全国各地2013年中考数学试卷分类汇编 矩形菱形与正方形

1 矩形菱形与正方形矩形菱形与正方形 一 选择题 1 20132013 江苏扬州 江苏扬州 7 7 3 3 分 分 如图 在菱形ABCD中 BAD 80 AB的垂直平分线交对 角线AC于点F 垂足为E 连接DF 则 CDF等于 A 50 B 60 C 70 D 80 答案 B 解析 如图 连接BF 在菱形ABCD中 BAD 80 所以 BAF DAF 40 BAF DAF ADC 100 因为EF的垂直平分AB 所以 AF BF DF 所以 ADF DAF 40 CDF ADC ADF 100 40 60 所以应选 B 方法指导 特殊四边形的性质一直是中考命题的热点 本题 主要考查菱形的性质 菱形是 对角线互相垂直且平分 四边相等 对角线平分对角 每一条对角线平分一组对角 易错警示 菱形的性质与其它特殊四边形的性质混淆模糊 记忆不清 混淆是本题易出 错的主要原因 2 20132013 四川泸州 四川泸州 1111 2 2 分 分 如图 点E是矩形ABCD的边CD上一点 把ADE 沿AE 对折 点D的对称点F恰好落在BC上 已知折痕10 5AE cm 且 3 tan 4 EFC 那么该矩形的周长为 A 72cm B 36cm C 20cm D 16cm 答案 A 解析 在矩形 ABCD 中 推理得到 BAF EFC 由 tan EFC 4 3 可设 BF 3x AB 4x 在 Rt ABF 中 运用勾股定理得 AF 5x AD BC 5x CF BC BF 5x 3x 2x CE CF tan EFC 2x 4 3 x 2 3 DE CD CE 4x x 2 3 x 2 5 在 Rt ADE 中 运用勾股定理求得 x 4 AB 4 4 16cm AD 5 4 20 cm 矩形的周长 2 16 20 72 cm 方法指导 本题考查了矩形的对边相等 四个角都是直角的性质 锐角三角函数 勾股 定理的应用 根据正切值设出未知数并表示出图形中的各线段是关键 也是难点所在 2 3 20132013 四川雅安 四川雅安 1212 3 3 分 分 如图 正方形ABCD中 点E F分别在BC CD上 AEF 是等边三角形 连接AC交EF于G 下列结论 BE DF DAF 15 AC垂直平 分 EF BE DF EF S CEF 2S ABE 其中正确的结论有 个 A 2 B 3 C 4 D 5 答案 C 解析 通过条件可以得出 ABE ADF 而得出 BAE DAF BE DF 由正方形 的性质就可以得出 EC FC 就可以得出 AC 垂直平分 EF 设 EC x BE y 由勾股定 理就可以得出 x 与 y 的关系 表示出 BE 与 EF 利用三角形的面积公式分别表示出 S CEF 和 2S ABE 再通过比较大小而得出结论 方法指导 本题考查了正方形的性质的运用 全等三角形的判定及性质的运用 勾股定 理的运用 等边三角形的性质的运用 三角形的面积公式的运用 解答本题时运用勾股定 理的性质解题时关键 4 20132013 山东德州 山东德州 7 7 3 3 分 分 下列命题中 真命题是 A 对角线相等的四边形是等腰梯形 B 对角线互相垂直且平分的四边形是正方形 C 对角线互相垂直的四边形是菱形 D 四个角相等的边形是矩形 答案 D 解析 A 对角线相等的四边形是等腰梯形 是假命题 如 对角线相等的四边形可以 是矩形等 B 对角线互相垂直且平分的四边形是正方形是假命题 如 满足条件的四边形 可以是菱形 但菱形不是正方形哦 D 四个角相等的边形是矩形是假命题 如 满足条件 的四边形可以是正方形 但要注意矩形与正方形是一般与特殊关系 方法指导 本题考查了命题真 假的判断 实际可以记住我们已经学过的相关定义 定理 数学基本事实等 它们都是真命题 5 20132013 山东菏泽 山东菏泽 2 2 3 3 分分 2 如图 把一个长方形的纸片按图示对折两次 然后剪下一 部分 为了得到一个钝角为 120 的菱形 剪口与第二次折痕所成角的度数应为 A 15 或 30 B 30 或 45 C 45 或 60 D 30 或 60 第 2 题 答案 D 3 解析 根据两次折叠得到新的折痕 要使得到一个钝角为 120 的菱形 剪口与第二次 折痕所成角的度数可以为 30 或 60 方法指导 本题考查了轴对称性质 菱形的性质 解答过程可以进行动手操作得出结果 这里同时注意菱形的对角线互相垂直且每条对角线平分一组对角性质的运用 6 20132013 山东菏泽 山东菏泽 7 7 3 3 分分 如图 边长为 6 的大正方形中有两个小正方形 若两个小正 方形的面积分别为 S1 S2 则 S1 S2的值为 S2 S1 A 16 B 17 C 18 D 19 答案 B 解析 根据等腰直角三角形 勾股定理先求出面积 分别为 S1的边唱是大正方形对角线的 3 1 S2正方形的 边长组成直角三角形斜边长是大正方形对角线的一半 满分解答 边长为 6 的大正方形中 对角线长 为 2666 22 面积为 S1小正方边长为22 3 1 26 面积 S1 2 22 8 小正方 S2 9 2 1 2 1 26 2 S1 S2 8 9 17 故选 B 方法指导 本题主要考查正方形性质 熟悉正方形有关性质是解题的关键 7 是真题吗 4 20132013 四川凉山州 四川凉山州 9 9 4 4 分 分 如图 菱形ABCD中 60B 4AB 则以AC为边长的正方形ACEF的周长为 A 14B 15C 16D 17 B A C D F E 60 第 9 题图 答案 C 解析 菱形ABCD AB BC 60B ABC 是等边三角形 AC AB 4 以AC为边长的正 e 方形ACEF的周长为 4 4 16 方法指导 本题考查菱形的性质四条边都相等 等边三角形的判定 有一个角是 60 度的 等腰三角形是等边三角形 正方形的性质四边都相等 8 20132013 湖北宜昌 湖北宜昌 7 7 3 3 分 分 如图 在矩形 ABCD 中 AB BC AC BD 相交于点 O 则图 中等腰三角形的个数是 4 A 8B 6C 4D 2 考点 等腰三角形的判定 矩形的性质 分析 根据矩形的对角线相等且互相平分可得 AO BO CO DO 进而得到等腰三角形 解答 解 四边形 ABCD 是矩形 AO BO CO DO ABO BCO DCO ADO 都是等腰三角形 故选 C 点评 此题主要考查了等腰三角形的判定 以及矩形的性质 关键是掌握矩形的对角线相 等且互相平分 9 20132013 湖南娄底 湖南娄底 6 6 3 3 分 分 下列命题中 正确的是 A 平行四边形的对角线相等 B 矩形的对角线互相垂直 C 菱形的对角线互相垂直且平分 D 梯形的对角线相等 考点 命题与定理 分析 根据菱形 平行四边形 矩形 等腰梯形的性质分别判断得出即可 解答 解 A 根据平行四边形的对角线互相平分不相等 故此选项错误 B 矩形的对角线相等 不互相垂直 故此选项错误 C 根据菱形的性质 菱形的对角线互相垂直且平分 故此选项正确 D 根据等腰梯形的对角线相等 故此选项错误 故选 C 点评 此题主要考查了菱形 平行四边形 矩形 等腰梯形的性质 熟练掌握相关定理是 解题关键 10 20132013 湖南张家界 湖南张家界 6 6 3 3 分 分 顺次连接等腰梯形四边中点所得的四边形一定是 A 矩形 B 正方形 C 菱形 D 直角梯形 考点 中点四边形 分析 根据等腰梯形的性质及中位线定理和菱形的判定 可推出四边形为菱形 5 解答 解 如图 已知 等腰梯形 ABCD 中 AD BC AB CD E F G H 分别是各边的中 点 求证 四边形 EFGH 是菱形 证明 连接 AC BD E F 分别是 AB BC 的中点 EF AC 同理 FG BD GH AC EH BD 又 四边形 ABCD 是等腰梯形 AC BD EF FG GH HE 四边形 EFGH 是菱形 故选 C 点评 此题主要考查了等腰梯形的性质 三角形的中位线定理和菱形的判定 用到的知识 点 等腰梯形的两底角相等 三角形的中位线平行于第三边 并且等于第三边的一 半 四边相等的四边形是菱形 11 2013 聊城 5 3 分 下列命题中的真命题是 A 三个角相等的四边形是矩形 B 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C 顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形 D 正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形 考点 命题与定理 分析 根据矩形 菱形 正方形的判定以及正五边形的性质得出答案即可 解答 解 A 根据四个角相等的四边形是矩形 故此命题是假命题 故此选项错误 B 根据对角线互相垂直 互相平分且相等的四边形是正方形 故此命题是假命题 故 此选项错误 C 顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形 故此命题是真命题 故此选项正确 D 正五边形是轴对称图形不是中心对称图形 故此命题是假命题 故此选项错误 点评 此题主要考查了矩形 菱形 正方形的判定以及正五边形的性质等知识 熟练掌握 相关定理是解题关键 12 2013 东营 12 3 分 如图 E F分别是正方形ABCD的边CD AD上的点 且 6 CE DF AE BF相交于点O 下列结论 1 AE BF 2 AE BF 3 AO OE 4 AOBDEOF SS 四边形 中正确的有 F 第 12 题图 A BC D O E A 4 个B 3 个C 2 个D 1 个 答案 B 解析 在正方形 ABCD 中 因为 CE DF 所以 AF DE 又因为 AB AD 所以ABFDAE 所以 AE BF AFBDEA DAEABF 因为90DAEDEA 所以 90DAEABF 即90AOF 所以 AE BF 因为 AOBAOFAOF SSS S 四边形 DEOF 所以 AOB S S四边形 DEOF 故 1 2 4 正确 13 2013 济宁 9 3 分 如图 矩形ABCD的面积为 20cm2 对角线交于点O 以 AB AO为邻边做平行四边形AOC1B 对角线交于点O1 以AB AO1为邻边做平行四边形 AO1C2B 依此类推 则平行四边形AO4C5B的面积为 A cm2 B cm2 C cm2 D cm2 考点 矩形的性质 平行四边形的性质 专题 规律型 分析 根据矩形的对角线互相平分 平行四边形的对角线互相平分可得下一个图形的面积 是上一个图形的面积的 然后求解即可 解答 解 设矩形ABCD的面积为S 20cm2 7 O为矩形ABCD的对角线的交点 平行四边形AOC1B底边AB上的高等于BC的 平行四边形AOC1B的面积 S 平行四边形AOC1B的对角线交于点O1 平行四边形AO1C2B的边AB上的高等于平行四边形AOC1B底边AB上的高的 平行四边形AO1C2B的面积 S 依此类推 平行四边形AO4C5B的面积 cm2 故选B 点评 本题考查了矩形的对角线互相平分 平行四边形的对角线互相平分的性质 得到下 一个图形的面积是上一个图形的面积的 是解题的关键 14 20132013 陕西 陕西 9 9 3 3 分 分 如图 在矩形 ABCD 中 AD 2AB 点 M N 分别在边 AD BC 是 连接 BM DN 若四边形 MBND 是菱形 则 MD AM 等于 A 8 3 B 3 2 C 5 3 D 5 4 考点 矩形的性质及菱形的性质应用 考点 矩形的性质及菱形的性质应用 5 3 4 5 4 3 MD AM 解析 矩形的性质应用较为常见的就是转化成直角解析 矩形的性质应用较为常见的就是转化成直角三角形来解决问题 菱形的性质应用较三角形来解决问题 菱形的性质应用较 常见的是四条边相等或者对角线的性质应用 此题中求的是线段的比值 所以在解决过程常见的是四条边相等或者对角线的性质应用 此题中求的是线段的比值 所以在解决过程 中取特殊值法较为简单 设中取特殊值法较为简单 设 AB 1AB 1 则 则 AD 2AD 2 因为四边形 因为四边形 MBNDMBND 是菱形 所以是菱形 所以 MB MDMB MD 又因 又因 为矩形为矩形 ABCDABCD 所以 所以 A 90 设 设 AM x AM x 则则 MB 2 xMB 2 x 由勾股定理得 由勾股定理得 ABAB2 2 AM AM2 2 MB MB2 2 所以 所以 x x2 2 1 12 2 2 x 2 x 2 2解得 解得 4 3 x 所以 所以 MD MD 4 5 4 3 2 故选故选 C C 15 20132013 四川绵阳 四川绵阳 6 6 3 3 分 分 下列说法正确的是 D A 对角线相等且互相垂直的 四边形是菱形 B 对角线互相垂直的梯形是等腰梯形 BC D A 第 9 题图 M N 8 C 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 D 对角线相等且互相平分的四边形是矩形 解析 由矩形的性质可知 只有 D 正确 平行四边形的对角线是互相平行 菱形的对角 线互相平分且垂直 故 A C 错 等腰梯形的对角线相等 B 也错 16 20132013 四川绵阳 四川绵阳 1010 3 3 分 分 如图 四边形ABCD是菱形 对角线 AC 8cm BD 6cm DH AB于点H 且DH与AC交于G 则GH B A 28 25 cm B 21 20 cm C 28 15 cm D 25 21 cm 解析 OA 4 OB 3 AB 5 BDH BOA BD AB BH OB DH OA 6 5 BH 3 BH 18 5 AH AB BH 5 18 5 7 5 AGH ABO GH BO AH AO GH 3 7 5 4 GH 21 20 17 2013 贵州省六盘水 7 3 分 在平面中 下列命题为真命题的是 A 四个角相等的四边形是矩形 B 对角线垂直的四边形是菱形 C 对角线相等的四边形是矩形 D 四边相等的四边形是正方形 考点 命题与定理 分析 分别根据矩形 菱形 正方形的判定与性质分别判断得出即可 解答 解 A 根据四边形的内角和得出 四个角相等的四边形即四个内角是直角 故此四 边形是矩形 故此选项正确 B 只有对角线互相平分且垂直的四边形是菱形 故此选项错误 C 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 故此选项错误 D 四边相等的四边形是菱形 故此选项错误 故选 A 点评 此题主要考查了矩形 菱形 正方形的判定与性质 正确把握相关定理是解题关 键 18 2013河北省 11 3分 如图4 菱形ABCD中 点M N在AC上 ME AD NF AB 若NF NM 2 ME 3 则AN A 3B 4 C 5 D 6 答案 B 解析 由 AFN AEM 得 ANNF AMME 即 2 23 AN AN 解得 AN 4 选B 19 2013河北省 12 3分 如已知 线段AB BC ABC 90 求作 矩形 ABCD 以下是甲 乙两同学的作业 9 对于两人的作业 下列说法正确的是 A 两人都对B 两人都不对 C 甲对 乙不对 D 甲不对 乙对 答案 A 解析 对于甲 由两组对边分别相等的四边形是平行四边形及角B为90度 知ABCD是 矩形 正确 对于乙 对角线互相平分的四边形是平行四边形及角B为90度 可判 断ABCD是矩形 故都正确 选A 二 填空题 1 20132013 广东广州 广东广州 1515 3 3 分 分 如图 6 Rt ABC 的斜边AB 16 Rt ABC 绕点 O 顺时针旋 转后得到CBARt 则CBARt 的斜边BA 上的中线D C 的长度为 答案答案 8 解析解析 旋转是全等变换 所以所以 Rt ABC 与CBARt 全等 且D C CD Rt ABC 的斜边AB 16 CD 8 D C 8 答案填 8 方法指导方法指导 在几何图形变换中 平移 轴对称 对折 旋转 中心对称等都是全等变换 所以 对应边 对应角 对应边的中线 高和对应角平分线等都相等 2 20132013 山东德州 山东德州 1717 4 4 分 分 如图 在正方形 ABCD 中 边长为 2 的等边三角形 AEF 的顶 点 E F 分别在 BC 和 CD 上 下列结论 CE CF AEB 750 BE DF EF S 正方形 ABCD 2 3 其中正确的序号是 把你认为正确的都填上 10 答案 解析 在正方形 ABCD 与等边三角形 AEF 中 AB BC CD DA AE EF AF ABE ADF DF BE 有 DC DF BC BE 即 CE CF 正确 CE CF C 90 FEC 45 而 AEF 60 AEB 180 60 45 75 正确 根据分析 BE DF EF 不正确 在等腰直角三角形 CEF 中 CE CF EF sin45 2 在 Rt ADF 中 设 AD x 则 DF x 2 根据勾股定理可得 222 22 xx 解得 x1 2 62 2 62 2 x 舍去 所以正方形 ABCD 面积为 22 2 62 x 2 3 正确 方法指导 本题考查正方形与等边三角形 本题涉及正方形 等边三角形相关知识 同时 应用勾股定理 全等三角形等解题 具有一定的综合性 解题的关键是对所给命题运用相关 知识逐一验证 3 20132013 江苏泰州 江苏泰州 1313 3 3 分 分 对角线互相 的平行四边形是菱形 答案 垂直 解析 根据菱形的判定条件 其中有 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 方法指导 掌握菱形的判定与性质 我们可以从边 角 对角线 对称性这几个方面概 括与总结 形成系统知识 便于复习巩固 4 20132013 江苏苏州 江苏苏州 1717 3 3 分 分 如图 在平面直角坐标系中 四边形OABC是边长为 2 的正 方形 顶点A C分别在x y轴的正半轴上 点Q在对角线OB上 且OQ OC 连接CQ并 延长CQ交边AB于点P 则点P的坐标为 答案 2 4 22 解析 分析 根据正方形的对角线等于边长的2倍求出OB 再求出BQ 然后求出 BPQ和 OCQ相似 根据相似三角形对应边成比例列式求出BP的长 再求出AP 即可得到 点P的坐标 11 解 四边形OABC是边长为 2 的正方形 OA OC 2 OB 22 QO OC BQ OB OQ 22 2 正方形OABC的边AB OC BPQ OCQ BP OC BQ OQ 即 2 BP 2 22 2 解得BP 22 2 AP AB BP 2 22 2 4 22 点P的坐标为 2 4 22 所以应填 2 4 22 方法指导 本题考查了相似三角形的判定与性质 正方形的对角线等于边长的2倍的 性质 以及坐标与图形的性质 比较简单 利用相似三角形的对应边成比例求出BP的长是 解题的关键 易错警示 本题是综合题 掌握所用知识不全面而出错 5 20132013 江苏苏州 江苏苏州 1818 3 3 分 分 如图 在矩形ABCD中 点E是边CD的中点 将 ADE沿 AE折叠后得到 AFE 且点F在矩形ABCD内部 将AF延长交边BC于点G 若 1CG GBk 则 AD AB 用含 k 的代数式表示 答案 1 2 k 解析 分析 根据中点定义可得DE CE 再根据翻折的性质可得 DE EF AF AD AFE D 90 从而得到CE EF 连接EG 利用 HL 证明 Rt ECG和 Rt EFG全等 根据全等三角形对应边相等可得CG FG 设CG a 表示出GB 然后求出 BC 再根据矩形的对边相等可得AD BC 从而求出AF 再求出AG 然后利用勾股定理列式 求出AB 再求比值即可 12 解 点E是边CD的中点 DE CE 将 ADE沿AE折叠后得到 AFE DE EF AF AD AFE D 90 CE EF 如图 连接EG 在 Rt ECG和 Rt EFG中 EG EG CE EF Rt ECG Rt EFG HL CG FG 设CG a 1CG GBk GB ka BC CG BG a ka a k 1 在矩形ABCD中 AD BC a k 1 AF a k 1 AG AF FG a k 1 a a k 2 在 Rt ABG中 AB 22 AGBG 22 2 a kka 2a1k AD AB 1 21 a k a k 1 2 k 所以应填 1 2 k 方法指导 本题考查了矩形的性质 全等三角形的判定与性质 勾股定理的应用 以及 翻折变换的性质 熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键 易错警示 本题综合性很强 不能综合运用所学知识很容易出错 6 20132013 江苏扬州 江苏扬州 1717 3 3 分 分 矩形的两邻边长的差为 2 对角线长为 4 则矩形的面积 为 答案 6 解析 分析 设矩形一条边长为x 则另一条边长为x 2 然后根据勾股定理列出方程 式求出x的值 继而可求出矩形的面积 解 设矩形一条边长为x 则另一条边长为x 2 由勾股定理得 x2 x 2 2 42 整理得 x2 2x 6 0 解得 x 1 7或x 1 7 不合题意 舍去 另一边为 7 1 则矩形的面积为 1 7 7 1 6 所以应填 6 方法指导 本题考查了勾股定理及矩形的性质 难度适中 解答本题的关键是根据勾股 定理列出等式求处矩形的边长 要求同学们掌握矩形面积的求法 易错警示 解题时 用勾股定理可能出错 解一元二次方程可能出错 7 20132013 山东临沂 山东临沂 1717 3 3 分 分 如图 菱形 ABCD 中 AB 4 B 60 AE BC AF CD 垂足分别为 E F 连接 EF 则 AEF 的面积是 13 A B C D EF 答案 3 3 解析 AEF 是等边三角形 边长为2 3 所以该三角形的面积为3 3 方法指导 利用全等三角形的性质可知 AE AF 利用直角三角形的性质得到 BAE 30 所以 EAF 60 8 20138 2013 山东烟台 山东烟台 18 318 3 分分 如图 正方形ABCD的边长为 4 点E在BC上 四边形EFCB 也是正方形 以B为圆心 BA长为半径画弧AC 连结AF CF则图中阴影部分面积为 9 9 20132013 福建福州 福建福州 1212 4 4 分 分 矩形的外角和等于 度 答案 360 解析 根据任意多边形的外角和都为 360 即可得出答案 方法指导 本题考查了多边形的外角和 多边形的外角和与边数无关 任何多边形的外 角和都是 360 计算时 要熟记吆 答案 4 解析 利用两次三角形全等把不规则图形的面积转化成扇形的面积 注意化归思想方法 的运用 在AB上截取AH EF 连接EH交AF于点G 则 EF AH HAG GFE 又 AGH FGE AHG FEG AH EF BE 又 AB BC BH CE又 HBG CEF HBG CEF AB 4 S阴 S扇形ABC 360 490 2 4 14 方法指导 本题考查了正方形的性质 扇形的面积公式 不规则图形的面积 全等三角 形 本题要求的阴影部分面积是不规则图形 在解题过程中要善于运用化归思想通过三角形 全等把不规则图形转化成规则的图形然后利用面积公式即可求解 10 2013 湖南邵阳 18 3 分 如图 六 所示 将 ABC绕AC的中点O顺时针旋转 180 得 到 CDA 添加一个条件 使四边形ABCD为矩形 图 六 O A B D C 答案 B 90 答案不唯一 解析 ABC 绕 AC 的中点 O 顺时针旋转 180 得到 CDA AB CD BAC DCA AB CD 四边形 ABCD 为平行四边形 当 B 90 时 平行四边形 ABCD 为矩形 添加的条件为 B 90 故答案为 B 90 方法指导 本题考查了旋转的性质 旋转前后两图形全等 对应点到旋转中心的距离 相等 对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角 也考查了矩形的判定 11 2013 江西 10 3 分 如图 矩形ABCD中 点E F分别是AB CD的中点 连接DE 和BF 分别取DE BF的中点M N 连接AM CN MN 若AB 22 BC 23 则图中阴 影部分的面积为 答案答案 26 15 解析解析 BCN与 ADM全等 面积也相等 口 DFMN与口 BEMN的面积也相等 所以阴 影部分的面积其实就是原矩形面积的一半 1 2 32 22 6 2 即阴影部分的面 积为2 6 方法指导方法指导 仔细观察图形特点 搞清部分与整体的关系 把不规则的图形转化为规则 的来计算 12 2013 广西钦州 18 3 分 如图 在正方形 ABCD 中 E 是 AB 上一点 BE 2 AE 3BE P 是 AC 上一动点 则 PB PE 的最小值是 10 考点 轴对称 最短路线问题 正方形的性质 分析 由正方形性质的得出 B D 关于 AC 对称 根据两点之间线段最短可知 连接 DE 交 AC 于 P 连接 BP 则此时 PB PE 的值最小 进而利用勾股定理求出即可 解答 解 如图 连接 DE 交 AC 于 P 连接 BP 则此时 PB PE 的值最小 四边形 ABCD 是正方形 B D 关于 AC 对称 PB PD PB PE PD PE DE BE 2 AE 3BE AE 6 AB 8 DE 10 故 PB PE 的最小值是 10 故答案为 10 点评 本题考查了轴对称 最短路线问题 正方形的性质 解此题通常是利用两点之间 线段最短的性质得出 13 2013 湖南邵阳 18 3 分 如图 六 所示 将 ABC绕AC的中点O顺时针旋转 180 得到 CDA 添加一个条件 使四边形ABCD为矩形 图 六 O A B D C 16 知识考点 矩形的判定 审题要津 由题意可知四边形ABCD是平行四边形 只要满足 有一个角是直角的平 行四边形是矩形 即可得到答案 满分解答 解 四边形ABCD是平行四边形 若 B 90 则平行四边形ABCD为矩 形 故答案为 B 90 名师点评 熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键 14 20132013 江苏南京 江苏南京 1111 2 2 分 分 如图 将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形A B C D 的位置 旋转角为 0 90 若 1 110 则 答案 20 解析 错误 不能通过编辑域代码创建对象 错误 不能通过编辑域代码创建对象 延长错误 不能通过编辑域代码创建对象 错误 不能通过编辑域代码创建对象 交 CD 于 E 则 错误 不能通过编辑域代码创建对象 错误 不能通过编辑域代码创建对象 20 错误 不能通过编辑域代错误 不能通过编辑域代 码创建对象 码创建对象 ED 160 由四边形的内角和为 360 可得 20 15 20132013 江苏南京 江苏南京 1212 2 2 分 分 如图 将菱形纸片 ABCD 折迭 使点 A 恰好落在菱形的 对称中心 O 处 折痕为 EF 若菱形 ABCD 的边长为 2 cm A 120 则 EF cm 答案 3 解析 点 A 恰好落在菱形的对称中心 O 处 如图 P 为 AO 中点 所以 E 为 A 职点 AE 1 EAO 60 EP 错误 不能通过编辑域代码创建对象 错误 不能通过编辑域代码创建对象 所以 EF 3 16 2013 潍坊 14 3 分 如图 ABCD 是对角线互相垂直的四边形 且 OB OD 请你 添加一个适当的条件 使 ABCD 成为菱形 只需添加一个即可 答案 OA OC 或 AD BC 或 AD BC 或 AB BC 等 考点 菱形的判别方法 点评 此题属于开放题型 答案不唯一 主要考查了菱形的判定 关键是掌握菱形的判定 定理 A B C D B 1 C D 17 17 2013 嘉兴 5 分 如图 正方形 ABCD 的边长为 3 点 E F 分别在边 AB BC 上 AE BF 1 小球 P 从点 E 出发沿直线向点 F 运动 每当碰到正方形的边时反弹 反弹时反射 角等于入射角 当小球 P 第一次碰到点 E 时 小球 P 与正方形的边碰撞的次数为 6 小 球 P 所经过的路程为 思路分析 根据已知中的点 E F 的位置 可知入射角的正切值为 通过相似三角形 来 确定反射后的点的位置 从而可得反射的次数 再由勾股定理就可以求出小球经过的路径 的总长度 解析 根据已知中的点 E F 的位置 可知入射角的正切值为 第一次碰撞点为 F 在反 射的过程中 根据入射角等于反射角及平行关系的三角形的相似可得第二次碰撞点为 G 在 DA 上 且 DG DA 第三次碰撞点为 H 在 DC 上 且 DH DC 第四次碰撞点为 M 在 CB 上 且 CM BC 第五次碰撞点为 N 在 DA 上 且 AN AD 第六次回到 E 点 AE AB 由勾股定理可以得出 EF FG GH HM MN NE 故小球经过的路程为 6 故答案为 6 6 方法指导 本题主要考查了反射原理与三角形相似知识的运用 通过相似三角形 来确 定反射后的点的位置 从而可得反射的次数 由勾股定理来确定小球经过的路程 是一道 学科综合试题 属于难题 18 20132013 浙江丽水浙江丽水 4 4 分分如图 四边形ABCD与四边形AEFG都是菱形 其中点C 在AF上 点E G分别在BC CD上 若 BAD 135 EAG 75 则 AE AB 18 19 20132013 四川绵阳 四川绵阳 1616 4 4 分 分 对正方形ABCD进行分割 如图 1 其中E F分别是 BC CD的中点 M N G分别是OB OD EF的中点 沿分化线可以剪出一副 七巧板 用这些部件可以拼出很多图案 图 2 就是用其中 6 块拼出的 飞机 若 GOM的面积为 1 则 飞机 的面积为 14 解析 连接 AC 四边形 ABCD 是正方形 AC BD E F 分别 BC CD 的中 点 EF BD AC EF CF CE EFC 是等腰直角三角形 直线 AC 是 EFC 底边上的高所在 直线 根据等腰三角形 三线合一 AC 必过 EF 的中点 G 点 A O G 和 C 在同一条直线 上 OC OB OD OC OB FG 是 DCO 的中位线 OG CG OC M N 分别是 OB OD 的中点 1 2 OM BM OB ON DN OD OG OM BM ON DN BD 等腰直角三角形 GOM 的面积为 1 2 1 2 1 4 1 OM OG OM2 1 OM BD 4 OM 4 2AD2 BD2 32 AD 4 图 2 中飞机面积图 1 中多边 1 2 1 222 形 ABEFD 的面积 飞机面积 正方形 ABCD 面积 三角形 CEF 面积 16 2 14 20 20132013 四川内江 四川内江 1616 5 5 分 分 已知菱形 ABCD 的两条对角线分别为 6 和 8 M N 分别是 边 BC CD 的中点 P 是对角线 BD 上一点 则 PM PN 的最小值 5 考点 轴对称 最短路线问题 菱形的性质 分析 作 M 关于 BD 的对称点 Q 连接 NQ 交 BD 于 P 连接 MP 此时 MP NP 的值最小 连接 AC 求出 OC OB 根据勾股定理求出 BC 长 证出 MP NP QN BC 即可得出答案 解答 解 19 作 M 关于 BD 的对称点 Q 连接 NQ 交 BD 于 P 连接 MP 此时 MP NP 的值最小 连接 AC 四边形 ABCD 是菱形 AC BD QBP MBP 即 Q 在 AB 上 MQ BD AC MQ M 为 BC 中点 Q 为 AB 中点 N 为 CD 中点 四边形 ABCD 是菱形 BQ CD BQ CN 四边形 BQNC 是平行四边形 NQ BC 四边形 ABCD 是菱形 CO AC 3 BO BD 4 在 Rt BOC 中 由勾股定理得 BC 5 即 NQ 5 MP NP QP NP QN 5 故答案为 5 点评 本题考查了轴对称 最短路线问题 平行四边形的性质和判定 菱形的性质 勾股定 理的应用 解此题的关键是能根据轴对称找出 P 的位置 21 2013 贵州省黔西南州 17 3 分 如图所示 菱形 ABCD 的边长为 4 且 AE BC 于 E AF CD 于 F B 60 则菱形的面积为 考点 菱形的性质 分析 根据已知条件解直角三角形 ABE 可求出 AE 的长 再由菱形的面积等于底 高计算即 可 解答 解 菱形 ABCD 的边长为 4 AB BC 4 AE BC 于 E B 60 sinB AE 2 菱形的面积 4 2 8 故答案为 8 点评 本题考查了菱形的性质 四边相等以及特殊角的三角函数值和菱形面积公式的运 20 用 22 2013 河 南 省 15 3 分 如图 矩形ABCD中 3 4ABBC 点E是BC边 上一点 连接AE 把B 沿AE折叠 使点B落在点 B处 当 CEB为直角三角形时 BE的长为 解析 当 90EB C 时 由题可知 90ABEAB E 即 A B C在同一直线 上 B落在对角线AC上 此时 设BEx 则 B Ex 4 2CEx B CACAB 在 Rt B ECA中 解得 3 2 x 当 90B CE 时 即 B落在CD上 3ABAB 此时在 Rt ADBA中 斜边 AB大于直角边AD 因此这种情况不成立 当 90B EC 时 即 B落在AD上 此时四边形 ABEB是正方形 所以 3 ABBE 21 答案 3 3 2 或 23 2013 黑龙江省哈尔滨市 20 如图 矩形 ABCD 的对角线 AC BD 相交于点 0 过点 O 作 OE AC 交 AB 于 E 若 BC 4 AOE 的面积为 5 则 sin BOE 的值为 考点 线段垂直平分线的性质 勾股定理 矩形的性质 解直角三角形 分析 本题利用三角形的面积计算此题考查了矩形的性质 垂直平分线的性质以及勾股定 理及解直角三角形 注意数形结合思想的应用 此题综合性较强 难度较大 解答 由 AOE 的面积为 5 找此三角形的高 作 OH AE 于 E 得 OH BC AH BH 由三角形 的中位线 BC 4 OH 2 从而 AE 5 连接 CE 由 AO OC OE AC 得 EO 是 AC 的垂直平分线 AE CE 在直角三角形 EBC 中 BC 4 AE 5 勾股定理得 EB 3 AB 8 在直角三角形 ABC 中 勾股定理得 AC 4 5 BO 1 2 AC 2 5 作 EM BO 于 M 在直角三角形 EBM 中 EM BEsin ABD 3 5 5 3 5 5 BM BEcos ABD 3 2 5 5 6 5 5 从而 OM 4 5 5 在直角三角形 E0M 中 勾股定 理得 OE 5 sin BOE 3 5 3 5 055 EM E 三 解答题 1 1 20132013 重庆市重庆市 A A 2424 1010 分 分 如图 在矩形ABCD中 E F分别是边AB CD上的点 AE CF 连接EF BF EF与对角线AC交于点O 且BE BF BEF 2 BAC 1 求证 OE OF 2 若BC 2 3 求AB的长 22 答案 1 证明 四边形ABCD是矩形 AB CD OAE OCF OEA OFC AE CF AEO CFO ASA OE OF 2 连接BO OE OF BE BF BO EF 且 EBO FBO BOF 90 四边形ABCD是矩形 BCF 90 又 BEF 2 BAC BEF BAC EOA BAC EOA AE OE AE CF OE OF OF CF 又 BF BF BOF BCF HL OBF CBF CBF FBO OBE ABC 90 OBE 30 BEO 60 BAC 30 tan BAC AB BC tan30 AB 32 即 AB 32 3 3 AB 6 解析 1 证明 AEO CFO解决 2 连接BO 根据等腰三角形 三线合一 的性质 得 FBO EBO 然后证明 BOF BCF 得 FBO FBC 直至证得 BAC 30 后 运 用解直角三角形知识求解 方法指导 本题考查矩形的性质 全等三角形的判定和性质 等腰三角形的判定和性质 解直角三角形 以往考题中 与本题图形相关的问题多是告诉点O是对角线AC的中点 得 以产生 AEO CFO 可得AE CF 而本题一改这种命题形式 将AE CF当作条件呈现 让学生证明OE OF 显得精巧细致 同时也为后面等腰三角形 三线合一 性质的应用创 造了条件 进而通过 BEF 2 BAC 这一条件 贯通已知与未知的联系 是一道不可多得 的好的直线型几何综合题 2 20132013 湖北黄冈 湖北黄冈 1717 6 6 分 分 如图 四边形ABCD是菱形 对角线AC BD相交于点 O DH AB于H 连接OH 求证 DHO DCO 答案 证明 四边形ABCD是菱形 OD OB COD 90 23 DH AB于H DHB 90 OH 1 2 BD OB OHB OBH 又 AB CD OBH ODC OHB ODC 在Rt COD中 ODC OCD 90 在Rt DHB中 DHO OHB 90 DHO DCO 解析 根据菱形的对边平行 对角线互相垂直 易知 OBH ODC ODC DCO 90 再根据菱形的对角线互相平分及DH AB 易证 OHB OBH OHB DHO 90 最后根据等角的余角相等证得 DHO DCO 方法指导 本题考查菱形的性质 直角三角形的性质及等角的余角相等 熟练掌握相关 几何知识是求解关键 解答本题也可通过证明 DHO ODH DCO解决 这可由 ODH DBH 90 ODC DCO 90 DBH ODC及OH 1 2 BD OD证得 3 20132013 江苏苏州 江苏苏州 2828 8 8 分 分 如图 点 P 是菱形 ABCD 对角线 AC 上的一点 连接 DP 并延 长 DP 交边 AB 于点 E 连接 BP 并延长 BP 交边 AD 于点 F 交 CD 的延长线于点 G 1 求证 APB APD 2 已知 DF FA 1 2 设线段 DP 的长为 x 线段 PF 的长为 y 求 y 与 x 的函数关系式 当 x 6 时 求线段 FG 的长 思路分析 1 要证明 APB APD 只要根据菱形的邻边相等 一条对角线平分一组 对角 用 边角边 证明即可 2 根据菱形的性质证明 AFP CBP 将DF FA 1 2 变形 得AF AD 2 3 即 AF BC 2 3 进一步可以得出y与x的函数关系式 先求出当x 6 时y的值 再证明 DFG AFB 从而可以求出线段FG的长 解 24 方法指导 本题考查了相似三角形的判定和菱形的性质 特殊四边形的性质和判定一直 是中考命题的热点 常用的菱形的性质有 菱形的四条边相等 菱形的对角线互相垂 直平分 菱形的一条对角线平分一组对角 易错警示 不会运用菱形的一条对角线平分一组对角就不会证明三角形全等 不会运用 菱形的性质证明三角形相似就解决不了问题 4 20132013 江苏扬州 江苏扬州 2323 1010 分 分 如图 在 ABC中 ACB 90 AC BC 点D在边AB 上 连接CD 将线段CD绕点C顺时针旋转 90 至CE位置 连接AE 1 求证 AB AE 2 若BC2 AD AB 求证 四边形ADCE为正方形 思路分析 1 根据旋转的性质得到 DCE 90 CD CE 利用等角的余角相等得 BCD ACE 然后根据 SAS 可判断 BCD ACE 则 B CAE 45 所以 DAE 90 即可得到结论 2 由于BC AC 则AC2 AD AB 根据相似三角形的判定方法得到 DAC CAB 则 CDA BCA 90 可判断四边形ADCE为矩形 利用CD CE可判断四边形ADCE为正方 形 25 解 证明 1 在 ABC中 ACB 90 AC BC BAC B 45 由旋转得DC EC 且 DCE ACB 90 即 BCD ACD ACE ACD BCD ACE 在 BCD和 ACE中 BCAC BCDACE DCEC BCD ACE CAE B CAE 45 又 BAC 45 BAE BAC CAE 90 AB AE 2 AC BC 若BC 2 AD AB 则AC 2 AD AB 即 ACAD ABAC 又 CAD BAC ACD ABC ADC ACB 90 四边形ADCE是矩形 三个角都是直角的四边形是矩形 再由DC CE 可得四边形ADCE是正方形 方法指导 本题考查了旋转的性质 旋转前后两图形全等 对应点到旋转中心的距离相 等 对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角 也考查了等腰直角三角形的性质 三 角形全等 相似的判定与性质以及正方形的判定 易错警示 证明四边形ADCE是矩形 菱形的条件不够 从而感觉无从入手 5 20132013 贵州安顺 贵州安顺 2323 1212 分 分 如图 在 ABC中 D E分别是AB AC的中点 BE 2DE 延长DE到点F 使得EF BE 连 接CF 1 求证 四边形BCFE是菱形 2 若CE 4 BCF 120 求菱形BCFE的面积 思路分析 从所给的条件可知 DE 是 ABC 中位线 所以 DE BC 且 2DE BC 所以 BC 和 EF 平行且相等 所以四边形 BCFE 是平行四边形 又因为 BE FE 所以是菱形 BCF 是 120 所以 EBC 为 60 所以菱形的边长也为 4 求出菱形的高面积就可求 解 1 证明 D E分别是AB AC的中点 DE BC BC 2DE 又BE 2DE EF BE BC BE EF EF BC 四边形BCFE是菱形 6 分 2 解 连接BF交CE于点O 在菱形BCFE中 BCF 120 CE 4 BF CE BCO 2 1 BCF 60 OC 2 1 CE 2 在 Rt BOC中 tan60 OC OB OB 2tan60 BF 4tan60 菱形BCFE的面积 2 1 CE BF 2 1 4 4tan60 83 12 分 方法指导 本题考查菱形的判定和性质以及三角形中位线定理 以及菱形的面积的计算 等知识点 6 20132013 山东临沂 山东临沂 2222 7 7 分 分 如图 在 ABC中 AD是BC边上的中线 E是AD的中点 26 过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F 连接CF 1 求证 AF DC 2 若AB AC 试判断四边形ADCF的形状 并证明你的结论 AB C D E F 解析 证明 1 E是AD的中点 AE ED AF BC AFE DBE FAE BDE AFE DBE AF DB AD是BC边上的中线 DB DC AF DC 2 四边形ADCF是菱形 理由 由 1 知 AF DC AF CD 四边形ADCF是平行四边形 又 AB AC ABC是直角三角形 AD是BC边上的中线 AD 1 2 BC DC 平行四边形ADCF是菱形 方法指导 利用全等三角形的性质得出相等的线段 根据题目中的条件和三角形中线的 性质 可以判定四边形为菱形 7 20132013 广东广州 广东广州 1818 9 9 分 分 如图 8 四边形 ABCD 是菱形 对角线 AC 与 BD 相交于 O AB 5 AO 4 求 BD 的长 思路分析思路分析 因为菱形的对角线互相垂直 在 Rt AOB 中 已知两条边 由勾股定理可求 出第三边 进而求得答案 解解 四边形 ABCD