八年级数学画相似图形、图形与坐标华东师大版知识精讲

初二数学初二数学画相似图形 图形与坐标画相似图形 图形与坐标华东师大版华东师大版 同步教育信息同步教育信息 一 本周教学内容 画相似图形 图形与坐标 主要内容 1 利用位似的方法 把一个图形放大或缩小 2 用坐标来确定位置 3 图形的运动与坐标 教学重点 1 掌握三种画位似图形的方法 2 建立恰当的直角坐标系来描述物体的位置 3 通过坐标系来观察探索各种变换后的对应点坐标的变化情况 典型例题 一 画相似图形 知识梳理 1 图形的变换 按一定的方法把一个图形变成另一个图形叫做图形的变换 如以前学过的平移 轴对 称 旋转等 都是图形的变换 这些变换 变换后的图形与原图形的大小 形状都不发生 改变 2 位似变换 变换后的图形 不仅与原图形相似 而且对应顶点的连线相交于一点 并且对应点到 这一交点的距离成比例 像这种特殊的相似变换叫做位似变换 这个交点叫做位似中心 一个图形经过位似变换后得到另一个图形 这两个图形就叫位似形 3 利用位似的方法 可以把一个图形放大或缩小 例 1 如图所示 判断其中图形是不是位似图形 分析 分析 本题主要考查位似图形的概念 如果两个图形不仅相似 而且每组对应点的连 线都经过同一个点 那么这样的两个图形叫做位似图形 但位似中心的位置比较自由 可 以是位似图形的一个顶点 如图 1 所示 可以在位似图形之外 如图 2 所示 也 可以在位似图形之内 如图 3 所示 由位似图形的定义可以判断图 4 5 6 不是位似图形 事实上 图 4 是图形的旋转 图 5 是图形的反射 图 6 是 图形的平移 解 解 由位似图形的概念知 1 2 3 是位似图形 4 5 6 不是位似图形 例 2 下面介绍三种特殊的画相似多边形的方法 1 现在要把多边形 ABCDE 放大到 1 5 倍 即新图与原图的相似比为 1 5 我们可 以按下列步骤画出图 1 1 任取一点 O 2 以点 O 为端点作射线 OA OB OC 3 分别在射线 OA OB OC 上取点 A B C 使 OA OA OB OB OC OC 1 5 4 连结 A B B C 得到所要画的多边形 A B C D E 2 还可以任取一点 O 如图 2 所示 作直线 OA OB OC OD 在点 O 的另一 侧取点 A B C D 使 OA OA OB OB OC OC OD OD 2 也可以得到放 大到 2 倍的四边形 A B C D 3 如果把位似中心取在多边形内 那么也可以把一个多边形放大或缩小 而且较为 简便 想一想 还可以把位似中心放在哪里 方法一 方法一 图 1 方法二 方法二 图 2 方法三 方法三 图 3 小结 小结 位似中心的位置分三种情况 1 位似中心在两图形同侧 2 位似中心在两图形之间 3 位似中心都在两个图形的内部 特殊位置 位似中心在原图形的顶点或一边上 例 3 已知 四边形 ABCD 如图所示 画一个四边形 使四边形与原图形的相似比为 2 5 A B C D A B C D 解 解 要使所画图形与原图形的相似比为 2 5 即 5 2 也就是说 新图形上各顶点到 位似中心的距离与原图形各对应顶点到位似中心的距离之比为 5 2 位似中心可取在图形 外 如图 1 2 所示 或图形内 如图 3 所示 或取在一条边上 如图 4 所示 或取在某一顶点上 如图 5 所示 例 4 用直尺画出图中各对位似图形的位似中心 分析 分析 找两对对应点 取对应点连线的交点 则此交点为位似中心 二 用坐标来确定位置 知识梳理 1 在平面直角坐标系中 利用点的坐标可以确定点的位置 2 建立不同的直角坐标系 选定的坐标单位不同 则各点的坐标也不相同 3 地图中的经度和纬度表示一个地点在地球上的位置 电影院的座位用几排几座表示等 都是坐标表示位置的实际应用 典型例题 1 在生产和日常生活中 可以用坐标来确定位置 例 1 夏令营举行野外拉练活动 老师交给大家一张地图 如图所示 地图上画了一个 直角坐标系 作为定向标记 给出了四座农舍的坐标是 1 2 3 5 4 5 0 3 目的地位于连结第一与第三座农舍的直线和连结第二与第四座农舍的直线的交 点 你能在图中画出目的地的位置吗 分析 分析 根据点的坐标在图中找出四座农舍的位置 依次为 A B C D 过 A C 作 直线 过 B D 作直线 两直线的交点就为目的地的位置 解 解 A 1 2 B 3 5 C 4 5 D 0 3 作直线 AC BD 交于点 P P 点即为目的地位置 还可借助直线 AC 与直线 BD 解析式求 P 点坐标 也可通过度量近似求 P 点坐标 2 以任一点为原点 建立直角坐标系 则可以用坐标来准确地表示点的位置 例 2 如图所示 是某旅游景点的示意图 图中每个小正方形的边长为 1 个单位长度 请以某景点为原点 画出直角坐标系 并用坐标表示下列景点的位置 分析 分析 以图中的不同景点为原点 建立的直角坐标系各不相同 则各地的坐标也不相 同 解 解 如图所示 选择中心广场为原点 向东方向为 x 轴正方向建立平面直角坐标系 则各景点的坐标分别为 科技大学 5 4 钟楼 4 2 大成殿 3 1 雁塔 2 4 中心广场 0 0 碑林 4 4 映月湖 4 3 3 用一个角度和距离也可以表示一个点的位置 例 3 张红在某市动物园的大门口看到这个动物园的平面示意图 试借助刻度尺 量角器 解决如下问题 1 建立适当的直角坐标系 用坐标表示猴山 驼峰 百鸟园的位置 2 填空 百鸟园在大门的北偏东 度的方向上 到大门的图上距离约为 厘 米 熊猫馆在大门的北偏西 度的方向上 到大门的图上距离约为 厘米 驼峰在大门的南偏东 度的方向上 到大门的图上距离约为 cm 动物园平面示意图 北 熊猫馆 猴山 大门 驼峰 百鸟园 分析 分析 1 中 我们可以选择任何一个景点为原点 向东方向为 x 轴的正方向 取 0 5cm 作为单位长度 建立直角坐标系 用测量的方法写出猴山 驼峰 百鸟园的位置 2 中 以大门为射线的端点 向四个景点所在位置作射线 用量角器量出相应角的度数 用刻度尺测量两点间的距离 解 解 1 情况不一样 自己可以写出坐标 2 以大门为射线的端点 向四个景点所在位置作射线 由于测量产生误差 距离略 给出如下结果 猴山位于大门北偏西 88 熊猫馆位于大门北偏西 45 百鸟园位于大门北偏东 50 驼峰位于大门东偏南 7 动物园平面示意图 北 熊猫馆 猴山 大门 驼峰 百鸟园 例 已知边长为 4 的正方形 ABCD 请选用特殊的点作原点 建立平面直角坐标系 写 出各顶点的坐标 用两种不同的方法 分析 分析 坐标系的建立有多种方案 但我们总是选取一些特殊的坐标使坐标数字简单 给 以后解题带来方便 方法一 方法一 如图 1 所示 以一顶点为原点 使其中两点也在坐标轴上 此时各顶点坐 标为 A 0 0 B 4 0 C 4 4 D 0 4 方法二 方法二 如图 2 所示 以正方形的中心为原点使 AB CD 与 x 轴平行 此时各顶 点的坐标为 A 2 2 B 2 2 C 2 2 D 2 2 三 图形的运动与坐标 知识梳理 在同一直角坐标系中 图形经过平移 旋转 轴对称 放大或缩小之后 点的坐标存 在一定的变化规律 1 一个图形沿 x 轴向右 左 平移 a 个单位之后 图形的各个顶点的纵坐标都没有改变 而横坐标增加 减小 a 一个图形沿 y 轴向上 下 平移 b 个单位之后 图形的各个顶点 的横坐标都没有改变 而纵坐标增加 减小 b 例 如图所示 AOB 沿 x 轴向右平移 2 个单位之后 得到 三个顶点的 A O B 坐标有什么变化 分析 分析 先写出 AOB 的三个顶点坐标 平移后每个顶点的位置都发生了变化 写出平 移后的的顶点坐标 并比较变化的规律 A O B 解 解 AOB 的顶点的坐标是 A 2 4 O 0 0 B 4 0 平移之后的 对应顶点的坐标是 A O B AOB 442060 则 AOB 沿 x 轴向右平移 2 个单位之后得到的的各对应顶点的纵坐标不 A O B 变 横坐标增加了 2 个单位 2 一个图形关于 x 轴的轴对称图形对应顶点的坐标变化规律是 横坐标不变 纵坐标为 其相反数 在 x 轴上的点的对称点是它本身 一个图形关于 y 轴的轴对称图形对应顶点的坐标变化规律是 点 x y 的对称点是 x y 在 y 轴上的点的对称点是它本身 例 如图所示 AOB 关于 x 轴的轴对称图形是 关于 y 轴的轴对称图形是 A OB 对应顶点的坐标有什么变化 A OB 分析 分析 由于 AOB 有两个顶点在 x 轴上 故 AOB 关于 x 轴对称的三角形 O B 两 点是其本身 A 和 A 横坐标相同 纵坐标互为相反数 易写出 AOB 关于 y 轴的轴对称 图形的坐标 可以看出与 A 与 B 的纵坐标相同 横坐标互为相反数 A OB A B 解 解 AOB 的各顶点坐标是 ABO 132000 的各顶点坐标是 A OB ABO 132000 的各顶点坐标是 A OB ABO 132000 则 在直角坐标系中 AOB 关于 x 轴和 y 轴的轴对称图形的对应点坐标的变化规律 1 关于 x 轴对称 横不变纵变 2 关于 y 轴对称 纵不变横变 特别是在轴上的点 关于此轴对称的对称点是其本身 3 把一个图形放大 缩小 得到一个新的图形 变化后的对应点的横纵坐标的比等于它 们的相似比 注意 通常在同一象限内研究有此规律 例 如图所示 表示 AOB 和它缩小后得到的 COD EOF 观察变化前后三角形 顶点的坐标发生了什么变化 你能求出它们的相似比吗 把你的想法和你的同学交流 分析 分析 因为 则它们的相似比是 1 2 又知 A CODAOBODOB 24 点坐标为 2 4 由相似三角形对应边的比等于相似比 则可求出 C 点的坐标 同理可 求 E 点的坐标 解 解 因为 CODAOBODOBA 2424 过 C 作CCxC 轴 垂足为 则 OCCCOD OB 24 1 2 求得CCOC 21 故CD 1220 同理可求FE 30 3 2 3 则 将 AOB 缩小后得到 COD 和 EOF 其对应点的横 纵坐标的比等于相似比 如CA 1224 有 1 2 2 4 3 2 324 3 2 2 3 4 有 EA 典型例题讲析 例 1 将下图中的 ABC 作下列运动 画出相应的图形 指出三个顶点的坐标所发生的 变化 1 沿 y 轴正向平移 3 个单位 2 关于 x 轴对称 3 以 C 点为位似中心 将 ABC 放大 2 倍 4 以点 C 为中心 将 ABC 旋转 180 y B C O x A 分析 分析 本题考查直角坐标系中的点运动以后的坐标变化规律 解题时 先画出变化后 图形 写出变化后点的坐标 发现变化的规律 解 解 如图所示 1 沿 y 轴正向平移 3 个单位得到 A B C 111 AA BB CC 0102 1215 2124 1 1 1 2 关于 x 轴对称的 则 A B C 222 AA 0101 2 BB 1212 2 CC 2121 2 3 以 C 点为位似中心 将放大 2 倍得到 ABC CA BA 333 23 B303 4 以 C 为中心 将 ABC 旋转 180 得到 则 A B C 44 AB 44 4330 例 2 某出版社一位编辑在设计一本书的封面时 想把长 21cm 宽 14cm 的长方形纸片 划分为四个矩形 其中左上角矩形与右下角矩形相似 以给人一种和谐的感觉 为了明确 划分的位置 你能否帮助这位编辑叔叔建立平面直角坐标系来说明划分线的交点坐标 这 样的两个矩形是怎样画出来的 分析 分析 首先建立平面直角坐标系 以矩形的一个顶点为原点 就可表示其他三个顶点 的坐标 我们没有具体的学习四边形相似的认识方法 那就只能根据 对应边成比例 对 应角相等 来识别了 解 解 如图所示 作对角线 AC 在 AC 上根据需要取一点 P 过 P 作 EF BC GH AB 显然 PAGPCH 所以 AG HC PG PH 这样在矩形 AEPG 和 CHPF 就满足对应边成比例 对应角相等 所以这两个矩形相似 从而交点的坐标就有很多种 可以任写一种 说明 说明 对于四边形相似的识别方法并没有具体地学习 那就只可以根据 对应边成比 例 对应角相等 来识别了 矩形 AEPG 和矩形 CHPF 相似 P 点就可以确定了 但它可 在对角线 AC 的不同位置 模拟试题模拟试题 答题时间 30 分钟 1 相似这种变换是将图形的 改变 而保持图形的 不变 2 如图所示 四边形 ACDE 四边形 ABHF 则它们的位似中心是 3 如图所示 点 D 点 E 分别是 AB AC 边中点 则 它们 的位似中心是 相似比是 4 如图所示中位似的图形是 填序号 5 已知四边形 ABCD 如图所示 画一个四边形 使四边形与原A B C D A B C D 图形的相似比为 2 5 6 请用位似的方法把下图放大 1 倍 要求位似中心在 AB 边上 C A B 7 玩一玩挡光板 小明学了 位似变换 以后 周末在家做了一个 位似 小实验 如 图所示 为了使家中的墙壁上一幅壁画不受太阳光从点 O 照射 他在壁画与入射光线 O 之间设置一个长方形障碍 以拦住壁画不受照射 要求使壁画和障碍物成位似图形 相似 比为 3 1 请你帮小明画出其位似图形 8 如图所示 按要求进行位似变换 1 将 ABC 放大 2 倍 且位似中心选在 ABC 左侧图中黑点处 2 将正六边形 ABCDEF 缩小倍 且位似中心选在图形的内部图中 1 2 黑点处 9 一个矩形如图所示 四边形 ABCD 的坐标分别为 A 3 1 B 3 1 C 1 1 D 1 1 1 写出沿 CD 翻折后的图形坐标 2 绕 D 点逆时针旋转 180 后的图形坐标 3 关于坐标原点 O 成中心对称的图形的顶点坐标 4 把图形再向下平移 2 个单位得到图形的点坐标 10 将如图所示中的 ABC 作如下运动 画出图形 写出三个顶点变化后的坐标 1