内插法的计算公式

内插法 内插法 InterpolationInterpolation MethodMethod 什么是内插法什么是内插法 在通过找到满足租赁交易各个期间所支付的最低租金支付额及租赁期满时 租赁资产估计残值的折现值等于租赁资产的公平价值的折现率 即租赁利率的 方法中 内插法是在逐步法的基础上 找到两个接近准确答案的利率值 利用 函数的连续性原理 通过假设关于租赁利率的租赁交易各个期间所支付的最低 租金支付额及租赁期满时租赁资产估计残值的折现值与租赁资产的公平价值之 差的函数为线性函数 求得在函数值为零时的折现率 就是租赁利率 内插法原理内插法原理 数学内插法即 直线插入法 其原理是 若 A i1 b1 B i2 b2 为两点 则点 P i b 在上述两点确定的直线上 而工程上常用的为 i 在 i1 i2 之间 从而 P 在点 A B 之间 故称 直线内插法 数学内插法说明点 P 反映的变量遵循直线 AB 反映的线性关系 上述公式易得 A B P 三点共线 则 b b1 i i1 b2 b1 i2 i1 直线斜率 变换即得所求 内插法的具体方法内插法的具体方法 求得满足以下函数的两个点 假设函数为线性函数 通过简单的比例式求 出租赁利率 以每期租金先付为例 函数如下 A 表示租赁开始日租赁资产的公平价值 R 表示每期租金数额 S 表示租赁资产估计残值 n 表示租期 r 表示折现率 通过简单的试错 找出二个满足上函数的点 a1 b1 a2 b2 然后 利用对函数线性的假设 通过以下比例式求出租赁利率 内插法应用举例内插法应用举例 内插法在财务管理中应用很广泛 如在货币时间价值的计算中 求利率 i 求年限 n 在债券估价中 求债券的到期收益率 在项目投资决策指标中 求内含报酬率 中级和 CPA 教材中都没有给出内插法的原理 很多同学都不太 理解是怎么一回事 下面我们结合实例来讲讲内插法在财务管理中的应用 一 在内含报酬率中的计算 内插法在内含报酬率的计算中应用较多 内含报酬率是使投资项目的净现 值等于零时的折现率 通过内含报酬率的计算 可以判断该项目是否可行 如 果计算出来的内含报酬率高于必要报酬率 则方案可行 如果计算出来的内含 报酬率小于必要报酬率 则方案不可行 一般情况下 内含报酬率的计算都会 涉及到内插法的计算 不过一般要分成这样两种情况 1 如果某一个投资项目是在投资起点一次投入 经营期内各年现金流量相 等 而且是后付年金的情况下 可以先按照年金法确定出内含报酬率的估计值 范围 再利用内插法确定内含报酬率 2 如果上述条件不能同时满足 就不能按照上述方法直接求出 而是要通 过多次试误求出内含报酬率的估值范围 再采用内插法确定内含报酬率 下面我们举个简单的例子进行说明 某公司现有一投资方案 资料如下 初始投资一次投入 4000 万元 经营期三年 最低报酬率为 10 经营期现 金净流量有如下两种情况 1 每年的现金净流量一致 都是 1600 万元 2 每年的现金净流量不一致 第一年为 1200 万元 第二年为 1600 万元 第 三年为 2400 万元 问在这两种情况下 各自的内含报酬率并判断两方案是否可行 根据 1 的情况 知道投资额在初始点一次投入 且每年的现金流量相等 都等于 1600 万元 所以应该直接按照年金法计算 则 NPV 1600 P A I 3 4000 由于内含报酬率是使投资项目净现值等于零时的折现率 所以 令 NPV 0 则 1600 P A I 3 4000 0 P A I 3 4000 1600 2 5 查年金现值系数表 确定 2 5 介于 2 5313 对应的折现率 i 为 9 和 2 4869 对应的折现率 I 为 10 可见内含报酬率介于 9 和 10 之间 根据 上述插值法的原理 可设内含报酬率为 I 则根据原公式 i2 i1 i i1 2 1 1 i2 10 i1 9 则这里 表示系数 2 2 4689 1 2 5313 而根据上面的计算得到 等于 2 5 所以可以列出如下式子 10 9 I 9 2 4689 2 5313 2 5 2 5313 解出 I 等于 9 5 因为企业的最低报酬率为 10 内含报酬率小于 10 所以该方案不可行 根据 2 的情况 不能直接用年金法计算 而是要通过试误来计算 这种方法首先应设定一个折现率 i1 再按该折现率将项目计算期的现金流 量折为现值 计算出净现值 NPV1 如果 NPV1 0 说明设定的折现率 i1 小于该 项目的内含报酬率 此时应提高折现率为 i2 并按 i2 重新计算该投资项目净 现值 NPV2 如果 NPV1 0 说明设定的折现率 i1 大于该项目的内含报酬率 此 时应降低折现率为 i2 并按 i2 重新将项目计算期的现金流量折算为现值 计 算净现值 NPV2 经过上述过程 如果此时 NPV2 与 NPV1 的计算结果相反 即出现净现值一 正一负的情况 试误过程即告完成 因为零介于正负之间 能够使投资项目净现 值等于零时的折现率才是内部收益率 此时可以用插值法计算了 但如果此时 NPV2 与 NPV1 的计算结果符号相同 即没有出现净现值一正一负的情况 就继 续重复进行试误工作 直至出现净现值一正一负 本题目先假定内含报酬率为 10 则 NPV1 1200 0 9091 1600 0 8264 2400 0 7513 4000 216 8 万 因为 NPV1 大于 0 所以提高折现率再试 设 I 12 NPV2 1200 0 8929 1600 0 7972 2400 0 7118 4000 55 32 万 仍旧大于 0 则提高折现率 I 14 再试 NPV3 1200 0 8772 16000 7695 2400 0 6750 4000 96 19 万 现在 NPV2 0 而 NPV3 0 注意这里要选用离得最近的两组数据 所 以按照内插法计算内含报酬率 设 i2 14 i1 12 则 2 96 19 1 55 32 0 根据 i2 i1 i i1 2 1 1 有这样的方程式 14 12 i 12 96 19 55 32 0 55 329 解得 I 12 73 因为大于必要报酬率 所以该方案可以选择 二 在差额内含报酬率中的计算 在进行多个项目投资方案的比较时 如果各个方案的投资额不相等或项目 经营期不同 可以用差额内含报酬率法进行选择 差额内含报酬率法 是指在 原始投资额不同的两个方案的差额净现金流量 NCF 的基础上 计算差额内含 报酬率 IRR 并根据结果选择投资项目的方法 当差额内含报酬率指标大于基 准收益率或必要报酬率时 原始投资额大的方案较优 反之 应该选择原始投 资额小的方案 注意这里的差额都是用原始投资数额较大的方案减去原始投资 小的方案 下面简单举个相关的例子 某公司现有两个投资项目 其中 A 项目初始投资为 20000 经营期现金流入分别为 第一年 11800 第二年 13240 第三年没有流入 B 项目初始投资为 9000 经营期现金流入分别为 第一年 1200 第二年 6000 第三年 6000 该公司的必要报酬率是 10 如果项目 A 和 B 是不相容的 则应该选择哪 个方案 根据本题目 初始差额投资为 NCF0 20000 9000 11000 万 各年现金流量的差额为 NCF1 11800 1200 10600 万 NCF2 13240 6000 7240 万 NCF3 0 6000 6000 万 首先用 10 进行测试 则 NPV1 10600 0 9091 7240 0 8264 6000 0 7513 11000 117 796 万 因为 NPV1 0 所以提高折现率再试 设 I 12 则有 NPV2 10600 0 8929 7240 0 7972 6000 0 7118 11000 34 33 万 现在 NPV1 0 而 NPV2 0 注意这里要选用离得最近的两组数据 所以 按照内插法计算内含报酬率 设 i2 12 i1 10 则 2 34 33 1 117 796 0 则根据 i2 i1 i i1 2 1 1 有这样的方程式 12 10 I 12 34 33 117 796 0 117 796 解得 I 11 54 因为大于必要报酬率 所以应该选择原始投资额大的 A 方案 三 在债券的到期收益率中的计算 除了将插值法用于内含报酬率的计算外 在计算债券的到期收益率时也经 常用到 如果是平价发行的每年付息一次的债券 那么其到期收益率等于票面 利率 如果债券的价格高于面值或者低于面值 每年付息一次时 其到期收益 率就不等于票面利率了 具体等于多少 就要根据上述试误法 一步一步测试 计算每年利息 年金现值系数 面值 复利现值系数的结果 如果选择的折现率 使得计算结果大于发行价格 则需要进一步提高折现率 如果低于发行价格 则需要进一步降低折现率 直到一个大于发行价格 一个小于发行价格 就可 以通过内插法计算出等于发行价格的到期收益率 总的来说 这种内插法比较 麻烦 教材上给出了一种简便算法 R I M P N M P 2 这里 I