2010年高三数学高考概率押题

用心 爱心 专心 20102010 年高考概率押题 陆川中学提供 年高考概率押题 陆川中学提供 1 在甲袋中有 10 个螺母 其中 9 个正品 1 个次品 乙袋中有 10 个螺帽 其中 8 个正品 2 个次品 现要抽取 1 套正品螺栓 即正品螺母 正品螺帽各一 若随机不放回地进行抽取 先定螺母 后定螺帽 求总共抽取的次数恰好为 的概率 求总共抽取的次数不超过 概率 理科做 求总共抽取的次数 的分布列和数学期望 解 甲取 1 次乙取 2 次或甲取 2 次乙取 1 次 P 25 6 10 8 10 1 9 8 10 2 10 9 对立事件甲取 2 次乙取 3 次的概率为 450 1 9 1 10 2 10 1 所求概率 P 450 449 450 1 5 25 6 3 25 18 10 8 10 9 2 PPP 450 17 450 1 25 6 25 18 1 4 P 分布列为 略 90 29 2 90 209 450 1 5 450 17 4 25 6 3 25 18 2 E 2 某单位有三辆汽车参加某种事故保险 单位年初向保险公司缴纳每辆 900 元的保险金 对在一年内发生此种事故的每辆汽车 单位可获 9000 元的赔偿 假设每辆车最多只赔偿 一次 设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为 11 1 10 1 9 1 且各车是否发生事 故相互独立 求一年内该单位在此保险中 获赔的概率 获赔金额的分布列与期望 解答 设 k A表示第k辆车在一年内发生此种事故 3 2 1 k 由题意知 321 AAA 独立 且 11 1 10 1 9 1 321 ApApAp 该单位一年内获赔的概率为 的所有可能值为 0 9000 18000 27000 用心 爱心 专心 综上知 的分布列为 求的期望有两种解法 解法一 由的分布列得 元 解法二 设 k 表示第k辆车一年内的获赔金额 3 2 1 k 则 1 有分布列 故1000 9 1 9000 1 E 同理得900 10 1 9000 2 E 18 818 11 1 9000 3 E 综上有18 271818 8189001000 321 EEEE 元 用心 爱心 专心 3 甲 乙两人参加一次英语口语考试 已知在备选的10道试题中 甲能答对其中的 6题 乙能答对 其中的8题 规定每次考试都从备选题中随机抽出 3题进行测试 至少答对 2题才算合格 理 求甲答对试题数 的概率分布及数学期望 文 分别求甲 乙两人考试合格的概率 求甲 乙两人至少有一人考试合格的概率 3 理 依题意 甲答对试题数 的概率分布如下 0123 P 30 1 10 3 2 1 6 1 甲答对试题数 的数学期望 E 0 30 1 1 10 3 2 2 1 3 6 1 5 9 解 文 设甲 乙两人考试合格的事件分别为 A B 则 P A 3 10 3 6 1 4 2 6 C CCC 120 2060 3 2 P B 3 10 3 8 1 2 2 8 C CCC 120 5656 15 14 答 甲 乙两人考试合格的概率分别为 15 14 3 2 和 解法一 因为事件 A B 相互独立 所以甲 乙两人考试均不合格的概率为 P BA P A P B 1 3 2 1 15 14 45 1 甲 乙两人至少有一人考试合格的概率为 P 1 P BA 1 45 1 45 44 答 甲 乙两人至少有一人考试合格的概率为 45 44 解法二 因为事件 A B 相互独立 所以甲 乙两人至少有一人考试合格的概率为 P P A B P A B P A B P A P B P A P B P A P B 3 2 15 1 3 1 15 14 3 2 15 14 45 44 答 甲 乙两人至少有一人考试合格的概率为 45 44 4 下表为某班英语及数学成绩的分布 学生共有 50 人 成绩分 1 5 五个档次 例如表中所 示英语成绩为 4 分 数学成绩为 2 分的学生为 5 人 将全班学生的姓名卡片混在一起 任取 一枚 该卡片同学的英语成绩为x 数学成绩为y 设 x y为随机变量 注 没有相同姓名 的学生 用心 爱心 专心 1 1x 的概率为多少 33xy 且的概率为多少 2 ab 等于多少 若y的期望为 133 50 试确定a b的值 解 1 131184 1 3 3 50105025 P xP xy 2 535107 2 1 1 3 13 50505050 ab P xP xP xab 又 5415158133 5432149 505050505050 ba ab 结合 可得1a 2b 5 A B 是治疗同一种疾病的两种药 用若干试验组进行对比试验 每个试验组由 4 只小白 鼠组成 其中 2 只服用 A 另 2 只服用 B 然后观察疗效 若在一个试验组中 服用 A 有效 的小白鼠的只数比服用 B 有效的多 就称该试验组为甲类组 设每只小白鼠服用 A 有效的概 率为 2 3 服用 B 有效的概率为 1 2 求一个试验组为甲类组的概率 理 观察 3 个试验组 用 表示这 3 个试验组中甲类组的个数 求 的分布列和数学期 望 文 观察 3 个试验组 求这 3 个试验组中至少有一个甲类组的概率 解 1 设 Ai表示事件 一个试验组中 服用 A 有效的小鼠有 i 只 i 0 1 2 Bi表示事件 一个试验组中 服用 B 有效的小鼠有 i 只 i 0 1 2 依题意有 P A1 2 P A2 P B0 1 3 2 3 4 9 2 3 2 3 4 9 1 2 1 2 1 4 P B1 2 所求概率为 P P B0 A1 P B0 A2 P B1 A2 1 2 1 2 1 2 1 4 4 9 1 4 4 9 1 2 4 9 4 9 理 的可能值为 0 1 2 3 且 B 3 P 0 3 P 1 C31 4 9 5 9 125 729 4 9 5 9 2 100 243 数学 y x 5 54 43 32 21 1 5 513101 4 410751 3 321093 2 21 b 60 a 英 语 1 100113 用心 爱心 专心 P 2 C32 2 P 3 3 4 9 5 9 80 243 4 9 64 729 的分布列为 数学期望 E 3 4 9 4 3 文 所求概率为 P 1 1 3 4 9 604 729 6 某城市有甲 乙 丙 3 个旅游景点 一位客人游览这三个景点的概率分别是 0 4 0 5 0 6 且客人是否游览哪个景点互不影响 设 表示客人离开该城市时游览的景 点数与没有游览的景点数之差的绝对值 求 的分布及数学期望 记 函数 f x x2 3 x 1 在区间 2 上单调递增 为事件 A 求事件 A 的概 率 解 I 分别记 客人游览甲景点 客人游览乙景点 客人游览丙景点 为事件 A1 A2 A3 由已知 A1 A2 A3相互独立 P A1 0 4 P A2 0 5 P A3 0 6 客人游览的景点数的可能取值为 0 1 2 3 相应地 客人没有游览的景点数的可能取 值为 3 2 1 0 所以 的可能取值为 1 3 P 3 P A1 A2 A3 P 321 AAA P A1 P A2 P A3 P 321 APAPA 2 0 4 0 5 0 6 0 24 P 1 1 0 24 0 76 所以 的分布列为 E 1 0 76 3 0 24 1 48 解法一 因为 4 9 1 2 3 22 xxf 所以函数 2 3 13 2 在区间xxxf上单调递增 要使 2 在xf上单调递增 当且仅当 3 4 2 2 3 即 0123 P 125 729 100 243 80 243 64 729 1 3 P0 760 24 用心 爱心 专心 从而 76 0 1 3 4 PPAP 解法二 的可能取值为 1 3 当 1 时 函数 2 13 2 在区间xxxf上单调递增 当 3 时 函数 2 19 2 在区间xxxf上不单调递增 所以 76 0 1 PAP 7 理 某电器商经过多年经验发现本店每个月售出的电冰箱的台数 是一个随机变量 它 的分布列如下 123 12 P 12 1 12 1 12 1 12 1 设每售出一台电冰箱 电器商获利 300 元 如销售不出而囤积于仓库 则每台每月需花保养 费用 100 元 问电器商月初购进多少台电冰箱才能使自己平均收益最大 解 设电器商月初购进 x 台电冰箱 121 x 设电器商每月的收益为 则 是随机变 量 的函数 且 100300 300 xx xx 电器商平均每月获益的平均数即数学期望为 1121 1 100300 300PxPPPxE xx 12 100 1 300 2 1003002 x PxPx 2 1 100 2 1 300 12 1 12 1 112 300 xxxx xx 6 9025 2 19 3 50 382 3 25 22 xxx Nx 当 x 9 或 10 时 E 最大 故电器商月初购进 9 或 10 台电冰箱时 收益最大 8 从一批有 10 个合格品与 3 个次品的产品中 一件一件地抽取产品 设各个产品被抽取到 的可能性相同 在下列情况下 分别求出首次取出合格品时所需抽取次数 的分布列及 数学期望 1 每次取出的产品都不放回此产品中 用心 爱心 专心 2 每次取出的产品都立即放回此批产品中 然后再取出一件产品 解 1 的所有可能取值为 1 2 3 4 其中 13 10 1 p 26 5 12 10 13 3 2 p 143 5 11 10 12 2 13 3 3 p 286 1 10 10 11 1 12 2 13 3 4 p 的分布列为 1234 P 13 10 26 5 143 5 286 1 143 182 286 1 4 143 5 3 26 5 2 13 10 1 E 2 依题意可知 服从几何分布p g k 其中 13 10 p pqkp k 1 3 2 1 1 kpq 123 n p p pq 12 pq 13 pq n 1 10 131 p E 9 反兴奋剂的大敌 服药者的宠儿 HGH 人体生长激素 有望在 8 月的北京奥运会上首 次 伏法 据悉 国际体育界研究近 10 年仍不见显著成效的 HGH 检测 日前已取得新 的进展 新生产的检测设备很有希望在北京奥运会上使用 若组委会计划对参加某项田径比赛的 120 名运动员的血样进行突击检验 和 采用如下 化验方法 将所有待检运动员分成若干个小组 每组 m 个人 再把每个人的血样分成两 份 化验时将每个小组内的 m 个人的血样各一份混合在一起进行化验 若结果中含 HGH 成分 那么该组的 m 个人只需化验这一次就算检验合格 如果结果中含 HGH 成分 那么 需要对该进行再检验 即需要把这 m 个人的另一份血样逐个进行化验 才能最终确定是 否检验合格 这时 对这 m 个人一共需要进行 m 1 次化验 假定所有人来说 化验结果 中含 HGH 成的概率均为 10 1 当 m 3 时 求一个小组只需经过一次检验就合格的概率 用心 爱心 专心 设一个小组的检验次数为随机变量 求 的分布列及数学期望 解 一个小组只需经过一次检验就合格 则必有此三个人的血样中均不含 HGH 成 分 所求概率为 P 729 0 10 9 10 1 1 33 6 分 随机变量 的取值为 1 4 P 1 729 0 10 9 10 1 1 33 P 4 1 271 0 10 9 3 的分布列为 E 3 10 9 4813 1 729 0 34 10 9 34 10 9 1 33 12 分 10 美国次贷危机引发 2008 年全球金融动荡 波及中国股市 甲 乙 丙 丁四人打算趁 目前股市低迷之际 抄底 若四人商定在圈定的 6 只股票中各自随机购买一只 假定购 买时每支股票的基本情况完全相同 1 求甲 乙 丙 丁四人恰好买到同一只股票的概率 2 求甲 乙 丙 丁四人中至多有两人买到同一只股票的概率 3 理做文不做 由于国家采取了积极的救市措施 股市渐趋 回暖 若某人今天按 上一交易日的收盘价 20 元 股 买入某只股票 1000 股 10 手 且预计今天收盘时 该 只股票比上一交易日的收盘价上涨 10 涨停 的概率为 0 6 持平的概率为 0 2 否则将 下跌 10 跌停 求此人今天获利的数学期望 不考虑佣金 印花税等交易费用 答案 1 四人恰好买到同一只股票的概率P1 6 4 分 1 6 1 6 1 6 1 6 1 216 2 法一 四人中有两人买到同一只股票的概率P2 C2 4C2 2 A2 2 A2 6 C2 4A3 6 64 135 216 四人中每人买到不同的股票的概率P3 A4 6 64 60 216 5 18 所以四人中至多有两人买