九年级数学用推理方法研究三角形华东师大版知识精讲

九年级九年级数学数学用推理方法研究三角形用推理方法研究三角形华东师大版华东师大版 同步教育信息同步教育信息 一 本周教学内容 用推理方法研究三角形 角平分线 线段的垂直平分线 逆命题 逆定理 知识要点 一 角平分线 1 定理 1 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 2 到一个角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上 2 三角形三条角平分线相交于一点 这一点称为三角形的内心 二 线段的垂直平分线 1 定理 1 线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等 2 到一条线段的两个端点的距离相等的点 在这条线段的垂直平分线上 2 三角形的三边的垂直平分线相交于一点 这一点是三角形的外心 三 逆命题 逆定理 1 概念 1 互逆命题 在两个命题中 如果第一个命题的题设是第二个命题的结论 而第一 个命题的结论是第二个命题的题设 那么这两个命题叫做互逆命题 如果把其中一个命题 叫做原命题 那么另一个命题就叫做它的逆命题 2 如果一个定理的逆命题也是定理 那么这两个定理叫做互逆定理 其中的一个定 理叫做另一个定理的逆定理 2 定理 1 勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 2 勾股定理的逆定理 如果三角形一条边的平方等于另外两条边的平方和 那么这 个三角形是直角三角形 学法建议 学习角平分线时 要理解添加辅助线的目的 学几何命题的证明方法和证明的叙述格 式 并能进行总结归纳 学习线段的中垂线时 要掌握两个定理的联系和区别 在利用线段中垂线定理证明几 何命题时要避免再去证三角形全等 学习逆命题 逆定理时 要分析命题的题设和结论 从而理解互逆命题的实质 能熟 练地说出一个命题的逆命题 并能判断真假性 掌握勾股定理和其逆定理并能熟练应用 典型例题典型例题 例 1 如图 BE CE 分别是 ABC 的外角平分线 且相交于点 E 求证 E 在 A 的平分线上 分析 分析 要证 E 在 A 的平分线上 只需证 E 到 A 两边距离相等即可 因此需作辅助 线 EM EN EH 使它们分别与 AB AC BC 垂直 只需证明 EM EN 证明 证明 过 E 作 EM AB 交 AB 的延长线于 M 过 E 作 EN AC 交 AC 的延长线于 N 过 E 作 EH BC 于 H E 在 MBC 的平分线上且 EM AB EH BC EM EH 角平分线上的点到角的两边距离相等 同理 EN EH EM EN E 在 A 的平分线上 到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 说明 说明 在有关角平分线的问题中 一般过角平分线上的点向两边作垂线来解决问题 例 2 如图 ABC 中 A 90 AB AC BD 平分 ABC 交 AC 于 D CE BD 的延长线于 E 求证 BD 2CE 分析 分析 要证明 BD 2CE 常需找出线段或 2CE 由条件 BD 平分 ABC 和 1 2 BD CE BD 想到延长 CE BA 相交于 F 先证明 CF 2CE 再证明 BD CF 即可 这需证 明 ABD ACF 延长 CE BA 相交于 F 在 FBE 和 CBE 中 23 4590 BEBE FBE CBE ASA CEEFCF CFCE 1 2 2 BE CF AC AB 2 F 90 1 F 90 1 2 在 ABD 和 ACF 中 12 90 ABAC BADCAF ABD ACF ASA BD CF BD 2CE 说明 说明 1 在题目中如果含有角平分线且含有和这条角平分线垂直的条件时 要想到 翻折图象 此题所作的辅助线 实质上是将以 BE 所在直线为轴翻折过去得Rt BCE Rt BFE 2 此题图中 可以把 BE CA 看成是 FBC 的两条高 注意 1 2 这个结 论 例 3 如图 直角梯形 ABCD AB CD B 90 E 是 BC 中点 DE 平分 ADC 求证 AE 平分 DAB 分析 分析 要证 AE 平分 DAB 只需证明点 E 在 DAB 的平分线上即可 过 E 作 EF AD 于 F 由条件可得 EF EC EB 则点 E 在 DAB 的平分线上 即 AE 平分 DAB 证明 证明 过 E 作 EF AD 于 F EC DC DE 平分 ADC EC EF 角平分线的点到角的两边距离相等 BE CE BE EF EF AD BE AB AE 平分 DAB 到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 说明 说明 要善于利用角平分线的这两个定理解决有关角平分线的问题 例 4 如图 在中 C 90 BD 是 B 的平分线交 AC 于 D CE AB 于Rt ABC E 交 BD 于 O 过 O 作 FG AB 交 BC 于 F 交 AC 于 G 求证 CD AG 分析 分析 过点 D 作 DH AB 于 H 可证 1 2 从而 CO CD 而 CD DH 因此 CO DH 可证 则 CG DA CD AG Rt COGRt DHA 证明 证明 过点 D 作 DH AB 于 H BD 平分 CBA ACB 90 CD DH 角平分线上的点到角两边距离相等 BD 平分 ABC 4 5 2 4 5 3 90 2 3 又 1 3 1 2 CO CD DH CO CE AB AB FG CE FG 6 A COG 90 在 COG 和 DHA 中 COGDHA A CODH 90 6 COG DHA CG AD CGDGADDG 即 CD AG 说明 说明 在有关角平分线的问题中 通常过角平分线上有关的点向两边作垂线 也可以 在角的两边截长或补短 从而找到解决问题的途径 例 5 已知 如图 ABC 中 AB AC BAC 120 EF 为 AB 的垂直平分线交 AB 于点 E 交 BC 于点 F 试猜想 BF 与 FC 的关系 并说明理由 分析 分析 因为 EF 是 AB 的中垂线 故连结 AF 则 AF BF 因为 AB AC BAC 120 易知 C B 30 FAC 90 因此在 Rt ACF 中 则CFAFBF 1 2 1 2 证明 证明 连结 AF EF 垂直平分 AB FA FB 线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等 B 1 等边对等角 AB AC BAC 120 B C 30 1 30 FAC 90 又 C 30 FC 2AF BFFC 1 2 说明 因为 BF 与 FC 在同一条直线上不易证 由线段的垂直平分线的性质 则连结 AF BF AF 所以 AF 与 FC 在 AFC 中 由已知条件易得 FAC 90 C 30 从而证得 例 6 如图 ABC 中 C 90 A 30 分别以 AB AC 为边向形外作正 ABE 和正 ACD 连 DE 交 AB 于 F 求证 EF FD 分析 分析 欲证 EF FD 因为 EF FD 在同一直线上 FD 又是 AFD 的一条边 由已知 条件 BAC 30 CAD 60 则 FAD 90 所以需以EF 为边构造一个直角三 角形 再证得此三角形与 AFD 全等 因此 由 E 点作 ABE 的 AB 边上垂线即可 证明 证明 过 E 点作 EP AB 于 P 点 则 EPB 90 BE AE AB EP 平分 BEA 1 1 2 30BEA 在 EPB 和 ACB 中 1230 90 EPBACB BEAB EPB ACB EP AC 又 AC AD CD EP AD CAD 60 FAD 2 CAD 90 在 EPF 和 DAF 中 34 90 EPFDAF EPAD EPF DAF AAS EF DF 例 7 写出下列各命题的逆命题 并判断其真假 1 全等三角形对应角相等 2 直角三角形两锐角互余 3 同角的余角相等 分析 分析 要写出一个命题的逆命题 首先要弄清楚原命题的题设和结论 再把它的题设 和结论对调重新组织语言即可 答 答 1 三个角对应相等的两个三角形全等 假命题 2 有两个互余锐角的三角形是直角三角形 真命题 3 如果两个角相等 那么这两个角是同一个角的余角 假命题 例 8 如图 已知 在直角三角形 ABC 中 AB AC BAC 90 P 为斜边 BC 上的 任意一点 求证 BPCPAP 222 2 分析 分析 证明线段的平方问题 首先要考虑应用勾股定理 这时要从图中寻找或构造包 含所证线段的直角三角形 最常见的办法是引垂线构造直角三角形 证明 证明 过 A 点作 AD BC 于 D 在 Rt APD 中 由勾股定理可知 APADPD 222 Rt BAC 中 AB AC AD BC AD BD CD 等角对等边 BPCPBDPDBDPD 22 22 22 2 2 2 22 22 22 2 BDPD BDPD ADPD AP 说明 说明 本题还可作 PE AB 于 E PF AC 于 F 无论哪种作法都是为了构造直角三角 形 从而应用勾股定理 例 9 如图 四边形 ABCD 为正方形 点 E 为 AB 的中点 点 F 在 AD 边上且 AFAD 1 4 求证 EF CE 分析 分析 本题已知告诉了线段之间的关系 因此可以连结 CF 通过证 来解决 CFEFEC 222 证明 连结 FC 设正方形 ABCD 的边长为 a 则 AEBE a AFaDFa 2 1 4 3 4 在 Rt AEF 中 勾股定理 EFAEAF aa a 222 22 2 416 5 16 在 Rt BCE 中 勾股定理 ECBEBC a aa 222 2 22 4 5 4 在 Rt CDF 中 勾股定理 CFDFCDaaa 222222 9 16 25 16 5 16 5 4 5 16 20 16 25 16 22222 aaaaa EFECCF 222 FEC 90 勾股定理的逆定理 FE CE 模拟试题模拟试题 一 填空题 1 在 Rt ABC 中 C 90 BC 16cm A 的平分线 AD 交 BC 于 D 且使 CD DB 3 5 则点 D 到 AB 的距离为 2 如图 a 已知 C 90 AD 平分 A AD BD 2CD 点 D 到 AB 距离为 5 6 cm 则 BC 长为 图 a 3 如图 b 已知 AB CD O 为 A C 的平分线的交点 OE AC 交 AC 于 E 且 OE 2 则两平行线 AB CD 之间距离为 图 b 4 如图 c 已知 C 90 1 2 若 BC 8 BD 5 则点 D 到 AB 的距离 为 图 c 5 在 ABC 中 AB 15 AC 13 高 AD 12 则 ABC 的周长是 6 如图 d ABC 中 C 90 DE 是 AB 的中垂线 AB 2AC BC 18 cm 则 BE 的长度为 图 d 7 邻补角的平分线互相垂直 的题设是 结论是 8 不相等的两个角不一定是对顶角 是 命题 二 选择题 9 如图 已知点 P 到 BE BD AC 的距离恰好相等 则点 P 的位置 1 在 B 的平分线上 2 在 DAC 的平分线上 3 在 ECA 的平分线上 4 恰是 B DAC ECA 的三条角平分线的交点 上述结论中正确的个数是 A 1 个B 2 个C 3 个D 4 个 10 如图 ABC 中 C 90 AC BC AD 平分 CAB 交 BC 于 D DE AB 于 E 若 AB 6cm 则 DEB 的周长为 A 5cmB 6cmC 7cmD 8cm 11 Rt ABC 中 斜边 BC 6 AD BE 是中线 若 AD BE 则 BE 的长为 A B C D 3 2 3 2 22 5 5 2 5 12 在 Rt ABC 中 A B CM 是斜边 AB 的中线 将 ACM 沿直线 CM 折叠 点 A 落在点 D 处 如果 CD 恰好与 AB 垂直 那么 A 等于 A 15 B 30 C 45 D 60 13 下列语句是命题的是 A 画 AOB 75 B 连结 AB C 锐角小于它的余角 D 画 CD AB 于 D 三 解答题 14 如图 BD 是 ABC 的平分线 DE AB 于 E AB 18cm BC 12cm 求DE 的长 Scm ABC 36 2 15 如图 B C 90 M 为 BC 的中点 DM 平分 ADC 求证 AM 平分 DAB 16 如图 在等边 ABC 中 ABC ACB 的平分线交于 O BO CO 的垂直平分线 与 BC 分别交于 E F 求证 BE EF FC 17 写出下列命题的逆命题 并判断是真命题还是假命题 1 在空间里 命题 没有交点的两条直线互相平行 2 如果 则 ab 22 ab 3 末位数字是零的整数一定能被 5 整除 试题答案试题答案 一 填空题 1 6cm2 16 8cm3 4 4 35 42 或 326 12cm 7 题设 如果两个角是邻补角 结论 那么它的角平分线互相垂直 8 假命题 二 选择题 9 D10 B11 A12 B13 C 三 解答题 14 过 D 作 DF BC