2010年高三数学试题汇编第九章直线、平面、简单几何体程 第三节 空间角与距离

用心 爱心 专心 1 第九章第九章 直线 平面 简单几何体直线 平面 简单几何体 三三 空间角与距离空间角与距离 考点阐述 异面直线所成的角 异面直线的公垂线 异面直线的距离 直线和平面垂直的性质 平面 的法向量 点到平面的距离 直线和平面所成的角 向量在平面内的射影 平行平面的判 定和性质 平行平面间的距离 二面角及其平面角 两个平面垂直的判定和性质 考试要求 7 掌握直线和直线 直线和平面 平面和平面所成的角 距离的概念 对于异面直线的 距离 只要求会计算已给出公垂线或在坐标表示下的距离掌握直线和平面垂直的性质定理 掌握两个平面平行 垂直的判定定理和性质定理 考题分类 一 选择题 共 6 题 1 全国 卷理 7 文 9 正方体 ABCD 1111 ABC D 中 B 1 B 与平面 AC 1 D 所成角的余弦值为 A 2 3 B 3 3 C 2 3 D 6 3 答案 D 命题意图 本小题主要考查正方体的性质 直线与平面所成的角 点到平面的距离的求 法 利用等体积转化求出 D 到平面 AC 1 D 的距离是解决本题的关键所在 这也是转化思想的 具体体现 解析 因为 BB1 DD1 所以 B 1 B 与平面 AC 1 D 所成角和 DD1 与平面 AC 1 D 所成角相等 设 DO 平面 AC 1 D 由等体积法得 11 D ACDDACD VV 即 1 1 11 33 ACDACD SDOSDD 设 DD1 a 则 1 22 1 1133 sin60 2 2222 ACD SAC ADaa 2 11 22 ACD SAD CDa 所以 1 3 1 2 3 33 ACD ACD SDDa DOa Sa 记 DD1 与平面 AC 1 D 所成角为 则 1 3 sin 3 DO DD 所以 6 cos 3 2 全国 卷文 6 直三棱柱 111 ABCA BC 中 若 90BAC 1 ABACAA 则 异面直线 1 BA 与 1 AC 所成的角等于 A 30 B 45 C 60 D 90 答案 C 用心 爱心 专心 2 命题意图 本小题主要考查直三棱柱 111 ABCA BC 的性质 异面直线所成的角 异面 直线所成的角的求法 解析 延长 CA 到 D 使得AD AC 则 11 ADAC 为平行四边形 1 DAB 就是异面直线 1 BA 与 1 AC 所成的角 又三角形 1 ADB 为等边三角形 0 1 60DAB 3 全国 卷理 11 文 11 与正方体 ABCD A1B1C1D1 的三条棱 AB CC1 A1D1 所在直线的 距离相等的点 A 有且只有 1 个 B 有且只有 2 个 C 有且只有 3 个 D 有无数个 答案 D 解析 直线上取一点 分别作垂直于于则 分别作 垂足分别为 M N Q 连 PM PN PQ 由三垂线 定理可得 PN PM PQ AB 由于正方体中各个表面 对等角全等 所以 PM PN PQ 即 P 到三条棱 AB CC1 A1D1 所在直线 的距离相等所以有无穷多点满足条件 故选 D 4 全国 卷文 8 已知三棱锥S ABC 中 底面ABC为边长等于 2 的等边三角形 SA垂直于底面ABC SA 3 那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为 A 3 4 B 5 4 C 7 4 D 3 4 答案 D 命题意图 本题考查了立体几何的线与面 面与面位置关系及直线与平面所成角 解析 过 A 作 AE 垂直于 BC 交 BC 于 E 连结 SE 过 A 作 AF 垂直 于 SE 交 SE 于 F 连 BF 正三角形 ABC E 为 BC 中点 BC AE SA BC BC 面 SAE BC AF AF SE AF 面 SBC ABF 为直线 AB 与面 SBC 所成角 由正三角形边长 3 3AE AS 3 SE 2 3 AF 3 2 3 sin 4 ABF 5 重庆卷理 10 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点 在过其中一条直线且平行于 另一条直线的平面内的轨迹是 A 直线 B 椭圆 C 抛物线 D 双曲线 答案 D A B C S E F 用心 爱心 专心 3 A B A B C D E F H 解析 排除法 轨迹是轴对称图形 排除 A C 轨迹与已知直线不能有交点 排除 B 6 重庆卷文 9 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点 A 只有 1 个 B 恰有 3 个 C 恰有 4 个 D 有无穷多个 答案 D 解析 放在正方体中研究 显然 线段 1 OO EF FG GH HE 的中点到两垂直异面直线 AB CD 的距离都相等 所以排除 A B C 选 D 亦可在四条侧棱上找到四个点到两垂直异面直线 AB CD 的距离相等 二 填空题 共 1 题 1 四川卷理 15 文 15 如图 二面角 l 的大小是 60 线段AB Bl AB与l所成的角为 30 则AB与平面 所成的角的正弦值是 解析 过点 A 作平面 的垂线 垂足为 C 在 内过 C 作 l 的垂线 垂足为 D 连结 AD 有三垂线定理可知 AD l 故 ADC 为二面角 l 的平面角 为 60 又由已知 ABD 30 连结 CB 则 ABC 为AB与平面 所成的角 设 AD 2 则 AC 3 CD 1 AB 0 sin30 AD 4 sin ABC 3 4 AC AB 答案 3 4 三 解答题 共 33 题 1 安徽卷理 18 如图 在多面体ABCDEF中 四边形ABCD是正方形 EF AB EFFB 2ABEF 90BFC BFFC H为BC的中点 求证 FH 平面EDB 求证 AC 平面EDB A B C D 用心 爱心 专心 4 求二面角B DEC 的大小 用心 爱心 专心 5 2 安徽卷文 19 如图 在多面体 ABCDEF 中 四 边形 ABCD 是正方形 AB 2EF 2 EF AB EF FB BFC 90 BF FC H 为 BC 的中点 求证 FH 平面 EDB 求证 AC 平面 EDB 求四面体 B DEF 的体积 命题意图 本题考查空间线面平行 线面垂直 面面垂直的判断与证明 考查体积的计算等基础知 识 同时考查空间想象能力 推理论证能力和运算 能力 解题指导 1 设底面对角线交点为 G 则可以 通过证明 EG FH 得FH 平面EDB 2 利 用线线 线面的平行与垂直关系 证明 FH 平面 ABCD 得 FH BC FH AC 进而得 EG AC AC 平面EDB 3 证明 BF 平面 CDEF 得 BF 为四面体 B DEF 的高 进而求体积 1 1 2 1 2 ACBDGGACEG GH HBCGHAB EFABEFGH EGFHEGEDBFHEDB 证 设与交于点 则为的中点 连 由于为的中点 故 又四边形为平行四边形 而平面 平面 A B C D E F H 用心 爱心 专心 6 0 90 FBBFGFH FHBFFG HBCFHBC FHABCD FHACFHEGACEGACBDEGBDG ACEDB FBBFCBFCDEF BFBDEFBCA 证 由四边形ABC D 为正方形 有ABBC 又EF AB EFBC 而EF EF平面EF AB又为的中点 平面 又 又 平面 解 EF平面 为四面体的高 又2 2 111 1 2 2 323 B DEF BBFFC V 规律总结 本题是典型的空间几何问题 图形不是规则的空间几何体 所求的结论是线 面平行与垂直以及体积 考查平行关系的判断与性质 解决这类问题 通常利用线线平行证 明线面平行 利用线线垂直证明线面垂直 通过求高和底面积求四面体体积 3 北京卷理 16 如图 正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直 CE AC EF AC AB 2 CE EF 1 求证 AF 平面 BDE 求证 CF 平面 BDE 求二面角 A BE D 的大小 证明 I 设 AC 与 BD 交于点 G 因为 EF AG 且 EF 1 AG 1 2AC 1 所以四边形 AGEF 为平行四边形 所以 AF EG 因为 EG P 平面 BDE AF 平面 BDE 所以 AF 平面 BDE II 因为正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直 且 CE AC 所以 CE AC 所 以 CE 平面 ABCD 如图 以 C 为原点 建立空间直角坐标系 C xyz 则 C 0 0 0 A 2 2 0 D 2 0 0 E 0 0 1 F 2 2 2 2 1 所以CF 2 2 2 2 1 BE 0 2 DE 2 0 所以CF BE 0 1 1 0 CF DE 所以 CF BE CF DE 所以 CF 平面 BDE III 由 II 知 CF 2 2 2 2 1 是平面 BDE 的一个法向量 设平面 ABE 的 用心 爱心 专心 7 法向量n x y z 则n BA 0 n BE 0 即 2 0 0 0 0 2 1 0 x y z x y z 所以 x 0 且 z 2y 令 y 1 则 z 2 所以 n 0 1 2 从而 cos n CF 3 2 n CF n CF 因为二面角 A BE D 为锐角 所以二面角 A BE D 为6 4 北京卷文 16 如图 正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直 EF AC AB 2 CE EF 1 求证 AF 平面 BDE 求证 CF 平面 BDF 用心 爱心 专心 8 5 福建卷理 18 如图 圆柱 1 OO 内有一个三棱柱 111 ABCABC 三棱柱的底面为圆柱 底面的内接三角形 且AB是圆O的直径 证明 平面 11 A ACC 平面 11 B BCC 设 1 ABAA 在圆柱 1 OO 内随机选取一点 记该点取自于三棱柱 111 ABCABC 内 的概率为 p 当点C在圆周上运动时 求 p 的最大值 记平面 11 A ACC 与平面 1 BOC 所成的角为 0 90 当 p 取最大值时 求cos 的值 命题意图 本小题主要考查直线与直线 直线与平面 平面与平面的位置关系 以及几 何体的体积 几何概型等基础知识 考查空间想象能力 运算求解能力 推理论证能力 考查数形结合思想 化归与转化思想 必然与或然思想 解析 因为 1 AA 平面 ABC BC 平面 ABC 所以 1 AA BC 因为 AB 是圆 O 直径 所以BC AC 又AC 1 AAA 所以BC 平面 11 A ACC 用心 爱心 专心 9 而BC 平面 11 B BCC 所以平面 11 A ACC 平面 11 B BCC i 设圆柱的底面半径为r 则 AB 1 AA 2r 故三棱柱 111 ABC A B C 的体积为 1 1 V AC BC 2r 2 AC BC r 又因为 2222 ACBC AB 4r 所以 22 AC BC AC BC 2 2 2r 当且仅当AC BC 2r时等号成立 从而 3 1 V2r 而圆柱的体积 23 V r2r 2 r 故 p 3 1 3 V2r1 V2 r 当且仅当AC BC 2r 即OC AB 时等号成立 所以 p 的最大值是 1 ii 由 i 可知 p 取最大值时 OC AB 于是以 O 为坐标原点 建立空间直角坐 标系O xyz 如图 则 C r 0 0 B 0 r 0 1 B 0 r 2r 因为BC 平面 11 A ACC 所以BC r r 0 是平面 11 A ACC 的一个法向量 设平面 1 BOC 的法向量n x y z 由 1 nOC0 20 nOB rx ryrz 得 故 0 2 x yz 取 1z 得平面 1 BOC 的一个法向量为n 0 2 1 因为0 90 所以 210 cos cos BC 5 52 n BCr n nBCr 6 福建卷文 20 如图 在长方体 ABCD A1B1C1D1 中 E H 分别是棱 A1B1 D1C1 上的点 点 E 与 B1 不重合 且 EH A1 D1 过 EH 的平面与棱 BB1 CC1 相交 交点分别为 F G I 证明 AD 平面 EFGH II 设 AB 2AA1 2 a 在长方体 ABCD A1B1C1D1 内随机选 取一点 记该点取自几何体 A1ABFE D1DCGH 内的概率为 p 当 点 E F 分别在棱 A1B1 上运动且满足 EF a 时 求 p 的最小值 用心 爱心 专心 10 7 广东卷理 18 如图 弧 AEC 是半径为 a 的半圆 AC 为直径 点 E 为弧 AC 的中点 点 B 和点 C 为线段 AD 的三等分点 平面 AEC 外一点 F 满足 FB FD 5 a FE 6 a 1 证明 EB FD 2 已知点 Q R 分别为线段 FE FB 上的点 使得 用心 爱心 专心 11 FQ 2 3FE FR 2 3FB 求平面 BED 与平面 RQD 所成二面角的正弦值 2 设平面BED与平面 RQD 的交线为DG 由 BQ 2 3FE FR 2 3FB 知 QREB 而EB 平面BDF QR 平面BDF 而平面BDF 平面 RQD DG QRDGEB 由 1 知 BE 平面BDF DG 平面BDF 而DR 平面BDF BD 平面BDF DGDR DGDQ RDB 是平面BED与平面 RQD 所成二面角的平面角 在Rt BCF 中 2222 5 2CFBFBCaaa 22 sin 55 FCa RBD BFa 2 1 cos1 sin 5 RBDRBD 用心 爱心 专心 12 52 2 293 5 sin 2929 3 a RDB a 故平面BED与平面 RQD 所成二面角的正弦值是 2 29 29 8 广东卷文 18 如图 4 弧AEC是半径为a的半圆 AC为 直径 点E为弧 AC 的中点 点B和点C为线段AD的三等分点 平面AEC外一点F满足FC 平面BED FB 5a 1 证明 EB FD 2 求点B到平面FED的距离 解析 1 证明 点 E 为弧 AC 的中点 用心 爱心 专心 13 9 湖北卷理 18 如图 在四面体 ABOC 中 120OCOA OCOBAOB 且 1OAOBOC 设为P为AC的中点 证明 在AB上存在一点Q 使 PQOA 并计算 AB AQ 的值 求二面角O ACB 的平面角的余弦值 用心 爱心 专心 14 用心 爱心 专心 15 10 湖北卷文 18 如图 在四面体 ABOC 中 OC OA OC OB AOB 120 且 OA OB OC 1 设 P 为 AC 的中点 Q 在 AB 上且 AB 3AQ 证明 PQ OA 求二面角 O AC B 的平面角的余弦值 用心 爱心 专心 16 11 湖南卷理 18 如图 5 所示 在正方体 ABCD A1B1C1D1 中 E 是棱 DD1 的中点 求直线 BE 与平面 ABB1A1 所成的角的正弦值 在棱 C1D1 上是否存在一点 F 使 B1F 平面 A1BE 证明你的结论 解析 A D B C A1 D1 B1 C1 E 图 5 用心 爱心 专心 17 所以 1 2 xz yz 取 2 z 得n 2 1 2 设 F 是棱 C1D1 上的点 则 F t 1 1 0 t 1 又 B1 1 0 1 所以 111 1 1 0 A BEB FtB F 而平面 于是 111 B F A BEB F 平面 n 0 1 1 0 2 1 2 02 1 10tt 11 1 C D 2 tF 为的中点 这说明在在棱 C1D1 上是否存在一点 F 11 C D的中点 使 B1F 平面 A1BE 解法 2 如图 a 所示 取 AA1 的中点 M 连结 EM BM 因为 E 是 DD1 的中点 四边形 ADD1A1 为正方形 所以 EM AD 又在正方体 ABCD A1B1C1D1 中 AD 平面 ABB1A1 所以 EM ABB1A1 从而 BM 为直线 BE 在平面 ABB1A1 上的射影 EBM 直线 BE 与平面 ABB1A1 所成的角 设正方体的棱长为 2 则 EM AD 2 BE 212 2213 于是 在 RT BEM 中 2 sin 3 EM EBM BE 用心 爱心 专心 18 12 湖南卷文 18 如图所示 在长方体 1111 ABCDABC D 中 AB AD 1 AA1 2 M 是棱 CC1 的中点 求异面直线 A1M 和 C1D1 所成的角的正切值 证明 平面 ABM 平面 A1B1M1 用心 爱心 专心 19 13 江苏卷 16 如图 四棱锥 P ABCD 中 PD 平面 ABCD PD DC BC 1 AB 2 AB DC BCD 900 求证 PC BC 求点 A 到平面 PBC 的距离 解析 本小题主要考查直线与平面 平面与平面的位置关系 考查几 何体的体积 考查空间想象能力 推理论证能力和运算能力 满分 14 分 1 证明 因为 PD 平面 ABCD BC 平面 ABCD 所以 PD BC 由 BCD 900 得 CD BC 又 PD DC D PD DC 平面 PCD 所以 BC 平面 PCD 因为 PC 平面 PCD 故 PC BC 2 方法一 分别取 AB PC 的中点 E F 连 DE DF 则 易证 DE CB DE 平面 PBC 点 D E 到平面 PBC 的距离相等 又点 A 到平面 PBC 的距离等于 E 到平面 PBC 的距离的 2 倍 由 1 知 BC 平面 PCD 所以平面 PBC 平面 PCD 于 PC 因为 PD DC PF FC 所以 DF PC 所以 DF 平面 PBC 于 F 易知 DF 2 2 故点 A 到平面 PBC 的距离等于 2 方法二 体积法 连结 AC 设点 A 到平面 PBC 的距离为 h 因为 AB DC BCD 900 所以 ABC 900 从而 AB 2 BC 1 得 ABC 的面积 1 ABC S D C B A P 用心 爱心 专心 20 由 PD 平面 ABCD 及 PD 1 得三棱锥 P ABC 的体积 11 33 ABC VSPD 因为 PD 平面 ABCD DC 平面 ABCD 所以 PD DC 又 PD DC 1 所以 22 2PCPDDC 由 PC BC BC 1 得 PBC 的面积 2 2 PBC S 由 A PBCP ABC VV 11 33 PBC ShV 得 2h 故点 A 到平面 PBC 的距离等于 2 14 江西卷理 20 如图 BCD 与 MCD 都是边长为 2 的正三角形 平面MCD 平面BCD AB 平面BCD 2 3AB 1 求点A到平面MBC的距离 2 求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值 解析 本题以图形拼折为载体主要考查了考查立体图形的空间感 点到直线的距离 二 面角 空间向量 二面角平面角的判断有关知识 同时也考查了空间想象能力和推理能力 解法一 1 取 CD 中点 O 连 OB OM 则 OB CD OM CD 又平面MCD 平面BCD 则 MO 平面BCD 所以 MO AB A B O M 共面 延长 AM BO 相交于 E 则 AEB 就是 AM 与平面 BCD 所成的角 OB MO 3 MO AB MO 面 ABC M O 到平面 ABC 的距离相等 作 OH BC 于 H 连 MH 则 MH BC 求得 OH OCsin600 3 2 MH 15 2 利用体积相等得 2 15 5 A MBCMABC VVd 2 CE 是平面ACM与平面BCD的交线 由 1 知 O 是 BE 的中点 则 BCED 是菱形 作 BF EC 于 F 连 AF 则 AF EC AFB 就是二面角 A EC B 的平面角 设为 因为 BCE 120 所以 BCF 60 M D C B A 用心 爱心 专心 21 sin603BFBC tan2 AB BF 2 5 sin 5 所以 所求二面角的正弦值是 2 5 5 点评 传统方法在处理时要注意到辅助线的处理 一般采用射影 垂线 平行线等特殊 位置的元素解决 解法二 取 CD 中点 O 连 OB OM 则 OB CD OM CD 又平面MCD 平面BCD 则 MO 平面BCD 以 O 为原点 直线 OC BO OM 为 x 轴 y 轴 z 轴 建立空间直角坐 标系如图 OB OM 3 则各点坐标分别为 O 0 0 0 C 1 0 0 M 0 0 3 B 0 3 0 A 0 3 2 3 1 设 nx y z 是平面 MBC 的法向量 则BC 1 3 0 0 3 3 BM 由n BC 得 30 xy 由n BM 得 330yz 取 3 1 1 0 0 2 3 nBA 则距离 2 15 5 BA n d n 2 1 0 3 CM 1 3 2 3 CA 设平面 ACM 的法向量为 1 nx y z 由 1 1 nCM nCA 得 30 32 30 xz xyz 解得 3xz yz 取 1 3 1 1 n 又平面 BCD 的法向量为 0 0 1 n 则 1 1 1 1 cos 5 n n n n nn 设所求二面角为 则 2 12 5 sin1 55 点评 向量方法作为沟通代数和几何的工具在考察中越来越常见 此类方法的要点在于 建立恰当的坐标系 便于计算 位置关系明确 以计算代替分析 起到简化的作用 但计 z y x M D C B O A z 用心 爱心 专心 22 算必须慎之又慎 15 江西卷文 20 如图 BCD 与 MCD 都是边长为 2 的正三角形 平面MCD 平面BCD AB 平面BCD 2 3AB 1 求直线AM与平面BCD所成的角的大小 2 求平面ACM与平面BCD所成的二面角的正弦值 解析 本题主要考查了考查立体图形的空间感 线面角 二面角 空间向量 二面角平 面角的判断有关知识 同时也考查了空间想象能力和推理能力 解法一 1 取 CD 中点 O 连 OB OM 则 OB CD OM CD 又平面MCD 平面BCD 则 MO 平面BCD 所以 MO AB A B O M 共面 延长 AM BO 相交于 E 则 AEB 就 是 AM 与平面 BCD 所成的角 OB MO 3 MO AB 则 1 2 EOMO EBAB 3EOOB 所以 2 3EBAB 故 45AEB 2 CE 是平面ACM与平面BCD的交线 由 1 知 O 是 BE 的中点 则 BCED 是菱形 作 BF EC 于 F 连 AF 则 AF EC AFB 就是二面角 A EC B 的平 面角 设为 因为 BCE 120 所以 BCF 60 sin603BFBC tan2 AB BF 2 5 sin 5 所以 所求二面角的正弦值是 2 5 5 解法二 取 CD 中点 O 连 OB OM 则 OB CD OM CD 又平 面MCD 平面BCD 则 MO 平面BCD 以 O 为原点 直线 OC BO OM 为 x 轴 y 轴 z 轴 建立空间 直角坐标系如图 OB OM 3 则各点坐标分别为 O 0 0 0 C 1 0 0 M 0 0 3 B 0 3 0 A 0 3 2 3 D M C B A y x M D C B O A z C H M D E B O A F 用心 爱心 专心 23 1 设直线 AM 与平面 BCD 所成的角为 因AM 0 3 3 平面BCD的法向量为 0 0 1 n 则有 32 sincos 26 AM n AM n AMn 所以 45 2 1 0 3 CM 1 3 2 3 CA 设平面 ACM 的法向量为 1 nx y z 由 1 1 nCM nCA 得 30 32 30 xz xyz 解得 3xz yz 取 1 3 1 1 n 又平面 BCD 的法向量为 0 0 1 n 则 1 1 1 1 cos 5 n n n n nn 设所求二面角为 则 2 12 5 sin1 55 16 辽宁卷理 19 已知三棱锥 P ABC 中 PA ABC AB AC PA AC 1 2AB N 为 AB 上一点 AB 4AN M S 分别 为 PB BC 的中点 证明 CM SN 求 SN 与平面 CMN 所成角的大小 z 用心 爱心 专心 24 点评 纵观近几年的高考试题 立体几何的解答题在很大程度上扮演着直线与平面内 容载体的角色 着重考查立体几何中的逻辑推理 多为中档题 通过这些题目考查学生掌 握基础知识 逻辑推理能力 计算能力和空间想象能力 而空间向量是解答立体几何问题 的 17 辽宁卷文 19 如图 棱柱 111 ABCABC 的侧面 11 BCC B 是菱 形 11 BCAB 证明 平面 11 ABC 平面 11 ABC 设D是 11 AC 上的点 且 1 AB 平面 1 BCD 求 11 AD DC 的 值 解 因为侧面 BCC1B1 是菱形 所以 11 BCCB 又已知 BBCBABACB 1111 且 所又 CB1 平面 A1BC1 又 CB1 平面 AB1C 所以平面 CAB1 平面 A1BC1 用心 爱心 专心 25 设 BC1 交 B1C 于点 E 连结 DE 则 DE 是平面 A1BC1 与平面 B1CD 的交线 因为 A1B 平面 B1CD 所以 A1B DE 又 E 是 BC1 的中点 所以 D 为 A1C1 的中点 即 A1D DC1 1 命题意图 本小题主要考查空间直线与直线 直线与平面 平面与平面的位置关系 二 面角等基础知识 考查空间想象能力 推理论证能力和运算能力 18 全国 卷理 19 文 20 如图 四棱锥 S ABCD 中 SD 底面 ABCD AB DC AD DC AB AD 1 DC SD 2 E 为棱 SB 上的一点 平面 EDC 平面 SBC 证明 SE 2EB 求二面角 A DE C 的大小 解析 解法一 连接 BD 取 DC 的中点 G 连接 BG 由此知 1 DGGCBG 即 ABC 为直角三角形 故BC BD 又 ABCD BCSDSD 平面故 所以 BC 平面BD S BCD E 作BK EC EDCSBCK 为垂足 因平面平面 由 22 5 1 2 SASDADABSEEB ABSA 知 用心 爱心 专心 26 22 12 1 AD 1 33 AESAAB 又 故 ADE 为等腰三角形 取ED中点 F 连接AF 则 22 6 3 AFDE AFADDF 连接FG 则 FGEC FGDE 所以 AFG 是二面角A DEC 的平面角 连接 AG AG 2 22 6 3 FGDGDF 222 1 cos 22 AFFGAG AFG AF FG 所以 二面角A DEC 的大小为 120 解法二 以 D 为坐标原点 射线DA为x轴的正半轴 建立如图所示的直角坐标系 Dxyz 由 mDE mDC 得 用心 爱心 专心 27 0mDE 0mDC 故 2 0 20 111 xyz y 令 2x 则 2 0 m 19 全国 新卷理 18 如图 已知四棱锥 P ABCD 的底面为等腰梯形 AB CD AC BD 垂足为 H PH 是四棱锥的高 E 为 AD 中点 证明 PE BC 若 APB ADB 60 求直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值 解 以H为原点 HA HB HP 分别为 x y z 轴 线段HA的长为单位长 建立空间直角坐标系如图 则 1 0 0 0 1 0 AB 设 0 0 0 0 0 0 C mPn mn 则 1 0 0 0 2 2 m DmE 可得 1 1 0 2 2 m PEn BCm 因为 00 22 mm PE BC 用心 爱心 专心 28 所以 PE BC 由已知条件可得 33 1 33 mnC 故 0 0 313 0 0 0 0 0 1 326 DEP 设 nx y x 为平面PEH的法向量 则 n HEo n HPo 即 13 0 26 0 xy z 因此可以取 1 3 0 n 由 1 0 1 PA 可得 2 cos 4 PAn 所以直线PA与平面PEH所成角的正弦值为 2 4 20 全国 新卷文 18 如图 已知四棱锥P ABCD 的底面为等腰梯 形 AB CD AC BD 垂足为H PH是四棱锥的高 证明 平面PAC 平面PBD 若 6AB APBADB 60 求四棱锥PABCD 的体 积 解 1 因为 PH 是四棱锥 P ABCD 的高 所以 AC PH 又 AC BD PH BD 都在平 PHD 内 且 PH BD H 所以 AC 平面 PBD 故平面 PAC 平面 PBD 6 分 2 因为 ABCD 为等腰梯形 AB CD AC BD AB 6 所以 HA HB 3 因为 APB ADR 600 所以 PA PB 6 HD HC 1 可得 PH 3 等腰梯形 ABCD 的面积为 S 1 2AC x BD 2 3 9 分 用心 爱心 专心 29 所以四棱锥的体积为 V 1 3x 2 3 x3 32 3 3 12 分 21 全国 卷理 19 文 19 如图 直三棱柱 111 ABCABC 中 ACBC 1 AAAB D为 1 BB 的中点 E为 1 AB 上的一点 1 3AEEB 证明 DE为异面直线 1 AB 与CD的公垂线 设异面直线 1 AB 与CD的夹角为 45 求二面角 111 AACB 的大小 分析 本题考查了立体几何中直线与平面 平面与平面及异面直线所成角与二面角的基 础知识 1 要证明 DE 为 AB1 与 CD 的公垂线 即证明 DE 与它们都垂直 由 AE 3EB1 有 DE 与 BA1 平行 由 A1ABB1 为正方形 可证得 证明 CD 与 DE 垂直 取 AB 中点 F 连结 DF FC 证明 DE 与平面 CFD 垂直即可证明 DE 与 CD 垂直 2 由条件将异面直线 AB1 CD 所成角找出即为 FDC 设出 AB 连长 求出所有能求出 的边长 再作出二面角的平面角 根据所求的边长可通过解三角形求得 解析 解法一 连结 1 A B 记 1 A B 与 1 AB 的交点为 F 因为面 11 AA BB 为正方形 故 11 A BAB 且 1 AF FB 又 1 AE 3EB 所以 1 FE EB 又 D 为 1 BB 的中点 故 1 DEBFDEAB 作CG AB G 为垂足 由 AC BC 知 G 为 AB 中点 又由底面ABC 面 11 AA B B 得CG 11 AA B B 连结 DG 则 1 DGAB 故DE DG 由三垂线定理 得DE CD 所以 DE 为异面直线 1 AB 与 CD 的公垂线 用心 爱心 专心 30 因为 1 DGAB 故 CDG 为异面直线 1 AB 与CD的夹角 CDG 45 设 AB 2 则 1 AB2 2 DG 2 CG 2 AC 3 作 111 B HA C H 为垂足 因为底面 11111 A B CAAC C 面 故 111 B HAAC C 面 又作 1 HKAC K 为垂足 连结 1 B K 由三垂线定理 得 11 B KAC 因此 1 B KH 为 解法二 以 B 为坐标原点 射线 BA 为x轴正半轴 建立如图所示的空间直角坐标系 Bxyz 设 AB 2 则 A 2 0 0 1 B 0 2 0 D 0 1 0 1 3 E 0 2 2 又设 C 1 0 c 则 1 1 1 DE0B A 2 2 0 DC 1 1 c 2 2 于是 1 DE B A 0 DE DC 0 故 1 DEB ADEDC 所以 DE 为异面直线 1 AB 与 CD 的公垂线 因为 1 B A DC 等于异面直线 1 AB 与 CD 的夹角 故 11 cos45B A DCB A DC 即 2 2 2 224 2 c 解得 2c 故AC 22 1 又 11 AA BB 0 2 0 用心 爱心 专心 31 所以 11 AC AC AA 1 22 所以 1 cos 15 m n m n m n 由于 m n 等于二面角 111 A AC B 的平面角 所以二面角 111 A AC B 的大小为 15 arccos 15 22 山东卷理 19 如图 在五棱锥 P ABCDE 中 PA 平面 ABCDE AB CD AC ED AE BC ABC 45 AB 2 2 BC 2 AE 4 三角形 PAB 是等腰三角形 求证 平面 PCD 平面 PAC 求直线 PB 与平面 PCD 所成角的大小 求四棱锥 P ACDE 的体积 解析 证明 因为 ABC 45 AB 2 2 BC 4 所以在ABC 中 由余弦定理 得 222 AC 2 2 4 2 2 24cos45 8 解得AC 2 2 所以 222 AB AC 8 8 16 BC 即AB AC 又 PA 平面 ABCDE 所以 PA AB 又 PA ACA 所以AB AC 平面P 又 AB CD 所以 ACCD 平面P 又因为 CDCD 平面P 所以平面 PCD 平面 PAC 由 知平面 PCD 平面 PAC 所以在平面 PAC 内 过点 A 作AH C P 于 H 则 AHCD 平面P 又 AB CD AB 平面 CDP 内 所以 AB 平行于平面 CDP 所以点 A 用心 爱心 专心 32 到平面 CDP 的距离等于点 B 到平面 CDP 的距离 过点 B 作 BO 平面 CDP 于点 O 则 PBO 为所求角 且AH BO 又容易求得AH 2 所以 1 sinPBO 2 即 PBO 30 所以直线 PB 与平面 PCD 所成角的大小为30 由 知 ACCD 平面P 所以 ACCD 又 AC ED 所以四边形 ACDE 是直 角梯形 又容易求得DE 2 AC 2 2 所以四边形 ACDE 的面积为 1 22 223 2 所以 四棱锥 P ACDE 的体积为 1 2 23 3 2 2 命题意图 本题考查了空间几何体的的线面与面面垂直 线面角的求解以及几何体的体 积计算问题 考查了同学们的空间想象能力以及空间思维能力 标准答案 本小题主要考察空间中的基本关系 考察线面垂直 面面垂直的判定以及线面 角和集合体体积的计算 考查识图能力 空间想象力和逻辑推理能力 满分 12 分 证明 在 ABC 中 因为 ABC 45 BC 4 AB 22 所以 AC2 AB BC2 2AB BC cos45 8 因此 AC 22 故 BC2 AC2 AB2 所以 BAC 90 所以 CD PA CD AC 又 PA AC 平面 PAC 且 PA AC A 所以 CD PAC 又 CD 平面 PCD 所以 平面 PCD 平面 PAC 用心 爱心 专心 33 则 2 1 4 2 sin PB h 又 2 0 所以 6 解法二 由 知 AB AC AP 两两相互垂直 分别以 AB AC AP 为 x 轴 y 轴 z 轴建立 如图所示的空间直角坐标系 由于 PAB 是等腰三角形 所以 PA AB 22 又 AC 22 用心 爱心 专心 34 因此直线 PB 与平面 PCD 所成的角为 6 因为 AC ED CD AC 所以 四边形 ACDE 是直角梯形 因为 AE 2 ABC 45 AE BC 所以 BAE 135 因此 CAE 45 故 CD AE sin45 2 2 2 2 所以 32 2 222 ACDE 四边形 S 又 PA 平面 ABCDE 所以 22223 2 1 V ACDE P 23 山东卷文 20 在如图所示的几何体中 四边形ABCD是正 方形 MA 平面ABCD PDMA E G F 分别为MB PB PC的中点 且2ADPDMA I 求证 平面EFG 平面PDC II 求三棱锥P MAB 与四棱锥P ABCD 的体积之比 命题意图 本小题主要考查空间中的线面关系 考查线面垂直 面面垂直的判定及几何 体体积的计算 考查试图能力和逻辑思维能力 解析 I 证明 由已知 MA 平面 ABCD PD MA 所以 PD 平面 ABCD 又 BC 平面 ABCD 因为 四边形 ABCD 为正方形 所以 PD BC 又 PD DC D 因此 BC 平面 PDC 在 PBC 中 因为 G 平分为 PC 的中点 所以 GF BC 因此 GF 平面 PDC 又 GF 平面 EFG 所以 平面 EFG 平面 PDC 解 因为 PD 平面 ABCD 四边形 ABCD 为正方形 不妨设 MA 1 则 PD AD 2 ABCD 所以 Vp ABCD 1 3S 正方形 ABCD PD 8 3 由于 DA 面 MAB 的距离 用心 爱心 专心 35 所以 DA 即为点 P 到平面 MAB 的距离 三棱锥 Vp MAB 1 3 1 2 1 2 2 2 3 所以 Vp MAB p ABCD 1 4 24 陕西卷理 18 如图 在四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 是矩 形 PA 平面 ABCD AP AB 2 BC 2 2 E F 分别是 AD PC 的重点 证明 PC 平面 BEF 求平面 BEF 与平面 BAP 夹角的大小 解法一 如图 以 A 为坐标原点 AB AD AP 算在直线分别为 x y z 轴建立空间直角坐标系 AP AB 2 BC AD 2 2 四边形 ABCD 是矩形 A B C D 的坐标为 A 0 0 0 B 2 0 0 C 2 2 2 0 D 0 2 2 0 P 0 0 2 又 E F 分别是 AD PC 的中点 E 0 2 0 F 1 2 1 PC 2 2 2 2 BF 1 2 1 EF 1 0 1 PC BF 2 4 2 0 PC EF 2 0 2 0 PC BF PC EF PC BF PC EF BF EF F PC 平面 BEF 用心 爱心 专心 36 25 陕西卷文 18 如图 在四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 是矩形 PA 平面 ABCD AP AB BP BC 2 E F 分别是 PB PC 的中点 证明 EF 平面 PAD 求三棱锥 E ABC 的体积 V 解 在 PBC 中 E F 分别是 PB PC 的中点 EF BC 又 BC AD EF AD 又 AD 平面 PAD EF 平面 PAD EF 平面 PAD 连接 AE AC EC 过 E 作 EG PA 交 AB 于点 G 则 BG 平面 ABCD 且 EG 1 2PA 在 PAB 中 AD AB PAB BP 2 AP AB 2 EG 2 2 S ABC 1 2AB BC 1 2 2 2 2 VE ABC 1 3S ABC EG 1 3 2 2 2 1 3 26 四川卷理 18 已知正方体ABCD AC D 的棱长为 1 点M是棱AA 的中点 点O是对角线BD 的中点 求证 OM为异面直线AA 和BD 的公垂线 求二面角M BCB 的大小 D AB C D M O A B C 用心 爱心 专心 37 求三棱锥M OBC 的体积 用心 爱心 专心 38 28 天津卷理 19 如图 在长方体 1111 ABCDABC D 中 E F分别 是棱BC 1 CC 上的点 2CFABCE 1 1 2 4AB AD AA 求异面直线EF与 1 AD 所成角的余弦值 证明AF 平面 1 AED 求二面角 1 AEDF 的正弦值 命题意图 本小题主要考查异面直线所成的角 直线与平面垂直 二面角等基础知识 考查用空间向量解决立体几何问题的方法 考查空间想象能力 运算能力和推理论证能力 解析 方法一 如图所示 建立空间直角坐标系 点 A 为坐标原点 设 1AB 依题意 得 0 2 0 D 1 2 1 F 1 0 0 4 A 3 1 0 2 E 解 易得 1 0 1 2 EF 1 0 2 4 AD 于是 1 1 1 3 cos 5 EF AD EF AD EF AD 所以异面直线EF与 1 AD 所成角的余弦值为 3 5 证明 已知 1 2 1 AF 1 3 1 4 2 EA 1 1 0 2 ED 用心 爱心 专心 39 于是AF 1 EA 0 AF ED 0 因此 1 AFEA AF ED 又 1 EAEDE 所以AF 平面 1 AED 3 解 设平面EFD的法向量 ux y z 则 0 0 u EF u ED 即 1 0 2 1 0 2 yz xy 不妨令 X 1 可得 1 2 1 u 由 2 可知 AF 为平面 1 A ED 的一个法向量 于是 2 cos 3 AF AF AF u u u 从而 5 sin 3 AFu 所以二面角 1 A ED F 的正弦值为 5 3 方法二 1 解 设 AB 1 可得 AD 2 AA1 4 CF 1 CE 1 2 链接 B1C BC1 设 B1C 与 BC1 交于点 M 易知 A1D B1C 由 1 CECF1 CBCC4 可知 EF BC1 故 BMC 是异面直线 EF 与 A1D 所成的角 易知 BM CM 1 1 B C 5 2 所以 222 3 cos 25 BMCMBC BMC BM CM 所 以异面直线 FE 与 A1D 所成角的余弦值为 3 5 2 证明 连接 AC 设 AC 与 DE 交点 N 因为 1 2 CDEC BCAB 所以Rt DCE Rt CBA 从而 CDEBCA 又由于 90CDECED 所以90BCACED 故 AC DE 又因为 CC1 DE 且 1 CCACC 所以 DE 平面 ACF 从而 AF DE 连接 BF 同理可证 B1C 平面 ABF 从而 AF B1C 所以 AF A1D 因为 1 DEADD 所 以 AF 平面 A1ED 3 解 连接 A1N FN 由 2 可知 DE 平面 ACF 又 NF 平面 ACF A1N 平面 ACF 所以 DE NF DE A1N 故 1 ANF 为二面角 A1 ED F 的平面角 用心 爱心 专心 40 易知Rt CNE Rt CBA 所以 CNEC BCAC 又 5AC 所以 5 5 CN 在 22 1 30 5 Rt NCFNFCFCNRt A AN 中 在中 22 11 4 30 5 NAA AAN 连接 A1C1 A1F 在 22 111111 14Rt AC FAFACC F 中 222 11 11 1 2 cos 23 ANFNAF Rt ANFANF ANFN 在中 所以 1 5 sin 3 A NF 所以二面角 A1 DE F 正弦值为 5 3 29 天津卷文 19 如图 在五面体 ABCDEF 中 四边形 ADEF 是正方形 FA 平面 ABCD BC AD CD 1 AD 2 2 BAD CDA 45 求异面直线 CE 与 AF 所成角的余弦值 证明 CD 平面 ABF 求二面角 B EF A 的正切值 命题意图 本小题主要考查异面直线所成的角 直线与平面垂直 二面 角等基础知识 考查空间想象能力 运算能力和推理论证能力 解析 I 解 因为四边形 ADEF 是正方形 所以 FA ED 故 CED 为异面直线 CE 与 AF 所成的角 因为 FA 平面 ABCD 所以 FA CD 故 ED CD 在 Rt CDE 中 CD 1 ED 2 2 CE 22 CDED 3 故 cos CED ED CE 2 2 3 所以异面直线 CE 和 AF 所成角的余弦值为 2 2 3 证明 过点 B 作 BG CD 交 AD 于点 G 则 45BGACDA 由 45BAD 可 得 BG AB 从而 CD AB 又 CD FA FA AB A 所以 CD 平面 ABF 解