理 20 本小题满分 14 分 已知函数 f x ex ax2 ex a R 若曲线 y f x 在点 1 f 1 处的切线平行于 x 轴 求函数 f x 的单调区间 试确定 a 的取值范围 使得曲线 y f x 上存在唯一的点 P 曲线在该点处的切线与 曲线只有一个公共点 P 答案 本题主要考查函数导数的应用 二次函数的性质 函数零点的存在性定理等基础知 识 考查推理论证能力 基本运算能力 抽象概括能力 以及分类与整合思想 数形结合思 想 化归与转化思想 用心 爱心 专心 8 16 2012 高考真题全国卷理 20 本小题满分 12 分 注意 在试题卷上作答无效 设函数 f x ax cosx x 0 讨论 f x 的单调性 设 f x 1 sinx 求 a 的取值范围 答案 17 2012 高考真题北京理 18 本小题共 13 分 答案 解 由 1c 为公共切点可得 2 1 0 f xaxa 则 2fxax 1 2ka 3 g xxbx 则 2 3fxxb 2 3kb 用心 爱心 专心 9 23ab 又 1 1fa 1 1gb 11ab 即ab 代入 式可得 3 3 a b 2 2 4ab 设 322 1 1 4 h xf xg xxaxa x 则 22 1 32 4 h xxaxa 令 0h x 解得 1 2 a x 2 6 a x 0a 26 aa 原函数在 2 a 单调递增 在 26 aa 单调递减 在 6 a 上单调递增 若1 2 a 即2a 时 最大值为 2 1 4 a ha 若1 26 aa 即26a 时 最大值为1 2 a h 若1 6 a 时 即6a 时 最大值为1 2 a h 综上所述 当 02a 时 最大值为 2 1 4 a ha 当 2 a 时 最大值为1 2 a h 18 2012 高考真题新课标理 21 本小题满分 12 分 已知函数满足满足 f x 12 1 1 0 2 x f xfefxx 1 求的解析式及单调区间 f x 2 若 求的最大值 2 1 2 f xxaxb 1 ab 答案 1 121 1 1 0 1 0 2 xx f xfefxxfxfefx 令得 1x 0 1f 121 1 1 0 1 1 1 2 x f xfexxffefe 得 2 1 1 2 xx f xexxg xfxex 在上单调递增 10 x g xeyg x xR 用心 爱心 专心 10 0 0 0 0 0 0fxfxfxfx 得 的解析式为 f x 2 1 2 x f xexx 且单调递增区间为 单调递减区间为 0 0 2 得 2 1 1 0 2 x f xxaxbh xeaxb 1 x h xea 当时 在上单调递增10a 0 h xyh x xR 时 与矛盾x h x 0h x 当时 10a 0ln 1 0ln 1 h xxah xxa 得 当时 ln 1 xa min 1 1 ln 1 0h xaaab 22 1 1 1 ln 1 10 abaaaa 令 则 22 ln 0 F xxxx x 12ln F xxx 00 0F xxe F xxe 当时 xe max 2 e F x 当时 的最大值为1 aebe 1 ab 2 e 19 2012 高考真题天津理 20 本小题满分 14 分 已知函数 ln axxxf 的最小值为 0 其中 0 a 求a的值 若对任意的 0 x有 xf 2 kx成立 求实数k的最小值 证明 n i n i 1 2 12ln 12 2 Nn 答案 用心 爱心 专心 11 用心 爱心 专心 12 20 2012 高考江苏 18 1616 分 分 若函数在处取得极大值或极小值 则称 xfy 0 xx 为函数的极值点 0 x xfy 已知是实数 1 和是函数的两个极值点 ab 1 32 f xxaxbx 1 求和的值 ab 2 设函数的导函数 求的极值点 g x 2g xf x g x 3 设 其中 求函数的零点个数 h xf f xc 22 c yh x 答案答案 解 1 由 得 32 f xxaxbx 2 32f xxaxb 1 和是函数的两个极值点 1 32 f xxaxbx 解得 1 32 0f ab 1 32 0f ab 3ab 0 2 由 1 得 3 3f xxx 解得 2 3 2 32 12g xf xxxxx 123 1 2xxx 当时 当时 2x 0g x 21 x 是的极值点 2x g x 当或时 不是的极值点 21 x 0g x 1x g x 的极值点是 2 g x 3 令 则 f xt h xf tc 先讨论关于 的方程 根的情况 x f xd 2 2d 用心 爱心 专心 13 当时 由 2 可知 的两个不同的根为 I 和一 2 注意 2d 2f x 到是奇函数 的两个不同的根为一和 2 f x 2f x 当时 2d 1 2 20fd fdd f x 2 2f x f 此时在无实根 f xd 2 当时 于是是单调增函数 1 2x 0f x f x 又 的图象不间断 1 0fd y f xd 在 1 2 内有唯一实根 f xd 同理 在 一 2 一 I 内有唯一实根 f xd 当时 于是是单调减两数 1 1x 0f x 1 0fd y f xd 在 一 1 1 内有唯一实根 f xd 因此 当时 有两个不同的根满足 当 2d f xd 12 xx 12 1 2xx 时2d 有三个不同的根 满足 f xd 315 xxx 2 3 4 5 i x i 现考虑函数的零点 yh x i 当时 有两个根 满足 2c f tc 12 tt 12 2tt1 而有三个不同的根 有两个不同的根 故有 5 个 1 f xt 2 f xt yh x 零点 用心 爱心 专心 14 11 当时 有三个不同的根 满足2c f tc 345 ttt 2 3 4 5 i t i 而有三个不同的根 故有 9 个零点 3 4 5 i f xti yh x 综上所述 当时 函数有 5 个零点 当时 函数 2c yh x 2c 有 9 个零点 yh x 考点考点 函数的概念和性质 导数的应用 解析解析 1 求出的导数 根据 1 和是函数的两个极值点代入列方程 xfy 1 xfy 组求解即可 2 由 1 得 求出 令 求解讨论即可 3 3f xxx g x 0g x 3 比较复杂 先分和讨论关于 的方程 根的情况 再考虑 2d2d x f xd 函数的零点 yh x 21 2012 高考真题辽宁理 21 本小题满分 12 分 设 曲线与 ln 1 1 f xxxaxb a bR a b 为常数 yf x 直线在 0 0 点相切 3 2 yx 求的值 a b 证明 当时 02x 9 6 x f x x 答案答案 用心 爱心 专心 15 用心 爱心 专心 16 点评点评 本题综合考查导数的概念 几何意义 导数在判断函数单调性与最值中的运用 本 题容易忽略函数的定义域 根据条件曲线与直线在 0 0 点相切 xf yf x 3 2 yx 求出的值 然后 利用函数的单调性或者均值不等式证明即可 从近几年 a b 9 6 x f x x 的高考命题趋势看 此类型题目几乎年年都有涉及 因此 在平时要加强训练 本题属于中 档题 22 2012 高考真题重庆理 16 本小题满分 13 分 小问 6 分 小问 7 分 设其中 曲线在点处的切线垂直 13 ln1 22 f xaxx x aR yf x 1 1 f 于轴 y 求的值 a 求函数的极值 f x 答案 用心 爱心 专心 17 23 2012 高考真题浙江理 22 本小题满分 14 分 已知a 0 bR R 函数 3 42fxaxbxab 证明 当 0 x 1 时 函数的最大值为 2a b a fx 2a b a 0 fx 若 1 1 对x 0 1 恒成立 求a b的取值范围 fx 命题立意 本题主要考查不等式 利用导数研究函数的单调性等性质 线性规划等知 识点综合运用能力 同时考查抽象概括 推理论证能力 答案 本题主要考察不等式 导数 单调性 2 122fxaxb 当b 0 时 0 在 0 x 1 上恒成立 2 122fxaxb 此时的最大值为 2a b a fx 1423fababab 当b 0 时 在 0 x 1 上的正负性不能判断 2 122fxaxb 此时的最大值为 fx 2a b a max 2 max 0 1 max 3 32 baba fxffbaab ab ba 综上所述 函数在 0 x 1 上的最大值为 2a b a fx 要证 2a b a 0 即证 2a b a fx g x fx 亦即证在 0 x 1 上的最大值小于 或等于 2a b a g x 用心 爱心 专心 18 3 42g xaxbxab 令 2 1220 6 b gxaxbx a 当b 0 时 0 在 0 x 1 上恒成立 2 122gxaxb 此时的最大值为 2a b a g x 03gabab 当b 0 时 在 0 x 1 上的正负性不能判断 2 122gxaxb max max 1 6 b gxgg a 4 max 2 36 4 6 36 6 2 b babba a b ba bab a ba ba 2a b a 综上所述 函数在 0 x 1 上的最大值小于 或等于 2a b a g x 即 2a b a 0 在 0 x 1 上恒成立 fx 由 知 函数在 0 x 1 上的最大值为 2a b a fx 且函数在 0 x 1 上的最小值比 2a b a 要大 fx 1 1 对x 0 1 恒成立 fx 2a b a 1 取b为纵轴 a为横轴 则可行域为 和 目标函数为z a b 2 1 ba ba 2 31 ba ab 作图如下 由图易得 当目标函数为z a b过 P 1 2 时 有 max 3z 所求a b的取值范围为 3 用心 爱心 专心 19 24 2012 高考真题山东理 22 本小题满分 13 分 已知函数 为常数 是自然对数的底数 曲线 ln x xk f x e k2 71828e 在点处的切线与轴平行 yf x 1 1 fx 求的值 k 求的单调区间 f x 设 其中为的导函数 证明 对任意 2 g xxx fx fx f x 2 0 1xg xe 答案 用心 爱心 专心 20 25 2012 高考真题湖南理 22 本小题满分 13 分 已知函数 其中a 0 f x ax ex 用心 爱心 专心 21 1 若对一切 x R 1 恒成立 求a的取值集合 f x 2 在函数的图像上取定两点 记直线AB的斜 f x 11 A xf x 22 B xf x 12 xx 率为K 问 是否存在x0 x1 x2 使成立 若存在 求的取值范围 若不 0 fxk 0 x 存在 请说明理由 答案 若 则对一切 这与题设矛盾 又 0a 0 x f x1 ax ex 0a 故 0a 而令 1 ax fxae 11 0 ln fxx aa 得 当时 单调递减 当时 单调递增 11 lnx aa 0 fxf x 11 lnx aa 0 fxf x 故当时 取最小值 11 lnx aa f x 11111 ln ln f aaaaa 于是对一切恒成立 当且