七年级数学上册 暑期特训 代数式 浙教版

用心 爱心 专心1 暑期特训 代数式暑期特训 代数式 代数式一 重点 难点 1 在现实情境中理解字母表示数的意义 2 了解代数式 单项式 多项式的概念 3 能分析简单问题的数量关系 并用代数式表示及解释一些代数式的实际背景或几何意 义 4 会求代数式的值 掌握要点 一 知识要点 1 用字母表示数或者一些量 还能表示以前学过的运算律和计算公式 2 已知两个量之间的关系 通过用字母表示其中的一个量 则另一个量也能用这个字母 表示出来 3 体会字母表示数的意义 形成初步的符号感 二 重要提示 1 用字母表示数可以给我们研究问题带来很大方便 用字母表示数是代数的一个重要特 点 是数学发展史上的一大进步 2 在同一问题中 同一字母只能表示同一数量 不同的数量要用不同的字母表示 3 用字母表示实际问题中某一数量时 字母的取值必须使这个问题有意义 并且符合 实际 典型例题 例 1 用字母表示下面实际问题 1 行驶中的火车速度为 v 米 秒 汽车行驶的速度是火车速度的3 1 用 v 表示汽车 速度 2 如图 4 1 1 表示圆环的面积 3 如图 4 1 2 是用火柴摆出的三角形的图案 当摆 n 个三角形时 需火柴多少 根 分析 1 如果是一个数 该题就是求 v 的3 1 是多少 可表示为3 1 v 2 分别用 R r 把大圆和小圆的面积表示出来 用大圆的面积减去小圆的面积就是 用心 爱心 专心2 圆环的面 3 由图 4 1 2 可以发现 当第一个三角形摆完之后 每增加一个三角形就要增加 2 根火柴 所以摆 n 个三角形需 3 2 n 1 解 1 汽车的速度可表示为3 1 v 2 圆环的面积为 R 2 r 2 3 摆成 n 个三角形需要火柴 3 2 n 1 根 反思 1 用含有字母的式子表示实际问题时 我们必须弄清实际问题中的数量关系 2 字母与字母 数与字母相乘可以把 写成 或不写 并把数字写在前面 如 3 1 v 写成3 1 v 不写成 v3 1 同理 2 n 1 写成 2 n 1 例 2 如图 4 1 3 表示一圆形纸板 根据需求 需通过多次剪裁 把它剪成若干扇形 面 剪裁过程如下 第 1 次剪裁 将圆形纸板等分成 4 个扇形 第 2 次剪裁 将上次得到 的 扇形面中的一个再等分成 4 个扇形 以后按第 2 次剪裁方法进行下去 1 请你在下面的圆中 画出第 2 次剪裁后得到的 7 个扇形 要求画图准确 2 请你通过剪裁和猜想 将第 4 次和第 n 次剪裁后得到扇形的总个数 S 填入下 表 等分圆及扇形面的 次数 n 1234 n 所得扇形的总个数 s 4710 3 请你推断 能不能按上述的剪裁方向 将原来的圆形纸板剪成 33 个扇形 为什 么 分析 寻找规律应从特殊到一般 从个别例子中先找出其变化规律 解 1 略 只要画图规范就可以 2 填表得 等分圆及扇形 面的次数 n 1234 n 所得扇形的总 个数 s 471013 3 n 1 3 由 2 得 s 3n 1 当 s 33 时 3n 1 33 n 103 2 因为 n 是自然数 所以不 能将原来的扇形纸片剪成 33 片 反思 此题主要是抓住起始量与增加量的变化规律来解题的 请你推断 能不能按上 述的剪裁方向 将原来的圆形纸板剪成 34 个扇形 用心 爱心 专心3 二 知识要点 1 用字母列代数式 表示数量关系 解决应用问题 2 用实际背景或几何意义解释代数式 3 用具体数字代替代数式里的字母 求出代数式的值 重要提示 1 在书写代数式时 需要注意数字与字母 字母与字母 数字或数字与括号相乘时 乘号通常简写作 或者省略不写 如 4 a 可以写作 4 a 或 4a 一般把数写在字母 的前面 数字与数字相乘一般仍用 号 2 在实际问题中出现除法运算时 如果运算结果是和的形式时 要把整个的代数式用括 号括起来再写单位 如温度由 2 上升 t 后是 2 t 3 在代数式中出现除法运算时 一般按照分数的写法来写 如 三角形的底是 a 高是 h 则面积是 2 ah 或2 1 ah 4 代数式含有加 减 乘 除 乘方 开方等运算符号 不含有等号或不等号的式子叫 代数式 单独的一个字母或一个数也是代数式 5 代数式与公式不同 公式是等式 但不是代数式 代数式是不含 号的 典型例题 例 1 甲 乙两地之间的公路全长为 200 千米 一辆汽车从甲地到乙地每小时行 a 千米 用代数式表示 1 该汽车从甲地到乙地需要行多少小时 2 如果该汽车每小时多行 10 千米 则汽车从甲地到乙地需要多少小时 3 每小时多行 10 千米后 该汽车从甲地到乙地比原来少用多少小时 分析 本题从路程 速度 时间之间的关系 时间 速度 路程 入手 解 1 该汽车从甲地到乙地需要行a 200 小时 2 如果每小时多行 10 千米 需要行10 200 a小时 3 每小时多行 10 千米后 比原来少用 a 200 10 200 a 小时 例 2 某电影院有 20 排座位 已知第一排座位有 18 个座位 后面一排比前面一排多 2 个座位 请写出计算第 n 排的座位数 并求出第 19 排的座位数 分析 将排数与对应的座位数列表 然后从中找出规律 最后得到座位数与排数之间 的数量关系 排数每排座位数 h 118 220 322 424 用心 爱心 专心4 526 第一排为 18 2 1 1 个座位 第二排为 18 2 2 1 个座位 第三排为 18 2 3 1 个座位 由此可知座位数与排数之间的关系 解 第 n 排座位数是 18 2 n 1 个座位 将 n 19 代入 18 2 n 1 中 得 18 2 19 1 54 答 第 19 排的座位数是 54 个 反思 寻找规律 正确地把握各个数量间的关系 就能正确地列出代数式 用字母表 示数之后有些数量之间的关系用代数式表示 更具有普遍意义了 三 知识要点 1 求代数式的值的方法 代入法 2 利用代数式求值推断代数式所反映的规律 3 解释代数式的值的实际意义 重要提示 1 代数式的值是由其所含的字母取值所确定的 并随字母取值的变化而变化 字母取不 同的值 代数式的值可能不同 也可能相同 2 求出代数式的值后 可以根据值的变化趋势进行预测 推断代数式所反映的规律 3 有多个字母时 应注意字母的对应规律 4 注意括号和乘号在原来省略的地方要添上点 典型例题 例 1 填表观察代数式的值随字母变化的规律 A 5 4 3 2 1 012345 2a 2 分析 先把 a 取的值分别代入 2 a 2 中 求出 2 a 2 的值 再通过观察 探索代数式的 值随 a 的值变化的变化规律 解 填表如下 A 5 4 3 2 1 012345 2a 2 50321882028183250 通过观察表格可以发现 当 a0 时 随着 a 值逐渐增大 2a2的值也逐渐增大 反思 要注意比较字母取值之间的变化 同时也要比较代数式值的变化 才能找出规 律 例 2 北京时间与莫斯科时间的时差为 5 小时 1 若用 x 表示莫斯科时间 怎样用关于 x 的代数式表示同一时刻的北京时间 2 2001 年 7 月 13 日莫斯科时间 17 08 国际奥委员会主席萨马兰奇宣布北京获得 2008 年夏季奥运会的主办权 问此时北京时间为几时 解 1 根据北京时间与莫斯科时间的时差为 5 小时 则同一时刻的北京时间是 x 5 用心 爱心 专心5 2 x 1715 2 代入代数式 x 5 得 x 5 1715 2 5 2215 2 答 国际奥委会主席萨马兰奇宣布北京获得 2008 年夏季奥运会主办权的北京时间为 2215 2 时 即 22 08 注意 代数式与代数式的值 这两个概念之间既有联系 又有区别 不能混淆 代数 式反映的是一般的数量关系 如本例的代数式 x 5 反映的是莫斯科时间与北京时间的 一般关系 不论莫斯科时间 x 为多少 北京时间总是 x 5 而代数式的值反映的是特例 如本例中当 x 1715 2 时 北京时间为 2215 2 可能有同学会想 为什么不能得出莫斯科时间与北京时间的时差为 7 呢 但我们知道 北京位于莫斯科的东面 也就是北京人比莫斯科人在一天中早见到日出 所以北京的时间 应当早于同一时刻的莫斯科时间 所以北京与莫斯科的时差为 5 小时 例 3 电脑设计了这样一个程序 如图所示 请问当输入的数值为 3 时 最后输出结果 是多少 分析 输入 n 时 应计算 n2 n 与 28 的大小关系 如果 n2 n 28 则直接输出结果 若不成立 则将 n2 n 的值当作 n 再代入 n2 n 计算 直至 n2 n 28 时再输出 解 因为 n 3 时 n2 n 628 所以输出结果为 30 反思 回代这个过程的理解是比较难的 对于知识面要求较广 如果见过数值转换机 或计算机程序设计的 可能对于理解上有所帮助 所以在平时的学习中要注意与实际生活 相联系 要树立生活即学习 学习即生活的观念 模拟试题 答题时间 20 分钟 一 选择题 1 某班共有 x 个学生 其中女生人数占 45 那么男生人数是 A 45 x B 1 45 x C x 45 D 45 1 x 2 x2 3 的值是 A 大于 3B 等于 3 用心 爱心 专心6 C 大于或等于 3 D 小于 3 3 代数式 a b2 的意义表述正确的是 A a 与 b 的平方差 B a 与 b 的差的平方 C a 与 b 的平方的差 D a 减去 b 的平方差 4 三个连续偶数 最大的一个为 2n 2 那么最小的偶数可表示为 A 2n 1B 2n 2 C 2n 4D 2n 4 二 填空题 1 如图 正方形的边长为 a 那么阴影部分的面积为 结果保留 2 一个三角形的一条边长为 a 这边上的高线长为 6 则这个三角形的面积为 3 现有甲种糖果 a 千克 售价每千克 m 元 己种糖果 b 千克 售价每千克 n 元 若将这 两种糖果混在一起出售 则售价应为每千克 元 4 用语言叙述下列代数式的意义 1 某商品的价格是 x 元 则2 1 x 可以解释为 2 a b a b 可以解释为 3 8a3可以解释为 4 5 m 可以解释为 三 解答题 1 如果用 c 表示摄氏温度 f 表示华氏温度 则 c 与 f 之间的关系是 c 9 5 f 32 分别求出当 f 68 98 6 时 c 的值 2 如图 AB 为墙 现用 20 米的篱笆围成长方形的养鸡场 设养鸡场的长为 x 米 1 用 x 的代数式表示长方形的面积 2 当 x 10 时 求面积 3 23 2 10 3 865 8 102 6 10 5 类似地 5984 103 102 10 若某三位数的个位数字为 a 十 位数字为 b 百位数字为 c 则此三位数可表示为 4 你见识过拉面吗 你喜欢吃拉面吗 拉面馆的师傅用一根很粗的面条 把两头捏合一 用心 爱心 专心7 起拉伸 再捏合 再拉伸 反复几次 就把这根很粗的