向量的概念及其线性运算

平面向量的概念及其线性运算平面向量的概念及其线性运算 数学 安送杰数学 安送杰 1 教学目标 1 知识与技能 掌握平面向量的相关概念 线性运算的规律与几何意义 理解并 熟练运用共线向量进行解题 体会数形结合的数学思想方法 2 过程与方法 在复习回忆之前学习的知识点的同时 通过习题巩固知识 加强 理解 掌握运用知识的技巧与方法 3 情感 态度与价值观 通过对一些实际问题的解答 体会知识与生活的紧密联 系 学习与生活是密不可分的 二 重点与难点 3 教学设 计 1 知识 点回顾 1 向量的 概念及 表示 2 重点难点 了解向量的实际背景 理解平 面向量的基本概念和几何表示 理 解向量相等的含义 掌握向量加 减法和数乘运算 理解其几何意义 理解向量共线定 理 了解向量的线性运算性质及其 几何意义 运用向量加 减法 数乘运 算进行解题 以及两个向量共线 的充要条件的运用 和向量相关的一些概念 向量的模 零向量 单位向量 平行向量 共线向量 相等向量和相反向量 一个规定 3 向量的线性运算 向量的加法运算 向量的减法运算 向量的数乘运算 2 复习知识 练习巩固 1 向量的概念及表示 定义 既有大小 又有方向的量叫向量 与数量相比 数量只有大小 可比大小 向量既有大小又有方向 无法比较大小 向量的表示方法 A 几何表示法 用有向线段表示向量 三个要素 起点 方向和长度 B 字母表示法 手写使用或 印刷使用黑体小写字母 AB cba 2 和向量相关的一些概念 向量的模 向量的模 或长度 就是向量的大小 记作 向量的模 AB AB AB 可以比较大小 零向量 长度为 0 的向量叫做零向量 记作 其方向是任意的 0 单位向量 长度等于 1 的向量叫做单位向量 平行向量 共线向量 方向相同或相反的非零向量叫平行向量 也称为共线向 量 相等向量和相反向量 长度相等方向相同的向量叫做相等向量 长度相同方向相 反的向量叫做相反向量 一个规定 零向量与任一向量平行 习题一 习题一 1 给出下列六个命题 两个向量相等 则它们的起点相同 终点相同 若两向量 a b 则 a b 若向量 AB DC 则 A B C D 构成平行四边形 在平行四边形 ABCD 中 一定有向量 AB DC 若向量 m n n p 则 m p 若向量 a b b c 则 a c 其中错误的命题为 解析 对 而言 起点相同 终点相同的两个向量肯定相等 但反之不一定 对 而言 向量是有方向的 模相等 方向不一定一样 对 而言 向量相等可能会共线 共线则不能构成平行 对 而言 若向量 b 为零向量 则不成立 2 设 a 为单位向量 判断下列命题为假命题的个数 3 若 b 为平面内的某个向量 则 b b a 若 b 与 a 平行 则 b b a 若 b 与 a 平行且 b 1 则 b a 注意 向量的方向 两向量平行可同向也可异向 3 向量的线性运算 1 向量的加法 定义 求两个向量的和的运算叫做向量的加法 运算法则 三角形法则与平行四边形法则 运算律 交换律与结合律 1 a b b a 2 a b c a b c 2 向量的减法 相反向量 我们规定 与向量 a 长度相等 方向相反的向量 叫做向量 a 的相反 向量 记作 a 即有 a a a a a a 0 向量的减法 我们定义 a b a b 即减去一个向量相当于加上这个向量的相反 向量 几何意义 已知向量 a 与向量 b 则 a b 可以表示为从向量 b 的终点指 向向量 a 的终点的向量 3 向量的数乘运算 定义 我们规定实数 与向量 a 的积仍是向量 这种运算称为向量的数乘运算 记作 a 它的长度与方向规定为 长度 a a 方向 当 0 时 向量 a 的方向与的方向相同 当 0 时 向量 a 的方向与向 量 a 的方向相反 当 0 时 a 0 向量数乘的运算律 结合律与分配律 1 a a 2 a a a 3 a b a b 向量共线 向量 a 与 b 共线 当且仅当有唯一一个实数 使 b a 向量的加 减 数乘运算统称为向量的线性运算 习题二 习题二 1 在 ABC 中 E F 分别为 AC AB 的中点 BE 与 CF 相交于 G 点 设向量 AB a 向 量 AC b 试使用 a b 表示向量 AG 解法一 AG AB BG AB BE AB 2 BA BC 1 2 AB 2 AC AB 1 1 a a b b AB 2 AC 2 又 m AG AC CG AC CF AC m 2 CA CB 1 m a a 1 m b b AC m 2AB m 2 解得 m 1 m 2 1 m 2 2 3 a a b b AG 1 3 1 3 解法二 点 G 为重心 所以 AG AB AC 1 3 2 如图 在四边形 ABCD 中 AC 和 BD 相交于点 O 设 a a b b 若 AD AB 2 则 用向量a a和b b表示 AB DC AO 答案 a a b b 2 3 1 3 解析 因为 a a b b AC AD DC AD 1 2AB 1 2 又 2 所以 a a b b AB DC AO 2 3AC 2 3 a a 1 2b b 2 3 1 3 3 已知点 P 在 ABC 所在的平面内 若 2 3 4 3 则 PAB 与 PBC PA PB PC AB 的面积的比值为 答案 4 5 解析 由 2 3 4 3 得 2 4 3 3 2 4 3 PA PB PC AB PA PC AB BP PA PC AP 即 4 5 PC AP AP PC 4 5 S PAB S PBC AP PC 4 5 4 已知点 G 是 ABO 的重心 M 是 AB 边的中点 1 求 GA GB GO 2 若 PQ 过 ABO 的重心 G 且 a a b b ma a nb 求证 3 OA OB OP OQ 1 m 1 n 1 解 因为 2 又 2 所以 0 GA GB GM GM GO GA GB GO GO GO 2 证明 解法一 因为 a a b b 且 G 是 ABO 的重心 所以 a a b b 由 P G Q 三 OM 1 2 OG 2 3OM 1 3 点共线 得 所以有且只有一个实数 使 又 a a b b PG GQ PG GQ PG OG OP 1 3 ma a a a b b nb b a a b b a a b b 所以 1 3 m 1 3 GQ OQ OG 1 3 1 3 n 1 3 a a b b 1 3 m