安徽省2013年高考数学第二轮复习 专题四数列第2讲 数列的求和及其综合应用 理

1 专题四专题四 数列第数列第 2 2 讲讲 数列的求和及其综合应用数列的求和及其综合应用 真题试做 1 2012 辽宁高考 理 6 在等差数列 an 中 已知a4 a8 16 则该数列前 11 项和 S11 A 58 B 88C 143 D 176 2 2012 大纲全国高考 理 5 已知等差数列 an 的前n项和为Sn a5 5 S5 15 则 数列的前 100 项和为 1 anan 1 A B C D 100 101 99 101 99 100 101 100 3 2012 课标全国高考 理 16 数列 an 满足an 1 1 nan 2n 1 则 an 的前 60 项和为 4 2012 安徽高考 理 21 数列 xn 满足x1 0 xn 1 x xn c nN N 2n 1 证明 xn 是递减数列的充分必要条件是can a2a9 232 a4 a7 37 1 求数列 an 的通项公式 2 若将数列 an 的项重新组合 得到新数列 bn 具体方法如下 b1 a1 b2 a2 a3 b3 a4 a5 a6 a7 b4 a8 a9 a10 a15 依此类推 第n项bn由相应的 an 中 2n 1项的和组成 求数列的前n项和Tn bn 1 4 2n 规律方法数列求和的关键是分析其通项 数列求和主要有以下方法 1 公式法 若数 列是等差数列或等比数列 则可直接由等差数列或等比数列的求和公式求和 2 分组求和 法 一个数列的通项公式是由几个等差或等比或可求和的数列通项公式组成 求和时可以用 分组求和法 即先分别求和 然后再合并 3 若数列 an 的通项能转化为f n f n 1 n 2 的形式 常采用裂项相消法求和 4 若数列 an 是等差数列 bn 是等比数列 则求 数列 an bn 的前n项和时 可采用错位相减法 5 倒序相加法 若一个数列 an 满足与首 末两项等 距离 的两项和相等或等于同一常数 那么求这个数列的前n项和 可采用倒序 相加法 如等差数列的通项公式就是用该法推导的 2 特别提醒 1 利用裂项相消法求和时 应注意抵消后并不一定只剩第一项和最后一项 也可能前面剩两项 后面也剩两项 2 利用错位相减法求和时 应注意 在写出 Sn 与 qSn 的表达式时应注意两式 错项对齐 当等比数列的公比为字母时 应对字母是否为 1 进行讨论 变式训练 1 2012 安徽江南十校联考 理 17 在等比数列 an 中 a1 0 nN N 且 a3 a2 8 又a1 a5的等比中项为 16 1 求数列 an 的通项公式 2 设bn log4an 数列 bn 的前n项和为Sn 是否存在正整数k 使得 k对任意nN N 恒成立 若存在 求出正整数k的最小值 若不存在 1 S1 1 S2 1 S3 1 Sn 请说明理由 热点二 数列与函数 不等式交会 例 2 2012 安徽合肥第三次质检 理 21 已知数列 an 满足an 1 nN N Sn是数列 an 的前n项和 n 2 a2n nan n 1 a2n 1 1 若a1 1 求a2 a3 a4并推证数列 an 的通项公式 2 若a1 求证 1 nN N 1 2 3 2 Sn n n 1 2 规律方法 1 由于数列的通项是一类特殊的函数 所以研究数列中的最大 小 项问题可 转化为求相应函数的单调性进行求解 但同时注意数列中的自变量只能取正整数这一特点 2 要充分利用数列自身的特点 例如在需要用到数列的单调性时 可以通过比较相邻 两项的大小进行判断 3 对于数列的前n项和 没有直接可套用的公式 但如果涉及大小比较等一些不等 1 n2 关系 可考虑放缩法 转化为数列或 用裂 1 n2 1 n n 1 1 n2 1 n n 1 1 n n 1 1 n n 1 项相消法求和后即可达到比较大小的目的 变式训练 2 理科用 2012 安徽合肥一模 21 已知数列 an 中 a1 1 nan 1 2 a1 a2 an 1 求a2 a3 a4 2 求数列 an 的通项an 3 设数列 bn 满足b1 bn 1 bn 试证明 bn 1 1 2 b2n a2n 1 1 bn 1 1 bn 1 n 1 2 热点三 数列与解析几何的交会 例 3 2011 陕西高考 理 19 如图 从点P1 0 0 作x轴的垂线交曲线y ex于点 Q1 0 1 曲线在Q1点处的切线与x轴交于点P2 再从P2作x轴的垂线交曲线于点Q2 依次 重复上述过程得到一系列点 P1 Q1 P2 Q2 Pn Qn 记Pk点的坐标为 xk 0 k 1 2 n 1 试求xk与xk 1的关系 2 k n 2 求 P1Q1 P2Q2 P3Q3 PnQn 规律方法对于数列与几何图形相结合的问题 通常利用几何知识 并结合图形 先得出 关于数列相邻项an与an 1之间的关系 然后根据这个递推关系 结合所求内容变形 得出 通项公式或其他所求结论 变式训练 3 设C1 C2 Cn 是坐标平面上的一列圆 它们的圆心都在x轴的正半 轴上 且都与直线y x相切 对每一个正整数n 圆Cn都与圆Cn 1相互外切 以rn表示 3 3 3 Cn的半径 已知 rn 为递增数列 1 证明 rn 为等比数列 2 设r1 1 求数列的前n项和 n rn 热点四 数列在实际问题中的应用 例 4 2011 湖南高考 文 20 某企业在第 1 年初购买一台价值为 120 万元的设备 M M的价值在使用过程中逐年减少 从第 2 年到第 6 年 每年初M的价值比上年初减少 10 万元 从第 7 年开始 每年初M的价值为上年初的 75 1 求第n年初M的价值an的表达式 2 设An 若An大于 80 万元 则M继续使用 否则须在第n年初对M a1 a2 an n 更新 证明 须在第 9 年初对M更新 规律方法能够把实际问题转化成数列问题 并且能够明确是等差数列还是等比数列 确 定首项 公差 比 项数各是什么 能分清是某一项还是某些项的性质是解决问题的关键 1 在数列应用题中 当增加 或减少 的量是一个固定量时 该模型为等差模型 增加 或减少 的量就是公差 则可把应用题抽象为数列中的等差数列问题 然后用等差数列的知 识对模型解析 最后再返回到实际中去 2 若后一个量与前一个量的比是一个固定的数 该模型为等比模型 这个固定的数就 是公比 则可把应用题抽象为数列中的等比数列问题 然后用等比数列的知识对模型解析 最后再返回到实际中去 3 若题目中给出的前后两项之间的关系不固定 随项的变化而变化 应考虑an 1 an 之间的递推关系 或考虑Sn 1 Sn之间的递推关系 特别提醒 解决实际问题时要注意n的取值范围 变式训练 4 某城市 2012 年末汽车拥有量为 30 万辆 预计此后每年将上一年拥有量的 6 报废 并且每年新增汽车数量相同 为保护城市环境 要求该城市汽车拥有量不超过 60 万 辆 从 2012 年末起 n年后汽车拥有量为bn 1万辆 若每年末的拥有量不同 1 求证 bn 1 bn 为等比数列 2 每年新增汽车数量不能超过多少万辆 思想渗透 1 函数思想 函数思想解决数列常见的问题 1 数列的单调性 2 数列中求最值问题 3 数列中的恒成立问题 2 求解时注意的问题及方法 1 数列是定义在 N N 或其子集上的特殊函数 自然与函数思想密不可分 因此树立函数 意识是解决数列问题的最基本要求 2 解题时要注意把数列的递推公式 数列的通项公式以及前n项和公式看作函数的解 析式 从而合理地利用函数性质和导数解决问题 3 解决有关数列的通项公式 单调性 最值 恒成立等问题时要注意项数n的取值范 围 2012 湖南长沙模拟 22 已知数列 an 是各项均不为 0 的等差数列 公差为d Sn为 其前n项和 且满足a S2n 1 nN N 数列 bn 满足bn Tn为数列 bn 的前n项 2n 1 an an 1 和 1 求a1 d和Tn 2 若对任意的nN N 不等式 Tn n 8 1 n恒成立 求实数 的取值范围 3 是否存在正整数m n 1 m n 使得T1 Tm Tn成等比数列 若存在 求出所有 4 m n的值 若不存在 请说明理由 解 1 方法一 在a S2n 1中 分别令n 1 n 2 2n 得Error 即Error 解得a1 1 d 2 an 2n 1 bn 1 anan 1 1 2n 1 2n 1 1 2 1 2n 1 1 2n 1 Tn 1 2 1 1 3 1 3 1 5 1 2n 1 1 2n 1 n 2n 1 方法二 an 是等差数列 an a1 a2n 1 2 S2n 1 2n 1 2n 1 an a1 a2n 1 2 由a S2n 1 得a 2n 1 an 2n2n 又 an 0 an 2n 1 则a1 1 d 2 Tn求法同方法一 2 当n为偶数时 要使不等式 Tn n 8 1 n恒成立 即需不等式 2n 17 恒成立 n 8 2n 1 n 8 n 2n 8 等号在n 2 时取得 8 n 此时 需满足 25 当n为奇数时 要使不等式 Tn n 8 1 n恒成立 即需不等式 2n 15 恒成立 n 8 2n 1 n 8 n 2n 随n的增大而增大 8 n n 1 时 2n 取得最小值 6 8 n 此时 需满足 21 综合 可得 的取值范围是 0 3 n 2m2 4m 1 m2 即 2m2 4m 1 0 1 m1 m 2 此时n 12 因此 当且仅当m 2 n 12 时 数列 Tn 中的T1 Tm Tn成等比数列 方法二 n 6n 3 1 6 3 n 1 6 故 m2 4m2 4m 1 1 6 即 2m2 4m 1 0 5 解得 1 m 1 以下同方法一 6 2 6 2 1 已知数列 an 的前n项和Sn 则a3 n 1 n 2 A B C D 1 20 1 24 1 28 1 32 2 已知a b c d成等比数列 且曲线y x2 2x 3 的顶点是 b c 则ad A 3 B 2 C 1 D 2 3 设等比数列 an 的前n项和为Sn 若 3 则 S8 S4 S12 S8 A 2 B C D 3 7 3 8 3 4 在等比数列 an 中 a1 2 前n项和为Sn 若数列 an 1 也是等比数列 则Sn A 2n 1 2 B 3n C 2n D 3n 1 5 2012 河北模拟 14 已知数列 an 满足an 2n 1 2n 1 nN N 则数列 an 的前 n项和Sn 6 设f x 是定义在 R R 上恒不为零的函数 对任意实数x yR R 都有f x f y f x y 若a1 an f n nN N 则数列 an 的前n项和Sn的取值范围是 1 2 7 2012 江西联考 19 已知数列 an 满足a1 2 a2 8 an 2 4an 1 4an 1 证明 an 1 2an 是等比数列 2 设bn n 2 求 b2 b3 bn n 2 且nN N an 1 n n 1 8 2012 皖北协作区第一次联考 理 20 已知数列 an bn a1 2 an 1 an 6n 2 若在y x2 mx的图象上 bn 的最小值为b2 an n bn 1 求 an 的通项公式 2 求m的取值范围 参考答案参考答案 命题调研 明晰考向 真题试做 1 B 解析 因为数列 an 为等差数列 所以S11 根据等差数列的性质 若p q m n 则ap aq am an得 11 a1 a11 2 a1 a11 a4 a8 16 所以S11 88 故选 B 11 16 2 2 A 解析 S5 15 a1 1 5 a1 a5 2 5 a1 5 2 d 1 a5 a1 5 1 5 1 5 1 an 1 n 1 1 n 1 anan 1 1 n n 1 6 设的前n项和为Tn 1 anan 1 则T100 1 1 2 1 2 3 1 100 101 1 1 2 1 2 1 3 1 100 1 101 1 1 101 100 101 3 1 830 解析 an 1 1 nan 2n 1 a2 1 a1 a3 2 a1 a4 7 a1 a5 a1 a6 9 a1 a7 2 a1 a8 15 a1 a9 a1 a10 17 a1 a11 2 a1 a12 23 a1 a57 a1 a58 113 a1 a59 2 a1 a60 1 19 a1 a1 a2 a60 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a57 a58 a59 a60 10 26 42 234 1 830 15 10 234 2 4 1 证明 先证充分性 若c 0 由于xn 1 x xn c xn c xn 故 xn 是递减 2n 数列 再证必要性 若 xn 是递减数列 则由x2 x1可得c 0 2 解 假设 xn 是递增数列 由x1 0 得x2 c x3 c2 2c 由x1 x2 x3 得 0 c 1 由xn xn 1 x xn c知 对任意n 1 都有xn0 c 即xn 1 c 由 式和xn 0 还可得 对任意n 1 都有 xn 1 1 xn ccc 反复运用 式 得 xn 1 n 1 x1 1 n 1 cccc xn 1 和 xn 1 n 1两式相加 知 2 1 1 n 1对任意n 1 成立 ccccc 根据指数函数y 1 x的性质 c 得 2 1 0 c 故 0 c c 1 4 1 4 若 00 1 42n 即证x0 对任意n 1 成立 c 下面用数学归纳法证明当 0 c 时 xn 对任意n 1 成立 1 4c 当n 1 时 x1 0 结论成立 c 1 2 假设当n k n N N 时结论成立 即xk c 因为函数f x x2 x c在区间内单调递增 1 2 所以xk 1 f xk f cc 这就是说当n k 1 时 结论也成立 故xnxn 即 xn 是递增数列 2n 综上可知 使得数列 xn 单调递增的c的取值范围是 0 1 4 5 1 解 设等差数列 an 的公差为d 等比数列 bn 的公比为q 由a1 b1 2 得 a4 2 3d b4 2q3 S4 8 6d 由条件 得方程组Error 解得Error 7 所以an 3n 1 bn 2n n N N 2 证明 方法一 由 1 得 Tn 2an 22an 1 23an 2 2na1 2Tn 22an 23an 1 2na2 2n 1a1 由 得 Tn 2 3n 1 3 22 3 23 3 2n 2n 2 2n 2 6n 2 10 2n 6n 10 12 1 2n 1 1 2 而 2an 10bn 12 2 3n 1 10 2n 12 10 2n 6n 10 故 Tn 12 2an 10bn n N N 方法二 数学归纳法 当n 1 时 T1 12 a1b1 12 16 2a1 10b1 16 故等式成立 假设当n k时等式成立 即Tk 12 2ak 10bk 则当n k 1 时有 Tk 1 ak 1b1 akb2 ak 1b3 a1bk 1 ak 1b1 q akb1 ak 1b2 a1bk ak 1b1 qTk ak 1b1 q 2ak 10bk 12 2ak 1 4 ak 1 3 10bk 1 24 2ak 1 10bk 1 12 即Tk 1 12 2ak 1 10bk 1 因此n k 1 时等式也成立 由 和 可知对任意n N N Tn 12 2an 10bn成立 精要例析 聚焦热点 热点例析 例 1 解 1 由题意知Error 解得Error 或Error 由于an 1 an 舍去 设公差为d 则Error 解得Error 数列 an 的通项公式为an 3n 2 n N N 2 由题意得 bn a2n 1 a2n 1 1 a2n 1 2 a2n 1 2n 1 1 3 2n 1 2 3 2n 1 5 3 2n 1 8 3 2n 1 3 2n 1 1 2n 1 3 2n 1 2 5 8 3 2n 1 4 3 2n 1 1 而 2 5 8 3 2n 1 4 3 2n 1 1 是首项为 2 公差为 3 的等差数列的前 2n 1项的和 2 5 8 3 2n 1 4 3 2n 1 1 2n 1 2 3 2n 1 2n 1 1 2 3 22n 3 2n 1 4 bn 3 22n 2 3 22n 3 2n 1 4 22n 2n 9 8 1 4 bn 2n 22n 1 4 9 8 Tn 4 16 64 22n 4n 1 9 8 9 8 4 1 4n 1 4 3 2 变式训练 1 解 1 由题a3 16 又a3 a2 8 则a2 8 q 2 an 2n 1 8 2 bn log42n 1 n 1 2 Sn b1 b2 bn n n 3 4 1 Sn 4 n n 3 4 3 1 S1 1 S2 1 S3 1 Sn 4 3 4 3 22 9 正整数k可取最小值 3 例 2 解 1 易知a2 2 a3 3 a4 4 猜想an n n N N 下面用数学归纳法证明之 当n 1 时等式显然成立 假设n k时等式成立 即ak k 所以ak 1 k 1 k 2 ak2 kak k 1 ak2 1 k 2 k2 k2 k 1 k2 1 即n k 1 时等式也成立 故an n n N N 2 证明 因为an 1 n 1 n 1 n 2 an2 nan n 1 an2 1 an n an2 nan an2 1 an an2 1 所以 an 1 n 1 an n n N N an an2 1 当an 0 时 an an2 1 1 an 1 an 1 an 1 an 1 2 当an 0 时 0 an an2 1 1 2 所以 an 1 n 1 an n n N N 1 2 而 a1 1 1 2 所以 an n an 1 n 1 2 an 2 n 2 1 2 n 1 a1 1 n n N N 所以 a1 1 a2 2 a3 3 an n Sn n n 1 2 a1 1 a2 2 a3 3 an n 1 2 3 n 1 n 1 故bn bn 1 b1 0 1 2 b2n n 1 2 所以数列 bn 是正项单调递增数列 当n 1 时 bn 1 bn b2n n 1 2 1 bn 1 1 bn 1 n 1 2 当n 1 时 b1 2 1 n2 1 n 1 2 1 22 1 n n 1 1 n 1 n