九年级数学用推理方法研究四边形华东师大版知识精讲

九年级九年级数学数学用推理方法研究四边形用推理方法研究四边形华东师大版华东师大版 同步教育信息同步教育信息 一 本周教学内容 用推理方法研究四边形 重要知识归纳 一 平行四边形 1 平行四边形的判定定理 1 从边的关系去判定 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 2 从角的关系去判定 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 注 邻角都互补的四边形也可证其是平行四边形 3 从对角线的关系去判定 对角线相互平分的四边形是平行四边形 2 平行四边形的性质定理 1 从边的关系分析 平行四边形对边平行且相等 2 从角的关系分析 平行四边形对角相等 邻角互补 3 从对角线分析 平行四边形对角线互相平分 4 从对称性分析 平行四边形是中心对称图形 对角线交点是对称中心 注 由中心对称性 可通过绕三角形一边中点旋转 180 来构造平行四边形 二 矩形 1 矩形的判定定理 1 有一个角是直角的平行四边形是矩形 2 有三个角是直角的四边形是矩形 3 对角线相等的平行四边形是矩形 4 对角线相等且相互平分的四边形是矩形 2 矩形的性质定理 1 矩形的四个角都是直角 2 矩形的对角线相等且相互平分 3 矩形的对称性 矩形既是轴对称图形 又是中心对称图形 三 菱形 1 菱形的判定定理 四条边都相等的四边形是菱形 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 2 菱形的性质定理 菱形四条边都相等 菱形对角线互相垂直且平分 并且每条对角线平分一组对角 3 菱形的对称性 菱形既是轴对称图形又是中心对称图形 4 菱形的面积等于它的两条对角线的乘积的一半 四 正方形 1 正方形的性质 1 正方形四个角都是直角 四条边都相等 2 正方形两对角线互相垂直平分且相等 并且每条对角线平分一组对角 2 正方形的对称性 正方形既是中心对称图形 又是轴对称图形 3 正方形的边长与对角线长的比为 12 4 正方形的判定定理 1 有一组邻边相等的矩形是正方形 2 对角线相互垂直的矩形是正方形 3 有一个角是直角的菱形是正方形 4 对角线相等的菱形是正方形 5 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 注 证明四边形是正方形往往先证明它是矩形或菱形 然后再证明其是正方形 有时 也从对角线关系出发直接证其是正方形 图形解读四边形内在联系 四边形 平行四边 形判定 平行四边形 等腰梯形 矩形 矩形判定 菱形判定 菱形 正方形 梯形 直角梯形 正方形判定 正方形判定 典型例题典型例题 例 1 如图所示 平行四边形 ABCD 中 点 E F 在对角线 AC 上 且 AE CF 求证 四边形 BEDF 是平行四边形 A D E F B C 证明一 证明一 在平行四边形 ABCD 中 ADBCABDC 12 又 又 AECF ADECBFSAS AEDCFBDEBF DEFBFE DEBFDEBF 四边形 BFDE 为平行四边形 证明二 证明二 由证明一同理可证 ADECBFABECDF DEBFBEDF 四边形 BFDE 为平行四边形 证明三 证明三 连结 BD 在平行四边形 ABCD 中 则AOCOBODO 又 AECF EOFO 四边形 BFDE 为平行四边形 A D 1 E O F 2 B C 例 2 分别以平行四边形 ABCD 的邻边 AB 和 AD 为一边 在平行四边形 ABCD 外作正 三角形 ABF 和正三角形 ADE 连结 CE EF CF 得 CEF 试判断 CEF 的形状 并证 明你的结论 C B D A F E 证明 证明 四边形 ABCD 是平行四边形 ABCDBCADABCADC ADE ABF 为正三角形 DEAEADBCDCABBFAF ADEBAFCBF 60 CDEFBCADC EAFDAB ADCADC CDEFBCEAF AEFDECBCF EF CEF 60 3606060 24018060 是三角形 例 3 已知 如图所示 延长平行四边形 ABCE 的边 BC 至 E DA 至 F 使 CE AF EF 与 BD 交于点 O 求证 EF 与 BD 互相平分 F A D O B C E 证明 证明 连结 FB DE 四边形 ABCD 是平行四边形 ADBCADBC CEAF ADAFBCCEFDBE 又 即 四边形 FBED 是平行四边形 EF 与 BD 互相平分 F A D O B C E 例 4 已知 如图所示 在矩形 ABCD 中 AC BD 是对角线 过顶点 C 作 BD 的平行 线与 AB 的延长线相交于点 E 求证 ACE 是等腰三角形 A D O B C E 证法一 证法一 BDECBEDC 四边形 BDCE 是 四边形 BD EC 四边形 ABCD 是矩形 AC AC EC ACE 是等腰三角形 证法二 证法二 四边形 ABCD 是矩形 ABCEBCABDCABDC CEBD 90 四边形 BDCE 是平行四边形 EB CD AB EB 在 ABC 和 EBC 中 ABEBABCEBCBCBC ABCEBC ACEC 即 ACE 是等腰三角形 证法三 证法三 四边形 ABCD 是矩形 OAACOBBDACBD OAOB CAEDBA CEBD EDBA 1 2 1 2 CAEE ACEC ACE 为等腰三角形 例 5 如图所示 延长矩形的边 CB 至 E 使 CE CA F 是 AE 的中点 求证 BF FD A D F E B C 证明 证明 四边形 ABCD 是矩形 DABABCADBC90 F 是 AE 的中点 直角三角形斜边中线等于 BFAEAF 1 2 BAF 即 DAFCBF 在 ADF 和 BCF 中 ADBCDAFCBFAFBF ADFBCFSAS AFDCFB CACECF AE AFDDFCCFBDFC BF FD 又 9090 例 6 已知 如图所示 将矩形 ABCD 沿着直线 BD 折叠 使点 C 落在 C 处 BC 交 AD 于 E AD 8 AB 4 求 BED的面积 C A E D B C 解 解 在矩形 ABCD 中 AD BC 23 当矩形 ABCD 沿着直线 BD 折叠后 BC D 与 BCD 关于直线 BD 对称 12 13 BEDE 作EF BDBFBD 则 1 2 BD 844 5 22 设 在中 BEx BEED AEx Rt ABExx x 8 48 5 222 在Rt BEFxEF 中 222 2 5 EF SBDEF BDE 5 1 2 10 C A E D 3 1 F 2 B C 例 7 已知 如图所示 在菱形 ABCD 中 且 AE OD 求的度数 AE CD ADC A B O D E C 解 解 四边形 ABCD 是菱形 AOD 在Rt AODRt DEA ADAD AEOD 和中 Rt AODRt DEA OADEDA CADADC即 四边形 ABCD 是菱形 BACCAD BACCADADC ADC 例 8 如图所示 E F 分别在正方形 ABCD 的边 BC CD 上 且 求证 EAF45 EF BE DF A D F B E C 证明 证明 将 ADF 旋转至 ABG 则 ADFABG AFDFBG 1 EAF BAE BAE GAE AEFSAS EFEGEBBGEB 45 145 245 45 即 A D 1 2 F G B E C 综合延伸综合延伸 例 1 如图所示 ABC 中 点 O 是 AC 边上的一个动点 过 O 作直线 MN BC 设 MN 交的平分线于点 E 交的外角平分线于 F BCA BCA 1 求让 EOFO 2 当点 O 运动到何处时 四边形 AECF 是矩形 并证明你的结论 3 若 AC 边上存在点 O 使四边形 AECF 是正方形 且 求的大小 AE BC 6 2 B A M O F N E B C D 分析 分析 这是一道结论存在型探索题 综合性较强 对于第 1 小题 可以从 CE 平分 和平行线的性质定理证 EO CO 同理 FO CO 从而 EO FO BCA 对于第 2 小题 由 EC FC 是的内 外角平分线知 若四 BCA ECF90 边形 AECF 为平行四边形 则问题得到解决 由 1 知动点 O 在 AC 边上不管怎样运动 总有 EO FO 因此 让动点取在 AC 的中点上 则有 OA OC 这样根据矩形的判定可知 四边形 AECF 是矩形 解 解 1 MNBC OECBCE OCEBCE OECOCE OEOC 又 同理可证 OFOC OEOF 2 CE CF 分别是的内角 外角平分线 ACB OCEOCFACBACD 1 2 1 2 18090 即 所以还需四边形 AECF 是平行四边形 又 OE OF ECF90 当 O 点运动到 AC 中点时 OA OC 四边形 AECF 是矩形 3 四边形 AECF 是正方形 ACE ACB AE AC AE BC AC BC 45 90 2 2 6 2 3 B60 例 2 如图所示 有四个动点 P Q E F 分别从正方形 ABCD 的四个顶点出发 沿着 AB BC CD DA 以同样的速度向 B C D A 各点移动 1 试判断四边形 PQEF 是正方形并证明 2 PE 是否总过某一定点 并说明理由 3 四边形 PQEF 的顶点位于何处时 其面积最小 最大 各是多少 A F D P E B Q C 分析 分析 1 易证四边形 PQEF 是正方形 2 小题是动态问题 紧紧抓住运动过程中的不变量 即 四边形 APCEAPCE 是平行四边形 易知 PE 与 AC 平分于 O 点 3 小题中显然当 P Q E F 分别运动至正方形 ABCD 各顶点重合时面积最大 分析最小情形时可根据 而 PE 最小时为 此时 SPE 正 1 2 2 PE AB PEBC 解 解 1 证明 证明 在正方形 ABCD 中 APBQCEDF ABBCCDAD BPQCEDFA 又 BADBBCDD90 AFPBPQCQEDEF FPPQQEEFAPFPQB 易证 FPQ 四边形 PQEF 为正方形 2 连结 AC 交 PE 于 O APEC 四边形 APCE 为平行四边形 又 O 为对角线 AC 的中点 对角线 PE 总过 AC 的中点 A F D P O E B Q C 3 当 P 运动到 B 重合时 四边形 PQEF 的面积最大 等于原正方形面积 当时 四边形 PQEF 的面积最小 等于原正方形面积的一半 PE AB 例 3 1 已知正方形 ABCD 中 M 是 AB 的中点 E 是 AB 延长线上一点 交的平分线于 N 如图所示 MD 与 MN 的大小关系怎样 MN DM CBE D C N A M B E 2 若将上述条件中的 M 是 AB 中点 改为 M 是 AB 上任意一点 其余条件不 变 如图所示 MD 与 MN 的大小关系发生了变化吗 D C N A M B E 思考 思考 观察图形知 MD 和 MN 分居在两个不同的三角形中 其中 ADM 为直角三角 形 不可能证明它们全等 于是设法根据已知条件构造与 BMN 全等的三角形 猜想 猜想 在 1 中 MD 与 MN 的大小关系是 MD MN 考查 2 和 1 的联系 类 比得到 MD MN 发现 发现 1 在如图所示中取 AD 中点 H 连结 MH M 为 AB 中点 AB AD AMMHAHMDHM 又平分 即 BNCBE MBN DHMMBN 135 DM DN AMDNMBAMDADM ADMNMB DHMMBN MD 90 D C N H A M B E 2 在 AD 上取 AH AM 连MH 则易得 DH BM 类比 1 可证得 DHM NBM MDMN D C N H A M B E 结论 结论 无论 M 点在 AB 上的位置怎样 结论 DM MN 总成立 模拟试题模拟试题 1 如图所示 在 ABC 中 延长 BA 到点 D 使 点 BAC90 ADAB 1 2 E F 分别为边 BC AC 的中点 1 求证 DF BE 2 过点 A 作 AG BC 交 DF 于点 G 求证 AG DG D A F B E C 2 如图所示 已知 E 为平行四边形 ABCD 中 DC 边的延长线上的一点 且 CE DC 连 结 AE 分别交 BC BD 于点 F G 连结 AC 交 BD 于 O 连结 OF 求证 AB 2OF A G O D B F C E 3 如图所示 已知正方形 ABCD 的边长为 2 如果将线段 BD 绕着点 B 旋转后 点 D 落 在 CB 的延长线上的 D 处 那么等于 tan BAD A 1B C D 2 2 2 2 2 A D D B C 4 如图所示 P 是正方形 ABCD 内一点 PA PB PC 1 2 3 将 PBC 绕点 B 按逆 时针方向旋转 90 到 QAB 的位置 1 求 PQ PB 的值 2 求的度数 APB A D P Q B C 5 如图所示 梯形 ABCD 中 ADBCABCADBC 90912 AB a 在线段 BC 上任取一点 P 连结 DP 作射线与直线 AB 交于点 E PE DPPE 1 试确定 CP 3 时 点 E 的位置 2 若设 CP x BE y 试写出y关于自变量 x 的函数关系式 3 若在线段 BC 上能找到不同的两点 P1 P2 使按上述作法得到的点 E 都与点 A 重合 试求出此时 a 的取值范围 A D E B P C 试题答案试题答案 1 证明 证明 1 点 E F 分别为 BC AC 的中点 EF 是 ABC 的中位线 EFABEFABAD EFCBACDAF AFFC AFDFCE DFCECEBE DFBE 且 又 又 1 2 90 2 作出线段 AG AFDFCE DFEC FEAB FECB AGBC BDAG DDAG AGDG 又 又 2 证明 证明 连结 BE 在平行四边形 ABCD 中 AB CD 且 AB CD AO OC CECD ABCEABCE