2013最新题库大全2005-2006年高考数学 试题分项 专题专题04 数列 理

用心 爱心 专心1 20132013 最新题库大全最新题库大全 2005 20072005 2007 年数学 理 高考试题分项专题年数学 理 高考试题分项专题 0404 数列数列 一 选择题 1 全国 1 理 15 等比数列 n a的前n项和为 n S 已知 1 S 2 2S 3 3S成等差数列 则 n a的公比为 解 等比数列 n a的前n项和为 n S 已知 1 S 2 2S 3 3S成等差数列 1 1 n n aa q 又 213 43SSS 即 2 111111 4 3 aa qaaa qa q 解得 n a的公比 1 3 q 2 广东理 5 已知数列 n a 的前 n 项和 2 9 n Snn 第 k 项满足 k a 则 k A 9 B 8 C 7 D 6 答案 B 解析 此数列为等差数列 1 210 nnn aSSn 由 5 2k 10 8 得到 k 8 3 天津文理 8 设等差数列 n a的公差d不为 0 1 9ad 若 k a是 1 a与 2k a的等比中项 则k A 2B 4C 6D 8 6 福建理 2 数列 的前 n 项和为 若 1 1 nn an 则 5 s等于 A 1 B 6 5 C 6 1 D 30 1 解析 1 1 nn an 1 11 nn 所以 6 5 6 1 5 1 5 1 4 1 4 1 3 1 3 1 2 1 2 1 1 543215 aaaaaS 选 B 用心 爱心 专心2 9 湖北理 5 已知p和q是两个不相等的正整数 且2q 则 1 11 lim 1 11 p q n n n A 0B 1C p q D 1 1 p q 10 湖北理 8 已知两个等差数列 n a和 n b的前n项和分别为An和 n B 且 745 3 n n An Bn 则使得 n n a b 为整数的正整数n的个数是 A 2B 3C 4D 5 答案 选 D 解析 由等差数列的前n项和及等差中项 可得 121121 121121 11 21 22 11 21 22 nn n n nn aanaa a b bbnbb 用心 爱心 专心3 21 21 7 2145143871912 7 2132211 n n nAnn Bnnnn nN 故1 2 3 5 11n 时 n n a b 为整数 故选 D 11 海 宁理 4 已知 n a是等差数列 10 10a 其前 10 项和 10 70S 则其公差d 2 3 1 3 1 3 2 3 12 海 宁理 7 已知0 x 0y xaby 成等差数列 xcdy 成等比数 列 则 2 ab cd 的最小值是 0 1 2 4 答案答案 D D 分析分析 abxy cdxy 222 2 4 xyabxy cdxyxy 14 重庆理 1 若等差数列 n a 的前三项和9 3 S且1 1 a 则 2 a等于 A 3 B 4 C 5 D 6 15 重庆理 8 设正数 a b 满足4 2 2 lim baxx x 则 nn nn n ba aba 2 1 11 lim A 0 B 4 1 C 2 1 D 1 答案答案 B 用心 爱心 专心4 分析分析 2 2 1 44242 2 lim x a xaxbabab b 11 1 11 1 22 11 1 24 2 2 2 limlimlim nn nn nn nn nnn aa aa aab bb a ab a ba 18 辽宁理 4 文 5 设等差数列 n a的前n项和为 n S 若 3 9S 6 36S 则 789 aaa A 63B 45C 36D 27 解析 由等差数列性质知 S3 S6 S3 S9 S6成等差数列 即 9 27 S 成等差 所以 S 45 选 B 20 陕西理 5 各项均为正数的等比数列 n a的前n项和为Sn 若Sn 2 S30 14 则S40等 于 ZXXK COM A 80 B 30 C 26 D 16ZX 21 陕西理 9 给出如下三个命题 ZXXK COM 四个非零实数 a b c d 依次成等比数列的充要条件是 ad bc ZXXK COM 设 a b R 则 ab 0 若 b a 1 则 a b 1 ZXXK COM 若 f x log22x x 则 f x 是偶函数 ZXXK COM 其中不正确命题的序号是 ZXXK COM A B C D ZXXK COM 解析 ad bc不一定使a b c d依次成等比数列 如取 a d 1 b c 1 a b 异号 时不正确 选 B 二 填空题 1 天津 13 设等差数列 n a的公差d是 2 前n项的和为 n S则 22 lim n n n an S 3 广东文13 已知数列 an 的前n项和Sn n2 9n 则其通项an 若它的第k项满 足5 ak1 的等比数列 若 2004 a和 2005 a是方程 用心 爱心 专心6 2 4830 xx 的两根 则 20072006 aa 答案答案 1818 分析分析 2004 a 和 2005 a是方程 2 4830 xx 的两根 故有 2004 2005 1 2 3 2 a a 或 2004 2005 3 2 1 2 a a 舍 3 q 22 200620072005 3 33 18 2 aaaqq 三 解答题 1 重庆理 21 已知各项均为正数的数列 n a 的前 n 项和满足1 n S 且 2 1 6NnaaS nnn 1 求 n a 的通项公式 2 设数列 n b 满足1 12 n b n a 并记 n T为 n b 的前 n 项和 求证 证法一 由1 12 b n a可解得 13 3 log 1 1log n n a b z n zz 从而 13 3 5 6 2 3 log 21 n n bbbT znn 用心 爱心 专心7 因此 23n 2 13 3 5 6 2 3 log 3 log13 3 n n aT znzn 令 23n 2 13 3 5 6 2 3 3 n n xf 则 2 3 3 23 53 33 23n 33n 53 23 1 nn n n n nf nf 因079 23 53 33 22 nnnn 故 1 nfnf 特别的1 20 27 1 fnf 从而0 log 3log 13 nfaT nn 即 3 log13 2 nn aT 证法二 同证法一求得bn及Tn 由二项式定理知当c 0 时 不等式 cc31 1 3 成立 由此不等式有 3 2 3 2 2log 13 3 5 6 3 2 2log13 xn A n n T 3 log 23 log2log 222 nnnn anCBA 用心 爱心 专心8 2 浙江理 21 已知数列 n a中的相邻两项 212kk aa 是关于x的方程 2 32 320 kk xkxk A的两个根 且 212 12 3 kk aak I 求 1 a 2 a 3 a 7 a 本题主要考查等差 等比数列的基本知识 考查运算及推理能力 满分 15 分 I 解 方程 2 32 320 kk xkxk A的两个根为 1 3xk 2 2kx 当1k 时 12 32xx 所以 1 2a 当2k 时 1 6x 2 4x 所以 3 4a 当3k 时 1 9x 2 8x 所以 5 8a 时 当4k 时 1 12x 2 16x 所以 7 12a II 解 2122nn Saaa 2 363 222 n n 2 1 33 22 2 n nn 用心 爱心 专心9 III 证明 1 123456212 111 1 f n n nn T a aa aa aaa 所以 1 12 11 6 T a a 2 1234 115 24 T a aa a 当3n 时 1 3456212 111 1 6 f n n nn T a aa aaa 3456212 1111 6 nn a aa aaa 23 11111 66 26 22n A 111 66 26 n A 同时 1 5678212 511 1 24 f n n nn T a aa aaa 5612212 5111 24 nn a aa aaa 31 51111 249 29 22n A 515 249 224 n A 综上 当n N 时 15 624 n T 3 浙江文 19 已知数列 n a 中的相邻两项 21k a 2k a是关于x的方程 2 32 320 kk xkxk 的两个根 且 21k a 2k a k 1 2 3 I 求 1357 a a a a及 2n a n 4 不必证明 求数列 n a 的前 2n项和 S2n 本题主要考查等差 等比数列的基本知识 考查运算及推理能力 满分 14 分 用心 爱心 专心10 I 解 方程 2 32 320 kk xkxk 的两个根为 12 3 2kxk x 当k 1 时 12 3 2xx 所以 1 2a 当k 2 时 12 6 4xx 所以 3 4a 4 天津理 21 在数列 n a中 1 11 2 2 2 nn nn aaan N 其中 0 求数列 n a的通项公式 求数列 n a的前n项和 n S 证明存在k N 使得 11nk nk aa aa 对任意n N均成立 本小题以数列的递推关系式为载体 主要考查等比数列的前n项和公式 数列求和 不等 式的证明等基础知识与基本方法 考查归纳 推理 运算及灵活运用数学知识分析问题和 解决问题的能力 满分 14 分 解法一 222 2 2 2 22a 223233 3 2 2 222a 334344 4 22 2 232a 由此可猜想出数列 n a的通项公式为 1 2 nn n an 以下用数学归纳法证明 1 当1n 时 1 2a 等式成立 用心 爱心 专心11 2 假设当nk 时等式成立 即 1 2 kk k ak 那么 1 11 2 2 kk k aa 11 1 222 kkkkk k 11 1 1 2 kk k 这就是说 当1nk 时等式也成立 根据 1 和 2 可知 等式 1 2 nn n an 对任何n N都成立 这时数列 n a的前n项和 212 1 2 1 22 1 nn n n nn S 当1 时 1 2 n n n T 这时数列 n a的前n项和 1 1 22 2 n n n n S 证明 通过分析 推测数列 1n n a a 的第一项 2 1 a a 最大 下面证明 2 12 1 4 2 2 n n aa n aa 由0 知0 n a 要使 式成立 只要 2 1 2 4 2 nn aa n 用心 爱心 专心12 因为 222 4 4 1 1 2 nn n an 12 4 1 4 24 1 2 nnnn nn 12 1 2222 nn n nan 所以 式成立 因此 存在1k 使得 112 1 nk nk aaa aaa 对任意n N均成立 7 上海理 20 若有穷数列 12 n a aa n是正整数 满足 1211 nnn aa aaaa 即 1in i aa i是正整数 且1in 就称该数列为 对称数列 1 已知数列 n b是项数为 7 的对称数列 且 1234 b b b b成等差数列 14 2 11bb 试写出 n b的每一项 2 已知 n c是项数为 211kk 的对称数列 且 121 kkk c cc 构成首项为 50 公差 为4 的等差数列 数列 n c的前21k 项和为 21k S 则当k为何值时 21k S 取到最大值 最大值为多少 3 对于给定的正整数1m 试写出所有项数不超过2m的对称数列 使得 21 1 2 2 2m 成为数列中的连续项 当1500m 时 试求其中一个数列的前 2008 项和 2008 S 用心 爱心 专心13 122221 2222 1 2 222 mmmm 122221 2222 1 1 2 222 mmmm 对于 当2008m 时 122221 200820072 2008 S 当15002007m 时 20092212 2008 222221 mmmm S 200921 2212 mmm 1222 200921 mmm 对于 当2008m 时 122008 2008 S 当15002007m 时 2008 S122 200821 mm 对于 当2008m 时 2008 2008 22 mm S 当15002007m 时 2008 S322 2009 mm 对于 当2008m 时 2008 2008 22 mm S 当15002007m 时 2008 S222 2008 mm 9 陕西理 22 已知各项全不为零的数列 ak 的前k项和为Sk 且Sk kaa kk 2 1 1 N N 其 中a1 1 用心 爱心 专心14 求数列 ak 的通项公式 对任意给定的正整数n n 2 数列 bk 满足 1 1 bk k a nk b b k 1 2 n 1 b1 1 求b1 b2 bn 所以 1 12 1 121 1 2 1 1 1 1 2 1 k kk k kk bbbnknkn bb bbbk k AA AAAA AA A A 1 1 1 12 kk n Ckn n A 故 123n bbbb 1231 1 1 n n nnnn CCCC n 012 11 1 1 n n nnnn CCCC nn A 11 山东理 17 设数列 n a满足 21 123 333 3 n n n aaaa a N 求数列 n a的通项 设 n n n b a 求数列 n b的前n项和 n S I 21 123 33 3 3 n n n aaaa 22 1231 1 33 3 2 3 n n n aaaan 1 11 3 2 333 n n nn an 1 2 3 n n an 验证1n 时也满足上式 1 3 n n anN 用心 爱心 专心15 II 3n n bn 13 全国 2 理 21 设数列 n a的首项 1 1 3 01 2 3 4 2 n n a aan 1 求 n a的通项公式 2 设32 nnn baa 证明 1nn bb 其中n为正整数 那么 22 1nn bb 22 11 2 2 2 32 32 33 32 32 22 9 1 4 nnnn nn nn n n aaaa aa aa a a 又由 1 知0 n a 且1 n a 故 22 1 0 nn bb 因此 1nn bbn 为正整数 用心 爱心 专心16 方法二 由 1 可知 3 01 2 nn aa 因为 1 3 2 n n a a 所以 111 3 32 2 nn nnn aa baa 由1 n a 可得 3 3 32 2 n nn a aa 即 2 2 3 32 2 n nnn a aaa A 两边开平方得 3 32 2 n nnn a aaa A 即 1nn bbn 为正整数 15 全国 1 理 22 已知数列 n a中 1 2a 1 21 2 nn aa 12 3n 求 n a的通项公式 若数列 n b中 1 2b 1 34 23 n n n b b b 12 3n 证明 43 2 nn ba 12 3n 用心 爱心 专心17 即 n a的通项公式为2 21 1 n n a 12 3n 用数学归纳法证明 当1n 时 因22 11 2ba 所以 11 2ba 结论成立 假设当nk 时 结论成立 即 43 2 kk ba 也即 43 023 kk ba 当1nk 时 1 34 22 23 k k k b b b 32 2 43 2 23 k k b b 32 2 2 0 23 k k b b 17 辽宁理 21 已知数列 n a n b与函数 f x g x x R满足条件 nn ab 1 nn f bg bn N I 若 102f xtxtt 2g xx f bg b lim n n a 存在 求x的取 用心 爱心 专心18 值范围 II 若函数 yf x 为R上的增函数 1 g xfx 1b 1 1f 证明对任意 n N lim n n a 用t表示 18 江西理 22 设正整数数列 n a满足 2 4a 且对于任何 n N 有 1 1 11 11 22 11 1 nn nn aa aa nn 1 求 1 a 3 a 3 求数列 n a的通项 n a 解 1 据条件得 11 1111 2 1 2 nnnn n n aaaa 当1n 时 由 2121 1111 222 aaaa 即有 11 1221 22 44aa 解得 1 28 37 a 因为 1 a为正整数 故 1 1a 当2n 时 由 33 1111 262 44aa 解得 3 810a 所以 3 9a 用心 爱心 专心19 2 22 1 2 1 1 1 1 11 k k kak kk 因为2k 时 22 1 1 1 2 0kkk kk 所以 2 2 1 01 1 k k 11k 所以 1 01 1k 又 1k a N 所以 22 1 1 1 k kak 故 2 1 1 k ak 即1nk 时 2 n an 成立 由 1 2 知 对任意n N 2 n an 2 方法二 由 1 1a 2 4a 3 9a 猜想 2 n an 下面用数学归纳法证明 则 322 1 1 1 1 1 k kakkkkk 于是 2 1 1 k ak 又由 右式 22 22 1 1 21 1 1 k k kkk kkk akk 则 23 1 1 1 k kkakk 因为两端为正整数 则 243 1 1 1 k kkakk 所以 43 2 1 22 1 1 11 k kkk ak kkkk 用心 爱心 专心20 又因2k 时 1k a 为正整数 则 2 1 1 k ak 据 2 1 1 k ak 即1nk 时 2 n an 成立 由 1 2 知 对任意n N 2 n an 19 江苏理 20 已知 n a是等差数列 n b是公比为q的等比数列 11221 ab aba 记 n S为数列 n b的前n项和 1 若 km bam k 是大于2的正整数 求证 11 1 k Sma 4 分 2 若 3 i ba i 是某一正整数 求证 q是整数 且数列 n b中每一项都是数列 n a中 的项 8 分 3 是否存在这样的正数q 使等比数列 n b中有三项成等差数列 若存在 写出一个 q的值 并加以说明 若不存在 请说明理由 4 分 解 设 n a的公差为d 由 11221 ab aba 知0 1dq 1 1daq 1 0a 1 因为 km ba 所以 1 111 11 k a qamaq 1 1 n n ba qnN 设数列 n a中的某一项 m a mN 11 11amaq 现在只要证明存在正整数m 使得 nm ba 即在方程 1 111 11 n a qamaq 中 用心 爱心 专心21 m有正整数解即可 1 122 1 111 11 1 n nn q qmqmqqq q 所 以 22 2 n mqqq 若1i 则1q 那么 2111 222nn bba bba 当 3i 时 因为 1122 ab ab 只要考虑3n 的情况 因为 3i ba 所以3i 因此 q是正整数 所以m是正整数 因此数列 n b中任意一项为 1 1 n n ba qnN 与数列 n a的第 22 2 n qqq 项相等 从而结论成立 3 设数列 n b中有三项 mnp bb bmnp m n pN 成等差数列 则有 2 111 111 nmp a qa qa q 设 nmx pnyx yN 所以 2 1 y x q q 令 1 2xy 则 3 210 qq 2 110qqq 因为1q 所以 2 10qq 所以 51 2 q 舍去负值 即存在 51 2 q 使得 n b中有三项 13 mmm bbbmN 成等差数列 20 湖南理 21 已知 nnn A ab n N 是曲线 x ye 上的点 1 aa n S是数列 n a的前n项和 且满足 222 1 3 nnn Sn aS 0 n a 2 3 4n I 证明 数列 2n n b b 2n 是常数数列 II 确定a的取值集合M 使aM 时 数列 n a是单调递增数列 III 证明 当aM 时 弦 1nn A A n N 的斜率随n单调递增 用心 爱心 专心22 所以 2 2 6 2 n nn n a aa n a n be ee be 即数列 2 2 n n b n b 是常数数列 II 由 有 21 12SS 所以 2 122aa 由 有 32 15aa 43 21aa 所以 3 32aa 4 182aa 而 表明 数列 2 k a和 21 k a 分别是以 2 a 3 a为首项 6 为公差的等差数列 所以 22 6 1 k aak 213 6 1 k aak 224 6 1 k aakk N 数列 n a是单调递增数列 12 aa 且 22122kkk aaa 对任意的k N 成立 12 aa 且 234 6 1 6 1 6 1 akakak 1234 aaaa 915 12232182 44 aaaaa 即所求a的取值集合是 915 44 Maa III 解法一 弦 1nn A A 的斜率为 1 1 11 nn aa nn n nnnn bbee k aaaa 任取 0 x 设函数 0 0 xx ee f x xx 则 0 0 2 0 xxx exxee f x xx 记 0 0 xxx g xexxee 则 00 xxxx g xexxeeexx 当 0 xx 时 0g x g x在 0 x 上为增函数 当 0 xx 时 0g x g x在 0 x 上为减函数 用心 爱心 专心23 所以 0 xx 时 0 0g xg x 从而 0fx 所以 f x在 0 x 和 0 x 上都是增函数 由 II 知 aM 时 数列 n a单调递增 取 0n xa 因为 12nnn aaa 所以 1 1 nn aa n nn ee k aa 2 2 nn aa nn ee aa 取 02n xa 因为 12nnn aaa 所以 12 1 12 nn aa n nn ee k aa 2 2 nn aa nn ee aa 所以 1nn kk 即弦 1 nn A An N 的斜率随n单调递增 解法二 设函数 1 1 n ax n ee f x xa 同解法一得 f x在 1 n a 和 1 n a 上都是 增函数 所以 11 1 1 11 lim nnn n n aaax a n na nnn eeee ke aaxa 211 1 1 1 211 lim nnn n n aaax a n na nnn eeee ke aaxa 故 1nn kk 即弦 1 nn A An N 的斜率随n单调递增 21 湖南文 20 设 n S是数列 n a n N 的前n项和 1 aa 且 222 1 3 nnn Sn aS 0 n a 2 3 4n I 证明 数列 2 nn aa 2n 是常数数列 II 试找出一个奇数a 使以 18 为首项 7 为公比的等比数列 n b n N 中的所 有项都是数列 n a中的项 并指出 n b是数列 n a中的第几项 解 I 当2n 时 由已知得 222 1 3 nnn SSn a 因为 1 0 nnn aSS 所以 2 1 3 nn SSn 于是 2 1 3 1 nn SSn 由 得 1 63 nn aan 于是 21 69 nn aan 用心 爱心 专心24 由 得 2 6 nn aa 即数列 2 nn aa 2n 是常数数列 II 由 有 21 12SS 所以 2 122aa 由 有 12 15aa 所以 3 32aa 而 表明 数列 2 k a和 21 k a 分别是以 2 a 3 a为首项 6 为公差的等差数列 所以 22 1 6626 k aakka 213 1 6623 k aakka k N 由题设知 1 18 7n n b 当a为奇数时 21k a 为奇数 而 n b为偶数 所以 n b不是数列 21 k a 中的项 n b只可能是数列 2 k a中的项 若 1 18b 是数列 2 k a中的第 n k项 由18626ka 得 0 36ak 取 0 3k 得 3a 此时 2 6 k ak 由 2nk ba 得 1 18 76 n k 1 3 7nk N 从而 n b是数 列 n a中的第 1 6 7n 项 注 考生取满足36 n ak n k N 的任一奇数 说明 n b是数列 n a中的第 1 2 6 72 3 n a 项即可 22 湖北理 21 已知mn 为正整数 I 用数学归纳法证明 当1x 时 1 1 m xmx II 对于6n 已知 11 1 32 m n 求证 1 1 32 m m m 求证 1 1 32 mm m n 12mn III 求出满足等式34 2 3 nnnm nn 的所有正整数n 本小题主要考查数学归纳法 数列求和 不等式等基础知识和基本的运算技能 考查分析 问题能力和推理能力 用心 爱心 专心25 解法 1 证 用数学归纳法证明 当1m 时 原不等式成立 当2m 时 左边 2 12xx 右边12x 解 由 知 当6n 时 2 121111 11111 3332222 nnnn n n nnn 213 1 333 nnn nn nnn 即34 2 3 nnnn nn 即当6n 时 不存在满足该等式的正整数n 故只需要讨论12 3 4 5n 的情形 当1n 时 34 等式不成立 当2n 时 222 345 等式成立 当3n 时 3333 3456 等式成立 当4n 时 4444 3456 为偶数 而 4 7为奇数 故 44444 34567 等式不成 立 当5n 时 同4n 的情形可分析出 等式不成立 用心 爱心 专心26 综上 所求的n只有2 3n 因为1x 所以10 x 又因为02xk 所以 2 0kx 于是在不等式 1 1 k xkx 两边同乘以1x 得 2 1 1 1 1 1 1 1 1 k xxkxxkxkxkx 所以 1 1 1 1 k xkx 即当1mk 时 不等式 也成立 综上所述 所证不等式成立 证 当6n mn 时 11 1 32 n n 11 1 32 n mm n 而由 1 110 33 m m nn 11 11 332 n nmm m nn 解 假设存在正整数 0 6n 使等式 0000 00 34 2 3 nnnn nn 成立 即有 000 0 000 234 1 333 nnn n nnn 又由 可得 000 0 000 234 333 nnn n nnn 000 00 000 11 111 333 nnn nn nnn 用心 爱心 专心27 00 0 1 1111 11 2222 nn n 与 式矛盾 故当6n 时 不存在满足该等式的正整数n 下同解法 1 24 广东理 21 已知函数 2 1f xxx 是方程f x 0 的两个根 fx是f x 的导数 设 1 1a 1 n nn n f a aa fa n 1 2 1 求 的值 2 证明 对任意的正整数 n 都有 n a a 3 记ln n n n a b aa n 1 2 求数列 bn 的前 n 项和 Sn 解析 1 2 1f xxx 是方程f x 0 的两个根 1515 22 2 21fxx 2 1 115 21 21 1 244 2121 nnn nn nnn nn aaa aa aaa aa 5 11 4 21 4212 n n a a 1 1a 有基本不等式可知 2 51 0 2 a 当且仅当 1 51 2 a 时取等号 2 51 0 2 a 同 样 3 51 2 a 51 2 n a n 1 2 3 1 1 2121 nnn nnn nn aaa aaa aa 而1 即1 2 1 21 n n n a a a 同理 2 1 21 n n n a a a 1 2 nn bb 又 1 13535 lnln2ln 1235 b 35 2 21 ln 2 n n S 26 福建理 21 等差数列 n a的前n项和为 13 1293 2 n SaS 用心 爱心 专心28 求数列 n a的通项 n a与前n项和 n S 设 n n S bn n N 求证 数列 n b中任意不同的三项都不可能成为等比数列 本小题考查数列的基本知识 考查等差数列的概念 通项公式与前n项和公式 考查等比 数列的概念与性质 考查化归的数学思想方法以及推理和运算能力 满分 12 分 解 由已知得 1 1 21 3393 2 a ad 2d 故212 2 nn anSn n 由 得2 n n S bn n 假设数列 n b中存在三项 pqr bbb pqr 互不相等 成等比数列 则 2 qpr bb b 即 2 2 2 2 qpr 2 2 20qprqpr pqr N 2 0 20 qpr qpr 2 2 0 2 pr pr prpr 与pr 矛盾 所以数列 n b中任意不同的三项都不可能成等比数列 28 北京理 15 文科 16 数列 n a中 1 2a 1nn aacn c是常数 12 3n 且 123 aaa 成公比不为1的等比数列 I 求c的值 II 求 n a的通项公式 用心 爱心 专心29 1 1 nn aanc 所以 1 1 12 1 2 n n n aancc 又 1 2a 2c 故 2 2 1 2 2 3 n an nnnn 当1n 时 上式也成立 所以 2 2 12 n annn 29 安徽理 21 某国采用养老储备金制度 公民在就业的第一年就交纳养老储备金 数目 为a1 以后每年交纳的数目均比上一年增加d d 0 因此 历年所交纳的储务金数目 a1 a2 是一个公差为d的等差数列 与此同时 国家给予优惠的计息政策 不仅采用 固定利率 而且计算复利 这就是说 如果固定年利率为r r 0 那么 在第n年末 第 一年所交纳的储备金就变为a1 1 r n 1 第二年所交纳的储备金就变为a2 1 r n 2 以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额 写出Tn与Tn 1 n 2 的递推关系式 求证 Tn An Bn 其中 An 是一个等比数列 Bn 是一个等差数列 本小题主要考查等差数列 等比数列的基本概念和基本方法 考查学生阅读资料 提取信 息 建立数学模型的能力 考查应用所学知识分析和解决实际问题的能力 本小题满分 14 分 用心 爱心 专心30 1 1 1 1 nn n d rrara r 即 11 22 1 n n a rda rdd Trn rrr 如果记 1 2 1 n n a rd Ar r 1 2 n a rdd Bn rr 则 nnn TAB 其中 n A是以 1 2 1 a rd r r 为首项 以1 0 r r 为公比的等比数列 n B是以 1 2 a rdd rr 为首项 d r 为公差的等差数列 20062006 年高考数学试题分类汇编年高考数学试题分类汇编 数列数列 1 1 20062006 年福建卷 年福建卷 在等差数列 n a中 已知 123 2 13 aaa 则 456 aaa 等于 B A 40 B 42 C 43 D 45 2 2 20062006 年广东卷 年广东卷 已知等差数列共有 10 项 其中奇数项之和 15 偶数项之和为 30 则 其公差是 A 5 B 4 C 3 D 2 2 3 30255 15205 1 1 d da da 故选 C 3 3 20062006 年广东卷 年广东卷 在德国不莱梅举行的第 48 届世乒赛期间 某商场橱窗里用同样的乒 乓球堆成若干准 正三棱锥 形的展品 其中第一堆只有一层 就一个乒乓球 第 2 3 4 堆最底层 第一层 分别按图 4 所示 方式固定摆放 从第一层开始 每层的小球自然垒 放在下一层之上 第 n 堆第 n 层就放一个乒乓球 以 nf表示第 n 堆的乒乓球总数 则 3 f nf 答案用 n 表示 用心 爱心 专心31 5 2006 年广东卷 3 f10 6 2 1 nnn nf 6 6 20062006 年重庆卷年重庆卷 在等差数 列 an 中 若 aa ab 12 SN是数列 an 的前 n 项和 则 SN的值为 B A 48 B 54 C 60 D 66 14 2006 年重庆卷 在数列 an 中 若a1 1 an 1 2an 3 n 1 则该数列的通项 an 1 23 n 7 7 20062006 年全国卷年全国卷 IIII 设Sn是等差数列 an 的前n项和 若 则 A S 3 S 6 1 3 S 6 S 12 A B C D 3 10 1 3 1 8 1 9 8 8 20062006 年全国卷年全国卷 IIII 函数f x 的最小值为 C 19 i 1 x n A 190 B 171 C 90 D 45 9 9 20062006 年天津卷 年天津卷 已知数列 n a n b都是公差为 1 的等差数列 其首项分别为 1 a 1 b 且5 11 ba 11 Nba 设 n bn ac Nn 则数列 n c的前 10 项和等于 C A 55 B 70 C 85 D 100 10 10 20062006 年湖北卷 年湖北卷 若互不相等的实数a b c成等差数列 c a b成等比数列 且103 cba 则a D A 4 B 2 C 2 D 4 10 解选 D 依题意有 2 2 310 acb bca abc 4 2 8 a b c 1111 20062006 年全国卷年全国卷 I I 设 n a是公差为正数的等差数列 若 123 15aaa 123 80a a a 则 111213 aaa A 120 B 105 C 90 D 75 11 12322 153155aaaaa 123222 8080a a aad aad 将 2 5a 代入 得 3d 从而 111213122 33103530105aaaaad 选 B 这个题主要反映一个 元 的概念 确定一个等差数列 需要且只要两个独立的 元 在这个解法中 我选择的是2 a 和d 1212 20062006 年江西卷 年江西卷 已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn 若 1 OaB 200 OAaOC 且 A B C 三点共线 该直线不过原点 O 则 S200 A A 100 B 101 C 200 D 201 解 依题意 a1 a200 1 故选 A 1313 20062006 年辽宁卷 年辽宁卷 在等比数列 n a中 1 2a 前n项和为 n S 若数列 1 n a 也是等比 数列 则 n S等于 用心 爱心 专心32 1414 20062006 年北京卷 年北京卷 设 4710310 22222 n f nnN 则 f n等于 D A 2 81 7 n B 1 2 81 7 n C 3 2 81 7 n D 4 2 81 7 n 1515 20062006 年浙江卷 年浙江卷 设 Sn为等差数列 a 的前 n 项和 若 Sn 10 Sn 5 则公差为 1 用数字作答 1616 20062006 年浙江卷 年浙江卷 已知函数 f x x 3 x 3 数列 xn xn 0 的第一项 xn 1 以 后各项按如下方式取定 曲线 x f x 在 11 nn xfx处的切线与经过 0 0 和 xn f xn 两点的直线平行 如图 求证 当 n N 时 x 23 1 2 1 2 nnnn xxx 21 2 1 2 1 n n n x 16 略 1717 2006 2006 年山东卷 年山东卷 已知a1 2 点 an an 1 在函数f x x2 2x的图象上 其中 1 2 3 1 证明数列 lg 1 an 是等比数列 2 设Tn 1 a1 1 a2 1 an 求Tn及数列 an 的通项 3 记bn 2 11 nn aa 求 bn 数列的前项和Sn 并证明Sn 13 2 n T 1 17 2 21 3 n n T 21 31 n n a 1818 20062006 年北京卷 年北京卷 在数列 n a中 若 12 a a是正整数 且 12 3 4 5 nnn aaan 则称 n a为 绝对差数列 用心 爱心 专心33 举出一个前五项不为零的 绝对差数列 只要求写出前十项 若 绝对差数列 n a中 2021 3 0aa 数列 n b满足 12nnnn baaa 1 2 3 n 分别判断当n 时 n a与 n b的极限 是否存在 如果存在 求出其极限值 证明 任何 绝对差数列 中总含有无穷多个为零的项 18 123 3 1 2aaa 456 1 1 0aaa 789 1 1 0aaa 10 1a 略 3 31 32 0 nk nk nk a aA aA 0 1 2 3 k 1919 2 20 00 06 6 年年 上海卷 上海卷 已知有穷数列 n a 共有 2k项 整数k 2 首项 1 a 2 设该 数列的前n项和为 n S 且 1 n a n Sa 1 2 n 1 2 2k 1 其中常数 a 1 1 求证 数列 n a 是等比数列 2 若a 2 12 2 k 数列 n b 满足 n b log 1 212n aaa n n 1 2 2k 求数 列 n b 的通项公式 3 若 2 中的数列 n b 满足不等式 1 b 2 3 2 b 2 3 12 k b 2 3 k b2 2 3 4 求k的值 解 1 2 2020 20062006 年辽宁卷 年辽宁卷 已知 0 n fxx 1 1 1 k k k fx fx f 其中 kn n kN 设 021222 01 kn nnnknn F xC fxC f xC fxC fx 1 1x I 写出 1 k f II 证明 对任意的 12 1 1x x 恒有 1 12 2 2 1 n F xF xnn 解析 I 由已知推得 1 n k k fxnkx 从而有 1 1 k fnk II 证法 1 当11x 时 212 1 22 2 2 12 1 1 21 nnnkn kn nnnn F xxnC xnC xnkC xCx 当 x 0 时 0F x 所以 F x在 0 1 上为增函数 因函数 F x为偶函数所以 F x在 1 0 上为减函数 所以对任意的 12 1 1x x 12 1 0 F xF xFF 0121 1210 1 0 1 1 2 1 1 2 kn nnnnn nnn k nnnnn FFCnCnCnkCC nCnCnkCCC 1 1 1 2 31 n kn kn k nnn kk nn nkCnk CC nCCkn 用心 爱心 专心34 1211210 111 11 1 0 21 212 2 1 kn nnnnnnn nnn FFn CCCCCCC nnn 因此结论成立 证法 2 当11x 时 212 1 22 2 2 12 1 1 21 nnnkn kn nnnn F xxnC xnC xnkC xCx 当 x 0 时 0F x 所以 F x在 0 1 上为增函数 因函数 F x为偶函数所以 F x在 1 0 上为减函数 所以对任意的 12 1 1x x 12 1 0 F xF xFF 0121 1 0 1 1 2 kn nnnnn FFCnCnCnkCC 又因 12110 1 0 23 kn nnnnn FFCCkCnCC 所以 12110 2 1 0 2 2 kn nnnnn FFnCCCCC 12110 1 2 1 0 2 2 22 12 2 1 2 kn nnnnn nn n FFCCCCC n nn 因此结论成立 证法 3 当11x 时 212 1 22 2 2 12 1 1 21 nnnkn kn nnnn F xxnC xnC xnkC xCx 当 x 0 时 0F x 所以 F x在 0 1 上为增函数 因函数 F x为偶函数所以 F x在 1 0 上为减函数 所以对任意的 12 1 1x x 12 1 0 F xF xFF 0121 1 0 1 1 2 kn nnnnn FFCnCnCnkCC 由 11221 121112 1 1 nnnnkn kn nnnn nnkn kn nnnn xxxx C xC xC xCx C xC xC xCxx 对上式两边求导得 111221 1 1 1 1 21 nnnnnnkn kn nnnn xxnxxnxnC xnC xnkC xCx 22212 1 1 nnn F xxnxxnx 11 1 0 221 2 21 nnn FFnnnn 因此结论成立 点评 本小题考查导数的基本计算 函数的性质 绝对值不等式及组合数性质等基础知识 考查归纳推理能力以及综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力 2222 20062006 年江苏卷 年江苏卷 设数列 n a n b n c满足 2 nnn aab 21 32 nnnn aaac n 1 2 3 证明 n a为等差数列的充分必要条件是 n c为等差数列且 1 nn bb n 1 2 3 用心 爱心 专心35 数列 n a为等差数列 综上所述 n a为等差数列的充分必要条件是 n c为等差数列且 1 nn bb n 1 2 3 用心 爱心 专心36 点评点评 本题主要考查等差数列 充要条件等基础知识 考查综合运用数学知识分析问题和本题主要考查等差数列 充要条件等基础知识 考查综合运用数学知识分析问题和 解决问题的能力解决问题的能力 2323 20062006 年全国卷年全国卷 IIII 设数列 an 的前n项和为Sn 且方程x2 anx an 0 有一根为 Sn 1 n 1 2 3 求a1 a2 an 的通项公式 22 解 当n 1 时 x2 a1x a1 0 有一根为S1 1 a1 1 于是 a1 1 2 a1 a1 1 a1 0 解得a1 1 2 当n 2 时 x2 a2x a2 0 有一根为S2 1 a2 1 2 于是 a2 2 a2 a2 a2 0 解得a1 1 2 1 2 1 6 由题设 Sn 1 2 an Sn 1 an 0 即 Sn2 2Sn 1 anSn 0 当n 2 时 an Sn Sn 1 代入上式得 Sn 1Sn 2Sn 1 0 由 知S1 a1 S2 a1 a2 1 2 1 2 1 6 2 3 由 可得S3 3 4 由此猜想Sn n 1 2 3 8 分 n n 1 下面用数学归纳法证明这个结论 i n 1 时已知结论成立 用心 爱心 专心37 ii 假设n k时结论成立 即Sk k k 1 当n k 1 时 由 得Sk 1 即Sk 1 1 2 S k k 1 k 2 故n k 1 时结论也成立 综上 由 i ii 可知Sn 对所有正整数n都成立 10 分 n n 1 于是当n 2 时 an Sn Sn 1 n n 1 n 1 n 1 n n 1 又n 1 时 a1 所以 1 2 1 1 2 an 的通项公式an n 1 2 3 12 分 n n 1 24 20062006 年四川卷 年四川卷 已知数列 n a 其中 1211 1 3 22 nnn aaaaan 记数 列 n a的前n项和为 n S 数列 ln n S的前n项和为 n U 求 n U 设 2 2 1 0 2 n U n n nnk k e FxxxTxFx n n 其中 k Fx为 k Fx的导