2011届高三数学一轮复习 导数及其应用巩固与练习

巩固巩固 1 设正弦函数 y sinx 在 x 0 和 x 附近的平均变化率为 2 k1 k2 则 k1 k2的大小关系为 A k1 k2 B k1k2 2 2 设 y 2exsinx 则 y 等于 A 2excosx B 2exsinx C 2exsinx D 2ex sinx cosx 解析 选 D y 2exsinx y 2ex sinx 2ex sinx 2exsinx 2excosx 2ex sinx cosx 3 已知 m 0 f x mx3 且 f 1 18 则实数 m 等 27x m 于 A 9 B 3 C 3 D 9 解析 选 B 由于 f x 3mx2 故 f 1 18 27 m 3m 18 由 m0 恒成立 即 3x2 4ax 2a 0 恒成立 4a 2 4 3 2a 16a2 24a 0 0 a 3 2 又 a Z a 1 练习 1 已知函数 f x sinx lnx 则 f 1 的值为 A 1 cos1 B 1 cos1 C cos1 1 D 1 cos1 解析 选 B 因为 f x cosx 则 f 1 cos1 1 1 x 2 一质点沿直线运动 如果由始点起经过 t 秒后的位移为 s t3 t2 2t 那么速度为零的时刻是 1 3 3 2 A 0 秒 B 1 秒末 C 2 秒末 D 1 秒末和 2 秒末 解析 选 D s t3 t2 2t 1 3 3 2 v s t t2 3t 2 令 v 0 得 t2 3t 2 0 解得 t1 1 t2 2 3 下列求导数运算正确的是 A x 1 B log2x 1 x 1 x2 1 xln2 C 3x 3xlog3e D x2cosx 2xsinx 解析 选 B x 1 A 错 1 x 1 x2 3x 3xln3 C 错 x2cosx 2xcosx x2sinx D 错 故选 B 4 已知二次函数 f x 的图象如图所示 则 其导函数 f x 的图象大致形状是 解析 选 B 设二次函数为 y ax2 b a0 则 y 2ax 又 a0 a 1 故 f 1 1 1 1 3 1 3 答案 1 3 10 求下列函数的导数 1 y 1 1 2 y x 1 x lnx x 3 y tanx 4 y xe1 cosx 解 1 y 1 1 x x x 1 x 1 xx 1 2 1 2 y x x x x 1 2 1 2 1 2 3 2 1 2 1 2 2 y lnx x lnx x x lnx x2 1 x x lnx x2 1 lnx x2 3 y sinx cosx sinx cosx sinx cosx cos2x cosxcosx sinx sinx cos2x 1 cos2x 4 y xe1 cosx e1 cosx x e1 cosx e1 cosx x e1 cosx 1 cosx e1 cosx xe1 cosx sinx 1 xsinx e1 cosx 11 已知函数 f x x3 3x 及 y f x 上一点 P 1 2 过点 P 作 直线 l 1 求使直线 l 和 y f x 相切且以 P 为切点的直线方程 2 求使直线 l 和 y f x 相切且切点异于 P 的直线方程 解 1 由 f x x3 3x 得 f x 3x2 3 过点 P 且以 P 1 2 为切点的直线的斜率 f 1 0 所求直线方程为 y 2 2 设过 P 1 2 的直线 l 与 y f x 切于另一点 x0 y0 则 f x0 3x02 3 又直线过 x0 y0 P 1 2 故其斜率可表示为 y0 2 x0 1 x03 3x0 2 x0 1 又 3x02 3 x03 3x0 2 x0 1 即 x03 3x0 2 3 x02 1 x0 1 解得 x0 1 舍 或 x0 1 2 故所求直线的斜率为 k 3 1 1 4 9 4 y 2 x 1 即 9x 4y 1 0 9 4 12 2008 年高考海南 宁夏卷 设函数 f x ax 曲线 b x y f x 在点 2 f 2 处的切线方程为 7x 4y 12 0 1 求 f x 的解析式 2 证明 曲线 y f x 上任一点处的切线与直线 x 0 和直线 y x 所围成的三角形面积为定值 并求此定值 解 1 方程 7x 4y 12 0 可化为 y x 3 7 4 当 x 2 时 y 又 f x a 1 2 b x2 于是Error 解得Error 故 f x x 3 x 2 证明 设 P x0 y0 为曲线上任一点 由 y 1 知曲线在 3 x2 点 P x0 y0 处的切线方程为 y y0 1 x x0 3 x02 即 y x0 1 x x0 3 x0 3 x02 令 x 0 得 y 6 x0 从而得切线与直线 x 0 的交点坐标为 0 6 x0 令 y x 得 y x 2x0 从而得切线与直线 y x 的交点坐标为 2x0 2