初中三角形知识点

复习回顾三角形的相关知识复习回顾三角形的相关知识 命题人 李发命题人 李发 知识点一 三角形知识点一 三角形 1 1 三角形的定义 是由三条线段首尾顺次相接所组成的平面图形叫做三角形 三角形的定义 是由三条线段首尾顺次相接所组成的平面图形叫做三角形 2 2 组成三角形的元素 三条边和三个角 组成三角形的元素 三条边和三个角 3 3 三角形的分类 三角形的分类 三角形按边的关系分类如下 三角形按边的关系分类如下 不等边三角形 三角形底边和腰不相等的等腰三角形 一般等腰三角形 等腰三角形 底边和腰相等的等腰三角形 等边三角形或正三角形 三角形按角的关系分类如下 三角形按角的关系分类如下 直角三角形 有一个角是直角的三角形 三角形锐角三角形 三个角都是锐角的三角形 斜三角形 钝角三角形 有一个角是钝角的三角形 把边和角联系在一起 我们又有一种特殊的三角形 等腰直角三角形 它是两条直角边相等的直角三角形把边和角联系在一起 我们又有一种特殊的三角形 等腰直角三角形 它是两条直角边相等的直角三角形 4 4 三角形的性质 三角形的性质 三角形三边关系定理 三角形的任意两边之和大于第三边且任意两边之差小于第三边三角形三边关系定理 三角形的任意两边之和大于第三边且任意两边之差小于第三边 三角形的内角和定理 三角形的三个内角和等于三角形的内角和定理 三角形的三个内角和等于 180 三角形的外角和定理 三角形的三个外角和等于三角形的外角和定理 三角形的三个外角和等于 360 三角形的内外角定理 三角形的内外角定理 互补关系 三角形的一个外角与它相邻的内角互补 互补关系 三角形的一个外角与它相邻的内角互补 相等关系 三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和相等关系 三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和 不等关系 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角不等关系 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 三角形的边角关系 三角形的边角关系 在同一个三角形中 大边对大角 等边对等角 小边对小角 反之 大角对大边 等角在同一个三角形中 大边对大角 等边对等角 小边对小角 反之 大角对大边 等角 对等边 小角对小边也成立对等边 小角对小边也成立 5 5 三角形的面积 三角形的面积 三角形的面积 三角形的面积底底高高 1 2 知识点二 等腰三角形知识点二 等腰三角形 1 1 等腰三角形 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形 等腰三角形 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形 2 2 等腰三角形的性质定理及推论 等腰三角形的性质定理及推论 性质定理 等腰三角形的两个底角相等 简称 等边对等角 性质定理 等腰三角形的两个底角相等 简称 等边对等角 推论推论 1 1 等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边 等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边 即等腰三角形的顶角平分线 底边上的中线 底边即等腰三角形的顶角平分线 底边上的中线 底边 上的高三线合一上的高三线合一 推论推论 2 2 等边三角形的各个角都相等 并且每个角都等于 等边三角形的各个角都相等 并且每个角都等于 60 60 3 3 三角形中的中位线 三角形中的中位线 三角形中的中位线 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线三角形中的中位线 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边 并且等于它的一半三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边 并且等于它的一半 三角形中位线定理的作用 位置关系 可以证明两条直线平行 数量关系 可以证明线段的倍分关系 三角形中位线定理的作用 位置关系 可以证明两条直线平行 数量关系 可以证明线段的倍分关系 常用结论 任一个三角形都有三条中位线 由此有 常用结论 任一个三角形都有三条中位线 由此有 结论结论 1 1 三条中位线组成一个三角形 其周长为原三角形周长的一半 三条中位线组成一个三角形 其周长为原三角形周长的一半 结论结论 2 2 三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形 三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形 结论结论 3 3 三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形 三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形 结论结论 4 4 三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分 三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分 结论结论 5 5 三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等 三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等 知识点三 直角三角形知识点三 直角三角形 1 1 直角三角形的两个锐角互余 直角三角形的两个锐角互余 2 2 在直角三角形中 在直角三角形中 角所对的直角边等于斜边的一半 角所对的直角边等于斜边的一半 30 3 3 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 4 4 直角三角形两直角边 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方和等于斜边的平方 即的平方 即ab c 222 cba 5 5 常用关系式 由三角形面积公式可得 常用关系式 由三角形面积公式可得 AC BCCD AB 6 6 直角三角形的射影定理 直角三角形的射影定理 从一定向一直线所引垂线的垂足 叫做这个点在这条直线上的正射影 一条线段在直线上的正射影 是指从一定向一直线所引垂线的垂足 叫做这个点在这条直线上的正射影 一条线段在直线上的正射影 是指 线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段 点和线段的正射影简称为射影点和线段的正射影简称为射影 直角三角形的射影定理 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项 直角三角形的射影定理 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项 推论 直角三角形中其中一条直角边是该直角边在斜边上的射影与斜边的比例中项推论 直角三角形中其中一条直角边是该直角边在斜边上的射影与斜边的比例中项 即即 2 2 2 90 CDAD BD ACB ACAD AB CDAB BCBD AB 知识点四 全等三角形知识点四 全等三角形 1 1 全等三角形的概念 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 全等三角形的概念 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 2 2 三角形全等的性质 全等三角形的对应边相等 对应角相等 三角形全等的性质 全等三角形的对应边相等 对应角相等 3 3 全等三角形的判定定理 全等三角形的判定定理 边角边定理 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 可简写成边角边定理 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 可简写成 边角边边角边 或或 SAS 角角边定理 任意两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 可以简写成角角边定理 任意两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 可以简写成 角角边角角边 或或 AAS 角边角定理 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 可简写成角边角定理 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 可简写成 角边角角边角 或或 ASA 边边边定理 有三边对应相等的两个三角形全等 可简写成边边边定理 有三边对应相等的两个三角形全等 可简写成 边边边边边边 或或 SSS 直角三角形全等的判定 对于特殊的直角三角形 判定它们全等时 还有直角三角形全等的判定 对于特殊的直角三角形 判定它们全等时 还有定理 斜边 直角边定理 定理 斜边 直角边定理 HL 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 可简写成 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 可简写成 斜边 直角边斜边 直角边 或或 HL 4 4 全等变换 只改变图形的位置 不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换 全等变换 只改变图形的位置 不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换 全等变换包括一下三种 全等变换包括一下三种 平移变换 把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换 平移变换 把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换 对称变换 将图形沿某直线翻折对称变换 将图形沿某直线翻折 180 180 这种变换叫做对称变换 这种变换叫做对称变换 旋转变换 将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置 这种变换叫做旋转变换 旋转变换 将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置 这种变换叫做旋转变换 知识点五 相似三角形知识点五 相似三角形 1 1 比例线段的概念 对于四条线段 比例线段的概念 对于四条线段 如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等 如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等 abcd 即即 或 或 那么这四条线段叫做成比例线段 简称比例线段 那么这四条线段叫做成比例线段 简称比例线段 ac bd a b c d 注意 注意 在求线段比时 线段单位要统一 单位不统一应先化成同一单位 在求线段比时 线段单位要统一 单位不统一应先化成同一单位 当两个比例式的每一项都对应相同 两个比例式才是同一比例式 当两个比例式的每一项都对应相同 两个比例式才是同一比例式 比例线段是有顺序的 如果说比例线段是有顺序的 如果说是是的第四比例项 那么应得比例式为 的第四比例项 那么应得比例式为 adcb a d c b 2 2 比例的性质 比例的性质 基本性质 基本性质 1 1 2 2 bcaddcba bacbcca 2 反比性质反比性质 把比的前项 后项交换把比的前项 后项交换 c d a b d c b a 合比性质 合比性质 发生同样和差变化比例仍成立 如 发生同样和差变化比例仍成立 如 等等 等等 d dc b ba d c b a dc dc ba ba c cd a ab d c b a 等比性质 如果等比性质 如果 那么 那么 0 nfdb n m f e d c b a b a nfdb meca 注意 实际上 由一个比例式只可化成一个等积式 而一个等积式共可化成八个比例式 如注意 实际上 由一个比例式只可化成一个等积式 而一个等积式共可化成八个比例式 如 除 除bcad 了可化为了可化为 还可化为 还可化为 dcba dbca badc cadb cdab bdac abcd acbd 3 3 比例线段的有关定理 比例线段的有关定理 平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等 那么在其他直线上截得的线段也相等平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等 那么在其他直线上截得的线段也相等 推论推论 1 1 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边 三角形中位线定理的逆定理 三角形中位线定理的逆定理 推论推论 2 2 经过梯形一腰的中点 且与底边平行的直线平分另一腰 经过梯形一腰的中点 且与底边平行的直线平分另一腰 梯形中位线定理的逆定理 梯形中位线定理的逆定理 平行线等分线段成比例定理 三条平行线截两条直线 所得的对应线段成比例 平行线等分线段成比例定理 三条平行线截两条直线 所得的对应线段成比例 推论 推论 1 1 平行于三角形一边的直线截其它两边平行于三角形一边的直线截其它两边 或两边的延长线或两边的延长线 所得的对应线段成比例 所得的对应线段成比例 2 2 平行于三角形一边且和其它两边相交的直线 所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比平行于三角形一边且和其它两边相交的直线 所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比 例 例 定理 如果一条直线截三角形的两边定理 如果一条直线截三角形的两边 或两边的延长线或两边的延长线 所得的对应线段成比例 那么这条直线平行于三角形所得的对应线段成比例 那么这条直线平行于三角形 第三边 第三边 4 4 相似三角形 相似三角形 相似三角形的定义 对应角相等 对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形相似三角形的定义 对应角相等 对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形 相似三角形对应边的比值叫相似三角形对应边的比值叫 做相似比 或相似系数 做相似比 或相似系数 注意 注意 1 1 相似三角形是相似多边形中的一种 相似三角形是相似多边形中的一种 2 2 应结合相似多边形的性质来理解相似三角形 应结合相似多边形的性质来理解相似三角形 3 3 相似三角形应满足形状一样 但大小可以不同 相似三角形应满足形状一样 但大小可以不同 4 4 相似用 相似用 表示 读作表示 读作 相似于相似于 5 5 相似三角形的对应边之比叫做相似比 相似三角形的对应边之比叫做相似比 相似三角形的判定方法相似三角形的判定方法 预备定理 平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线 所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比预备定理 平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线 所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比 例 例 定理的基本图形语言 定理的基本图形语言 数学符号语言 数学符号语言 BCDE ADE ABC 判定定理判定定理 1 1 如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等 那么这两个三角形相似 简述为 如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等 那么这两个三角形相似 简述为 两角对应相等 两三角形相似两角对应相等 两三角形相似 判定定理判定定理 2 2 如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例 并且夹角相等 那么这两个三角形相 如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例 并且夹角相等 那么这两个三角形相 似 简述为 两边对应成比例且夹角相等 两三角形相似似 简述为 两边对应成比例且夹角相等 两三角形相似 判定定理判定定理 3 3 如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例 那么这两个三角形相似 简述 如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例 那么这两个三角形相似 简述 为 三边对应成比例 两个三角形相似为 三边对应成比例 两个三角形相似 判定定理判定定理 4 4 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似 三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下 三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下 类型类型斜三角形斜三角形直角三角形直角三角形 全等三角形的判定全等三角形的判定 SASSASSSSSSS AASAAS ASAASA HLHL 相似三角形的判定相似三角形的判定 两边对应成比两边对应成比 例夹角相等例夹角相等 三边对应成比例三边对应成比例两角对应相等两角对应相等一条直角边与斜边对应成比例一条直角边与斜边对应成比例 从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的 对应边相等对应边相等 的条件改为的条件改为 对应边成比例对应边成比例 就可得到相就可得到相 似三角形的判定定理 这就是我们数学中的用类比的方法 在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌似三角形的判定定理 这就是我们数学中的用类比的方法 在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌 握的方法握的方法 相似三角形的性质定理 相似三角形的性质定理 1 1 相似三角形对应高的比 对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 相似三角形对应高的比 对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 2 2 相似三角形的周长比等于相似比 相似三角形的周长比等于相似比 3 3 相似三角形的面积比等于相似比的平方 相似三角形的面积比等于相似比的平方 4 4 相似三角形内切圆与外接圆的直径比 周长比等于相似比 面积比等于相似比的平方 相似三角形内切圆与外接圆的直径比 周长比等于相似比 面积比等于相似比的平方 相似三角形的等价关系相似三角形的等价关系 1 1 反身性 对于任一反身性 对于任一有有 ABC ABC ABC 2 2 对称性 若对称性 若 则 则 ABC CBA CBA ABC 3 3 传递性 若传递性 若 且 且 则 则 ABC CBA CBA CBA ABC CBA 相似直角三角形相似直角三角形 引理 如果一条直线截三角形的两边 或两边的延长线 所得的线段成比例 那么这两条直线平行于三角形的引理 如果一条直线截三角形的两边 或两边的延长线 所得的线段成比例 那么这两条直线平行于三角形的 第三边第三边 与三角形的中位线定理类似 与三角形的中位线定理类似 定理 如果两个直角三角形有一个锐角对应相等 那么这两个直角三角形相似定理 如果两个直角三角形有一个锐角对应相等 那么这两个直角三角形相似 定理 如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例 那么这两个直角三角形相似定理 如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例 那么这两个直角三角形相似 定理 如果两个直角三角形的斜边和一直边对应成比例 那么这两个直角三角形相似定理 如果两个直角三角形的斜边和一直边对应成比例 那么这两个直角三角形相似 经过归纳和总结 相似三角形有以下几种基本类型经过归纳和总结 相似三角形有以下几种基本类型 平行线型 常见的有如下两种 平行线型 常见的有如下两种 则 则 DEBCADEABC A A B C BC DE DE 相交线型 常见的有如下四种情形 如图 已知相交线型 常见的有如下四种情形 如图 已知 则由公共角 则由公共角得 得 1 B A ADEABC 1 1 A B C D A BC E E D 如下左图 已知如下左图 已知 则由公共角 则由公共角得 得 如下右图 已知 如下右图 已知 则由对顶 则由对顶1 B A ADCACBBD 角