八年级数学寒假专题——中考试题与平行四边形华东师大版知识精讲

用心 爱心 专心 初二数学初二数学寒假专题寒假专题 中考试题与平行四边形中考试题与平行四边形华东师大版华东师大版 本讲教育信息本讲教育信息 一 教学内容 寒假专题 中考试题与平行四边形 二 重点 难点 1 重点 用平行四边形和特殊平行四边形的性质解答中考题 中考题中梯形与等腰梯形的性质及梯形中的辅助线 2 难点 综合运用平行四边形及特殊平行四边形和等腰梯形解答中考题 三 知识梳理 与平行四边形有关的试题可分为低 中 高档题 命题形式有填空题 选择题 解答 题 探索题 证明题等等 本讲首先通过举例分析近两年与平行四边形及特殊的平行四边形 有关的考题的类型 然后提出解中考题的有关策略 一 近两年与平行四边形及特殊的平行四边形有关的考题的类型 一 近两年与平行四边形及特殊的平行四边形有关的考题的类型 中考数学命题对平行四边形部分的内容主要涉及以下几个方面 1 考查平行四边形的定义 性质定理 平行四边形 矩形 菱形 正方形的性质 由它们的中心对称性及矩形 菱形 正方 形兼有的轴对称性都是考查的重点 例如 这些图形对角线交点是它们的对称中心 矩形和 菱形还分别由两条对称轴 正方形则有四条对称轴 因而位于对称位置的元素或三角形 都 是可证相等或全等的 2 与梯形有关的题目 梯形只有一组对边平行 据此引出的性质较少 因此解决有关梯形的题目往往需要添 加辅助线 把梯形的有关问题转化为三角形的问题来解决 解决梯形问题的基本思路是 梯形问题三角形或平行四边形问题 转化 即通过添加辅助线把梯形分割或拼接而转化为三角形或平行四边形 要解答这类题目必须熟 悉梯形中常用的添加辅助线的方法 平行四边形的有关内容贯穿于初中的全过程 它可以把几何与代数的内容有机的结合 在一起 涉及它的试题可分为低 中 高档题 命题形式有填空题 选择题 解答题 探 索题 证明题等等 二 解答与平行四边形有关中考题时的思想方法 二 解答与平行四边形有关中考题时的思想方法 对于平行四边形的学习 我们认为应重在加强对数学思想方法的训练和强化 这一章 内容主要涉及的数学思想有 1 转化的思想 所谓转化的思想方法 是指在求解数学问题时 如果对当前的问题感到生疏 困惑 可以把它进行变换 使之化繁为简 化难为易 化生疏为熟悉 从而使问题得以解决的思 维方法 这种思想是科学研究和数学学习中常用的一种基本数学思想方法 本章中突出体现转 化思想的地方有两处 一是通过把四边形的问题转化为三角形的问题来解决 二是把梯形问 题转化为平行四边形和三角形的问题来解决 通过作一腰或对角线的平行线 把梯形转化为 一个平行四边形和一个三角形 这两处的转化都是通过添加 辅助线 来实现的 2 方程的思想 用心 爱心 专心 方程思想的核心是运用数学的符号化语言 问题中已知量和未知量 或参变量 之间 的数量关系 抽象为方程 或方程组 不等式等数学模型 然后通过对方程 或方程组 不等式的变换求出未知量的值 使问题获解 方程思想体现了已知和未知的对立统一关系 在 求四边形的角或边时 常用到方程的思想 3 变换的思想 我们学习的中心对称是一种全等变换 即一个图形与它的中心对称图形是全等的 因 而其对应元素相等 轴对称和中心对称虽然不同 但它们都是解答几何题时常用的全等变换 证明三角形中位线定理用的就是中心对称的性质 在应用时要注意 轴对称图形若有两条互 相垂直的对称轴 则它也一定是一个中心对称图形 其对称轴就是两对称轴的交点 例如 矩形 正方形和圆等既是轴对称图形 也是中心对称图形 典型例题典型例题 例例 1 06 年河北省 如图 在平行四边形 ABCD 中 AD 5 AB 3 AE 平分 BAD 交 BC 于点 E 则线段 BE EC 的长度分别为 A 2 和 3 B 3 和 2 C 4 和 1 D 1 和 4 分析 分析 根据平行四边形的性质和等腰三角形的性质可解 解 解 选 B 例例 2 06 年安徽省 如图 直线 l 过正方形 ABCD 的顶点 B 点 A C 到直线 l 的距离 分别是 1 和 2 则正方形的边长是 分析 分析 仔细观察图形可发现两个直角三角形全等 解 容易知道两个直角三角形全等 所以正方形的边长为 512 22 例例 3 05 年济南市 如图 是由两个正方形组成的长方形花坛 ABCD 小明从顶点 A 沿着花坛间小路走到长边中点 O 再从中点 O 走到正方形 OCDF 的中心 O1 再从中心 O1走到正方形 O1GFH 的中心 O2 又从中心 O2走到正方形 O2IHJ 的中心 O3 再从 O3走到 正方形 O3KJP 的中心 O4 一共走了 31m 则长方形花坛 ABCD 的周长是 2 A 36m B 48m C 96cm D 60m 用心 爱心 专心 分析 分析 小明所走的路线是由正方形的对角线组成的 而正方形的对角线与边长有关 因此可设长方形 ABCD 的宽为 x 依次把对角线用 x 表示出来 在 Rt ABO 中 由勾股 定理 得 AO x 同理 OO1 x O1O2 x O2O3 x O3O4 x 由题意2 2 2 2 4 2 8 2 16 知 x x x x x 31 解得 x 16 故花坛 ABCD 的周长是2 2 2 2 4 2 8 2 16 2 16 6 96 解 解 选 C 方法提炼 方法提炼 设出长方形的宽是解决本题的关键 例例 4 06 年威海市 如图 梯形纸片 ABCD 已知 AB CD AD BC AB 6 CD 3 将该梯形纸片沿对角线 AC 折叠 点 D 恰与 AB 边上的 E 点重合 则 B 分析 分析 本题根据折叠的性质易知重叠的边 角相等 就很容易求 B 的度数 解 解 由折叠可知 DC CE AE 又因为 AB 6 CD 3 所以 BE 3 所以 BE CE BC 所以 BCE 是等边三角形 故 B 600 点评 本题是以梯形为背景的折叠计算题 它既考查了折叠的有关知识又考查了梯形 的有关知识 题目不难但很具有思考性 例例 5 06 年浙江省 现有一张长和宽之比为 2 1 的长方形纸片 将它折两次 第一次 折后也可打开铺平再折第二次 使得折痕将纸片分为面积相等且不重叠的四个部分 称为 一个操作 如图 1 1 虚线表示折痕 除图 1 1 请你再给出三个不同的操作 分别 将折痕画在图 2 至图 中 规定 一个操作得到的四个图形 和另一个操作得到的四个 图形 如果能够 配对 得到四组全等的图形 那么就认为是相同的操作 如图 1 1 和图 1 2 是相同的操作 分析 分析 通过实际操作可得答案 解 解 如图 3 例例 6 06 年山西省 将一张纸片沿任何一方翻折 得到折痕 AB 如图 1 再翻折一 次 得到折痕 OC 如图 2 翻折使 OA 与 OC 重合 得到折痕 OD 如图 3 最后翻折 使 OB 与 OC 重合 得到折痕 OE 如图 4 再恢复到图 1 形状 则 DOE 的大小是 用心 爱心 专心 度 分析 分析 本题是以矩形为背景折纸探索规律题 虽然是道小小的填空题 主要考查学生 的动手操作能力和观察判断能力以及空间想象能力 只要学生用草稿纸折折即出结果 解 解 答案应是 90 例例 7 06 年衡阳市 已知 如图 ABCD 中 AB AC 对角线 AC BD 交于 0 点 将直线 AC 绕点 0 顺时针旋转 分别交 BC AD 于点 E F 1 证明 当旋转角为 90 时 四边形 ABEF 是平行四边形 2 试说明在旋转过程中 线段 AF 与 EC 总保持相等 分析 分析 本题是以平行四边形为背景的开放题 它综合考查了平行四边形的性质 菱形 以及旋转和中心对称等知识 只要认真观察和操作 问题便不难解决 解 解 1 证明 当 AOF 90 时 AB EF 又因为 AF BE 根据平行四边形定义 所以 四边形 ABEF 为平行四边形 2 证明 因为四边形 ABCD 为平行四边形 且平行四边形是中心对称图形 对称 中心是对角线的交点 所以 在旋转过程中总有 AOF COE 根据全等图形的定义 所以 AF EC 点评 这是一道考查学生对几类特殊四边形的性质的题目 由于平行四边形是中心对 称图形 所以只要过对称中心的任一直线都将平行四边形平分 这样就能得到全等三角形 从而问题得到解决 同时可以观察在旋转的过程中哪些量是不变的 例例 8 06 年河北省课程改革实验区 如图 1 一等腰直角三角尺 GEF 的两条直角边与 正方形 ABCD 的两条边分别重合在一起 现正方形 ABCD 保持不动 将三角尺 GEF 绕斜边 EF 的中点 O 点 O 也是 BD 中点 按顺时针方向旋转 用心 爱心 专心 1 如图 2 当 EF 与 AB 相交于点 M GF 与 BD 相交于点 N 时 通过观察或测量 BM FN 的长度 猜想 BM FN 满足的数量关系 并证明你的猜想 2 若三角尺 GEF 旋转到如图 3 所示的位置时 线段 FE 的延长线与 AB 的延长线相 交于点 M 线段 BD 的延长线与 GF 的延长线相交于点 N 此时 1 中的猜想还成立吗 若成立 请证明 若不成立 请说明理由 分析 分析 本题是以正方形为背景的操作探究题 以学生非常熟悉的学具 等腰直角三 角尺进行操作 只要动手 动脑就能发现不变量 用 不变应万变 以静制动 借助正 方形和全等知识就可以解决了 解 解 1 BM FN 证明 因为 GEF 是等腰直角三角形 又因为四边形 ABCD 是正方形 是中心对称图形 点 O 是对称中心 根据其中心对称性可得 OBM OFN 所以 BM FN 2 BM FN 仍然成立 证明 因为 GEF 是等腰直角三角形 又因为四边形 ABCD 是正方形 是中心对称图形 点 O 是对称中心 根据其中心对称性可得 OBM OFN 所以 BM FN 点评 本题是一道以正方形为背景的三角板操作题 它推广旋转角度的变化 来探究 图形的规律 寻找出不变量 并证明猜想的开放题 例例 9 06 年益阳市 如图 平面上的四边形 ABCD 是一只 风筝 的骨架 其中 AB AD CB CD 1 九年级王云同学观察了这个 风筝 的骨架后 他认为四边形 ABCD 的两条对 角线 AC BD 垂足为 E 并且 BE ED 你同意王云同学的判断吗 请充分说明理由 2 设对角线 AC a BD b 请用含 a b 的式子表示四边形 ABCD 的面积 分析 分析 本题结合图形很容易解决第 1 问 第 2 问在第 1 问的 AC BD 的 启发下 很容易想到用三角形的面积公式来解决问题 解 解 1 王云同学的判断是正确的 理由是 根据题设 AB AD 点 A 在 BD 的垂直平分线上 CB CD 用心 爱心 专心 点 C 在 BD 的垂直平分线上 AC 为 BD 的垂直平分线 BE DE AC BD 2 由 1 得 AC BD ABDCBDABCD SSS AEBDCEBD 2 1 2 1 abACBD 2 1 2 1 点评 本题通过学生常见 常玩的 风筝 为背景 新颖 别致 贴近生活实际 趣 味性强 可以激发学生的做题欲望和学好数学的信心 例例 10 06 年北京 我们给出如下定义 若一个四边形的两条对角线相等 则称这个四 边形为等对角线四边形 请解答下列问题 1 写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称 2 探究 当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为时 这对角所对的两60 60 边之和与其中一条对角线的大小关系 并证明你的结论 分析 分析 解题的关键是如何合理运用两条等对角线 可采用平移的方法将两条等对角线 移到同一三角形中 可得等边三角形 利用三角形三边关系发现结论 解 解 1 答案不唯一 如正方形 矩形 等腰梯形等等 2 结论 等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为时 这对角所对的两边60 60 之和大于或等于一条对角线的长 已知 四边形中 对角线 交于点 且 ABCDACBDOACBD 60AOD 求证 BCADAC 证明 过点作 在上截取 使 DDFAC DFDEDEAC 连结 CEBE 故 四边形是平行四边形 60EDO ACED 所以是等边三角形 BDE CEAD 所以 DEBEAC 当与不在同一条直线上时 如图 1 BCCE 在中 有 BCE BCCEBE 所以 BCADAC 当与在同一条直线上时 如图 2 BCCE 则 BCCEBE 因此 BCADAC 综合 得 BCADAC 即等对角线四边形中两条对角线所夹角为时 这对角所对的两边之和大于或等60 60 于其中一条对角线的长 评注 本题是一道探索题 是近年来中考命题的热点问题 在第 2 小题中要求学生先 猜想可能的结论 再进行证明 这对学生的确有较高的能力要求 而在探索结论前可以自 己先画几个草图 做到心中有数再去努力求证 很多学生往往会忽略特殊情况没有进行讨 论 应当予以关注 总之这是一道新课标形势下的优秀压轴题 用心 爱心 专心 模拟试题模拟试题 答题时间 40 分钟 一 选择题 1 06 年临安市 如图 1 正方形硬纸片 ABCD 的边长是 4 点 E F 分别是 AB BC 的中点 若沿左图中的虚线剪开 拼成如下右图的一座 小别墅 则图中阴影部分的面积 是 A 2 B 4 C 8 D 10 2 05 年浙江余姚市中考 菱形 矩形 正方形都具有的性质是 A 对角线相等B 对角线互相垂直 C 对角线互相平分D 对角线平分一组对角 3 06 年双柏 如图 ABCD 中 对角线 AC 和 BD 相交于点 O 如果 AC 12 BD 10 AB m 那么 m 的取值范围是 A 10 m 12 B 2 m 22 C 1 m 11 D 5 m 6 4 06 年潍坊 如图 在矩形中 若将矩形折叠 使点与ABCD68ABBC B 点重合 则折痕的长为 DEF A B C 5D 6 15 2 15 4 5 06 年鸡西 如图 在矩形 ABCD 中 EF AB GH BC EF GH 的交点 P 在 BD 上 图中面积相等的四边形有 A 3 对 B 4 对 C 5 对 D 6 对 用心 爱心 专心 二 填空题 6 06 年云南 已知 如图 菱形 ABCD 中 B 600 AB 4 则以 AC 为边长的正 方形 ACEF 的周长为 7 05 年重庆市中考 如图 是根据四边形的不稳定性制作的边长均为 15cm 的可活动 的菱形衣架 若墙上钉子间的距离 AB BC 15cm 则 1 度 8 05 年温州市中考 在直线 l 上依次摆放着七个正方形 如图所示 已知斜放置的三 个正方形的面积分别是 1 2 3 正放置的四个正方形的面积依次是 S1 S2 S3 S4 则 S1 S2 S3 S4 三 解答题 9 06 年无锡 已知 如图 ABCD 中 BCD 的平分线交 AB 于 E 交 DA 的延长 线于 F 求证 AE AF 10 06 年宿迁 如图 在 ABCD 中 AE BF 分别平分 DAB 和 ABC 交 CD 于点 E F AE BF 相交于点 M 1 试说明 AE BF 2 判断线段 DF 与 CE 的大小关系 并予以说明 11 05 年佛山市中考 课改卷 如图甲 四边形 ABCD 是等腰梯形 AB DC 由 4 个 这样的等腰梯形可以拼出图乙所示的平行四边形 1 求四边形 ABCD 四个内角的度数 2 试探究四边形 ABCD 四条边之间存在的等量关系 并说明理由 用心 爱心 专心 3 现有图甲中的等腰梯形若干个 利用它们你能拼出一个菱形吗 若能 请你画