2011届高三数学精品复习之(17)抛物线及其性质VIP

x y F1F2M P O Q 20112011 届高三数学精品复习之抛物线及其性质届高三数学精品复习之抛物线及其性质 1 不要把抛物线的标准方程和二次函数的一般形式混为一谈 抛物线的焦点位置取决于哪 个变量是一次的及其系数的正负 抛物线标准方程中的 p 表示焦准距 举例 1 抛物线 2 axy 的准线方程为2 y 则a的值为 A 8 1 B 8 1 C 8 D 8 解析 抛物线的标准方程为 y a x 1 2 其准线方程为 y a4 1 a 8 1 故选 B 举例 2 若椭圆1 2 2 2 2 b y a x a b 0 的左 右焦点分别为F1 F2 线段F1F2被抛物线 y2 2bx的焦点分成 5 3 的两段 则此椭圆的离心率为 A 16 17 B 4 17 17 C 4 5 D 2 5 5 解析 抛物线y2 2bx的焦点为 F 2 b 0 F 将线段 F1F2分成 5 3 的两段 2 b c c 2 b 5 3 c 2b e 2 5 5 选 D 巩固 1 点 M 5 3 到抛物线 y ax2的准线的距离等于 6 那么抛物线的方程是 A y 12x2 B y 12 1 x2或 y 36 1 x2 C y 36x2 D y 12x2或 y 36x2 巩固 2 若抛物线 2 2ypx 的焦点与椭圆 22 1 62 xy 的右焦点重合 则p的值为 A 2 B 2 C 4 D 4 2 涉及到抛物线上的点到焦点 准线 的距离问题常用定义 有时 抛物线上的点到与准 线平行的直线的距离需转化为到准线的距离 举例 1 已知 A 3 1 抛物线 4 2 x y 上一点 P x y 则 PA y 的最小值为 解析 抛物线 4 2 x y 的准线为 y 1 焦点 F 0 1 记 P 在直线 y 1 上的射影为 Q 则 y PQ 1 PF 1 PA y PA PF 1 问题转化为 求 PA PF 的最小值 易见 PA PF AF 3 当且既当 F P A 共线时等号成立 故 PA y 的最小值为 2 举例 2 已知椭圆 E 的离心率为 e 两焦点为 F1 F2 抛物线 C 以 F1为顶点 F2为焦点 P 为两曲线的一个 公共点 若 2 1 PF PF e 则 e 的值为 A 3 3 B 2 3 C 2 2 D 3 6 解析 记抛物线的准线l交 x 轴于 M P 在l上的射影 为 Q 则 F1M F1F2 2c 即l的方程为 x 3c PF2 PQ 又 2 1 PF PF e 即 1 PQ PF e F1是椭圆的左焦点 PQ 为 P 到椭圆左准线的距离 即 l为椭圆的左准线 于是有 3c c a 2 e 3 3 选 A 巩固 1 一动圆圆心在抛物线yx4 2 上 过点 0 1 且与定直线l相切 则l的方程为 A 1 x B 16 1 x C 1 y D 16 1 y 巩固 2 椭圆 C1 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 的左准线为l 左 右焦点分别为 F1 F2 抛 物线 C2的准线也为l 焦点为 F2 记 C1与 C2的一个交点为 P 则 2 1 1 21 PF PF PF FF A 2 1 B 1 C 2 D 与 a b 的取值有关 3 过抛物线 y2 2px 的焦点直线l与抛物线 y2 2px 交于 A x1 y1 B x2 y2 两点 记住并会 证明 2 21 pyy 4 2 21 p xx AB 2 21 sin 2p pxx 其中 为弦 AB 的倾角 900时的弦 AB 即为抛物线的通经 证明该结论时为避免讨论斜率不存在情形 可设直设直 线方程为 线方程为 x my x my 2 p 其中 m 为 AB 的斜率的倒数 抛物线焦点弦问题常用定义 如 以 焦点弦为直径的圆与准线相切 举例 1 抛物线 y2 2px 上弦长为 a a 2p 的弦的中点到 y 轴的距离的最小值为 解析 抛物线的准线l的方程为 x 2 p 焦点 F 2 p 0 记弦的两端点为 A B AB 的 中点为 M 它们在l上的射影分别是 A1 B1 M1 于是有 AF AA1 BF BB1 M 到 y 轴的距离 d MM1 2 p 2 1 AA1 BB1 2 p 2 1 AF BF 2 p 2 1 AB 2 p 2 pa 当且仅当 A B F 共线时等号成立 注 过焦点的弦最短是通经 长为 2p 当 a 2p 时 A B F 不可能共线 举例 2 给定抛物线C y2 4x F是C的焦点 过点F的直线l与C相交于A B两 点 设l的斜率为 1 则OA与OB夹角为 解析 抛物线的焦点为 F 1 0 直线l的方程为 x y 1 将其代入抛物线方程得 y2 4y 4 0 设 A x1 y1 B x2 y2 则有 y1 y2 4 y1y2 4 又 x1 4 1 y12 x2 4 1 y22 x1 x2 16 1 y1 y2 2 1 OBOA x1 y1 x2 y2 x1x2 y1y2 3 2 16 1 21 2 21 2 21 2 21 2 21 2 2 2 2 2 1 2 1 yyyyyyyyxxyxyxOBOA 41 cos 41 413 OBOA OBOA 故OA与OB夹角为 arccos 41 413 注 在研究形如 y2 2px 的抛物线与直线的有关问题时 设直线方程为 x my b 的形式 不 仅可以简化计算 有时还可以避免对直线斜率是否存在的讨论 巩固 1 AB 是抛物线xy2 2 的一条焦点弦 AB 4 则 AB 中点 C 的横坐标是 A 2B 2 1 C 2 3 D 2 5 巩固 2 过抛物线 0 2 2 ppxy的焦点的直线0 mmyx与抛物线交于 A B 两点 且 OAB O 为坐标原点 的面积为22 则m6 m4 4 直线与圆锥曲线的公共点问题一般用方程组的解研究 直线与曲线有几个公共点 方程 组就有几组解 直线与圆锥曲线相切体现为 在解方程组的过程中 消元 后得到的一元 二次方程有两个相等的实根 即 0 抛物线的切线还可以用导数研究 视抛物线方程为 二次函数 举例 1 设抛物线 y2 8x 的准线与 x 轴交于点 Q 若过点 Q 的直线l与抛物线有公共点 则 直线l的斜率的取值范围是 A 2 1 2 1 B 2 2 C 1 1 D 4 4 解析 Q 2 0 显然直线l 斜率存在 记为 k 则l的方程为 y k x 2 代入抛物线 方程得 k2x2 4 k2 2 x 4k2 0 当 k 0 时 方程有解 当 k 0 时 64 1 k2 0 即 1 k 0 或 00 x1 x2 k x1x2 b 又 y1 x12 y2 x22 y1y2 b2 而AOBO x1x2 y1y2 0 得 b b2 0 且 b 0 b 1 代入 验证 x y F1F2 C A B O 满足 故 y1 y2 k x1 x2 2 k2 2 设 AOB 的重心为 G x y 则 x 3 21 xx 3 k y 3 21 yy 3 2 2 k 由 两式消去参数 k 得 G 的轨迹方程为 3 2 3 2 xy 注 上述求轨迹的方法称为 参数法 一般先设法将动点坐标用 参数 表示 再消参数 举例 2 过椭圆1 925 22 yx 的右焦点 F2并垂直于 x 轴 的直线与椭圆的一个交点为 B 椭圆上不同的两点 A x1 y1 C x2 y2 满足条件 F2A F2B F2C 成等差 数列 则弦 AC 的中垂线在 y 轴上的截距的范围是 解析 对 F2A F2C 5 18 使用焦半径公式得 5 5 4 x1 5 5 4 x2 5 18 x1 x2 8 此后 可以 设 AC 的中垂线方程 代入椭圆方程 使用韦达定理 也可以用 点差 记 AC 中点 M 4 y0 将 A C 两点的坐标代入椭圆方程后作差得 21 21 21 21 25 9 yy xx xx yy 0 4 25 9 y kAC 于是有 AC 的中垂线的方程为 4 36 25 0 0 x y yy 当 x 0 时 y 9 16 0 y 此即 AC 的中垂线在 y 轴上的截距 注意 到 M 4 y0 在椭圆 内 1 925 16 2 0 y 得 5 9 0 y 5 9 5 16 9 16 0 y 5 16 巩固 1 已知抛物线y2 4x 过点P 4 0 的直线与抛物线相交于 A x1 y1 B x2 y2 两点 则 y12 y22的最小值是 巩固 2 过抛物线ypx p 2 20 上一定点 P xy 00 y00 作两条直线分别交抛 物线于 A xy 11 B xy 22 若 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补 则 yy y 12 0 答案答案 1 巩固 1 B 巩固 2 D 2 巩固 1