【志鸿优化设计】2014届高考数学一轮复习 第二章 函数2．3函数的奇偶性与周期性教学案 理 新人教A版

1 2 32 3 函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性 考考纲纲要要求求 1 结合具体函数 了解函数奇偶性的含义 2 会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性 3 了解函数周期性 最小正周期的含义 会判断 应用简单函数的周期性 1 函数的奇偶性 奇偶性定义图象特点 偶函数 如果对于函数f x 的定义域内任意一个x 都有 那么函数f x 是偶函数 关于 对称 奇函数 如果对于函数f x 的定义域内任意一个x 都有 那么函数f x 是奇函数 关于 对称 2 周期性 1 周期函数 对于函数y f x 如果存在一个非零常数T 使得当x取定义域内的 任何值时 都有f x T 那么就称函数y f x 为周期函数 称T为这个函数的 周期 2 最小正周期 如果在周期函数f x 的所有周期中 的正数 那么这个 正数就叫做f x 的最小正周期 3 对称性 若函数f x 满足f a x f a x 或f x f 2a x 则函数f x 关于直线 对称 1 函数f x x的图象关于 1 x A y轴对称 B 直线y x对称 C 坐标原点对称 D 直线y x对称 2 若函数f x 为奇函数 则a x 2x 1 x a A B C D 1 1 2 2 3 3 4 3 函数f x m 1 x2 2mx 3 为偶函数 则f x 在区间 5 3 上 A 先减后增 B 先增后减C 单调递减 D 单调递增 4 若f x 是 R R 上周期为 5 的奇函数 且满足f 1 1 f 2 2 则f 3 f 4 A 1 B 1 C 2 D 2 5 若偶函数f x 是以 4 为周期的函数 f x 在区间 6 4 上是减函数 则f x 在 0 2 上的单调性是 一 函数奇偶性的判定 例 1 判断下列函数的奇偶性 1 f x 3 x2x2 3 2 f x x 1 1 x 1 x 3 f x 4 x2 x 3 3 方法提炼方法提炼 判定函数奇偶性的常用方法及思路 2 1 定义法 2 图象法 3 性质法 1 奇 奇 是奇 奇 奇 是奇 奇 奇 是偶 奇 奇 是偶 2 偶 偶 是偶 偶 偶 是偶 偶 偶 是偶 偶 偶 是偶 3 奇 偶 是奇 奇 偶 是奇 提醒 提醒 1 分段函数奇偶性的判断 要注意定义域内x取值的任意性 应分段讨论 讨 论时可依据x的范围取相应地化简解析式 判断f x 与f x 的关系 得出结论 也可以 利用图象作判断 2 性质法 中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的 3 性质法在选择题和填空题中可直接运用 但在解答题中应给出性质推导的过程 请做演练巩固提升 1 二 函数奇偶性的应用 例 2 1 设偶函数f x 满足f x x3 8 x 0 则 x f x 2 0 A x x 2 或x 0 B x x 0 或x 4 C x x 0 或x 6 D x x 2 或x 2 例 2 2 设a b R R 且a 2 若定义在区间 b b 内的函数f x lg 是奇函数 则a b的取值范围为 1 ax 1 2x 例 2 3 设函数f x x3 bx2 cx x R R 已知g x f x f x 是奇函数 1 求b c的值 2 求g x 的单调区间与极值 方法提炼方法提炼 函数奇偶性的应用 1 已知函数的奇偶性求函数的解析式 往往要抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的 解析式 或充分利用奇偶性产生关于f x 的方程 从而可得f x 的解析式 2 已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数 常常采用待定系数法 利用 f x f x 0 产生关于字母的恒等式 由系数的对等性可得知字母的值 3 奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同 偶函 数在关于原点对称的区间上的单调性相反 4 若f x 为奇函数 且在x 0 处有定义 则f 0 0 这一结论在解决问题中十分 便捷 但若f x 是偶函数且在x 0 处有定义 就不一定有f 0 0 如f x x2 1 是偶 函数 而f 0 1 请做演练巩固提升 3 4 三 函数的周期性及其应用 例 3 1 已知定义在 R R 上的函数f x 满足f x f 且f 1 3 则f 2 x 3 2 014 3 例 3 2 已知函数f x 满足f x 1 若f 1 2 014 则f 103 1 f x 1 f x 方法提炼方法提炼 抽象函数的周期需要根据给出的函数式子求出 常见的有以下几种情形 1 若函数满足f x T f x 由函数周期性的定义可知T是函数的一个周期 2 若满足f x a f x 则f x 2a f x a a f x a f x 所以 2a是函数的一个周期 3 若满足f x a 则f x 2a f x a a f x 所以 1 f x 1 f x a 2a是函数的一个周期 4 若函数满足f x a 同理可得 2a是函数的一个周期 1 f x 5 如果T是函数y f x 的周期 则 kT k Z Z 且k 0 也是y f x 的周期 即 f x kT f x 若已知区间 m n m n 的图象 则可画出区间 m kT n kT k Z Z 且k 0 上的图象 请做演练巩固提升 5 没有等价变形而致误 典例 函数f x 的定义域D x x 0 且满足对于任意x1 x2 D 有f x1 x2 f x1 f x2 1 求f 1 的值 2 判断f x 的奇偶性 并证明 3 如果f 4 1 f 3x 1 f 2x 6 3 且f x 在 0 上是增函数 求x 的取值范围 错解 错解 1 令x1 x2 1 有f 1 1 f 1 f 1 解得f 1 0 2 f x 为偶函数 证明如下 令x1 x2 1 有f 1 1 f 1 f 1 解得f 1 0 令x1 1 x2 x 有f x f 1 f x f x f x f x 为偶函数 3 f 4 4 f 4 f 4 2 f 16 4 f 16 f 4 3 由f 3x 1 f 2x 6 3 得f 3x 1 2x 6 f 64 又 f x 在 0 上是增函数 3x 1 2x 6 64 x 5 7 3 分析 分析 1 从f 1 联想自变量的值为 1 进而想到赋值x1 x2 1 2 判断f x 的奇偶 性 就是研究f x f x 的关系 从而想到赋值x1 1 x2 x 即f x f 1 f x 3 就是要出现f M f N 的形式 再结合单调性转化为M N或M N的形式求 解 正解 正解 1 令x1 x2 1 有f 1 1 f 1 f 1 解得f 1 0 2 f x 为偶函数 证明如下 令x1 x2 1 有f 1 1 f 1 f 1 解得f 1 0 令x1 1 x2 x 有f x f 1 f x f x f x f x 为偶函数 3 f 4 4 f 4 f 4 2 4 f 16 4 f 16 f 4 3 由f 3x 1 f 2x 6 3 变形为f 3x 1 2x 6 f 64 f x 为偶函数 f x f x f x 不等式 等价于f 3x 1 2x 6 f 64 又 f x 在 0 上是增函数 3x 1 2x 6 64 且 3x 1 2x 6 0 解得 x 或 x 3 或 3 x 5 7 3 1 3 1 3 x的取值范围是 Error 答题指导 答题指导 等价转化要做到规范 应注意以下几点 1 要有明确的语言表示 如 M 等价于 N M 变形为 N 2 要写明转化的条件 如本例中 f x 为偶函数 不等式 等价于f 3x 1 2x 6 f 64 3 转化的结果要等价 如本例 由于f 3x 1 2x 6 f 64 3x 1 2x 6 64 且 3x 1 2x 6 0 若漏掉 3x 1 2x 6 0 则这个转化就不等价 了 1 下列函数中既不是奇函数 又不是偶函数的是 A y 2 x B y lg x x2 1 C y 2x 2 x D y lg 1 x 1 2 已知函数f x 对一切x y R R 都有f x y f x f y 则f x 为 A 偶函数 B 奇函数 C 既是奇函数又是偶函数 D 非奇非偶函数 3 函数f x 的定义域为 R R 且满足 f x 是偶函数 f x 1 是奇函数 若f 0 5 9 则f 8 5 等于 A 9 B 9 C 3 D 0 4 设偶函数f x 满足f x 2x 4 x 0 则不等式f x 2 0 的解集为 A x x 2 或x 4 B x x 0 或x 4 C x x 0 或x 6 D x x 2 或x 2 5 已知定义在 R R 上的奇函数f x 的图象关于直线x 1 对称 f 1 1 则f 2 008 f 2 009 f 2 010 f 2 011 f 2 012 f 2 013 5 参考答案参考答案 基础梳理自测基础梳理自测 知识梳理知识梳理 1 f x f x y轴 f x f x 原点 2 1 f x 2 存在一个最小 最小 3 x a 基础自测基础自测 1 C 解析 解析 判断f x 为奇函数 图象关于原点对称 故选 C 2 A 解析 解析 f x 为奇函数 f x f x 即 恒成立 整理得 a 故选 A x 2x 1 x a x 2x 1 x a 1 2 3 D 解析 解析 当m 1 时 f x 2x 3 不是偶函数 当m 1 时 f x 为二次函数 要使其为偶函数 则其对称轴应为y轴 故需m 0 此时f x x2 3 其图象的开口 向下 所以函数f x 在 5 3 上单调递增 4 A 解析 解析 f 3 f 5 2 f 2 f 2 2 f 4 f 5 1 f 1 f 1 1 f 3 f 4 1 故选 A 5 单调递增 解析 解析 T 4 且在 6 4 上单调递减 函数在 2 0 上也单调递减 又f x 为偶函数 故f x 的图象关于y轴对称 由对称性知f x 在 0 2 上单调递增 考点探究突破考点探究突破 例 1 解 1 由Error 得x 或x 33 函数f x 的定义域为 33 对任意的x x 且f x f x f x 0 3333 f x 既是奇函数 又是偶函数 2 要使f x 有意义 则 0 1 x 1 x 解得 1 x 1 显然f x 的定义域不关于原点对称 f x 既不是奇函数 也不是偶函数 3 Error 2 x 2 且x 0 函数f x 的定义域关于原点对称 又f x 4 x2 x 3 3 4 x2 x f x 4 x 2 x 4 x2 x f x f x 即函数f x 是奇函数 例 2 1 B 解析 解析 当x 0 时 x 0 f x x 3 8 x3 8 又f x 是偶函数 f x f x x3 8 f x Error f x 2 Error 由f x 2 0 得 Error 或Error 解得x 4 或x 0 故选 B 例 2 2 解析 解析 f x 在 b b 上是奇函数 2 3 2 6 f x lg f x lg lg 1 ax 1 2x 1 ax 1 2x 1 2x 1 ax 对x b b 成立 可得a 2 a 2 舍去 1 2x 1 ax 1 ax 1 2x f x lg 1 2x 1 2x 由 0 得 x 1 2x 1 2x 1 2 1 2 又f x 定义区间为 b b 0 b 2 a b 1 2 3 2 例 2 3 解 1 f x x3 bx2 cx f x 3x2 2bx c g x f x f x x3 b 3 x2 c 2b x c g x 是一个奇函数 g 0 0 得c 0 由奇函数定义g x g x 得b 3 2 由 1 知g x x3 6x 从而g x 3x2 6 由此可知 和 是函数g x 的单调递增区间 是函 2222 数g x 的单调递减区间 g x 在x 时 取得极大值 极大值为 4 22 g x 在x 时 取得极小值 极小值为 4 22 例 3 1 3 解析 解析 f x f x 3 2 f x 3 f x 3 2 3 2 f f x x 3 2 f x 是以 3 为周期的周期函数 则f 2 014 f 671 3 1 f 1 3 例 3 2 解析 解析 f x 1 1 2 014 1 f x 1 f x f x 2 1 f x 1 1 f x 1 1 1 f x 1 f x 1 1 f x 1 f x 1 f x f x 4 f x 即函数f x 的周期为 4 f 1 2 014 f 103 f 25 4 3 f 3 1 f 1 1 2 014 演练巩固提升演练巩固提升 1 D 解析 解析 对于 D y lg的定义域为 x x 1 不关于原点对称 是非奇非 1 x 1 偶函数 2 B 解析 解析 显然f x 的定义域是 R R 它关于原点对称 令y x 得f 0 f x f x 又 f 0 0 f x f x 0 即f x f x 7 f x 是奇函数 故选 B 3 B 解析 解析 由题可知 f x 是偶函数 所以f x f x 又f x 1 是奇函数 所以f x 1 f x 1 令t x 1 可得f t f t 2 所以f t 2 f t 4 所以可得f x f x 4 所以f 8 5 f 4 5 f 0 5 9 故选 B 4 B 解析 解析 当x 0 时 令f x 2x 4 0 所以x 2 又因为函数f x 为偶函数 所以函数f x 0 的解集为