贵州省黔东南州凯里一中2014届高三数学上学期第一次月考试题 理 新人教A版

1 2013 20142013 2014 学年贵州省黔东南州凯里一中高三 上 第一次月考数学年贵州省黔东南州凯里一中高三 上 第一次月考数 学试卷 理科 学试卷 理科 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1212 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 6060 分 在每小题给出的四个选项中 只分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 有一项是符合题目要求的 1 5 分 已知集合 M x x 1 2 4 x R N x 2 x 3 x Z 则 M N A 0 1 2 B 1 0 1 2 C 1 0 2 3 D 0 1 2 3 考点 交集及其运算 专题 计算题 分析 求解二次不等式化简集合 M 用列举法表示出集合 N 则答案可求 解答 解 由 M x x 1 2 4 x R x 1 x 3 N x 2 x 3 x Z 1 0 1 2 3 则 M N 0 1 2 故选 A 点评 本题考查了交集及其运算 考查了一元二次不等式的解法 是基础题 2 5 分 已知实数 a b 满足 z a bi 则过坐标原点和点 A a b 的直线 l 的斜 率为 A B C D 考点 复数代数形式的乘除运算 复数相等的充要条件 直线的斜率 专题 计算题 分析 利用复数的除法运算化简复数 z 然后利用复数相等的条件求出 a b 利用两点求 斜率得答案 解答 解 由 z a bi 所以 a b 2 所以过坐标原点和点 A a b 的直线 l 的斜率为 k 故选 A 点评 本题考查了复数代数形式的乘除运算 考查了复数相等的条件 训练了由两点求直 线的斜率公式 是基础题 3 5 分 函数的最小值 A 2B 2C D 考点 三角函数的最值 两角和与差的正弦函数 专题 计算题 分析 利用两角差的正弦公式 把函数化为 2sin x 由正弦函数的值域可得最 小值为 2 解答 解 函数 2 2sin x 2 故函数的最小值等于 2 故答案为 2 点评 本题考查两角差的正弦公式的应用 以及正弦函数的最值 化简函数的解析式 是 解题的关键 4 5 分 已知两个正数 a b a b 的等差中项为 5 等比中项为 4 则椭圆 的离心率 e 等于 A B C D 考点 椭圆的简单性质 专题 计算题 分析 由题意可知 a b 10 ab 16 结合 a b 可求 a b 再由 c 可求 c 由 e 可求 解答 解 由题意可知 a b 10 ab 16 a b 3 a 8 b 2 c 2 e 故选 C 点评 本题主要考查了椭圆性质的应用 解题的关键是熟练掌握基本知识 属于基础试题 5 5 分 条件 p x 1 y 1 条件 q x y 2 xy 1 则条件 p 是条件 q 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 即不充分也不必要条件 考点 充要条件 专题 阅读型 分析 题目中的 x 和 y 明显有对称性 即 x 和 y 可以互换题目不变 显然前者可以推出后 者 通过取特殊值可得出后者不可以推出前者 解答 解 由 x 1 y 1 可得 x y 2 xy 1 取 x 1 9 y 0 9 则 x y 2 xy 1 成立 但 x 1 y 1 则条件 p 是条件 q 的充分而不必要条件 故选 A 点评 方法不好 那么这就是一道难度较大的题目 如果没发现利用特殊值法验证 则都 是比较复杂的 6 5 分 2007 天津 在 R 上定义的函数 f x 是偶函数 且 f x f 2 x 若 f x 在区间 1 2 上是减函数 则 f x A 在区间 2 1 上是增函数 在区间 3 4 上是增函数 B 在区间 2 1 上是增函数 在区间 3 4 上是减函数 C 在区间 2 1 上是减函数 在区间 3 4 上是增函数 D 在区间 2 1 上是减函数 在区间 3 4 上是减函数 考点 偶函数 分析 根据函数的性质 作出函数的草图 观察图象即可得答案 解答 解 由 f x f 2 x 可知 f x 图象关于 x 1 对称 4 又 f x 为偶函数 f x f x 2 f x 为周期函数且周期为 2 结合 f x 在区间 1 2 上是减函数 可得 f x 草图 故选 B 点评 本题属于函数性质的综合应用 解决此类题型要注意 1 明确周期性 对称性 奇偶性的关系 2 培养数形结合的思想方法 7 5 分 某四面体的三视图如图所示 该四面体的六条棱长中 长度最大的是 A B C D 2 考点 简单空间图形的三视图 点 线 面间的距离计算 专题 空间位置关系与距离 分析 由已知的中三视图画出该几何体的直观图 并利用勾股定理求出各棱的长度 比较 后 可得答案 解答 解 由已知可得该几何体的直观图如下图所示 且 VA 平面 ABC BD CD VA AC AD 1 BD 2 则 AB BC 2 VC VB 四面体的六条棱长中 长度最大的是 BC 2 5 故选 D 点评 本题考查的知识点是简单空间图形的三视图 空间两点之间距离的计算 其中由已 知的中三视图画出该几何体的直观图 是解答的关键 8 5 分 实数 x y 满足约束条件则 z 的最小值是 A B C 2D 3 考点 简单线性规划 专题 不等式的解法及应用 分析 先根据约束条件画出可行域 z 再利用 z 的几何意义求最值 只需求出何时 可行域内的点与点 1 1 连线的斜率的值最小 从而得到 的最小值 解答 解 先根据约束条件画出可行域 z 将 z 的值转化可行域内的点与点 1 1 连线的斜率的值 当 Q 点在可行域内的 A 0 4 时 的最小值为 3 故选 D 点评 本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组 以及简单的转化思想和数形结合的 思想 属中档题 目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题 这类问题一般要分 三步 画出可行域 求出关键点 定出最优解 9 5 分 如图程序运行后输出的结果为 6 A 14B 17C 20D 26 考点 伪代码 专题 图表型 分析 先读懂程序的算法 再据算法规则依次算出结果 可以看出这是一个循环结构 依 其特点求解即可 解答 解 经过分析 本题为当型循环结构 执行如下 S 11 i 2 S 14 i 3 S 17 i 4 S 20 i 5 S 23 i 6 S 26 i 7 当 i 7 不满足循环条件 跳出 该程序运行后输出的结果为 26 故选 D 点评 考查算法语言的结构 此类题的做法通常是把值代入 根据其运算过程求出值 7 10 5 分 已知正三棱柱 ABC A1B1C1的侧棱长与底面边长相等 则 AB1与侧面 ACC1A1所成 角的正弦等于 A B C D 考点 空间中直线与平面之间的位置关系 专题 计算题 压轴题 分析 根据正三棱柱及线面角的定义知 取 A1C1的中点 D1 B1AD1是所求的角 再由已知 求出正弦值 解答 解 取 A1C1的中点 D1 连接 B1D1 AD1 在正三棱柱 ABC A1B1C1中 B1D1 面 ACC1A1 则 B1AD1是 AB1与侧面 ACC1A1所成的角 正三棱柱 ABC A1B1C1的侧棱长与底面边长相等 故选 A 点评 本题主要考查了线面角问题 求线面角关键由题意过线上一点作出面的垂线 再求 线面角的正弦值 是基础题 11 5 分 2005 北京 若 且 则向量 与 的夹角 为 A 30 B 60 C 120 D 150 考点 数量积表示两个向量的夹角 专题 计算题 分析 要求两个向量的夹角 需要知道两个向量的模和夹角 而夹角是要求的结论 所以 根据两个向量垂直 数量积为零 把式子变化出现只含向量夹角余弦的方程 解出 夹角的余弦值 根据角的范围 得到结果 解答 解 若 设向量 与 的夹角为 8 则 故选 C 点评 从最近几年命题来看 向量为每年必考考点 都是以选择题呈现 从 2006 到 2009 年几乎各省都对向量的运算进行了考查 主要考查向量的数量积的运算 结合最近 几年的高考题 2010 年向量这部分知识仍是继续命题的重点 但应有所加强 对向 量的模的考查应是重点 12 5 分 已知点 P 在圆 C x2 y 3 2 1 上 点 Q 在 1 的右支上 F 是双曲 线的左焦点 则 PQ QF 的最小值 A 2 1B 3 2C 4 2D 5 2 考点 双曲线的简单性质 专题 圆锥曲线的定义 性质与方程 分析 先根据双曲线的定义把问题转化 再根据三角形三边所满足的关系即可求出结论 解答 解 如图 PQ QF CQ CP QF CQ QF 1 CQ QF 2a 1 CQ QF 2 1 从图中可以看出 当 F Q C 三点共线时 CQ QF 最小 其中 F 0 则 PQ QF 的最小值 CF 2 1 4 2 1 3 2 故选 B 9 点评 本题主要考查了双曲线的简单性质 在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关 系的问题中 圆锥曲线的定义往往是解题的突破口 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 4 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 2020 分 把答案填在题中横线上 分 把答案填在题中横线上 13 5 分 在 6的二项展开式中 常数项为 60 考点 二项式系数的性质 专题 计算题 概率与统计 分析 先求出二项式展开式的通项公式 再令 x 的幂指数等于 0 求得 r 的值 即可求得展 开式中的常数项的值 解答 解 6的二项展开式的通项公式为 Tr 1 2r x r 2r 令 0 解得 r 2 故展开式的常数项为 4 60 故答案为 60 点评 本题主要考查二项式定理的应用 二项式系数的性质 二项式展开式的通项公式 求展开式中某项的系数 属于中档题 14 5 分 求由曲线 y x2与 y 2 x2所围成图形的面积为 考点 定积分 专题 计算题 导数的概念及应用 分析 作出两个曲线的图象并求出它们的交点坐标 利用定积分公式并结合函数图象的对 称性 可得所求面积为函数 2 2x2在区间 0 1 上的定积分值的 2 倍 再加以运 算即可得到本题答案 解答 解 曲线 y x2和曲线 y 2 x2所的交点为 1 1 和 1 1 曲线 y x2和曲线 y 2 x2所围图形的面积为 S 2 2 2 2x 2 2 1 2 0 故答案为 10 点评 本题求两条曲线围成的曲边图形的面积 着重考查了定积分的几何意义和积分计算 公式等知识 属于基础题 15 5 分 已知实数 x y 可以在 0 x 2 0 y 2 的条件下随机的取值 那么取出的数 对满足 x 1 2 y 1 2 1 的概率是 考点 几何概型 专题 计算题 概率与统计 分析 根据题意 算出所有情况下点的集合对应的正方形面积 S 和满足 x 1 2 y 1 2 1 的点 P 对应的图形面积 S1 利用几何概型计算公式将面积相除 即可得到所求概率 解答 解 满足 x 1 2 y 1 2 1 的点 P x y 位于圆心为 1 1 且半径为 1 的圆内 满足条件的点 P 对应的图形面积为 S1 12 又 在 0 x 2 0 y 2 的条件下随机的取值时 点对应的点 Q 位于边长为 2 的正方形内 面积为 S 22 4 所求概率为 P 故答案为 点评 本题给出点满足的条件 求几何概型的概率 着重考查了圆面积 正方形面积计算 公式和几何概率计算公式等知识 属于基础题 16 5 分 若实数 a b 满足 a2 b2 1 且 c a b 恒成立 则 c 的取值范围是 c 考点 简单线性规划 专题 不等式的解法及应用 分析 c a b 恒成立 只须 c 小于 a b 的最小值即可 可利用基本不等式 a2 b2 2ab 得到 2 a2 b2 2ab a2 b2 a b 2 从而可求得 a b 的取值范围 解答 解 a2 b2 1 由基本不等式 a2 b2 2ab 得 2 a2 b2 2ab a2 b2 a b 2 11 即 a b 2 2 a2 b2 2 a b 若 c a b 恒成立 则 c a b 的最小值 即 c 故答案为 c 点评 本题考查基本不等式 难点在于寻找已知条件 a2 b2 1 与所求 a b 的取值范围 之 间的联系 即 a b 2 2 a2 b2 当然也可以利用圆的参数方程 借助三角函数 的辅助角公式来解决 属于中档题 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 5 5 小题 共小题 共 7070 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 12 分 在等差数列 an 中 a1 8 a4 2 1 求数列 an 的通项 2 设 bn n N 求数列 bn 的前 n 项和 Tn 考点 数列的求和 等差数列的通项公式 专题 等差数列与等比数列 分析 1 由等差数列的性质可知 a4 a1 3d 从而可求 d 进而可求通项 2 由 bn 由裂项相消法 可求出数列 bn 的前 n 项和 Tn 解答 解 1 a1 8 a4 2 a4 a1 3d 6 d 2 an a1 n 1 d 8 2 n 1 10 2n n N 2 bn Tn 1 1 1 点评 本题考查的知识点是等差数列通项公式及数列求和 1 的关键是求出数列的公差 2 的关键是对数列 bn 通项公式的裂项 18 12 分 第 30 届奥运会将于 2012 年 7 月 27 日在伦敦举行 当地某学校招募了 8 名男 志愿者和 12 名女志愿者 将这 20 名志愿者的身高如下茎叶图 单位 cm 12 若身高在 180cm 以上 包括 180cm 定义为 高个子 身高在 180cm 以下 不包括 180cm 定义为 非高个子 且只有 女高个子 才能担任 礼仪小姐 用分层抽样的方法从 高个子 和 非高个子 中抽取 5 人 如果从这 5 人中随机 选 2 人 那么至少有 1 人是 高个子 的概率是多少 若从所有 高个子 中随机选 3 名志愿者 用 X 表示所选志愿者中能担任 礼仪小 姐 的人数 试写出 X 的分布列 并求 X 的数学期望 考点 离散型随机变量的期望与方差 茎叶图 互斥事件与对立事件 专题 综合题 概率与统计 分析 I 确定 高个子 非高个子 的人数 利用用分层抽样的方法 可得每个人被 抽中的概率 利用对立事件即可求解 由于从所有 高个子 中选 3 名志愿者 用 表示所选志愿者中能担任 礼 仪小姐 的人数 利用离散型随机变量的定义及题意可知 的取值为 0 1 2 3 在利用古典概型的概率公式求出每一个值对应事件的概率 由期望的公式求出即 可 解答 解 I 根据茎叶图可知 这 20 名志愿者中有 高个子 8 人 非高个子 12 人 用分层抽样的方法从中抽出 5 人 则每个人被抽到的概率为 所以应从 高个 子 中抽人 从 非高个子 中抽人 用事件 A 表示 至少有一名 高个子 被选中 则它的对立事件 表示 没有一名 高个子 被选中 则 因此至少有 1 人是 高个子 的概率是 II 依题意知 所选志愿者中能担任 礼仪小姐 的人数 X 的所有可能为 0 1 2 3 因此 X 的分布列如下 13 X0123 P 所以 X 的数学期望 点评 本题主要考查茎叶图 分层抽样 随机事件的概率 对立事件的概率 随机变量的 分布列以及数学期望等基础知识 考查运用概率统计知识解决简单实际问题的数据 处理能力和应用意识 19 12 分 如图 PCBM 是直角梯形 PCB 90 PM BC PM 1 BC 2 又 AC 1 ACB 120 AB PC 直线 AM 与直线 PC 所成的角为 60 1 求证 平面 PAC 平面 ABC 2 求二面角 M AC B 的平面角的余弦值 考点 用空间向量求平面间的夹角 平面与平面垂直的判定 二面角的平面角及求法 专题 空间角 空间向量及应用 分析 1 通过证明 PC 平面 ABC 证明平面 PAC 平面 ABC 2 解法一 几何法 取 BC 的中点 N 则 CN 1 连接 AN MN 说明 MHN 为二 面角 M AC B 的平面角 解三角形求二面角 M AC B 的大小 解法二 向量法 在平面 ABC 内 过 C 作 CD CB 建立空间直角坐标系 C xyz 求出平面 MAC 的一个法向量为 平面 ABC 的法向量取为 利用 解答即可 解答 证明 1 PC AB PC BC AB BC B PC 平面 ABC 2 分 又 PC 平面 PAC 平面 PAC 平面 ABC 5 分 2 解法一 几何法 取 BC 的中点 N 则 CN 1 连接 AN MN PM CN PM CN MN PC MN PC 从而 MN 平面 ABC 作 NH AC 交 AC 的延长线于 H 连接 MH 则由三垂线定理知 AC NH 从而 MHN 为二面角 M AC B 的平面角 14 直线 AM 与直线 PC 所成的角为 600 AMN 60 在 ACN 中 由余弦定理得 AN 在 AMN 中 MN AN cot AMN 1 在 CNH 中 NH CN sin NCH 1 在 MNH 中 MN tan MHN 则 cos MHN 解法二 向量法 在平面 ABC 内 过 C 作 CD CB 建立空间直角坐标系 C xyz 如图 6 分 由题意有 设 P 0 0 z0 z0 0 则 由直线 AM 与直线 PC 所成的解为 600 得 即 解得 z0 1 8 分 设平面 MAC 的一个法向量为 则 取 x1 1 得 9 分 平面 ABC 的法向量取为 10 分 设 与 所成的角为 则 11 分 显然 二面角 M AC B 的平面角为锐角 故二面角 M AC B 的平面角的余弦值为 12 分 15 点评 本题主要考查异面直线所成的角 平面与平面垂直 二面角等有关知识 考查思维 能力和空间想象能力 应用向量知识解决数学问题的能力 化归转化能力和推理运 算能力 20 12 分 已知函数 f x 1 求函数 f x 的最大值 2 设函数 g x 证明 当 x 0 时 函数 f x 的图象总在函数 g x 图象的下方 考点 利用导数求闭区间上函数的最值 导数在最大值 最小值问题中的应用 专题 导数的综合应用 分析 1 求出函数的定义域 求出函数的导函数 由导函数的零点对定义域分段 判出 函数的极值点 从而得到最大值点 代入原函数求最大值 2 要证当 x 0 时 函数 f x 的图象总在函数 g x 图象的下方把两函数作差 后得到恒小于 0 的不等式 换元后构造辅助函数 求导后证明函数的最大值小于 0 则问题得到证明 解答 1 解 因为函数 f x 的定义域为 1 由 f x 0 得 x e 1 所以当 x 1 e 1 时 f x 0 当 x e 1 时 f x 0 所以当 x e 1 时 f x 由最大值 最大值为 f e 1 16 2 证明 f x g x 0 等价于 0 不妨设 t 则 x t2 1 t 1 于是不等式等价于 2tlnt t2 1 设 F t 2tlnt t2 1 则 F t 2 lnt 2t 当 t 1 时 F x 0 F x 单调递减 所以 F t f 1 0 也就等价于 f x g x 恒成立 当 x 1 时等号成立 点评 本题考查了利用导数求函数在闭区间上的最值 考查了数学转化思想方法 训练了 构造函数法 此类问题在考题中常以压轴题的形式出现 是难题 21 12 分 已知抛物线 C 的方程为 y2 2x 焦点为 F 1 若 C 的准线与 x 轴的交点为 D 过 D 的直线 l 与 C 交于 A B 两点 且 2 求直线 l 的斜率 2 设点 P 是 C 上的动点 点 R N 在 y 轴上 圆 M x 1 2 y2 1 内切于 PRN 求 PRN 面积的最小值 考点 直线与圆锥曲线的综合问题 专题 计算题 压轴题 分析 1 设 A x1 y1 B x2 y2 由 FA 2 FB 得 将直线与抛物 线方程联立可得 x1 x2 x1x2 的值 解出 x1 x2 从而问题得解 2 设 P x0 y0 R 0 b N 0 c 且 b c 则直线 PR 的方程可得 由题 设知 圆心 1 0 到直线 PR 的距离为 1 把 x0 y0代入化简整理可得 x0 2 b2 2y0b x0 0 同理可得 x0 2 c2 2y0c x0 0 进而可知 b c 为方程 x0 2 x2 2y0 x x0 0 的两根 根据求根公式 可求得 b c 进而可得 PRN 的面积的表达 式 根据均值不等式可知当当 x0 4 时面积最小 进而求得点 P 的坐标 解答 解 1 由抛物线 C 的方程为 y2 2x 得其焦点 F 0 准线方程为 x 所以 D 0 由题意设直线 l 的斜率为 k k 0 则直线 l 的方程为 联立 得 4k2x2 4k2 8 x k2 0 设直线 l 与 C 交于 A x1 y1 B x2 y2 则 17 由 2 得 由 解得 代入 4k2 8 2 16k4中大于 0 成立 所以 2 设 P x0 y0 R 0 b N 0 c 且 b c 故直线 PR 的方程为 y0 b x x0y x0b 0 由题设知 圆心 1 0 到直线 PR 的距离为 1 即 注意到 x0 2 化简上式 得 x0 2 b2 2y0b x0 0 同理可得 x0 2 c2 2y0c x0 0 由上可知 b c 为方程 x0 2 x2 2y0 x x0 0 的两根 根据求根公式 可得 b c 故 PRN 的面积为 S 等号当且仅当 x0 4 时成立 此时点 P 的坐标为 4 或 4 2 综上所述 当点 P 的坐标为 4 或 4 2 时 PRN 的面积取最小 值 8 点评 本题主要考查了抛物线的标准方程和直线与抛物线的关系 直线与圆锥曲线的问题 常涉及到圆锥曲线的性质和直线的基本知识点 如直线被圆锥曲线截得的弦长 中 点弦问题 垂直问题 对称问题等 与圆锥曲线的性质有关的量的范围问题是常见 题型 此题是有一定难度题目 选考题 从下列二道题中任选一题作答 若两题都作答 则按第一题计分 作答时 请选考题 从下列二道题中任选一题作答 若两题都作答 则按第一题计分 作答时 请 在答题卷