高二数学上册 8.2向量的数量积教案 沪教版

用心 爱心 专心 1 2 2 2 2 向量的数量积向量的数量积 2 2 教学目标设计教学目标设计 1 深刻领会向量的数量积的概念和运算性质 向量的夹角公式及其内涵 两向量垂直 的充要条件 2 掌握求向量的长度 求两个向量的夹角 判断两个向量垂直的技能和方法 3 初步运用向量的方法解决一些简单的几何问题 领略向量的数量积的数学价值 4 通过对问题的分析研究 体会数学思考的过程 教学重点及难点教学重点及难点 重点 向量的数量积的运算性质 向量的夹角公式 向量垂直的条件及其应用 难点 向量的夹角公式的应用 教学用具准备教学用具准备 直尺 投影仪 教学过程设计教学过程设计 一 一 情景引入 情景引入 1 1 复习回顾 复习回顾 1 两个非零向量的夹角的概念 对于两个非零向量 a b 如果以O为起点 作 OAa OBb 那么射线 OA OB的夹角 叫做向量a 与向量b 的夹角 其中0 2 平面向量数量积 内积 的定义 如果两个非零向量 a b 的夹角为 0 那么我们把 cosa b 叫做向量a 与向 量b 的数量积 记做a b A 即cosa ba b A 并规定0 与 任何向量的数量积为 0 3 投影 的概念 定义 cosb 叫做向量b 在a 方向上的投影 投影也是一个数量 不是向量 当 为锐角时投影为正值 当 为钝角时投影为负值 当 为 直角时投影为 0 当 0 时投影为b 当 180 时投影为b 4 向量的数量积的几何意义 用心 爱心 专心 2 数量积a b A等于a 的长度与b 在a 方向上投影 cosb 的乘积 5 向量的数量积的运算性质 对于R 有 1 2 0 a aa 当且仅当0a a 时 a 0 2 a bb a 3 ababa b 4 abca ba c 分析思考 分析思考 1 类比实数的运算性质 向量的数量积结合律 a b ca bc 是否成立 学生通过讨论 回答 a b ca bc 一般不成立 2 如果一个物体在大小为 牛顿的力f 的作用下 向前移动 米 其所做的功的大小 为 焦耳 问力f 的方向与运动方向的夹角是否为0o 分析 设该物体在力f 的作用下产生位移s f 所做的功为W f 与s 的夹角为 则由 cosWfs 知 11 cos60 2 12 o W fs 二 学习新课二 学习新课 1 1 向量的夹角公式向量的夹角公式 在学习了向量数量积的定义之后 我们很容易推导出两个非零向量 a b 的夹角 满足 cos a b a b 因此 当 2 时 0a b 反之 当0a b 时 2 考虑到0 可与任何向量垂直 所以可得 两个向量两个向量 a b 垂直的充要条件是垂直的充要条件是0a b 例题分析例题分析 用心 爱心 专心 3 例 1 化简 22 abab 课本 P66 例 2 解 22 abab aabbababaabb 2222 aa bb abab aa bb 4a b 例 2 已知2 3ab 且a 与b 的夹角为 3 求32ab 课本 P66 例 3 解 2 323232ababab 332232aabbab 9664a aa bb ab b 22 9124aa bb 22 9 212 2 3 cos4 3 3 36 所以 326ab 例 3 已知2 4ab kabkab 与垂直 求k的值 课本 P66 例 4 解 因为kabkab 与垂直 所以 0kabkab 化简得 22 2 0k ab 即 22 2 0k ab 由已知2 4ab 可得 2 4160k 解得 2k 所以 当2k 时 kabkab 与垂直 例 4 已知a b 都是非零向量 且3ab 与75ab 垂直 4ab 与72ab 垂直 求 a 与b 的夹角 用心 爱心 专心 4 解 由 22 3750716150ababaa bb A 22 472073080ababaa bb A 两式相减 2 2a bb 代入 或 得 22 ab 设a b 的夹角为 则 2 2 1 cos 2 2 a bb a b b 60 问题拓展问题拓展 例 5 利用向量数量积的运算证明半圆上的圆周角是直角 证明 设 AB 是 O 直径 半径为 r 设AOa 则OBa OCc 则acr 则ACac BCca 22 22 0AC BCcacacarr ACBC 即 ACB 是直角 三 巩固练习三 巩固练习 1 已知1 2ab 1 若a b 求a b A 2 若a 与b 的夹角为 60 求ab 3 若ab 与a 垂直 求a 与b 的夹角 2 已知3 4ab 向量 3 4 ab 与 3 4 ab 的位置关系为 A 平行 B 垂直 C 夹角为 3 D 不平行也不垂直 3 已知2 1ab a 与b 之间的夹角为 3 则向量4mab 的模为 A 2 B 23 C 6 D 12 4 已知a 与b 是非零向量 则ab 是 ab 与 a b 垂直的 用心 爱心 专心 5 A 充分但不必要条件 B 必要但不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 四 课堂小结四 课堂小结 1 向量的数量积及其运算性质 两向量的夹角公式 两个向量垂直的充要条件 4 求向量的模 两个向量的夹角 判断两个向量垂直的技能和方法 五 作业布置五 作业布置 练习 8 2 1 P67 T2 T3 T4 P35 T3 T4 思考题 1 已知向量a 与b 的夹角为 3 2 1ab 则 a b a b 2 已知a b 2i 8j a b 8i 16j 其中i j 是直角坐标系中x轴 y轴正方向上的单 位向量 那么a b A 3 已知a b c 与a b 的夹角均为 60 且1 2 3abc 则 2 2abc 4 对于两个非零向量a 与b 求使atb 最小时的t值 并求此时b 与atb 的夹角 5 求证 平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和 教学设计说明及反思教学设计说明及反思 本节课是在上节课学习了向量的数量积的概念 向量的数量积的运算性质之后 再一次 抛出物理模型问题 学生通过交流 分析 讨论 解决问题 进一步推