2011届高三数学一轮复习 解三角形应用举例巩固与练习

巩固巩固 1 2010 年江南十校质检 在三角形 ABC 中 A 120 AB 5 BC 7 则的值为 sinB sinC A B 3 5 5 3 C D 8 5 5 8 解析 选 A 由余弦定理可得 25 AC2 10AC cos120 49 AC 3 由正弦定理得 故选 A sinB sinC AC AB 3 5 2 在 ABC 中 B 45 C 60 c 1 则最短边的边长是 A B 6 3 6 2 C D 1 2 3 2 解析 选 A 由 得 b c sinC b sinB csinB sinC sin45 sin60 6 3 B 角最小 最短边是 b 3 某人在 C 点测得塔顶 A 为南偏西 80 仰角为 45 此人沿 南偏东 40 方向前进 10 米到 D 测得塔顶 A 的仰角为 30 则塔高 为 A 15 米 B 5 米 C 10 米 D 12 米 解析 选 C 如图 设塔高为 h 在 Rt AOC 中 ACO 45 则 OC OA h 在 Rt AOD 中 ADO 30 则 OD h 3 在 OCD 中 OCD 120 CD 10 由余弦定理得 OD2 OC2 CD2 2OC CDcos OCD 即 h 2 h2 102 2h 10 cos120 3 h2 5h 50 0 解得 h 10 或 h 5 舍 4 在 ABC 中 设命题 p 命题 q ABC a sinB b sinC c sinA 是等边三角形 那么命题 p 是命题 q 的 条件 解析 命题 p 由正弦定理 a sinB b sinC c sinA 得 sinA sinB sinC a sinA b sinB c sinC A B C a b c 反之 亦成立 答案 充分必要 5 轮船 A 和轮船 B 在中午 12 时同时 离开海港 O 两船航行方向的夹角为 120 两船的航行速度分别为 25 n mile h 15 n mile h 则下午 2 时两船之间的距离是 n mile 解析 如图 由题意可得 OA 50 OB 30 而 AB2 OA2 OB2 2OA OBcos120 502 302 2 50 30 1 2 2500 900 1500 4900 AB 70 答案 70 6 2009 年高考宁夏海南卷 如图 为了解某海域海底构造 在 海平面内一条直线上的 A B C 三点进行测量 已知 AB 50 m BC 120 m 于 A 处测得水深 AD 80 m 于 B 处测得水深 BE 200 m 于 C 处测得水深 CF 110 m 求 DEF 的余弦值 解 如图作 DM AC 交 BE 于 N 交 CF 于 M 解 如图作 DM AC 交 BE 于 N 交 CF 于 M DF 10 m MF2 DM2302 1702298 DE 130 m DN2 EN2502 1202 EF 150 m BE FC 2 BC2902 1202 在 DEF 中 由余弦定理的变形公式 得 cos DEF DE2 EF2 DF2 2DE EF 1302 1502 102 298 2 130 150 16 65 练习 1 如果在测量中 某渠道斜坡的坡度为 设 为坡角 那么 3 4 cos 等于 A B 3 5 4 5 C D 3 4 4 3 解析 选 B 因 tan 所以 cos 3 4 4 5 2 在 ABC 中 角 A B 均为锐角 且 cosA sinB 则 ABC 的形状是 A 直角三角形 B 锐角三角形 C 钝角三角形 D 等腰三角形 解析 选 C cosA sin A sinB A B 都是锐角 则 2 2 A B A B 2 2 2 3 如图 若 Rt ABC 的斜边 AB 2 内切 圆的半径为 r 则 r 的最大值为 A B 1 2 C D 1 2 22 解析 选 D r 1 a b c 2 a b 2 4 a2 b2 a b 2 2 a b 2 8 a b 2 r 1 故选 D 22 4 一船向正北航行 看见正西方向有相距 10 海里的两个灯塔 恰好与它在一条直线上 继续航行半小时后 看见一灯塔在船的南 偏西 60 另一灯塔在船的南偏西 75 则这艘船的速度是每小时 A 5 海里 B 5海里 3 C 10 海里 D 10海里 3 解析 选 C 如图 依题意有 BAC 60 BAD 75 所以 CAD CDA 15 从而 CD CA 10 在直角三角形 ABC 中 得 AB 5 于是这艘船的速度是 10 海里 小时 5 0 5 5 如图 当甲船位于 A 处时获悉 在其正东方向相距 20 海里的 B 处有一 艘渔船遇险等待营救 甲船立即前往营 救 同时把消息告知在甲船的南偏西 30 相距 10 海里 C 处的乙船 乙船立 即朝北偏东 角的方向沿直线前往 B 处救援 则 sin 的值等于 A B 21 7 2 2 C D 3 2 5 7 14 解析 选 D 根据题目条件可作图 如图 在 ABC 中 AB 20 AC 10 CAB 120 由余 弦定理有 BC2 AC2 AB2 2AC ABcos CAB 202 102 2 20 10cos120 700 BC 10 再由正弦定理得 7 AB sin ACB BC sin CAB sin ACB ABsin CAB BC 20 sin120 10 7 21 7 cos ACB 2 7 7 所以 sin sin 30 ACB sin30 cos ACB cos30 sin ACB 1 2 2 7 7 3 2 21 7 5 7 14 6 一船自西向东航行 上午 10 时到达灯塔 P 的南偏西 75 距 塔 68 海里的 M 处 下午 2 时到达这座灯塔的东南方向的 N 处 则 这只船航行的速度为 A 海里 时 B 34海里 时 17 6 26 C 海里 时 D 34海里 时 17 2 22 解析 选 A 如图 由题意知 MPN 75 45 120 PNM 45 在 PMN 中 由正弦定理 得 MN sin120 PM sin45 MN 68 34 3 2 2 26 又由 M 到 N 所用时间为 14 10 4 小时 船的航行速度 v 海里 时 34 6 4 17 2 6 7 如图 AA1与 BB1相交于点 O AB A1B1且 AB A1B1 若 1 2 AOB 的外接圆的直径为 1 则 A1OB1的外接圆的直径为 解析 在 AOB 中 由正弦定理得 1 sin AOB AB 在 A1OB1中 由正弦定理得 2R AB sin AOB 2 A1B1 sin A1OB1 A1B1 AB 答案 2 8 如图 在四边形 ABCD 中 已知 AD CD AD 10 AB 14 BDA 60 BCD 135 则 BC 的长为 解析 在 ABD 中 设 BD x 则 BA2 BD2 AD2 2BD AD cos BDA 即 142 x2 102 2 10 x cos60 整理得 x2 10 x 96 0 解之得 x1 16 x2 6 舍去 在 BCD 中 由正弦定理 BC sin CDB BD sin BCD BC sin30 8 16 sin135 2 答案 8 2 9 一船以每小时 15 km 的速度向 东航行 船在 A 处看到一灯塔M 在北 偏东 60 方向 行驶 4 h 后 船到达 B 处 看到这个灯塔在北偏东 15 方向 这时船与灯塔的距离为 km 解析 如图 依题意有 AB 15 4 60 MAB 30 AMB 45 在 AMB 中 由正弦定理得 60 sin45 BM sin30 解得 BM 30 km 2 答案 30 2 10 2009 年高考山东卷 已知函数 f x 2sinxcos2 cosxsin sinx 0 在 x 处取最小值 2 1 求 的值 2 在 ABC 中 a b c 分别是角 A B C 的对边 已知 a 1 b f A 求角 C 2 3 2 解 1 f x 2sinx cosxsin sinx 1 cos 2 sinx sinxcos cosxsin sinx sinxcos cosxsin sin x 因为 f x 在 x 时取最小值 所以 sin 1 故 sin 1 又 0 a 所以 B 或 B 4 3 4 当 B 时 C A B 4 6 4 7 12 当 B 时 C A B 3 4 6 3 4 12 综上所述 C 或 C 7 12 12 11 某观测站在城 A 南偏西 20 方向的 C 处 由城 A 出发的一条公路 走向是南偏 东 40 在 C 处测得公路距 C 31 千米的 B 处有一人正沿公路向城 A 走去 走了 20 千米后到达 D 处 此时 CD 间的距离为 21 千米 问 这人还要走多少千米可到达城 A 解 如图所示 设 ACD CDB 在 CBD 中 由余弦定 理得 cos BD2 CD2 CB2 2BD CD 202 212 312 2 20 21 1 7 sin 4 3 7 而 sin sin 60 sin cos60 sin60 cos 4 3 7 1 2 3 2 1 7 5 3 14 在 ACD 中 21 sin60 AD sin AD 15 千米 21 sin sin60 所以这人再走 15 千米才可到城 A 12 如图所示 甲船由 A 岛出发向北偏 东 45 的方向作匀速直线航行 速度为 15 海里 小时 在甲船从 A 岛出发的同时 乙 2 船从 A 岛正南 40 海里处的 B 岛出发 朝北偏 东 tan 的方向作匀速直线航行 速度为 1 2 10海里 小时 5 1 求出发后 3 小时两船相距多少海里 2 求两船出发后多长时间距离最近 最近距离为多少海里 3 两船在航行中能否相遇 试说明理由 解 以 A 为原点 BA 所在直线为 y 轴 建立如图所示的平面直角坐标系 设在 t 时刻甲 乙两船分别在 P x1 y1 Q x2 y2 处 则Error 由 tan 可得 1 2 cos sin 2 5 5 5 5 故Error 1 令 t 3 P Q 两点的坐标分别为 45 45 30 20 PQ 5 4