【走向高考】2013年高考数学总复习 7-2 基本不等式但因为测试 新人教B版

用心 爱心 专心1 走向高考走向高考 2013 2013 年高考数学总复习年高考数学总复习 7 27 2 基本不等式但因为基本不等式但因为 测试测试 新人教新人教 B B 版版 1 2010 茂名市模拟 a 是 对任意的正数 x 均有 x 1 的 1 4 a x A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 既非充分也非必要条件 答案 A 解析 a x 0 时 x 2 1 等号在 x 时成立 又 a 4 时 1 4 a x x a x 1 2 x x 2 4 也满足 x 1 故选 A a x 4 x x 4 x a x 2 2011 兰州一模 已知 p a q x2 2 其中 a 2 x R 则 p q 的大 1 a 2 1 2 小关系为 A p q B p q C p0 直线 b2 1 x ay 2 0 与直线 x b2y 1 0 互相垂直 则 ab 的最小值等于 A 1 B 2 C 2 D 2 23 答案 B 解析 由条件知 b2 1 ab2 0 a b2 1 b2 ab b 2 等号在 b 1 a 2 时成立 b2 1 b 1 b 理 2011 太原部分重点中学联考 若正实数 a b 满足 a b 1 则 A 有最大值 4B ab 有最小值 1 a 1 b 1 4 用心 爱心 专心2 C 有最大值D a2 b2有最小值 ab2 2 2 答案 C 解析 由基本不等式 得 ab ab 所以 ab 故 B a2 b2 2 a b 2 2ab 2 1 2 1 4 错 4 故 A 错 由基本不等式得 即 1 a 1 b a b ab 1 ab a b 2 a b 2 1 2ab2 故 C 正确 a2 b2 a b 2 2ab 1 2ab 1 2 故 D 错 故选 C 1 4 1 2 4 文 2011 湖北八校第一次联考 若 0 x0 b 0 a b 的等差中项是 且 a b 则 的最小 1 2 1 a 1 b 值为 A 2 B 3 C 4 D 5 答案 D 解析 为 a b 的等差中项 a b 1 1 2 a b 1 1 1 1 a 1 b 1 a 1 b a b ab 1 ab ab ab a b 2 a b 2 4 1 4 当 a b 时取等号 1 2 1 1 4 5 1 ab 的最小值为 5 故选 D 5 文 2011 沈阳模拟 若实数 x y 满足 1 则 x2 2y2有 1 x2 1 y2 A 最大值 3 2 B 最小值 3 2 22 用心 爱心 专心3 C 最大值 6 D 最小值 6 答案 B 解析 x2 2y2 x2 2y2 1 x2 1 y2 3 3 2 x2 y2 2y2 x22 等号在 即 x2 2y2时成立 x2 y2 2y2 x2 理 2011 厦门二检 若直线 ax by 2 0 a 0 b 0 被圆 x2 y2 2x 4y 1 0 截 得的弦长为 4 则 的最小值为 1 a 1 b A B 1 42 C D 2 3 22 3 22 答案 C 解析 圆的直径是 4 说明直线过圆心 1 2 故 a b 1 a b 1 2 1 a 1 b 1 2 1 a 1 b 当且仅当 即 a 2 1 b 2 时取等号 故选 C 3 2 b a a 2b 3 22 b a a 2b22 6 2011 北京文 7 某车间分批生产某种产品 每批的生产准备费用为 800 元 若 每批生产 x 件 则平均仓储时间为 天 且每件产品每天的仓储费用为 1 元 为使平均到每 x 8 件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小 每批应生产产品 A 60 件 B 80 件 C 100 件 D 120 件 答案 B 解析 由题意知仓储 x 件需要的仓储费为元 所以平均费用为 y 2 x2 8 x 8 800 x 20 当且仅当 x 80 等号成立 x 8 800 x 7 已知 c 是椭圆 1 a b 0 的半焦距 则的取值范围是 x2 a2 y2 b2 b c a 答案 1 2 解析 由题设条件知 a1 b c a a2 b2 c2 2 b c 2 a2 b2 c2 2bc a2 2 b2 c2 a2 b c a2 用心 爱心 专心4 8 文 2011 温州一检 已知直线 x 2y 2 与 x 轴 y 轴分别相交于 A B 两点 若 动点 P a b 在线段 AB 上 则 ab 的最大值为 答案 1 2 解析 由题意知 A 2 0 B 0 1 所以线段 AB 的方程用截距式表示为 y 1 x 0 2 又动点 P a b 在线段 AB 上 所以 b 1 a 0 2 又 b 2 x 2 a 2 a 2 所以 1 2 解得 0 ab 当且仅当 b 即 P 1 时 ab 取得最大值 ab 2 ab 2 1 2 a 2 1 2 1 2 1 2 理 2010 江苏无锡市调研 设圆 x2 y2 1 的一条切线与 x 轴 y 轴分别交于点 A B 则 AB 的最小值为 答案 2 解析 由条件知切线在两轴上的截距存在 且不为零 故设切线方程为 1 则 x a y b 1 ab a2 b2 a2b2 a2 b2 2ab 切线与两轴交于点 A a 0 和 0 b 不妨设 a 0 b 0 ab 2 则 AB AB 2 a2 b22ab 9 文 2011 山东日照调研 在等式 1 的两个括号内各填 1 9 入一个正整数 使它们的和最小 则填入的两个数是 答案 4 和 12 解析 设两个括号中的正整数分别为 x y 则 x 0 y 0 1 x y x y 1 x 9 y 10 10 2 16 等号在 即 y 3x 时成立 由Error 解得 1 x 9 y y x 9x y y x 9x y y x 9x y Error 理 2010 山东平度一中一模 设 1 2 a 1 b 0 OA OB OC a 0 b 0 O 为坐标原点 若 A B C 三点共线 则 的最小值是 1 a 2 b 答案 8 解析 a 1 1 b 1 2 AB OB OA AC OC OA 与共线 2 a 1 b 1 0 即 2a b 1 AB AC a 0 b 0 2a b 4 4 2 8 当且仅当 1 a 2 b 1 a 2 b b a 4a b b a 4a b b a 4a b 用心 爱心 专心5 即 b a 时等号成立 1 2 1 4 10 文 2011 洛阳模拟 若直线 ax by 1 0 a 0 b 0 平分圆 x2 y2 8x 2y 1 0 求 的最小值 1 a 4 b 解析 由 x2 y2 8x 2y 1 0 得 x 4 2 y 1 2 16 圆的圆心坐标为 4 1 4a b 1 0 即 4a b 1 1 a 4 b b 4a ab 1 ab 由 1 4a b 2 4 得 ab 4abab 1 16 16 的最小值为 16 1 ab 1 a 4 b 理 2010 江苏盐城调研 如上图 互相垂直的两条公路 AM AN 旁有一矩形花园 ABCD 现欲将其扩建成一个更大的三角形花园 APQ 要求 P 在射线 AM 上 Q 在射线 AN 上 且 PQ 过点 C 其中 AB 30 米 AD 20 米 记三角形花园 APQ 的面积为 S 1 当 DQ 的长度是多少时 S 最小 并求 S 的最小值 2 要使 S 不小于 1600 平方米 则 DQ 的长应在什么范围内 解析 1 设 DQ x 米 x 0 则 AQ x 20 QD DC AQ AP x 30 x 20 AP AP 则 S AP AQ 30 x 20 x 1 2 15 x 20 2 x 15 x 40 1200 当且仅当 x 20 时取等号 400 x 2 S 1600 3x2 200 x 1200 0 0 x 或 x 60 20 3 答 1 当 DQ 的长度是 20 米时 S 最小 且 S 的最小值为 1200 平方米 用心 爱心 专心6 2 要使 S 不小于 1600 平方米 则 DQ 的取值范围是 0 DQ 或 DQ 60 20 3 11 已知 1 a 0 A 1 a2 B 1 a2 C 比较 A B C 的大小结果为 1 1 a A A B C B B A C C A C B D B C A 答案 B 解析 不妨设 a 则 A B C 2 由此猜想 B A C 1 2 5 4 3 4 由 1 a0 A B 1 a2 1 a2 2a2 0 得 A B C A 1 a2 1 1 a a a2 a 1 1 a 0 得 C A B A0 b 0 且函数 f x 4x3 ax2 2bx 2 在 x 1 处有 极值 则 ab 的最大值等于 A 2 B 3 C 6 D 9 答案 D 解析 f x 12x2 2ax 2b 0 的一根为 x 1 即 12 2a 2b 0 a b 6 ab 2 9 当且仅当 a b 3 时 号成立 a b 2 13 文 2011 湛江调研 已知 x 0 y 0 若 m2 2m 恒成立 则实数 m 的取 2y x 8x y 值范围是 A m 4 或 m 2 B m 2 或 m 4 C 2 m 4 D 4 m0 y 0 2 8 由条件知 m2 2m 8 2y x 8x y 2y x 8x y 解得 4 m0 a7 a6 2a5 设 an 的公比为 q 则 a6q a6 q2 q 2 0 q 0 q 2 2a6 q 4a1 a qm n 2 16a m n 2 4 aman2 12 1 m n 6 m n 等号在 即 1 m 4 n 1 6 1 m 4 n 1 6 5 n m 4m n 1 6 5 2 n m 4m n 3 2 n m 4m n n 2m 4 时成立 14 2011 荆州二检 函数 y loga x 3 1 a 0 a 1 的图象恒过定点 A 若点 A 在直线 mx ny 1 0 上 其中 mn 0 则 的最小值为 1 m 2 n 答案 8 解析 函数 y loga x 3 1 的图象经过的定点为 A 2 1 点 A 在直线 mx ny 1 0 上 2m n 1 2m n 4 1 m 2 n 1 m 2 n n m 4m n mn 0 0 0 2 4 当且仅当Error 即Error 时等号成 n m 4m n n m 4m n n m 4m n 立 于是 4 4 8 即 的最小值为 8 1 m 2 n 1 m 2 n 15 文 2011 安徽合肥联考 合宁高速公路起自安徽省合肥西郊大蜀山 终于苏皖 交界的吴庄 全长 133 千米 假设某汽车从大蜀山进入该高速公路后以不低于 60 千米 时 且不高于 120 千米 时的速度匀速行驶到吴庄 已知该汽车每小时的运输成本 y 以元为单 位 由固定部分和可变部分组成 固定部分为 200 元 可变部分与速度 v 千米 时 的平方 成正比 当汽车以最快速度行驶时 每小时的运输成本为 488 元 1 把全程运输成本 f v 元 表示为速度 v 千米 时 的函数 2 汽车应以多大速度行驶才能使全程运输成本最小 最小运输成本为多少元 解析 1 依题意 488 200 k 1202 k 0 02 用心 爱心 专心8 f v 200 0 02v2 133 0 02v 60 v 120 133 v 200 v 2 f v 133 0 02v 133 2 532 200 v 200 v 0 02v 当且仅当 0 02v 即 v 100 时 成立 200 v 即汽车以 100 千米 时的速度行驶 全程运输成本最小为 532 元 理 某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销 在一年内预计销售量 Q 万件 与 广告费 x 万元 之间的函数关系为 Q x 0 已知生产此产品的年固定投入为 3 万 3x 1 x 1 元 每生产 1 万元此产品仍需再投入 32 万元 若每件销售价为 年平均每件生产成本的 150 与 年平均每件所占广告费的 50 之和 1 试将年利润 W 万元 表示为年广告费 x 万元 的函数 2 当年广告费投入多少万元时 企业年利润最大 最大利润为多少 解析 1 由题意可得 产品的生产成本为 32Q 3 万元 每万件销售价为 150 50 32Q 3 Q x Q 年销售收入为 150 50 Q 32Q 3 Q x Q 32Q 3 x 3 2 1 2 年利润 W 32Q 3 x 32Q 3 x 3 2 1 2 32Q 3 x x 0 1 2 x2 98x 35 2 x 1 2 令 x 1 t t 1 则 W 50 t 1 2 98 t 1 35 2t t 2 32 t t 1 2 8 即 W 42 t 2 32 t t 2 32 t 当且仅当 即 t 8 时 W 有最大值 42 此时 x 7 t 2 32 t 即当年广告费为 7 万元时 企业利润最大 最大值为 42 万元 16 已知 都是锐角 且 sin sin cos 1 当 求 tan 的值 4 2 当 tan 取最大值时 求 tan 的值 用心 爱心 专心9 解析 1 由条件知 sin sin 2 2 4 整理得 sin cos 0 为锐角 tan 3 2 1 2 1 3 2 由已知得 sin sin cos cos sin2 sin tan sin cos sin2 tan tan sin cos 1 sin2 sin cos 2sin2 cos2 tan 2tan2 1 1 2tan 1 tan 1 2 2 2 4 当且仅当 2tan 时 取 号 1 tan tan 时 tan 取得最大值 2 2 2 4 此时 tan tan tan 1 tan tan 2 1 若 a b c d x y 是正实数 且 P Q 则 abcdax cy b x d y A P Q B P Q C P Q D P Q 答案 C 解析 Q ax cy b x d y ab cd adx y bcy x P ab cd 2 abcdabcd 点评 可用特值法求解 令所有字母全为 1 则 P 2 Q 2 P Q 排除 D 令 a b c d 1 x 1 y 4 则 P 4 Q 5 P0 b 0 1 1 a 2 b 所以 2a b 1 2a b 2 2 8 1 a 2 b b a 4a b 当且仅当 即 2a b 4 时等号成立 所以 4a2 b2 1 1 2a b 2 64 b a 4a b 所以 4a2 b2 32 当且仅当 4 时等号成立 2a 1 b 1 所以 4a2 b2 min 32 3 若不等式 x2 ax 1 0 对一切 x 成立 则 a 的最小值为 0 1 2 A 0 B 2 C D 3 5 2 答案 C 分析 将不等式进行变形 变为不等式的一边为参数 另一边为含 x 的代数式 a x x a 只要大于或等于 y x x 的最大值就满足题设要 1 x 0 1 2 1 x 0 1 2 求 解析 若 x2 ax 1 0 x 恒成立 则 a x