吉林省东北师范大学附属实验学校高中数学 242二分法学案 新人教B版必修1

1 2 4 22 4 2 二分法二分法 一 学习要点 一 学习要点 二分法的含义及其简单应用 二 学习过程 二 学习过程 一 函数零点有关概念 函数零点有关概念 1 函数的变号零点 如果函数在区间上的图象是连续不间断的一 xfy a b 条曲线 并且在它的两个端点处的函数值异号 即 则这个函数在 0f a f b 这个区间上至少有一个零点 即存在 一点 0 xa b 使 这样的零点叫变号零点 0 0f x 2 函数的不变号零点 如果函数的图象在通过零点时不变 xfy 号 这样的零点叫不变号零点 概念解读 1 函数在区间上的图象连续 又 则函数在 a b 0f a f b 上一定存在零点 反之 若函数在上有零点 却 a b f x a b 不一定总有 0f a f b 2 函数在区间上连续且存在零点 则它在区间端点 a b a b 函数值可能异号也可能同号 3 判断函数零点是变号零点还是不变号零点 关键在于看 f x 曲线通过零点时函数值是否变号 如图 为的不变号零点 0 x f x 为的变号零点 1 x 2 x f x x y O x0 x1 x2 2 二 函数变号零点的性质 函数变号零点的性质 对于函数 如果它的图象是连续不间断的一条曲线 则 xfy 有 1 当函数的图象通过零点时 不是二重零点 函数的值变号 2 在相邻两个零点之间的所有函数值保持同号 三 函数零点的近似解函数零点的近似解 二分法 二分法 二分法 通过不断地把函数的变号零点所在的区间一分为二 使区 间的两个端点逐步逼近零点 进而得到零点近似值的一种 计算方法 用二分法求函数零点的一般步骤 已知函数定义在区间上 求它在上的一个变号零点 f xDD 的近似值 使它与零点的误差不超过正数 0 xx 第一步 在内任取一个闭区间 使与D 00 abD 0 f a 异号 即 零点位于区间 0 f b 00 0f af b 中 00 ab 第二步 取区间的中点 计算和 00 ab 000 1 2 xab 0 f x 并判断 0 f a 1 如果 则就是的零点 计算终止 0 0f x 0 x f x 2 如果 则零点位于区间中 00 0f af x 00 ax 令 10 aa 10 bx 3 如果 则零点位于区间中 令 00 0f af x 00 xb 10 ax 10 bb 第三步 取区间的中点 计算和 11 ab 111 1 2 xab 1 f x 并判断 1 f a 1 如果 则就是的零点 计算终止 1 0f x 1 x f x 2 如果 则零点位于区间中 11 0f af x 11 ax 令 21 aa 21 bx 0 0 a 0 x 0 b AMB 3 3 如果 则零点位于区间中 11 0f af x 11 xb 令 21 ax 21 bb 第四步 判断是否达到规定的精确度 当时停止 2 nn ab 计算 就是要求的零点的近似值 否则继续 2 nn n ab x 重复第二步 直到满足为止 2 nn ab 说明 1 二分法仅适用于函数变号零点近似值的求解 2 求函数的近似零点时 所要求的精确度不同 得到的结果也不 相同 精确度为是指在计算过程中得到某个区间小 nn ab 于 即认为已达到要求的精确度 可停止计算 否则应2 继续计算 直到为止 2 nn ab 3 初始区间的选定要适当不要过大也不要过小 一般在两个整数 间 不同的初始区间结果是相同的 但二分的次数却相差较大 例例 1 1 求函数的一个正实数零点 精确到 32 22f xxxx 0 1 解 由于 确定区间作为计算 120f 260f 1 2 的初始区间 用二分法逐步计算 列表如下 端点或中点横坐标 计算端点或中点的函 数值 定区间 nn ab 0 1a 0 2b 12 26ff 1 2 1 0 1 121 5 2 x 0 0 6250f x 1 1 50 5 1 1 1 1 51 25 2 x 1 0 9840f x 1 25 1 50 25 2 1 1 25 1 51 375 2 x 2 0 2600f x 1 375 1 50 125 3 1 1 375 1 51 4375 2 x 3 0 1620f x 1 375 1 43750 0625 取 0 06250 1 3 1 43751 4x 4 即函数的一个正实数零点是 32 22f xxxx 1 4 课堂练习 课堂练习 1 函数的不变号零点为 23 213f xxxx A B C D 都不是 1 23 2 函数在一个区间上的图象不间断 并且 yf x a b 则这个函数在这个区间上 0f a f b A 只有一个变号零点 B 有一个不变号零点 C 至少有一个变号零点 D 不一定有零点 3 用二分法求函数零点 函数的零点总位于区间上 当 nn ab 时 函数的近似零点与真正零点的误差不超过 nn ab A B C D 1 2 2 1 4 4 求方程在内的近似根 用二分法计算到 0f x 0 1 达到精度要求 那么所取误差限制是 10 0 445x A B C D