2011全国中考数学真题解析120考点汇编 一次函数与反比例函数的综合应用

用心 爱心 专心1 2012 2012 年年 1 1 月最新最细 月最新最细 20112011 全国中考真题解析全国中考真题解析 120120 考点汇编考点汇编 一一 次函数与反比例函数的综合应用次函数与反比例函数的综合应用 一 选择题 1 2011 四川凉山 12 4 分 二次函数 2 yaxbxc 的图象如图所示 反比列函数 a y x 与正比列函数 ybx 在同一坐标系内的大致图象是 第 12 题 O x y O y x A O y x B O y x D O y x C 考点 二次函数的图象 正比例函数的图象 反比例函数的图象 专题 数形结合 分析 由已知二次函数 y ax2 bx c的图象开口方向可以知道a的取值范围 对称 轴可以确定b的取值范围 然后就可以确定反比例函数 x a y 与正比例函数y bx 在同一坐标系内的大致图象 解答 解 二次函数 y ax2 bx c的图象开口方向向下 a 0 对称轴在 y 轴的左边 x a b 2 0 b 0 反比例函数 x a y 的图象在第二四象限 正比例函数y bx的图象在第二四象限 故选 B 点评 此题主要考查了从图象上把握有用的条件 准确选择数量关系解得a的值 简 单的图象最少能反映出 2 个条件 开口向下a 0 对称轴的位置即可确定b的值 2 2011 青海 一次函数 y 2x 1 和反比例函数 y 的大致图象是 A B 用心 爱心 专心2 C D 考点 反比例函数的图象 一次函数的图象 分析 根据一次函数的性质 判断出直线经过的象限 再根据反比例函数的性质 判断出 反比例函数所在的象限即可 解答 解 根据题意 一次函数 y 2x 1 的图象过一 二 四象限 反比例函数 y 过一 三象限 故选 D 点评 此题主要考查了一次函数的图象及反比例函数的图象 重点是注意 y k1x b 中 k1 b 及 y 中 k2的取值 3 2011 山东青岛 8 3 分 已知一次函数 y1 kx b 与反比例函数 y2 k x 在同一直角坐标 系中的图象如图所示 则当 y1 y2时 x 的取值范围是 A x 1 或 0 x 3B 1 x 0 或 x 3 C 1 x 0D x 3 考点 反比例函数与一次函数的交点问题 专题 数形结合 分析 根据图象知 两个函数的图象的交点是 1 3 3 1 由图象可以直接 写出当 y1 y2时所对应的 x 的取值范围 解答 解 根据图象知 一次函数 y1 kx b 与反比例函数 y2 k x 的交点是 1 3 3 1 当 y1 y2时 1 x 0 或 x 3 故选 B 点评 本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题 解答此题时 采用了 数形结 合 的数学思想 2011 杭州 6 3 分 如图 函数y1 x 1 和函数 y2 2x的图象相交于点M 2 m N 1 n 若y1 y2 则x的取值范围是 用心 爱心 专心3 A x 1 或 0 x 2 B x 1 或x 2 C 1 x 0 或 0 x 2 D 1 x 0 或x 2 考点 反比例函数与一次函数的交点问题 专题 计算题 分析 根据反比例函数的自变量取值范围 y1与y2图象的交点横坐标 可确定y1 y2 时 x的取值范围 解答 解 函数y1 x 1 和函数 y2 2x的图象相交于点M 2 m N 1 n 当y1 y2时 1 x 0 或x 2 故选 D 点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题的运用 关键是根据图象的交点 坐标 两个函数图象的位置确定自变量的取值范围 4 2011 浙江台州 9 4 分 如图 双曲线y m x 与直线y kx b交于点M N 并且点M 的坐标为 1 3 点N的纵坐标为 1 根据图象信息可得关于x的方程 m x kx b的解 为 A 3 1 B 3 3 C 1 1 D 1 3 考点 反比例函数与一次函数的交点问题 分析 首先把M点代入y m x 中 求出反比例函数解析式 再利用反比例函数解析式求出 N点坐标 求关于x的方程 m x kx b的解就是看一次函数与反比例函数图象交点横坐标就 是x的值 解答 解 M 1 3 在反比例函数图象上 m 1 3 3 反比例函数解析式为 y 3 x N也在反比例函数图象上 点N的纵坐标为 1 x 3 N 3 1 关于x的方程 m x kx b的解为 3 1 故选 A 点评 此题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题 关键掌握好利用图象求方程的解 时 就是看两函数图象的交点横坐标 5 2011 丹东 6 3 分 反比例函数 y x k 的图象如图所示 则一次函数 y kx k 的图象 用心 爱心 专心4 大致是 O y xx y OO y xx y OO y x A B C D 考点 反比例函数的图象 一次函数的图象 专题 数形结合 分析 根据反比例函数 y x k 的图象所在的象限确定 k 0 然后根据 k 0 确定一次函数 y kx k 的图象的单调性及与 y 轴的交点的大体位置 从而确定该一次函数图象所经过的象 限 解答 解 根据图示知 反比例函数 y x k 的图象位于第一 三象限 k 0 一次函数 y kx k 的图象与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴 且该一次函数在定义域内是增函 数 一次函数 y kx k 的图象经过第一 二 三象限 故选 D 点评 本题考查了反比例函数 一次函数的图象 反比例函数 y x k 的图象是双曲线 当 k 0 时 它的两个分支分别位于第一 三象限 当 k 0 时 它的两个分支分别位于第二 四象限 6 2011 宜昌 15 3 分 如图 直线 y x 2 与双曲线 y 3m x 在第二象限有两个交点 那么 m 的取值范围在数轴上表示为 考点 反比例函数与一次函数的交点问题 在数轴上表示不等式的解集 A B 用心 爱心 专心5 C D 分析 因为直线 y x 2 与双曲线 y 3m x 在第二象限有两个交点 联立两方程求出 m 的取 值范围即可 然后在数轴上表示出 m 的取值范围 解答 解 根据题意知 直线 y x 2 与双曲线 y 3m x 在第二象限有两个交点 即 x 2 3m x 有两根 即 x2 2x 3 m 0 有两解 4 4 3 m 0 解得 m 2 双曲线在二 四象限 m 3 0 m 3 m 的取值范围为 2 m 3 故在数轴上表示为 故选 B 点评 本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题和在数轴上表示不等式的解集的知 识点 解答本题的关键是联立两方程解得 m 的取值范围 7 2011 贵州毕节 9 3 分 一次函数 0 kkkxy和反比例函数 0 k x k y在 同一直角坐标系中的图象大致是 考点 反比例函数的图象 一次函数的图象 专题 探究型 分析 分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对各选项进行逐一分析即可 解答 解 A 由反比例函数的图象在一 三象限可知 k 0 由一次函数的图象过二 四象限可知 k 0 两结论相矛盾 故本选项错误 B 由反比例函数的图象在二 四象限 可知 k 0 由一次函数的图象与 y 轴交点在 y 轴的正半轴可知 k 0 两结论相矛盾 故本 选项错误 C 由反比例函数的图象在二 四象限可知 k 0 由一次函数的图象过二 三 四象限可知 k 0 两结论一致 故本选项正确 D 由反比例函数的图象在一 三象限可 知 k 0 由一次函数的图象与 y 轴交点在 y 轴的负半轴可知 k 0 两结论相矛盾 故本选 项错误 故选 C 用心 爱心 专心6 点评 本题考查的是一次函数与反比例函数图象的特点 熟知一次函数与反比例函数 的性质是解答此题的关键 8 2011 贵阳 10 分 如图 反比例函数 y1 x k1 和正比例函数 y2 k2x 的图象交于 A 1 3 B 1 3 两点 若 x k1 k2x 则 x 的取值范围是 A 1 x 0B 1 x 1 C x 1 或 0 x 1D 1 x 0 或 x 1 考点 反比例函数与一次函数的交点问题 专题 数形结合 分析 根据题意知反比例函数和正比例函数相交于 A B 两点 若要 x k1 k2x 只须 y1 y2 在图象上找到反比例函数图象在正比例函数图象上方 x 的取值范围 解答 解 根据题意知 若 x k1 k2x 则只须 y1 y2 又知反比例函数和正比例函数相交于 A B 两点 从图象上可以看出当 x 1 或 0 x 1 时 y1 y2 故选 C 点评 本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式和反比例函数 y x k 中 k 的几何意义 这里体现了数形结合的思想 做此类题一定要正确理解 k 的几何意 义 9 2011 广东湛江 12 3 分 在同一坐标系中 正比例函数 y x 与反比例函数 2 y x 的图 象大致是 用心 爱心 专心7 A B C D 考点 反比例函数的图象 一次函数的图象 分析 根据正比例函数与反比例函数图象的性质进行选择即可 解答 解 正比例函数 y x 中 k 1 0 此图象过一 三象限 反比例函数 2 y x 中 k 2 0 此函数图象在一 三象限 故选 B 点评 此题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质 要掌握它们的性质 才能灵活解题 10 2011 广西百色 10 4 分 二次函数的图象如图 则反比例函数y x a 与一次函数 y bx c的图象在同一坐标系内的图象大致是 A B C D 考点 二次函数的图象 一次函数的图象 反比例函数的图象 分析 根据二次函数的图象 推出a 0 c 0 顶点坐标都为正值 即可推出 b 0 a 0 根据反比例函数和一次函数的图形的性质推出反比例函数在第一 三象限 一次函数经过第一 三 四象限 所以图象大致为 B 项中的图象 解答 解 二次函数图象的开口向下 a 0 顶点坐标都为正值 用心 爱心 专心8 a b 2 0 b 0 a 0 反比例函数在第一 三象限 一次函数经过第一 三 四象限 故选 B 点评 本题主要考查反比例函数的图象的性质 二次函数图象的性质 反比例函数图象的 性质 关键在于通过二次函数图象推出a b的取值范围 11 2011 恩施州 5 3 分 一次函数 y1 k1x b 和反比例函数 y2 x k2 k1 k2 0 的图象如 图所示 若 y1 y2 则 x 的取值范围是 A 2 x 0 或 x 1B 2 x 1 C x 2 或 x 1D x 2 或 0 x 1 考点 反比例函数与一次函数的交点问题 专题 数形结合 分析 根据图象可以知道一次函数 y1 k1x b 和反比例函数 y2 x k2 k1 k2 0 的图象的交 点的横坐标 若 y1 y2 则根据图象可以确定 x 的取值范围 解答 解 如图 依题意得一次函数 y1 k1x b 和反比例函数 y2 x k2 k1 k2 0 的图象的 交点的横坐标分别为 x 2 或 x 1 若 y1 y2 则 y1的图象在 y2的上面 x 的取值范围是 2 x 0 或 x 1 故选 A 点评 此题主要考查了反比例函数与一次函数的图象的交点问题 解题的关键是利用数形 结合的方法解决问题 12 2011 年山东省东营市 10 3 分 如图 直线 l 和双曲线 0 k yk x 交于 A B 两 点 P 是线段 AB 上的点 不与 A B 重合 过点 A B P 分别向 x 轴作垂线 垂足分别 为 C D E 连接 OA OB 0P 设 AOC 的面积为 S1 BOD 的面积为 S2 POE 的面积为 S3 则 用心 爱心 专心9 A S1 S2 S3 B S1 S2 S3 C S1 S2 S3 D S1 S2 S3 考点 反比例函数系数 k 的几何意义 反比例函数与一次函数的交点问题 专题 几何图形问题 分析 根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段 坐标轴 向坐标轴作垂线所围成的直 角三角形面积 S 的关系即 S 1 2 k 解答 解 结合题意可得 AB 都在双曲线 y k x 上 则有 S1 S2 而 AB 之间 直线在双曲线上方 故 S1 S2 S3 故选 D 点评 本题主要考查了反比例函数 y k x 中 k 的几何意义 即过双曲线上任意一点引 x 轴 y 轴垂线 所得矩形面积为 k 是经常考查的一个知识点 这里体现了数形结合的思想 做此类题一定要正确理解 k 的几何意义 13 2011 陕西 8 3 分 如图 过y轴正半轴上的任意一点P 作x轴的平行线 分别 与反比例函数 x y x y 24 和的图象交于点A和点B 若点C是x轴上任意一点 连接 AC BC 则 ABC的面积为 A 3 B 4 C 5 D 6 考点 反比例函数综合题 专题 计算题 分析 先设 P 0 b 由直线 APB x 轴 则 A B 两点的纵坐标都为 b 而 A B 分别在 反比例函数 x y x y 24 和的图象上 可得到 A 点坐标为 b B 点坐标为 b 从而求出 AB 的长 然后根据三角形的面积公式计算即可 用心 爱心 专心10 解答 解 设 P 0 b 直线 APB x 轴 A B 两点的纵坐标都为 b 而点 A 在反比 例函数 y 的图象上 当 y b x 即 A 点坐标为 b 又 点 B 在 反比例函数 y 的图象上 当 y b x 即 B 点坐标为 b AB S ABC AB OP b 3 故选 A 点评 本题考查了点在函数图象上 点的横纵坐标满足函数图象的解析式 也考查了与坐 标轴平行的直线上的点的坐标特点以及三角形的面积公式 二 填空题 1 2011 江苏南京 15 2 分 设函数y 2 x 与y x 1 的图象的交点坐标为 a B 则 11 ab 的值为 1 2 考点 反比例函数与一次函数的交点问题 专题 计算题 分析 把交点坐标代入 2 个函数后 得到 2 个方程 求得a B的解 整理求得 的值 即可 解答 解 函数y 2 x 与y x 1 的图象的交点坐标为 a B B 2 a B a 1 2 a a 1 a2 a 2 0 a 2 a 1 0 解得a 2 或a 1 B 1 或B 2 则 11 ab 的值为 1 2 故答案为 1 2 点评 考查函数的交点问题 得到 2 个方程判断出a B的值是解决本题的关键 2 2011 江苏苏州 18 3 分 如图 已知点 A 的坐标为 3 3 AB 丄 x 轴 垂足 为 B 连接 OA 反比例函数 k y x k 0 的图象与线段 OA AB 分别交于点 C D 若 AB 3BD 以点 C 为圆心 CA 的 5 4倍的长为半径作圆 则该圆与 x 轴的位置关系是 填 相离 相切 或 相交 用心 爱心 专心11 考点 直线与圆的位置关系 反比例函数图象上点的坐标特征 分析 根据 D 点的坐标为 3 1 得出反比例函数 k y x 解析式 再根据 A 点坐标得 出 AO 直线解析式 进而得出两图象的交点坐标 进而得出 AC 的长度 再利用直线与圆的 位置关系得出答案 解答 解 已知点 A 的坐标为 3 3 AB 3BD AB 3 BD 1 D 点的坐标为 3 1 反比例函数 k y x 解析式为 y 3 x AO 直线解析式为 y kx 3 3 k k 3 y 3 x 直线 y 3 x 与反比例函数 y 3 x 的交点坐标为 x 1 C 点的横坐标为 1 用心 爱心 专心12 纵坐标为 3 CO 2 AC 2 3 2 CA 的 5 4倍 5 31 2 CE 5 31 2 3 35 3 22 0 该圆与 x 轴的位置关系是相交 故答案为 相交 点评 此题主要考查了直线与圆的位置关系以及反比例函数的性质以及直线与反比例函数 交点坐标的求法 综合性较强得出 AC 的长是解决问题的关键 3 2011 湖北荆州 16 3 分 如图 双曲线 y 2x x 0 经过四边形 OABC 的顶点 A C ABC 90 OC 平分 OA 与 x 轴正半轴的夹角 AB x 轴 将 ABC 沿 AC 翻折后得 AB C B 点落在 OA 上 则四边形 OABC 的面积是 2 考点 反比例函数综合题 翻折变换 折叠问题 专题 计算题 分析 延长 BC 交 x 轴于点 D 设点 C x y AB a 由角平分线的性质得 CD CB 则 OCD OCB 再由翻折的性质得 BC B C 根据反比例函数的性质 可得出 S OCD 12xy 则 S OCB 12xy 由 AB x 轴 得点 A x a 2y 由题意得 2y x a 2 从而 得出三角形 ABC 的面积等于 12ay 即可得出答案 解答 解 延长 BC 交 x 轴于点 D 设点 C x y AB a OC 平分 OA 与 x 轴正半轴的夹角 CD CB OCD OCB 再由翻折的性质得 BC B C 双曲线 y 2x x 0 经过四边形 OABC 的顶点 A C 用心 爱心 专心13 S OCD 12xy 1 S OCB 12xy 1 AB x 轴 点 A x a 2y 2y x a 2 ay 1 S ABC 12ay 12 SOABC S OCB S ABC S ABC 1 12 12 2 故答案为 2 点评 本题是一道反比例函数的综合题 考查了翻折的性质 反比例函数的性质以及角平 分线的性质 是中考压轴题 难度偏大 4 2011 广西崇左 8 2 分 若一次函数的图象经过反比例函数 x y 4 图象上的两点 1 m 和 n 2 则这个一次函数的解析式是 考点 待定系数法求一次函数解析式 反比例函数图象上点的坐标特征 分析 一次函数的图象经过反比例函数 x y 4 图象上的两点 1 m 和 n 2 先代入求出m n的值 再用待定系数法可求出函数关系式 解答 解 1 m 和 n 2 在函数 x y 4 图象上 因而满足函数解析式 代入就得到m 4 n 2 因而点的坐标是 1 4 和 2 2 设直线的解析式是y kx b 根据题意得到 22 4 bk bk 解得 3 14 3 2 b k 因而一次函数的解析式是 3 14 3 2 xy 点评 本题主要考查了函数解析式与图象的关系 函数的图象上的点满足函数解析式 反之 满足解析式的点一定在函数的图象上 5 2011 湖北黄石 15 3 分 若一次函数 y kx 1 的图象与反比例函数 x y 1 的图象没有 公共点 则实数 k 的取值范围是0 4 1 k 考点 反比例函数与一次函数的交点问题 专题 计算题 数形结合 分析 因为反比例函数 x y 1 的图象在第一 三象限 故一次函数 y kx b 中 k 0 解方 用心 爱心 专心14 程组 x y bkxy 1 求出当直线与双曲线只有一个交点时 k 的值 再确定无公共点时 k 的取 值范围 解答 解 由反比例函数的性质可知 x y 1 的图象在第一 三象限 当一次函数 y kx 1 与反比例函数图象无交点时 k 0 解方程组 x y bkxy 1 得 kx2 x 1 0 当两函数图象只有一个交点时 0 即 1 4k 0 解得 4 1 k 两函数图象无公共点时 0 4 1 k 故答案为 0 4 1 k 点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题 关键是根据形数结合 判断无交点 时 图象的位置与系数的关系 找出只有一个交点时 k 的值 再确定 k 的取值范围 6 2011 成都 25 4 分 在平面直角坐标系xOy中 已知反比例函数 x k y 2 0 k 满 足 当x 0 时 y随x的增大而减小 若该反比例函数的图象与直线kxy3 都经 过点P 且7 OP 则实数 3 7 k 考点 反比例函数与一次函数的交点问题 专题 计算题 分析 由反比例函数y x k2 当x 0 时 y随x的增大而减小 可判断k 0 设 P x y 则P点坐标满足反比例函数与一次函数解析式 即xy 2k x y 3k 又 OP2 x2 y2 将已知条件代入 列方程求解 解答 解 反比例函数y x k2 当x 0 时 y随x的增大而减小 k 0 设P x y 则xy 2k x y 3k 又 OP2 x2 y2 x2 y2 7 即 x y 2 2xy 7 3k 2 4k 7 解得k 3 7 或 1 而k 0 k 3 7 用心 爱心 专心15 故答案为 3 7 点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题 关键是根据交点坐标满足反比例函 数 一次函数解析式 列方程组求解 7 2011 包头 18 3 分 如图 已知 A 1 m 与 B 2 m 33 是反比例函数 y 的图象上的两个点 点 C 是直线 AB 与 x 轴的交点 则点 C 的坐标是 1 0 A B C O x y 考点 反比例函数与一次函数的交点问题 专题 计算题 分析 根据反比例函数的性质 横纵坐标的乘积为定值 可得出关于 k m 的两个方程 即 可得出反比例函数的解析式 从而得出点 C 的坐标 解答 解 A 1 m 与 B 2 m 33 是反比例函数 y 的图象上的两个点 km km 33 2 解得 k 23 m 23 A 1 23 与 B 2 3 设直线 AB 的解析式为 y ax b 32 32 ba ba 3 3 b a 直线 AB 的解析式为 y 3x 3 令 y 0 解得 x 1 点 C 的坐标是 1 0 故答案为 1 0 点评 本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题 能够熟练运用待定系数法求得函数 的解析式 求一次函数和 x 轴的交点坐标 8 2011 浙江宁波 18 3 正方形的 A1B1P1P2顶点 P1 P2在反比例函数 y x 2 x 0 的图象上 顶点 A1 B1分别在 x 轴 y 轴的正半轴上 再在其右侧作正方形 P2P3A2B2 顶点 用心 爱心 专心16 P3在反比例函数 y x 2 x 0 的图象上 顶点 A2在 x 轴的正半轴上 则点 P3的坐标为 3 1 3 1 考点 反比例函数综合题 专题 综合题 分析 作 P1 y 轴于 C P2 x 轴于 D P3 x 轴于 E P3 P2D 于 F 设 P1 a a 2 则 CP1 a OC a 2 易得 Rt P1B1C Rt B1A1O Rt A1P2D 则 OB1 P1C A1D a 所以 OA1 B1C P2D a 2 a 则 P2的坐标为 a 2 a 2 a 然后把 P2的坐标代入反比例函数 y x 2 得到 a 的方程 解方程求出 a 得到 P2的坐标 设 P3的坐标为 b b 2 易得 Rt P2P3F Rt A2P3E 则 P3E P3F DE b 2 通过 OE OD DE 2 b 2 b 这样得到关于 b 的方程 解方程求出 b 得到 P3的坐标 解答 解 作 P1 y 轴于 C P2 x 轴于 D P3 x 轴于 E P3 P2D 于 F 如图 设 P1 a a 2 则 CP1 a OC a 2 四边形 A1B1P1P2为正方形 Rt P1B1C Rt B1A1O Rt A1P2D OB1 P1C A1D a OA1 B1C P2D a 2 a OD a a 2 a a 2 P2的坐标为 a 2 a 2 a 把 P2的坐标代入 y x 2 x 0 得到 a 2 a a 2 2 解得 a 1 舍 或 a 1 P2 2 1 用心 爱心 专心17 设 P3的坐标为 b b 2 又 四边形 P2P3A2B2为正方形 Rt P2P3F Rt A2P3E P3E P3F DE b 2 OE OD DE 2 b 2 2 b 2 b 解得 b 1 3 舍 b 1 3 b 2 31 2 3 1 点 P3的坐标为 3 1 3 1 故答案为 3 1 3 1 点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点为横纵坐标之积为定值 也考查了正方 形的性质和三角形全等的判定与性质以及解分式方程的方法 9 2011 浙江衢州 15 4 分 在直角坐标系中 有如图所示的 Rt ABO AB x轴于点 B 斜边AO 10 sin AOB 3 5 反比例函数 0 k yk x 的图象经过AO的中点C 且与AB 交于点D 则点D的坐标为 8 3 2 考点 反比例函数综合题 专题 综合题 分析 由斜边AO 10 sin AOB 3 5 根据三角函数的定义可得到AB 6 再由勾股定理得到 OB 8 即得到A点坐标为 8 6 从而得到AO的中点C的坐标 代入反比例函数解析式 确定 k 然后令x 8 即可得到D点的纵坐标 解答 解 斜边AO 10 sin AOB 3 5 sin AOB 3 105 ABAB OA AB 6 OB 22 106 8 A点坐标为 8 6 而C点为OA的中点 C点坐标为 4 3 又 反比例函数 0 k yk x 的图象经过点C k 4 3 12 即反比例函数的解析式为y 12 x D点在反比例函数的图象上 且它的横坐标为 8 用心 爱心 专心18 当x 8 y 12 8 3 2 所以D点坐标为 8 3 2 故答案为 8 3 2 点评 本题考查了用待定系数法确定反比例的解析式 也考查了正弦的定义和勾股定理以 及求线段中点坐标 10 2011 浙江丽水 16 4 分 如图 将一块直角三角板OAB放在平面直角坐标系中 B 2 0 AOB 60 点A在第一象限 过点A的双曲线为 k y x 在x轴上取一点 P 过点P作直线OA的垂线 l 以直线 l 为对称轴 线段OB经轴对称变换后的像是O B 1 当点O 与点A重合时 点P的坐标是 4 0 2 设P t 0 当O B 与双曲线有交点时 t的取值范围是 4 t 2 5或 2 5 t 4 考点 反比例函数综合题 解二元一次方程组 根的判别式 解一元一次不等式 待定系 数法求一次函数解析式 待定系数法求反比例函数解析式 三角形内角和定理 含 30 度角 的直角三角形 勾股定理 专题 计算题 分析 1 当点O 与点A重合时 即点O与点A重合 进一步解直角三角形AOB 利用轴 对称的现在解答即可 2 求出 MP O 30 得到OM 1 2 t OO t 过O 作O N X 轴于N OO N 30 求出O 的坐标 同法可求B 的坐标 设直线O B 的解析式是y kx b 代入得得到方 程组 31 22 2 32 3 2 ttkb t tkb 求出方程组的解即可得到解析式y 3 2 3 2 t x 3 4 t2 3 3 2 t 求出反比例函数的解析式y 4 3 x 代入上式整理得出方程 23t 8 3 x2 3t2 63t x 43 0 求出方程的判别式b2 4ac 0 求出不等式的解 用心 爱心 专心19 集即可 解答 解 1 当点O 与点A重合时 AOB 60 过点P作直线OA的垂线 l 以直线 l 为对称轴 线段OB经轴对称变换后 的像是O B AP OP AOP 是等边三角形 B 2 0 BO BP 2 点P的坐标是 4 0 故答案为 4 0 2 解 AOB 60 P MO 90 MP O 30 OM 1 2 t OO t 过O 作O N X 轴于N OO N 30 ON 1 2 t NO 3 2 t O 1 2 t 3 2 t 同法可求B 的坐标是 3t 23 设直线O B 的解析式是y kx b 代入得 31 22 2 32 3 2 ttkb t tkb 解得 2 3 2 3 2 33 3 42 kt btt 用心 爱心 专心20 y x t2 t ABO 90 AOB 60 OB 2 OA 4 AB 23 A 2 23 代入反比例函数的解析式得 k 43 y 4 3 x 代入上式整理得 23t 83 x2 3t2 63t x 43 0 b2 4ac 22 36 3 t 4 23t 83 43 0 解得 t 25t 25 当点O 与点A重合时 点P的坐标是 4 0 4 t 25或 25 t 4 故答案为 4 t 25或 25 t 4 点评 本题主要考查对用待定系数法求一次函数 反比例函数的解析式 勾股定理 解二 元一次方程组 解不等式 含 30 度角的直角三角形的性质 三角形的内角和定理 根的判 别式等知识点的理解和掌握 能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键 此题是一个 拔高的题目 有一定的难度 三 解答题 1 2011 内蒙古呼和浩特 21 8 在同一直角坐标系中反比例函数 m y x 的图象与一次 函数 y kx b 的图象相交 且其中一个交点 A 的坐标为 2 3 若一次函数的图象又与 x 轴相交于点 B 且 AOB 的面积为 6 点 O 为坐标原点 求一次函数与反比例函数的解 析式 考点 反比例函数与一次函数的交点问题 专题 综合题 分析 将点 A 2 3 代入 m y x 中得 得到 m 2 3 6 即得到反比例函数的解析式 由 AOB 的面积为 6 求出 OB 得到 B 点坐标为 4 0 或 4 0 然后分类讨论 一次函数 y kx b 过 2 3 和 4 0 或一次函数 y kx b 过 2 3 和 4 0 利 用待定系数法求出一次函数的解析式 解答 解 将点 A 2 3 代入 m y x 中得 m 2 3 6 m 6 y 6 x 又 AOB 的面积为 6 1 2 OB 3 6 OB 4 B 点坐标为 4 0 或 4 0 当 B 4 0 时 点 A 2 3 是两函数的交点 40 23 kb kb 用心 爱心 专心21 解得 k 1 2 b 2 y 1 2 x 2 当 B 4 0 时 点 A 2 3 是两函数的交点 40 23 kb kb 解得 k 3 2 b 6 y 3 2 x 6 所以一次函数的解析式为 y 1 2 x 2 或 y 3 2 x 6 反比例函数的解析式为 y 6 x 点评 本题考查了利用待定系数法求函数的解析式 也考查了分类讨论思想的运用以 及三角形的面积公式 2 2011 四川广安 24 8 分 如图 6 所示 直线l1的方程为y x l 直线l2的方 程为y x 5 且两直线相交于点P 过点P的双曲线 k y x 与直线l1的另一交点为 Q 3 M 1 求双曲线的解析式 2 根据图象直接写出不等式 k x x l 的解集 考点 反比例函数的解析式 函数图象的交点 一次函数与反比例函数的综合 利用 图象解不等式 专题 一次函数与反比例函数的综合 分析 1 要确定双曲线 k y x 的解析式 关键是确定图象上点P的坐标 而点P是 直线1yx 与5yx 的交点 建立方程组即可求得交点坐标 2 要求不等式 k x x l 的解集 表现在图象上就是确定当x在何范围内取值时 双曲线 k y x 的图象在直线1yx 的上方 解答 1 依题意 1 5 yx yx 解得 2 3 x y P 2 3 把P 2 3 代入 k y x 得3 6 2 k k 双曲线的解析式为 y 6 x 2 2 x 0 或x 3 用心 爱心 专心22 点评 1 确定反比例函数 k y x 的解析式 只需确定其图象上一点 00 xy 则 00 kx y 2 利用图象比较反比例函数的值与一次函数的值的大小时 要充分利用数形结合思想 进行分析判断 要注意把反比例函数图象与一次函数图象的交点作为界点进行分析 还应 注意反比例函数中自变量0 x 的性质 3 2011 南通 如图 直线l经过点A 1 0 且与双曲线y m x x 0 交于点 B 2 1 过点P p p 1 p 1 作x轴的平行线分别交曲线y m x x 0 和 y m x x 0 于M N两点 1 求m的值及直线l的解析式 2 若点P在直线y 2 上 求证 PMB PNA 3 是否存在实数p 使得S AMN 4S APM 若存在 请求出所有满足条件的p的值 若不存在 请说明理由 考点 反比例函数综合题 待定系数法求一次函数解析式 相似三角形的判定与性质 专题 计算题 分析 1 将点 B 的坐标代入即可得出 m 的值 设直线 l 的解析式为 y kx b 再把 点 A B 的坐标代入 解方程组求得 k 和 b 即可得出直线 l 的解析式 2 根据点 P 在直线 y 2 上 求出点 P 的坐标 再证明 PMB PNA 即可 3 先假设存在 利用 S AMN 4S AMP 求得 p 的值 看是否符合要求 解 1 点B 2 1 在双曲线y m x 上 1 2 m 得m 2 设直线l的解析式为y kx b 直线l过A 1 0 和B 2 1 0 21 kb kb 解得 1 1 k b 直线l的解析式为y x 1 2 证明 当x p时 y p 1 点P p p 1 p 1 在直线l上 如右图 P p p 1 p 1 在直线y 2 上 p 1 2 解得p 3 P 3 2 PN x轴 P M N的纵坐标都等于 2 把y 2 分别代入双曲线y 2 x 和y 2 x 解答 得M 1 2 N 1 2 3 1 1 1 1 PM MN 即M是PN的中点 同理 B是PA的中点 BM AN PMB PNA 用心 爱心 专心23 3 由于PN x轴 P p p 1 p 1 M N P的纵坐标都是p 1 p 1 把y p 1 分别代入双曲线y 2 x x 0 和y 2 x x 0 得M的横坐标x 2 1p 和N的横坐标x 2 1p 其中p 1 S AMN 4S APM且P M N在同一直线上 4 AMN APM SMN SPM 得 MN 4PM 即 4 1p 4 2 1 p p 见 3 两幅图 整理得 p2 p 3 0 或 p2 p 1 0 解得 p 113 2 或p 15 2 由于p 1 负值舍去 p 113 2 或 15 2 经检验p 113 2 和 15 2 是原题的解 存在实数p 使得S AMN 4S APM p的值为 113 2 或 15 2 点评 本题考查的知识点是反比例函数的综合题 以及用待定系数法求反比例函数和一次 函数的解析式 相似三角形的判定和性质 4 2011 宁夏 24 8 分 在 Rt ABC 中 C 90 A 30 BC 2 若将此直角三 角形的一条直角边 BC 或 AC 与 x 轴重合 使点 A 或点 B 刚好在反比例函数 x y 6 x 0 的图象上时 设 ABC 在第一象限部分的面积分别记做 S1 S2 如图 1 图 2 所示 D 是斜 边与 y 轴的交点 通过计算比较 S1 S2的大小 用心 爱心 专心24 考点 反比例函数综合题 专题 计算题 分析 根据反比例函数的性质 可以得到点 A 和点 B 的坐标 分别计算出 S1 S2的值 然 后比较它们的大小 解答 解 如图 1 C 90 A 30 BC 2 AC 23 点 A 在 x y 6 上 A 3 23 即 OC 3 OB 2 3 OD 23 3 S1 2 1 OD AC OC 2 1 23 3 23 3 6 2 33 如图 2 BC 2 AC 23 B 3 2 AO 23 3 OD 2 3 S2 2 1 OD BC OC 用心 爱心 专心25 2 1 2 3 2 3 6 2 33 所以 S1 S2 点评 本题考查的是反比例函数的综合题 根据反比例函数的性质 结合图形计算面积 5 2011 山西 20 7 分 如图 在平面直角坐标系中 一次函数y k x b的图象分别 交x轴 y轴于A B两点 与反比例函数 x m y 的图象交于C D两点 DE x轴于 点E 已知C点的坐标是 6 1 DE 3 1 求反比例函数与一次函数的解析式 2 根据图象直接回答 当x为何值时 一次函数的值大于反比例函数的值 考点 一次函数 反比例函数 专题 一次函数 反比例函数 分析 1 点C 6 1 在反比例函数 m y x 的图象上 代入 计算得 m 6 反比例函数的解析式为 6 y x 点D也在反比例函数 x y 6 的图象上 且DE 3 代入得 x 6 3 计算得x 2 点D的坐标为 2 3 然后用待定 系数法可得一次函数的解析式为 1 2 2 yx 用图像法得 当x 2 或 0 x 6 时 一次函数的值大于反比例函数的值 解答 1 点C 6 1 在反比例函数 x m y 的图象上 所以1 6 m m 6 反比例函数的解析式为 x y 6 点D在反比例函数 x y 6 的图象上 且DE 3 x 6 3 x 2 点D的坐标为 2 3 C D两点在直线y k x b上 所以 32 16 bk bk 解得 2 2 1 b k 所以一次函数的解析式为2 2 1 xy 用心 爱心 专心26 2 当x 2 或 0 x 6 时 一次函数的值大于反比例函数的值 点评 用待定系数法求反比例函数的解析式的条件是有一个已知点在此函数图像上 用待 定系数法求一次函数的解析式的条件中有两个已知点在此函数图像上 用数形结合思想 直接观察图象 就可以得到一次函数的值大于反比例函数的值的自变量x的取值范围 这 是用图像法解决问题的常规考题之一 6 2011 天津 20 分 已知一次函数y1 x b b为常数 的图象与反比例函数 2 k y x k为常数 且k 0 的图象相交于点 P 3 1 I 求这两个函数的解析式 II 当x 3 时 试判断y1与y2的大小 并说明理由 考点 反比例函数与一次函数的交点问题 专题 代数综合题 待定系数法 分析 I 利用待定系数法 将 P 3 1 代入一次函数解析式与反比例函数解析式 即 可得到答案 II 当x 3 时 y1 y2 1 再利用函数的性质一次函数y1随x的增大而增大 反比例函数 y2随x的增大而减小 可以判断出大小关系 解答 解 1 点 P 3 1 在一次函数y1 x b b为常数 的图象上 1 3 b 解得 b 2 一次函数解析式为 y1 x 2 点 P 3 1 在反比例函数 2 k y x k为常数 且k 0 的图象上 k 3 1 3 反比例函数解析式为 2 3 y x II y1 y2 理由如下 当x 3 时 y1 y2 1 又当x 3 时 y1随x的增大而增大 反比例函数y2随x的增大而减小 当x 3 时 y1 y2 点评 此题主要考查了待定系数法求函数解析式和函数的性质 凡是图象上的点 都能使 函数解析式左右相等 7 2011 重庆綦江 23 10 分 如图 已知A 4 a B 2 4 是一次函数 y kx b的图象和反比例函数y x m 的图象的交点 1 求反比例函数和一次函数的解祈式 2 求 A0B的面积 用心 爱心 专心27 考点 反比例函数与一次函数的交点问题 专题 几何图形问题 数形结合 分析 1 A 4 a B 2 4 两点在反比例函数y x m 的图象上 则由 m xy 得 4a 2 4 m 可求a m的值 再将A B两点坐标代入 y kx b中求k b的值即可 2 设直线AB交y轴于C点 由直线AB的解析式求C点坐标 根据 S AOB S AOC S BOC 求面积 解答 解 1 将A 4 a B 2 4 两点坐标代入y x m 中 得 4a 2 4 m 解得a 2 m 8 将A 4 a B 2 4 代入y kx b中 得 42 24 bk bk 解得 2 1 b k 反比例函数解析式为y x 8 一次函数的解祈式为y x 2 2 设直线AB交y轴于 C 点 由直线AB的解析式y x 2 得C 0 2 S AOB S AOC S BOC 2 1 2 4 2 1 2 2 6 用心 爱心 专心28 点评 本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式 运用数形结合的方 法求图形的面积 做此类题要根据图形的特点 将所求三角形的面积问题划分为两个三角 形求解 8 2011 重庆市 23 10 分 如图 在平面直角坐标系中 一次函数ykxb k 0 的图象与反比例函数 x m y m 0 的图象相交于 A B 两点 求 1 根据图象写出 A B 两点的坐标并分别求出反比例函数和一次函数的解析式 2 根据图象写出 当x为何值时 一次函数值大于反比例函数值 A O x B y 1 1 2 1 2 23题图 考点 反比例函数与一次函数的交点问题 分析 1 根据题意 可得出 A B 两点的坐标 再将 A B 两点的坐标代入 y kx b k 0 与 即可得出解析式 2 即求出一次函数图象在反比例函数图象的上方时 x 的取值范围即可 答案 23 解 1 由图象可知 点 A 的坐标为 2 1 2 点 B 的坐标为 1 1 反比例函数 x m y m 0 的图像经过点 2 1 2 m 1 用心 爱心 专心29 反比例函数的解析式为 1 y x 一次函数y kx b k 0 的图象经过点 2 1 2 点 B 1 1 1 2 2 1 kb kb 解得 k 1 2 b 2 1 一次函数的解析式为 11 22 yx 2 由图象可知 当 x 2 或 1 x 0 时一次函数值大于反比例函数值 点评 本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题 是基础知识要熟练掌握 9 2010 重庆 22 10 分 如图 在平面直角坐标系x0y中 一次函数y kx b k 0 的图象与反比例函数 m y x m 0 的图象交于二 四象限内的A B两点 与x轴交于 C点 点B的坐标为 6 n 线段OA 5 E为x轴上一点 且sin AOE 4 5 1 求该反比例函数和一次函数的解析式 2 求 AOC的面积 A EOC B x y 22 题图 考点 反比例函数综合题 分析 1 过点A作AD x轴于D点 由sin AOE 4 5 OA 5 根据正弦的定义可求出 AD 再根据勾股定理得到DO 即得到A点坐标 3 4 把A 3 4 代入y m x 确定反比例函数的解析式为y 12 x 将B 6 n 代入 确定点B点坐标 然后把A点和 B点坐标代入y kx b k 0 求出k和b 2 先令y 0 求出C点坐标 得到OC的长 然后根据三角形的面积公式计算 AOC的面 积即可 解答 解 1 过点A作AD x轴于D点 如图 A O x B y 1 1 2 1 2 23题图 用心 爱心 专心30 sin AOE 4 5 OA 5 sin AOE AD OA 5 AD 4 5 AD 4 DO 22 54 3 而点A在第二象限 点A的坐标为 3 4 将A 3 4 代入y m x 得m 12 反比例函数的解析式为y 12 x 将B 6 n 代入y 12 x 得n 2 将A 3 4 和B 6 2 分别代入y kx b k 0 得 34 62 kb kb 解得 2 3 2 k b 所求的一次函数的解析式为y 2 3 x 2 2 在y 2 3 x 2 中 令y 0 即 2 3 x 2 0 解得x 3 C点坐标为 0 3 即OC 3 S AOC 1 2 AD OC 1 2 4 3 6 点评 本题考查了点的坐标的求法和点在图象上 点的横纵坐标满足图象的解析式 也考 查了正弦的定义 勾股定理以及三角形面积公式 用心 爱心 专心31 10 2011 湖北潜江 21 8 分 如图 已知直线AB与x轴交于点C 与双曲线y x k 交 于A 3 3 20 B 5 a 两点 AD x轴于点D BE x轴且与y轴交于点E 1 求点B的坐标及直线AB的解析式 2 判断四边形CBED的形状 并说明理由 考点 反比例函数综合题 专题 计算题 几何图形问题 分析 1 根据反比例函数图象上点的坐标特征 将点A代入双曲线方程求得k值 即利 用待定系数法求得双曲线方程 然后将B点代入其中 从而求得a值 设直线AB的解析式 为y mx n 将A B两点的坐标代入 利用待定系数法解答 2 由点C D的坐标 已知条