利用导数证明不等式的常见题型经典

第 1 页 共 4 页 利用导数证明不等式的常见题型及解题技巧 技巧精髓技巧精髓 1 利用导数研究函数的单调性 再由单调性来证明不等式是函数 导数 不等式综合中的一个难点 也是近几年高考的热点 2 解题技巧是构造辅助函数 把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值 从而证得 不等式 而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键 一一 利用题目所给函数证明 利用题目所给函数证明 例例 1 已知函数 求证 当时 恒有xxxf 1ln 1 x xx x 1ln 1 1 1 分析 分析 本题是双边不等式 其右边直接从已知函数证明 左边构造函数 从其导数入手即可证明 1 1 1 1ln x xxg 绿色通道绿色通道 1 1 1 1 x x x xf 当时 即在上为增函数01 x0 x f xf 0 1 x 当时 即在上为减函数0 x0 x f xf 0 x 故函数的单调递增区间为 单调递减区间 f x 0 1 0 于是函数在上的最大值为 因此 当时 f x 1 0 0 max fxf1 x 即 右面得证 0 0 fxf0 1ln xxxx 1ln 现证左面 令 1 1 1 1ln x xxg 22 1 1 1 1 1 x x xx xg则 当 0 0 0 0 1 xgxxgx时当时 即在上为减函数 在上为增函数 xg 0 1 x 0 x 故函数在上的最小值为 xg 1 0 0 min gxg 当时 即1 x0 0 gxg01 1 1 1ln x x 综上可知 当 1 1 1 1ln x xxx x x 1ln 1 1 1 1有时 警示启迪警示启迪 如果是函数在区间上的最大 小 值 则有 或 f a f x f x f a f x f a 那么要证不等式 只要求函数的最大值不超过就可得证 0 2 直接作差构造函数证明 直接作差构造函数证明 例例 2 已知函数 求证 在区间上 函数的图象在函数的 ln 2 1 2 xxxf 1 xf 3 3 2 xxg 图象的下方 第 2 页 共 4 页 分析 分析 函数的图象在函数的图象的下方问题 xf xg xgxf 不等式 即 只需证明在区间上 恒有成立 设 32 3 2 ln 2 1 xxx 1 32 3 2 ln 2 1 xxx 考虑到 xfxgxF 1 x0 6 1 1 F 要证不等式转化变为 当时 这只要证明 在区间是增函数即可 1 x 1 FxF xg 1 绿色通道绿色通道 设 即 xfxgxF xxxxFln 2 1 3 2 23 则 x xxxF 1 2 2 x xxx 12 1 2 当时 1 x x F x xxx 12 1 2 从而在上为增函数 xF 1 0 6 1 1 FxF 当时 即 1 x0 xfxg xgxf 故在区间上 函数的图象在函数的图象的下方 1 xf 3 3 2 xxg 警示启迪警示启迪 本题首先根据题意构造出一个函数 可以移项 使右边为零 将移项后的左式设为函数 并利用导数判断所设函数的单调性 再根据函数单调性的定义 证明要证的不等式 读者也可 以设做一做 深刻体会其中的思想方法 xgxfxF 3 换元后作差构造函数证明 换元后作差构造函数证明 例例 3 2007 年 山东卷 证明 对任意的正整数 n 不等式 都成立 32 11 1 1 ln nnn 分析 分析 本题是山东卷的第 II 问 从所证结构出发 只需令 则问题转化为 当时 恒x n 1 0 x 有成立 现构造函数 求导即可达到证明 32 1ln xxx 1ln 23 xxxxh 绿色通道绿色通道 令 1ln 23 xxxxh 则在上恒正 1 1 3 1 1 23 23 2 x xx x xxxh 0 x 所以函数在上单调递增 时 恒有 xh 0 0 x 0 0 hxh 即 0 1ln 23 xxx 32 1ln xxx 对任意正整数 n 取 32 11 1 1 ln 0 1 nnnn x 则有 警示启迪警示启迪 我们知道 当在上单调递增 则时 有 如果 F x a bxa F x F a f a 要证明当时 那么 只要令 就可以利用的单 a xa f x x F x f x x F x 第 3 页 共 4 页 调增性来推导 也就是说 在可导的前提下 只要证明 即可 F x Fx 4 从条件特征入手构造函数证明 从条件特征入手构造函数证明 例例 4 若函数 y 在 R 上可导且满足不等式 x 恒成立 且常数 a b 满足 a b 求证 xf x f xf a b af bf 绿色通道绿色通道 由已知 x 0 构造函数 x f xf xxfxF 则 x 0 从而在 R 上为增函数 xF x f xf xF 即 a b ba bFaF af bf 警示启迪警示启迪 由条件移项后 容易想到是一个积的导数 从而可以构造函数 xfxf x xxfxF 求导即可完成证明 若题目中的条件改为 则移项后 要想到 xfxf x xfxf x 是一个商的导数的分子 平时解题多注意总结 思维挑战思维挑战 1 2007 年 安徽卷 设xaxxxfaln2ln1 0 2 求证 当时 恒有 1 x1ln2ln 2 xaxx 2 2007 年 安徽卷 已知定义在正实数集上的函数 其中 a 0 且 ln3 2 2 1 22 bxaxgaxxxf aaabln3 2 5 22 求证 xgxf 3 已知函数 求证 对任意的正数 x x xxf 1 1ln ab 恒有 1lnln a b ba 4 2007 年 陕西卷 是定义在 0 上的非负可导函数 且满足 0 对 xf xfxf x 任意正数 a b 若 a b 则必有 A af b bf a B bf a af b C af a f b D bf b f a 答案咨询答案咨询 1 提示 提示 当 时 不难证明 x a x x xf 2ln2 1 1 x0 a1 ln2 x x 即在内单调递增 故当时 0 x f xf 0 1 x 当时 恒有0 1 fxf1 x1ln2ln 2 xaxx 2 提示 提示 设则bxaaxxxfxgxF ln32 2 1 22 x a axxF 2 3 2 当时 x axax 3 0 x 0 aax 0 x F 故在上为减函数 在上为增函数 于是函数 在上的最小值 xF 0 a a xF 0 第 4 页 共 4 页 是 故当时 有 即0 agafaF0 x0 xgxf xgxf 3 提示 提示 函数的定义域为 xf 1 22 1 1 1 1 1 x x xx xf 当时 即在上为减函数01 x0 x f xf 0 1 x 当时 即在上为增函数0 x0 x f xf 0 x 因此在取得极小值 而且是最小值 0 xfx时 0 0 f 于是 即 x x xfxf 1 1ln 0 0 从而 x