九年级数学定义、命题、公理、定理、证明；全等复习华东师大版知识精讲

用心 爱心 专心 九年级数学九年级数学定义 命题 公理 定理 证明 全等复习定义 命题 公理 定理 证明 全等复习华东师大版华东师大版 同步教育信息同步教育信息 一 本周教学内容 1 定义 命题 公理 定理 证明 2 全等复习 知识点回顾 一 定义 能明确指出概念含义或特征的句子叫做定义 注意 定义必须严密 一般避免使用含糊不清的术语 二 命题 判断正确或错误的句子叫做命题 正确的命题称为真命题 错误的命题称为假命题 命题由题设和结论两部分组成 常可写成 如果 那么 的形式 三 公理 正确性是人们长期以来在实践中总结出来的 并作为判定其他命题真假的根据 的命题叫做公理 常见公理 1 一条直线截两条平行直线所得的同位角相等 2 两条直线被第三条直线所截 如果同位角相等 那么这两条直线平行 3 如果两个三角形的两边及其夹角 或两角及其夹边或三边 分别对应相等 那么 这两个三角形全等 4 全等三角形的对应边 对应角分别相等 四 定理 正确性是用推理证实的 这种用推理的方法得到的真命题叫做定理 典型例题典型例题 例 1 指出下列句子哪些是定义 1 同位角相等 两直线平行 2 若两条直线相交所成的四个角中 有一个角是直角时 就说这两条直线互相垂直 3 大于直角而小于平角的角叫做钝角 4 两点之间线段最短 5 在同一圆内 同弧或等弧所对的圆周角相等 解 解 2 3 是定义 1 4 5 不是定义 例 2 判断下列语句是不是命题 如果是命题 是真命题还是假命题 1 连结 AB 2 对顶角相等 3 如果两个三角形有两条边和一个角对应相等 那么这两个三角形全等 4 若 则 a bab 22 解 解 2 3 4 是命题 其中 2 是真命题 3 4 是假命题 例 3 将下列命题改成 如果 那么 的形式 并分别指出命题的题设和结论 1 直角都相等 用心 爱心 专心 2 末位数是 5 的整数能被 5 整除 3 三角形的内角和是180 4 同角的余角相等 5 不相等的角不是对顶角 6 内错角相等 两直线平行 解析 解析 略 例 4 如图 AB CB BE BF 求证 AE CF 12 F E A C 2 B 1 证明 证明 12 12FBEFBE ABECBF 在和中 ABE CBF ABCB ABECBF BEBF ABECBF AECF 例 5 如图 在四边形 ABCD 中 E 是 AC 上一点 求证 12 34 56 D A E C B 6 1 2 3 4 5 证明 证明 在和中 DAC BAC 12 34 ACAC DACBAC CDCB 在和中 DCE BCE DCBC CECE 43 用心 爱心 专心 DCEBCE 56 例 6 如图 在边长为 1 的正方形 ABCD 中 DE DF 分别与两边交于 E F 两点 且 求的周长 EDF45 BEF A E B F D C M 3 1 2 解 解 延长 BC 到 M 使 连 DMCMAE 正方形 ABCD ABCD90 在和中 DAE DCM ADDC ADCM AECM DAEDCM DEDM AECM 12 EDF45 FDM231345 在和中 EDF MDF EDMD EDFFDM DFDF EDFMDF EFFM 周长为 BEFBEBFEFBEBFFMBEBFFCAE 2 例 7 如图 在等腰直角三角形中 O 是斜边 AC 的中点 P 是斜边 AC 上的一 ABC 个动点 D 为 BC 上的一点 且 垂足为 EPBPD DE AC 1 求证 PEBO 2 设 四边形 PBDE 的面积是 y 求y与 x 之间的函数关系式 ACa 2APx 并写出自变量 x 的取值范围 用心 爱心 专心 A P O E B C D 证明 证明 1 中 O 是斜边 AC 的中点 Rt ABC BOA90 C45 OBC45 DE AC DEA90 PBPD PBDPDB PBOPBDOBCPBD45 DPCPDBCPDB45 PBODPC 在和中 BOP PED PBODPE BOPDEP BPPD BOPPED PEBO 2 ACa APx 2 AOOBa POax DEPOax EOx ySS PBOBOED 梯形 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 0 22 a axxax xaxaxa 例 8 如图 等腰梯形 ABCD 中 AD BC 翻折梯形 ABCD 使点 B DBC45 重合于点 D 折痕分别交边 AB BC 于点 F E 若 AD 4 BC 8 求 1 BE 的长 2 的正切值 CDE A D F B C E 分析 分析 折痕是 EF 则点 B D 关于 EF 轴对称 EF 是线段 BD 的中垂线 解 解 1 翻折梯形 ABCD 使点 B 重合于点 D 折痕 EF 用心 爱心 专心 BEDE DBC45 BDE45 DE BC 等腰梯形 ABCD ADBC 48 CEBCAD 1 2 2 BEBCCE826 2 BEDE DE6 DEC90 tanCDE EC DE 2 6 1 3 例 9 在中 AC BC 直线 MN 经过点 C 且于 ABC ACB90 AD MN D 于 EBE MN 1 当直线 MN 绕点 C 旋转到图 1 的位置时 求证 ADCCEB DEADBE 2 当直线 MN 绕点 C 旋转到图 2 的位置时 求证 DEADBE 3 当直线 MN 绕点 C 旋转到图 3 的位置时 试问 DE AD BE 具有怎样的等量 关系 请写出这个等量关系 并加以证明 M N A B 图 1 E D C M C D A B E N 图 2 M C E A B N 图 3 D 解 解 1 ADCACB90 CADACD90 BCEACD90 CADBCE ACBC ADCCEB90 ADCCEB ADCCEB 用心 爱心 专心 CEADCDBE DECECDADBE 2 ACBCEB90 ACDBCECBEBCE90 ACDCBE ACBCADCCEB 90 ACDCBE CEADCDBE DECECDADBE 3 略 例 10 已知 如图 在中 AD 为 BC 的中线 E 为 AC 上一点 BE 和 AD 交 ABC 于 F 若 AE EF 求证 ACBF 证法证法 1 延长 AD 到 M 使 连 BMDMAD A E F B C M 3 D 1 2 在和中 ADC MDB ADDM ADCBDM DCBD ADCMDB ACBMM 1 AEEF 12 233 M BFBMBFAC 证法证法 2 延长 FD 到 N 使 DN FD 连 CN 用心 爱心 专心 A E F B C N 3 D 1 2 在和中 BFD CND FDDN BDFCDN BDDC BFDCND BFCNN 3 AEEF 12 23 1N CNAC BFAC 小结 加倍中线是解决中线问题的常见方法 例 11 如图 中 在 AB 上取点 D 在 AC 的延长线上取点 F 使 ABCABAC BD CF 连结 DF 交 BC 于点 E 求证 DE FE A D K N B H M E C F 证法证法 1 过 D 作 DM AC 交 BC 于 M ABACBACB BDMBBDDM BDCFCFDM DMEECF 在和中 DME FCE DEMFEC DMEFCE DMCF 用心 爱心 专心 DMEFCE DEFE 证法证法 2 过 F 作 FN AB 交 BC 延长线于 N 证 BDENFE 证法证法 3 过 D 作于 H 交 BC 延长线于 KDH BC FK BC 证 DHEFKE 例 12 已知 如图 中 AB AC 求证 ABC A108 12 ACCDBC A D 2 1 B E C 证明 证明 在 BC 上截取 连结 DEBEAB BEABBDBD 12 BDEBDA BEDA108 CED ABAC 18010872 BEACABCC ABCAC180 C36 同理 CDE72 CDECED CDCE BCBECEACCD 例 13 已知 如图中 AB AC D 是 AC 的中点 ABC BAC90 交 BC 于 E 求证 AE BD ADBCDE C E D A B 证明 证明 作 AF 平分交 BD 于 F BAC 用心 爱心 专心 C E D F A B 2 1 BACBAFCAF9045 且 ABCC90 ABACABCC CBAFCAF45 AE BD 190ADB 同理 290ADB 12 在和中 ABF CAE 21ABACBAFC ABFCAE AFCE 在和中 ADF CDE AFCECAFCADDC ADFCDE ADBCDE 例 14 已知 如图四边形 ABCD 中 AB CD AC 平分 若 BAD 求证 CD CB BD180 M E D C 2 A B F 1 N 证明 证明 作 垂足分别为 E FCE AD CF AB 则 DECBFC90 AC 平分 BAD CECF CDEADCBADC 180180 CDEB 在和中 CDE CBF CDEBDECBFCCECF CDECBF CDCB 用心 爱心 专心 说明 此题还可添下面辅助线去证 1 在 AB 上截取 AN AD 连结 CN 2 延长 AD 到 M 使 AM AB 连结 CM 模拟试题模拟试题 1 如图 点 D 在 AB 上 点 E 在 AC 上 CD 与 BE 相交于点 O 且 AD AE AB AC 若 则 ABE20 ACD A D E O B C 2 如图 AE AB AC AD 若 且 则 ABCAED AE AC DAC30 BAD A E B D C 3 如图 已知 AC BD 要使 只需增加的一个条件是 ABCDCB D A B C 4 把下列的命题改写成 如果 那么 的形式 1 等角的补角相等 2 两邻补角的平分线相互垂直 5 已知 如图所示 AB AD BC DC E 为 AC 上的点 求证 BE DE D A E C B 6 如图 AB BC D 为 AC 上一点 分别过 A C 作 BD 的垂线 垂 ABC90 足分别为 E F 求证 EF CF AE 用心 爱心 专心 A E D F B C 7 已知正方形 ABCD 中 M 是 AB 的中点 E 是 AB 延长线上一点 且交MN DM 的平分线于 N CBE 1 吗 为什么 MDMN 2 若将上述条件的 M 是 AB 的中点 改为 M 是 AB 上的任意一点 其余条件 不变 则结论 MD MN 是否成立 若成立 给予证明 若不成立 说明理由 D C D C F G N N A M B E A M B E 用心 爱心 专心 试题答案试题答案 1 C20 2 30 3 AB CD 4 1 如果两个角相等 那么它们的补角也相等 2 如果两个角是邻补角 那么它们的平分线互相垂直 5 证明 在和中 ABC ADC ABAD BCDC ACAC ABCADC BACDAC 在和中 BAE DAE ABAD BACDAC AEAE BAEDAE BEDE 6 先由