2011届高考数学最后冲刺必做题+解析9新人教A版

高考数学最后冲刺必读题解析 高考数学最后冲刺必读题解析 9 9 20 已知数列 n a满足 1 1a 2 1 2 a 且 2 3 1 22 1 1 nn nn aa n 1 2 3 1 求 3456 a a a a的值及数列 n a的通项公式 2 令 212nnn baa 记数列 n b的前 n 项的和为 n T 求证 n T 3 20 解 1 分别令 n 1 2 3 4 可求得 3456 11 3 5 48 aaaa 2 分 当 n 为奇数时 不妨设 n 2m1 mN 则 2121 2 mm aa 21 m a 为等差数列 21m a 1 2 m1 2m1 即 n an 4 分 当 n 为偶数时 设 n 2m mN 则 222 20 mm aa 2 m a为等比数列 1 2 111 222 m mm a A A 故 2 1 2 n n a 综上所述 2 21 1 2 2 n n nnmmN a nmmN 6 分 2 212 1 21 2 nnnn baan A AA A 23 1111 135 21 2222 nn Tn A A 8 分 231 11111 13 23 21 22222 nnn Tnn A AA A 两式相减 231 111111 2 21 222222 nnn Tn A A 1 1 11 1 11 42 21 1 22 1 2 n n n A A 10 分 23 3 2 nn n T 故3 n T 12 分 注 若求出 3456 a a a a猜想出通项 1 问给 2 分 在上面基础上 2 问解答正确给 8 分 21 已知 分别是直线xy 3 3 和xy 3 3 上的两个动点 线段AB的长为32 是 AB的中点 1 求动点的轨迹C的方程 2 过点 0 1 Q任意作直线l 与轴不垂直 设l与 1 中轨迹C交于MN 两点 与 轴交于点 若RMMQ RNNQ 证明 为定值 21 解 1 设 yxP 11 yxA 22 yxB 是线段AB的中点 12 12 2 2 xx x yy y 2 分 AB 分别是直线 3 3 yx 和 3 3 yx 上的点 11 3 3 yx 和 22 3 3 yx 12 12 2 3 2 3 3 xxy yyx 4 分 又2 3AB 12 2 21 2 21 yyxx 5 分 22 4 1212 3 yx 动点的轨迹C的方程为 2 2 1 9 x y 6 分 2 依题意 直线l的斜率存在 故可设直线l的方程为 1 yk x 设 33 yxM 44 yxN 0 5 yR 则MN 两点坐标满足方程组 1 9 1 2 2 y x xky 消去并整理 得 2222 1 9 18990kxk xk 8 分 2 2 43 91 18 k k xx 2 34 2 99 1 9 k x x k MQRM 0 1 0 33533 yxyyx 即 1 353 33 yyy xx 1 33 xx l与轴不垂直 1 3 x 3 3 1x x 同理 4 4 1x x 10 分 4 4 3 3 11x x x x 3434 3434 2 1 xxx x xxx x 将 代入上式可得 4 9 12 分 22 已知0 1aa 且函数 log 1 x a f xa 1 求函数 f x的定义域 并判断 f x的单调性 2 若 lim f n n n a nN aa 求 3 当ae 为自然对数的底数 时 设 2 1 1 f x h xexm 若函数 h x的极 值存在 求实数的取值范围以及函数 h x的极值 22 解 由题意知10 x a 当01 01 0af xaf x 时 的定义域是 当时 的定义域是 ln log 11 a a e g xx xx aa f x aa 当01 0 10 0 xx axaa 时 因为故f x 0 因为 n 是正整数 故 0 a 1 所以 11 limlim f nn nn nn aa aaaaa 6 分 22 1 0 21 xx h xexmxh xexxm 所以 令 2 0 210 00h xxxmm 即由题意应有 即 当 m 0 时 0h x 有实根1x 在1x 点左右两侧均有 0h x 故无极值 当01m 时 0h x 有两个实根 12 1 1xm xm 当 x 变化时 h x h x的变化情况如下表所示 1 x 1 x 12 x x 2 x 2 0 x h x 0 0 h x 极大值极大值 极小值极小值 h x 的极大值为 1 2 1 m em h x的极小值为 1 2 1 m em 当1m 时 0h x 在定义域内有一个实根 1xm 同上可得 h x的极大值为 1 2 1 m em 10 分 综上所述 0 m 时 函数 h x有极值 当01m 时 h x的极大值为 1 2 1 m em h x的极小值为 1 2 1 m em 当1m 时 h x的极大值为 1 2 1 m em 12 分 21 本题满分 15 分 已知抛物线 C 的顶点在原点 焦点为 F 0 1 且过点 A 2 t I 求 t 的值 II 若点 P Q 是抛物线 C 上两动点 且直线 AP 与 AQ 的斜率互为相反数 试问直 线 PQ 的斜率是否为定值 若是 求出这个值 若不是 请说明理由 21 本小题满分 5 分 解 I 由条件得抛物线方程为 2 4xy 3 分 把点 A 代入 2 4xy 得1 t 6 分 II 设直线 AP 的斜率为k AQ 的斜率为k 则直线 AP 的方程为 12 2 1 kkx y xky即 联立方程 2 21 4 ykxk xy 消去 y 得 0 12 44 2 kkxx 9 分 24 12 2 12 4 kkxkxx ppA 144 12 2 kkkkxy pp 同理 得144 24 2 kkykx Qq 12 分 1 8 8 k k xx yy k pQ Pq PQ 是一个与 k 无关的定值 15 分 22 本题满分 15 分 已知函数 2 ln 2 a f xxx I 若1a 证明 f x没有零点 II 若 1 2 f x 恒成立 求 a 的取值范围 22 本小题满分 15 分 解 I 0 ln 2 1 1 2 xxxxfa时 x xxf 1 3 分 由0 xf 得1 x 可得 xf在 0 1 上单调递减 在 1 上单调递增 5 分 故 xf的最小值0 2 1 1 min fxf 所以 xf没有零点 7 分 II 方法一 x ax x axxf 11 2 9 分 i 若0a 时 令0 xf 则 1 x a 故 xf在 1 0 a 上单调递减 在 1 a 上单调递增 故 xf在 0 上的最小值为a a fln 2 1 2 1 1 要使解得 2 1 xf恒成立 只需 2 1 ln 2 1 2 1 a 得1 a 12 分 ii 若0 a 0 xf恒成立 xf在 0 是单调递减 0 2 1 a f 故不可能 2 1 xf恒成立 14 分 综上所述 1 a 15 分 方法二 由 2 1 xf恒成立 得 2 ln21 x x a 恒成立 9 分 设 0 ln21 2 x x x x 则 3 ln4 x x x 11 分 由0 x 得1 x 故 x 的最大值为1 1 max x 13 分 要使 xa 恒成立 只需1 a 15 分 20 本小题满分 14 分 已知抛物线 1 C的方程为 0 2 aaxy 圆 2 C的方程为5 1 22 yx 直线 mxyl 2 1 0 m 是 1 C 2 C的公切线 F是 1 C的焦点 1 求m与a的值 2 设A是 1 C上的一动点 以A为切点的 1 C的切 线l交y轴于点B 设FBFAFM 证明 点M在一定直线上 20 本小题满分 14 分 解 1 由已知 圆 2 C 5 1 22 yx的圆心为 1 0 2 C 半径5 r 1 分 由题设圆心到直线mxyl 2 1 的距离 22 1 2 1 m d 3 分 即5 1 2 1 22 m 解得6 m 4 m舍去 4 分 设 1 l与抛物线的相切点为 000 yxA 又axy2 5 分 得 a xax 1 22 00 a y 1 0 6 分 代入直线方程得 6 21 aa 6 1 a 所以6 m 6 1 a 7 分 2 由 1 知抛物线 1 C方程为 2 6 1 xy 焦点 2 3 0 F 8 分 设 6 1 2 11 xxA 由 1 知以A为切点的切线l的方程为 2 111 6 1 3 1 xxxxy 10 分 令0 x 得切线l交y轴的B点坐标为 6 1 0 2 1 x 11 分 所以 2 3 6 1 2 11 xxFA 2 3 6 1 0 2 1 xFB 12 分 3 1 xFBFAFM 13 分 因为F是定点 所以点M在定直线 2 3 y上 14 分 21 本小题满分 14 分 设函数 x xa xxf ln 其中a为常数 1 证明 对任意Ra xfy 的图象恒过定点 2 当1 a时 判断函数 xfy 是否存在极值 若存在 求出极值 若不存在 说明理由 3 若对任意 0 ma 时 xfy 恒为定义域上的增函数 求m的最大值 21 本小题满分 14 分 解 1 令0ln x 得1 x 且1 1 f 所以 xfy 的图象过定点 1 1 2 分 2 当1 a时 x x xxf ln 2 2 2 1lnln1 1 x xx x x xf 4 分 令1ln 2 xxxg 经观察得0 xg有根1 x 下证明0 xg无其它根 x xxg 1 2 当0 x时 0 xg 即 xgy 在 0 上是单调递增函 数 所以0 xg有唯一根1 x 且当 1 0 x时 0 2 x xg xf xf在 1 0 上是减函数 当 1 x时 0 2 x xg xf xf在 1 上是增函数 7 分 所以1 x是 xf的唯一极小值点 极小值是1 1 1ln 1 1 f 8 分 3 2 2 2 lnln 1 x axax x xaa xf