八年级数学20.1平行四边形的判定华东师大版知识精讲

初二初二数学数学 20 1 平行四边形的判定平行四边形的判定华东师大版华东师大版 本讲教育信息本讲教育信息 一 教学内容 20 1 平行四边形的判定 二 重点 难点 1 重点 巩固平行四边形的定义 性质 熟练掌握平行四边形的判定定理 2 难点 运用平行四边形的性质和判定定理进行相关问题的证明 三 知识梳理 1 平行四边形的有关概念 如图 平行四边形的定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 四边形 ABCD 是平行四边形 CDAB BCAD 对角线 平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫它的对角线 AC 为对角线 平行四边形的表示法 四边形 ABCD 是平行四边形 记作 ABCD 读作 平行 四边形 ABCD 注意 1 表示平行四边形四个顶点的字母一定要按顺序写 不能颠倒位置 2 运用定义和性质为证明线段或角相等提供了方便 3 常见的辅助线是连接平行四边形的 对角线 把未知问题化为三角形问题 2 平行四边形的性质 如图 从边看 平行四边形两组对边分别平行 平行四边形两组对边分别相等 在 ABCD 中 AD BC AB CD AD BC AB CD 从角看 平行四边形的两组对角分别相等 邻角互补 在平行四边形 ABCD 中 ABC CDA BAD BCD ABC BAD 180 CDA BCD 180 从对角线看 平行四边形的两条对角线互相平分 在平行四边形 ABCD 中 OA OC OB OD 3 平行四边形的判定方法 按边 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 如图 AD BC AD BC四边形 ABCD 是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 如图 AD BC AB CD四边形 ABCD 是平行四边形 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 如图 AD BC AB CD四边形 ABCD 是平行四边形 按角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 如图 ABC CDA BAD BCD四边形 ABCD 是平行四边形 按对角线 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 如图 OA OC OB OD四边形 ABCD 是平行四边形 注意 学习时要注意弄清什么时候用性质 什么时候用判定 用哪一个判定条件 要 根据具体问题 结合给出的条件 进行全面综合分析 灵活地运用 4 探究活动 关于平行四边形的判定 除了我们学习过的以上方法外 还有什么其他方 法吗 一组对边平行且有一组对角相等的四边形也是平行四边形 一组对边平行 一条对角线平分另一条对角线 那么这个四边形是平行四边形 5 平行四边形知识的应用 运用平行四边形的性质求角的度数 线段的长度 证明线段相等或倍分 先判定一个四边形是平行四边形 然后再用平行四边形的性质解决某些问题 典型例题典型例题 例例 如图 四边形 ABCD 中 AB CD ADB CBD 90 求证 四边形 ABCD 是平行四边形 分析 分析 本题主要依据平行四边形的判定定理 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 也可用两组对角分别相等的四边形是平行四边形 证法证法 1 ADB CBD 9O 在 Rt ABD 与 Rt CDB 中 AB CD BD BD Rt ABD Rt CDB HL ABD CDB AB CD 四边形 ABCD 是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 证法证法 2 ADB CBD 9O 在 Rt ABD 与 Rt CDB 中 AB CD BD BD Rt ABD Rt CDB HL AD BC 四边形 ABCD 是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 证法证法 3 由证法 1 得 Rt ABD Rt CDB ABD CDB A C ABD CBD CDB ADB 即 ABC CDA 四边形 ABCD 是平行四边形 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 例例 2 在平行四边形 ABCD 中 点 E F 分别是边 AD BC 的中点 求证 四边形 DEFC 是平行四边形 BE FD 分析 分析 由题意不难得到 ED FC 再结合 ED FC 利用 一组对边平行且相等的四 边形是平行四边形 易证得四边形 DEFC 是平行四边形 从图形中观察到 BE 和 FD 是四 边形 DEBF 的对边 依据第 小题的方法同样可证明四边形 DEBF 是平行四边形 证明 证明 在平行四边形 ABCD 中 AD BC 且 AD BC E F 分别是 AD BC 的中点 ED AD FC BC 1 2 1 2 ED FC 又 ED FC 四边形 DEFC 是平行四边形 同理可证四边形 DEBF 是平行四边形 BE DF 例例 3 如图 在平行四边形 ABCD 中 AE CF 分别是 DAB BCD 的平分线 求证 四边形 AFCE 是平行四边形 分析 分析 要证明四边形 AFCE 是平行四边形 由已知平行四边形 ABCD 可知 CE AF 因而 只要证明 AE CF 或 CE AF 即可 若要证明 AE CF 由已知 AE CF 分别是 DAB BCD 的平分线 可得 EAB DAB BCD DCF 因为 2 1 2 1 DCF BFC 则 EAB CFB 得 AE CF 若要证明 CE AF 由已知条件不难得 ADE CBF 进而可证 证明 方法一 证明 方法一 在平行四边形 ABCD 中 CD AB DAB BCD AE CF 分别是 DAB BCD 的平分线 EAB DAB BCD DCF 1 2 1 2 DCF BFC EAB CFB AE CF CD AB 四边形 AECF 是平行四边形 方法二 方法二 在平行四边形 ABCD 中 CD AB AB CD AD BC D B DAB BCD AE CF 分别是 DAB BCD 的平分线 EAD DAB BCD BCF 1 2 1 2 在 ADE 与 CBF 中 EAD BCF AD BC D B ADE CBF ASA DE FB AB CD EC AF 四边形 AECF 是平行四边形 例例 4 如图所示 已知在平行四边形 ABCD 中 AC 与 BD 相交于点 O 点 E F 在 AC 上 且 BE DF 求证 BE DF 分析 分析 可以利用 BOE DOF 来证明 而平行四边形 ABCD 及 BE DF 为全等创 造了条件 证明证明 四边形 ABCD 是平行四边形 BO DO 平行四边形对角线互相平分 又 BE DF BEO DFO 两直线平行 内错角相等 在 BOE 与 DOF 中 BEO DFO BOE DOF 对顶角相等 BO DO BOE DOF A A S BE DF 全等三角形对应边相等 反思反思 证明边相等除了这里运用的三角形全等的方法外 还可以通过证明四边形 BFDE 为平行四边形来达到要求 因此本题解法不唯一 例例 5 如图在平行四边形 ABCD 中 点 E F 在对角线 AC 上 且 AE CF 求证 四边 形 BEDF 是平行四边形 分析 分析 根据条件 AE CF 可联想到定理 对角线互相平分的四边形是平行四边形 只需证明四边形 BEDF 的对角线互相平分 证明 证明 连结BD交AC于点O 在平行四边形 ABCD 中 AO CO BO DO 又 AE CF EO FO 四边形 BEDF 是平行四边形 例例 6 如图 在 ABC 中 已知 D E 分别是边 AB AC 的中点 延长 DE 至 F 使 EF DE 连结 AF CF CD 写出图中所有的平行四边形 并予以证明 分析 分析 根据对角线互相平分的四边形是平行四边形 易证得四边形 ADCF 是平行四边 形 再利用一组对边平行且相等 BD 和 CF 证明四边形 BDFC 是平行四边形 解答解答 图中的平行四边形有平行四边形 ADCF 平行四边形 BDFC 证明如下 AE EC DE EF 四边形 ADCF 是平行四边形 AD CF 且 AD CF 又 AD BD BD CF 又 BD CF 四边形 BDFC 是平行四边形 例例 7 如图在平行四边形 ABCD 中 点 E 和点 F 分别为 AD BC 上的点 且 AE CF AF 与 BE 交于点 G DF 与 CE 交于点 H 求证 四边形 EGFH 是平行四边形 分析 分析 根据条件可先证四边形 AFCE 和四边形 BFDE 为平行四边形 从而得到 GF EH GE FH 得四边形 EGFH 是平行四边形 证明 证明 在平行四边形 ABCD 中 AD BC 且 AD BC AE CF DE BF 四边形 AECF 和四边形 BFDE 都是平行四边形 AF EC BE FD 四边形 EGFH 是平行四边形 例例 8 如图 ABC 中 AB 6 AC 4 AD 是 BC 边上的中线 则 AD 的取值范围是 分析 分析 本题考查平行四边形的判定及三角形的三边关系 要确定 AD 的取值范围 联 想用三角形三边关系 但又不能把 AD 和 AB 与 AC 放在同一三角形里 故不能直接利用 三角形三边关系 由 AD 是中线 可联想到延长中线 得到平行四边形 将已知条件 AC 和 AB 实行转化 与未知量 AD 集中到三角形中来求解 解 解 延长 AD 到 E 使 DE AD 连接 BE CE BD CD 四边形 ABEC 是平 行四边形 CE AB 6 在 ACE 中 6 4 AE 6 4 即 2 AE 10 又 AE 2AD 1 AD 5 答案 答案 1 AD 5 点拨 点拨 当题中有三角形的中线时 常常延长中线 构造平行四边形 这种作辅助线的 方法在解题中经常用到 要注意掌握 例例 9 如图 田村有一口呈四边形的池塘 在它的四个角 A B C D 处均种有一棵 大核桃树 田村准备开挖池塘建养鱼池 想使池塘面积扩大一倍 又想保持核桃树不动 并要求扩建后的池塘成平行四边形的形状 请问田村能否实现这一设想 若能 请设计并 画出图形 若不能 请说明理由 画图要保留痕迹 不写画法 分析 分析 欲使池塘面积扩大一倍 又想保持核桃树不动 则点A B C D应在扩建后 的平行四边形的边上 不妨连接AC BD 分别过点A B C D作对角线的平行线 它们 的交点E F G H组成的平行四边形的面积即为原池塘面积的2倍 解答 解答 田村能实现这一设想 见图 模拟试题模拟试题 答题时间 40 分钟 一 选择题 1 在下列图形的性质中 平行四边形不一定具有的性质是 A 对角相等 B 对边平行且相等 C 对角线相等 D 对角线互相平分 2 要判定四边形 ABCD 是平行四边形 则 A B C D 要满足 A 1 1 2 2 B 1 2 1 2 C 1 2 2 1 D 1 2 3 4 3 如图 在 ABCD 中 AC BD 相交于点 O 作 OEBD 于 O 交 CD 于 E 连接 BE 若 BCE 的周长为 6 则平行四边形 ABCD 的周长为 A 6 B 12 C 18 D 不确定 4 已知四边形 ABCD 的对角线相交于点 O 下列条件不能判定四边形 ABCD 是平行四 边形的是 A OA OC OB OD B ABD BDC CBD ADB C AB CD OB OD ABD BDC D OA OB OC OD 5 如图 ABCD 中 DAB 的平分线 AE 交 CD 于 E AB 5 BC 3 则 EC 的长 为 A 1 B 1 5 C 2 D 3 6 过平行四边形 ABCD 的钝角顶点 A 作 AE BC 于 E AF CD 于 F 若 AE 4 AF 6 平行四边形 ABCD 的周长为 40 则其面积为 A 48 B 40 C 35 D 30 二 填空题 7 在四边形 ABCD 中 已知 AB CD 再添一个条件 就可以判定四边形 ABCD 是平行四边形 8 用长为 80cm 的铁丝围成一个平行四边形 使平行四边形的两邻边之比为 3 2 这个 平行四边形的最长边为 9 在四边形 ABCD 中 A 60 要使四边形 ABCD 成为平行四边形 则 B C 10 平行四边形 ABCD 中 若其中三边长分别为 x 2 cm x 1 cm 6cm 则该 平行四边形的周长为 11 在一个平行四边形中 若其一边长为 a 两条对角线的长分别为 3 和 9 则 a 的取值 范围为 三 解答题 12 如图是小明剪成的一个等腰三角形纸片 ABC 其中 AB AC 他把 B 沿 EM 折叠 使点 B 落在点 D 上 把 C 沿 FN 折叠使点 C 也落在点 D 上 则小明就说四边形 AEDF 是平行四边形 请你帮他说明理由 小明又量出 AB 9 cm 则四边形 AEDF 的周长是多 少 13 如图 P 为等边三角形 ABC 内一点 PD AB PE BC PF AC 求证 PD PE PF 为定值 14 如果把平行四边形 ABCD