2011届高考数学 压轴题专题训练---定义新概念型综合1

20122012 届高三压轴题专题训练 定义新概念型综合题 届高三压轴题专题训练 定义新概念型综合题 1 已知在平面直角坐标系xoy中 若在曲线 1 C的方程0 yxF中 以 yx 为 正实数 代替 yx得到曲线 2 C的方程0 yxF 则称曲线 21 CC 关于原点 伸 缩 变换 yxyx 称为 伸缩变换 称为伸缩比 已知曲线 1 C的方程为1 49 22 yx 伸缩比2 求 1 C关于原点 伸缩变换 后 所得曲线 2 C的标准方程 射线l的方程 0 2 2 xxy 如果椭圆 1 C1 416 22 yx 经 伸缩变换 后得到椭 圆 2 C 若射线l与椭圆 21 CC 分别交于两点BA 且2 AB 求椭圆 2 C的标准 方程 对抛物线xpyC 1 2 1 2 作变换 11 yxyx 得抛物线xpyC 2 2 2 2 对 2 C作变换 22 yxyx 得抛物线xpyC 3 2 3 2 如此进行下去 对抛物线 xpyC nn 2 2 作变换 yxyx nn 得抛物线xpyC nn1 2 1 2 若 n n p 2 1 1 1 求数列 n p的通项公式 n p 2对 1 个单位质量的含污物体进行清洗 清洗前其清洁度 含污物体的清洁度定义为 1 污物质量 物体质量含污物 为 0 8 要求洗完后的清洁度是 0 99 有两种方案可供选择 方案 甲 一次清洗 方案乙 两次清洗 该物体初次清洗后受残留水等因素影响 其质量变为 a 1 a 3 设用x单位质量的水初次清洗后的清洁度是 0 8 1 x x 1xa 用y质量的 水第二次清洗后的清洁度是 yac ya 其中 0 80 99 cc 是该物体初次清洗后的清洁度 分别求出方案甲以及0 95c 时方案乙的用水量 并比较哪一种方案用水量较少 若采用方案乙 当a为某定值时 如何安排初次与第二次清洗的用水量 使总用水量 最少 并讨论a取不同数值时对最少总用水量多少的影响 3 对于区间 nm上有意义的两个函数 xf和 xg 如果对任意的 nmx 均有 1 xgxf 则称 xf与 xg在 nm上是接近的 则称否 xf与 xg在 nm上是非接近的 现有两个函数 1 0 1 log 3 log 21 aa ax xfaxxf aa 与 1 求 21 xfxf 的定义域 2 若 21 xfxf与在整个给定区间 3 2 aa上都有意义 求 a 的取值范围 讨论 21 xfxf与在整个给定区间 3 2 aa上是不时是接近的 4 1 已知ABC 的三个顶点为 4 2 2 3 1 1CBA 求ABC 的面积 2 对于ABC 的三个顶点 332211 yxCyxByxA 定义三阶行列式 231231133221 33 22 11 1 1 1 yxyxyxyxyxyx yx yx yx D 当CBA 三点逆时针排 列时 三阶行列式D的值为正 试对 1 中ABC 计算三阶行列式D的绝对值的值 说明其与ABC 的面积的关系 并由此猜想三阶行列式 1 1 1 33 22 11 yx yx yx D 的绝对值的几何 意义 3 若ABC 的顶点A在直线xy 上运动 顶点 8 6B 顶点C在线段 532 xxy上运动 且BCA 三点的横坐标成等差数列 请问ABC 的面积是 否存在最大值 若存在求出最大值 若不存在 说明理由 5 已知二次函数 2 f xxaxa xR 同时满足 不等式 0f x 的解集有且只 有一个元素 在定义域内存在 12 0 xx 使得不等式 12 f xf x 成立 设数列 n a的前 n nSf n 项和 1 求数列 n a的通项公式 2 设 3 n nn n a bbn 求数列的前项和 3 设各项均不为零的数列 n c中 所有满足 1 0 ii c ci A的正整数的个数称为这 个数列 n c的变号数 另 1 nn n a cnc a 为正整数 求数列的变号数 6 把正奇数数列 21n 中的数按上小下大 左小右大的原则排成如下三角形数表 1 3 5 7 9 11 设 ij a是位于这个三角形数表中从上往下数第i行 从左往右数第j个数 1 若2007 mn a 求 m n的值 2 已知函数 f x的反函数 13 8 0 n fxxx 为 若记三角形数表中从上往下数 第n行各数的和为 n b 求数列 n f b的前n项和 n S 7 在直角坐标平面 xoy 上的一列点 1122 1 2 nn AaAaA n a 简记为 n A 若由 1nnn bA Aj 构成的数列 n b满足 1 1 2 nn bb n 其中j 是 y 轴正方向相同的单位 向量 则 n A为 T 点列 1 判断 123 111 1 1 2 3 23 n AAAA n n 是否为 T 点列 并说明理由 2 若 n A为 T 点列 且点 2 A在 1 A的右上方 任取其中连续三点 12kkk AAA 判定 12kkk A AA 的形状 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 并予以证明 3 若 n A为 T 点列 正整数1mnpq 满足mqnp 求证 nqmp A AjA Aj 8 定义函数 1 1 2 n n fxxxnN 1 求证 n fxnx 2 是否存在区间 a 0 a 0 的 情形 设 xkkxxfgxgfxhsinsin 若 且 则由0sinsin 1 k k k hk 0 2 3 sin 2 3 sin 2 2 sin 2 3 k k k k h 所以 在 2 3 k 中另有一根 矛盾 若02sin2sin 2 0sinsin 1 2 1 kkh k k k hk 则由 所以 在 2 k 中另有一根 矛盾 2 1 0 k 以下证明 对任意kxxgk 2 1 0 符合题意 当xyxsin 2 0 时 由 图象在连接两点 0 0 sin xx的线段的上方 知 0 sinsin xhxkkx 当0 sin 2 sin 2 sinsin 2 2 xhxkk k kx k x 时 当0 0sin 0sin 2 2 xhxkx k x时 综上 0 xh有且仅有一个解 x 0 2 1 0 kkxxg在满足题意 综上所述 2 1 0 0 2 1 kkxxg 14 分 10 解 1 方法一 如图 分别以 CA DB 为x y轴建立空间直角坐标系 因为1 1 BDAC 所以 0 2 1 0 D 2 1 0 0 E 0 0 2 1 C 2 1 0 0 F 2 1 2 1 0 DE 2 1 0 2 1 CF 4 分 2 1 cos 6 分 因为异面直线所成角为锐角 故异面直线DE与CF所成的角为 60 7 分 方法二 见文科答案与评分标准 2 正子体体积不是定值 8 分 设ABCD与正方体的截面四边形为 DCBA 设xAA 10 x 则xBA 1 9 分 2 1 2 1 2 1 222 2 xxxAD 故 1 2 1 2 ADSABCD 12 分 3 1 6 1 3 1 2 2 1 3 1 2 3 1 ABCDABCDABCD SShSV 14 分 11 解 05 3 2 A 10 3 4 21T A 1210 4 3 21AT T A 11 4 3 210T A 2211 4 3 21AT T A 证明 设每项均是正整数的有穷数列A为 12n aaa 则 1 T A为n 1 1a 2 1a 1 n a 从而 112 2 2 1 3 1 1 1 n S T Anaana 2222 12 1 1 1 n naaa 又 222 1212 2 2 nn S Aaanaaaa 所以 1 S T AS A 12 2 23 1 2 n nnaaa 2 12 2 n naaan 2 1 0n nnn 故 1 S T AS A 证明 设A是每项均为非负整数的数列 12n aaa 当存在1ijn 使得 ij aa 时 交换数列A的第i项与第j项得到数列B 则 2 jiij S BS Aiajaiaja 2 0 ji ij aa 当存在1mn 使得 12 0 mmn aaa 时 若记数列 12m aaa 为C 则 S CS A A B E D F C A B E D F C 所以 2 S T AS A 从而对于任意给定的数列 0 A 由 121 012 kk AT T Ak 可知 11 kk S AS T A 又由 可知 1 kk S T AS A 所以 1 kk S AS A 即对于k N 要么有 1 kk S AS A 要么有 1 1 kk S AS A 因为 k S A是大于 2 的整数 所以经过有限步后 必有 12 kkk S AS AS A 即存在正整数K 当kK 时 1 kk S AS A 12 a 1 b 1 1 22 n n a m 的最小值为 5 13 13 解 依题意 1nnn aaa 22 513513 1 1 54 2222 n annnnn 4 分 由 11 2 2 22 nnn nnnnnnn aaaaaaa 得 即 11 1 111 221 22222 n nnnn nn nnnn aaaa bbnN 故 n b是公差为 1 2 的等差数列 8 分 又 1 1 1 22 a b 2 n n b 9 分 由 得 1 22 2 nn n n an 10 分 011 12 1 22 22n nn Saaan 12 21 22 22n n Sn 得 21 12 122222 12 n nnn n Snn 221 1 21 nnn n Snn 14 分析 本题属于信息迁移题 主要考查利用导数求函数的极值 解 1 2 31fxx 2k 切线方程为2yx 2 函数f x x3 x a x 1 1 a R R 的导数是f x 3x2 1 当 3x2 1 0 时 即x 3 3 当x 3 3 时 f x 3x2 1 0 当x 3 3 时 f x 3x2 1 0 故f x 在x 1 1 内的极小值是a 9 32 同理 f x 在x 1 1 内的极大值是a 9 32 f 1 f 1 a 函数f x x3 x a x 1 1 a R R 的最大值是a 9 32 最小值是a 9 32 因为 f x1 f x2 fmax fmin 故 f x1 f x2 fmax fmin 9 34 1 所以函数f x x3 x a x 1 1 a R R 是 Storm 函数 15 解 1 32 104532405000 P xR xC xxxx 120 xNx 2 130603275 119MP xP xP xxxxNx 2 2 3090324030129Pxxxxx 0 0 xP x 12x 0120 120 xP xxP x 时时 12x P x 有最大值 即每年建造 12 艘船 年利润最大 8 分 3 2 2 306032753013305MP xxxx 11 分 所以 当1x 时 MP x 单调递减 所以单调区间是 1 19 且 xN 16 解 1 当1a 时 11 1 24 xx f x 因为 xf在 0 上递减 所以 0 3f xf 即 xf在 1 的值域为 3 故不存在常数0M 使 f xM 成立 所以函数 f x在 1 上不是有界函数 4 分 没有判断过程 扣 没有判断过程 扣 2 2 分 分 2 由题意知 3 xf在 1 上恒成立 5 分 3 3 xf xxx a 4 1 2 2 1 4 1 4 x x x x a 2 1 22 2 1 24在 0 上恒成立 6 分 minmax 2 1 22 2 1 24 x x x x a 7 分 设t x 2 t tth 1 4 t ttp 1 2 由x 0 得 t 1 设 12 1tt 211 2 12 1 2 41 0 ttt t h th t t t 0 12 21 2121 21 tt tttt tptp 所以 th在 1 上递减 tp在 1 上递增 9 分 单调性不证 不扣 分 th在 1 上的最大值为 1 5h tp在 1 上的最小值为 1 1p 所以实数a的取值范围为 5 1 11 分 3 12 2 1 x m xg m 0 1 0 x g x在 0 1上递减 12 分 0 1 gxgg 即 m m xg m m 1 1 21 21 13 分 当 m m m m 21 21 1 1 即 2 2 0m时 m m xg 1 1 14 分 此时 1 1 m T m m 16 分 当 m m m m 21 21 1 1 即 2 2 m时 m m xg 21 21 此时 12 12 m T m m 17 分 综上所述 当 2 2 0m时 mT的取值范围是 1 1 m m 当 2 2 m时 mT的取值范围是 12 12 m m 18 17 解 解 1 50 9 5 1 5 25 2 6 1 25 2 20 1 4 5 1 5 1 11 ab 30 426 5 6 1 5 4 111 nn nnn nn n ba baa ba b 3 2 3 2 11 qbababa nnnnnn 是的等比数列 7 5 2lg3lg 1 10 1 log1 100 1 3 2 10 1 3 2 1 nba n nn 7 n 故至少操作 7 次 2 n nnn n nn bbbbb 3 2 100 3 4 3 2 10 1 5 1 1 1 1 123121 nnn bbbbbbbb 50 7 3 2 100 3 3 2 3 2 3 2 100 3 25 2 12 nn 而 50 7 limlim 50 7 3 2 50 3 3 2 10 1 1 n n n n nn nn baba 18 解 I 12 fxfx是 保三角形函数 3 fx不是 保三角形函数 1 分 任给三角形 设它的三边长分别为 a b c 则abc 不妨假设 ac bc 由于0ababc 所以 12 fxfx是 保三角形函数 3 分 对于 3 fx 3 3 5 可作为一个三角形的三边长 但 222 335 所以不存在三角 形以 222 3 3 5为三边长 故 3 fx不是 保三角形函数 4 分 II 设0T 为 g x的一个周期 由于其值域为 0 所以 存在0nm 使得 1 2g mg n 取正整数 nm T 可知 TmTm n 这三个数可作为一个三角形的三边长 但 1gTm 1 2gTmg n 不能作为任何一个三角形的三边长 故 g x不是 保三角形函数 8 分 III A的最大值为 5 6 9 分 一方面 若 5 6 A 下证 F x不是 保三角形函数 取 55 0 266 A 显然这三个数可作为一个三角形的三边长 但 5151 sin1 sin sin 26262 不能作为任何一个三角形的三边长 故 F x不是 保三角形函数 另一方面 以下证明 5 6 A 时 F x是 保三角形函数 对任意三角形的三边 a b c 若 5 0 6 a b c 则分类讨论如下 1 2abc 此时 55 22 663 abc 同理 3 b c 5 36 a b c 故 1 sin sin sin 1 2 abc 11 sinsin1sin 22 abc 同理可证其余两式 sin sin sinabc可作为某个三角形的三边长 2 2abc 此时 22 abc 可得如下两种情况 22 ab 时 由于abc 所以 0 222 cab 由sin x在 0 2 上的单调性可得0sinsin1 22 cab 22 ab 时 0 222 cab 同样 由sin x在0 2 上的单调性可得0sinsin1 22 cab 总之 0sinsin1 22 cab 又由 5 6 abc 及余弦函数在 0 上单调递减 得 5 coscoscoscos0 22212 ababc sinsin2sincos2sincossin 2222 ababcc abc 同理可证其余两式 所以sin sin sinabc也是某个三角形的三边长 故 5 6 A 时 F x是 保三角形函数 综上 A的最大值为 5 6 19 解 设 2 2 1 0 1 xa xb xcxab bxc 20 1 2 0 1 c b a b 0 1 2 a c b 2 1 2 x f x c xc 由 21 2 13 12 fc c 又 b cN 2 2cb 2 1 2 1 x f xx x 3 分 于是 22 22 22 1 22 4 1 2 1 xxxxx fx xx AA 由 0fx 得0 x 或2x 由 0fx 得01x 或12x 故函数 f x的单调递增区间为 0 和 2 单调减区间为 0 1 和 1 2 4 分 由已知可得 2 2 nnn Saa 当2n 时 2 111 2 nnn Saa 两式相减得 11 1 0 nnnn aaaa 1nn aa 或 1 1 nn aa 当1n 时 2 1111 21aaaa 若 1nn aa 则 2 1a 这与1 n a 矛 盾 1 1 nn aa n an 6 分 于是 待证不等式即为 111 ln 1 n nnn 为此 我们考虑证明不等式 111 ln 0 1 x x xxx 令 1 1 0 t x x 则1t 1 1 x t 再令 1 lng ttt 1 1g t t 由 1 t 知 0g t 当 1 t 时 g t单调递增 1 0g tg 于是1lntt 即 11 ln 0 x x xx 令 1 ln1h tt t 22 111 t h t ttt 由 1 t 知 0h t 当 1 t 时 h t单调递增 1 0h th 于是 1 ln1t t 即 11 ln 0 1 x x xx 由 可知 111 ln 0 1 x x xxx 10 分 所以 111 ln 1 n nnn 即 111 1ln nn n ana 11 分 由 可知 1 n b n 则 111 1 23 n T n 在 111 ln 1 n nnn 中令1 2 3 2007n 并将各式相加得 111232008111 lnlnln1 232008122007232007 即 20082007 1ln2008TT 20 解 由1cos21 xxf得0cos x 1 分 当 2 x时 0cos x 此时2 2 2 1 xy 2 2 sin2 2 xxy 2 分 21 yy 所以 2 2 2 是直线l与曲线S的一个切点 3 分 当 2 3 x时 0cos x 此时2 2 3 2 1 xy 2 2 3 sin2 2 xxy 4 分 21 yy 所以 2 2 3 2 3 是直线l与曲线S的一个切点 5 分 所以直线l与曲线S相切且至少有两个切点 对任意x R R 0sin22 sin2 2 xxxxxFxg 所以 xFxg 6 分 因此直线2 xyl是曲线xbaxySsin 的 上夹线 7 分 推测 sin 0 ymxnx n 的 上夹线 的方程为ymxn 9 分 先检验直线ymxn 与曲线sinymxnx 相切 且至少有两个切点 设 sinF xmxnx cosF xmnx 令 cosF xmnxm 得 2 2 xk k Z Z 10 分 当2 2 xk 时 2 2 22 Fkmkn 故 过曲线 sinF xmxnx 上的点 2 2 k 2 2 mkn 的切线方程为 y 2 2 mkn m x 2 2 k 化简得 ymxn 即直线ymxn 与曲线sinymxnx 相切且有无数个切点 12 分 不妨设 g xmxn 下面检验g x F x g x F x 1sin 0 0 nxn 直线ymxn 是曲线 sinyF xmxnx 的 上夹线 21