(经典)高考一轮复习专题：三角函数资料

1 三角函数三角函数 考点一考点一 角的概念 定义角的概念 定义 一 知识清单 一 知识清单 1 1 终边相同的角终边相同的角 与 0 360 终边相同的角的集合 角与角的终边重合 Zkk 360 终边在x轴上的角的集合 Zkk 180 终边在y轴上的角的集合 Zkk 90180 终边在坐标轴上的角的集合 Zkk 90 2 2 角度与弧度的互换关系角度与弧度的互换关系 360 2 180 1 0 01745 1 57 30 57 18 注意 正角的弧度数为正数 负角的弧度数为负数 零角的弧度数为零 熟记特殊角的弧度 制 3 3 弧度制下的公式弧度制下的公式 扇形弧长公式 扇形面积公式 其中为弧所对圆心角的弧度数 r 2 11 22 SRR 4 4 三角函数定义三角函数定义 利用直角坐标系 可以把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角数 在终边上任取 一点 与原点不重合 记 P x y 22 rOPxy 则 sin y r cos x r tan y x cot x y 注注 三角函数值只与角三角函数值只与角的终边的位置有关 由角的终边的位置有关 由角的大小唯一确定的大小唯一确定 三角函数是以角为自变量三角函数是以角为自变量 以比值为函数值的函数以比值为函数值的函数 根据三角函数定义可以推出一些三角公式根据三角函数定义可以推出一些三角公式 诱导公式诱导公式 即或之间函数值关系 其规律是 奇变 2 k 90 2 k A kZ 偶不变 符号看象限 如sin 270 cos 同角三角函数关系式同角三角函数关系式 平方关系 倒数关系 商数关系 重视用定义解题重视用定义解题 2 三角函数线是通过有向线段直观地表示出角的各种三角函数值的三角函数线是通过有向线段直观地表示出角的各种三角函数值的 一种图示方法一种图示方法 如单位圆如单位圆 MPOMAT正弦线 余弦线 正切线 5 5 各象限角的各种三角函数值符号各象限角的各种三角函数值符号 一全二正弦一全二正弦 三切四余弦三切四余弦 二 典型例题分析 二 典型例题分析 例例 1 1 写出与下列各角终边相同的角的集合 S 并把 S 中适合不等式 3600 0 或向右 0 0 相应地 sinyx 图例变化为 sin yAx 的单调增区间 的解集是 的 2 2 22 kk 变为 22 22 kxk 增区间 注 或 的周期 sin xycos yx 0 2 T 的对称轴方程是 对称中心 sin yx 2 xk Zk 0 k 的对称轴方程是 对称中心 cos yx xk Zk 1 0 2 k 的对称中心 tan xy 0 2 k 二 典型例题分析 二 典型例题分析 例例 1 1 三角函数图像变换 将函数的图像作怎样的变换可以得到函数的图像 1 2cos 32 yx cosyx 变式变式 1 1 将函数的图像作怎样的变换可以得到函数的图像 cosyx 2cos 2 4 yx 变式变式 2 2 将函数的图像作怎样的变换可以得到函数的图像 1 2cos 26 yx cosyx 变式变式 3 3 将函数的图像作怎样的变换可以得到函数的图像 1 sin 2 33 yx sinyx 变式变式 4 已知函数 sin 0 4 f xxxR 的最小正周期为 为了得到函数 cosg xx 的 图象 只要将 yf x 的图象 A 向左平移 8 个单位长度 B 向右平移 8 个单位长度 10 C 向左平移 4 个单位长度 D 向右平移 4 个单位长度 例例 2 已知函数 2sin f xx 的图像如图所示 则 7 12 f 变式变式 1 1 已知简谐运动的图象经过点 则该简谐运动的最小正周期 2sin 32 f xx 01 和初相分别为 T 6T 6 6T 3 6 T 6 6 T 3 变式变式 2 2 函数在区间的简图是 sin 2 3 yx 2 变式变式 3 3 如图 函数 2cos 0 2 yxx R 的图象与轴交于点 且在该点处切线的斜率为 y 03 2 求和的值 例例 3 3 三角函数性质三角函数性质 求下列函数的最大 最小值以及达到最大 小 值时的值的集合 x 1 2 34 sin 2 23 yx 6sin 2 52 2yx y x 3 O 11 变式变式 1 1 已知函数在区间上的最小值是 则的最小值等于 2sin 0 f xx 3 4 2 A B C 2 D 3 2 3 3 2 变式变式 2 2 函数y 2sinx的单调增区间是 A 2k 2k k Z Z B 2k 2k k Z Z 2 2 2 2 3 C 2k 2k k Z Z D 2k 2k k Z Z 变式变式 3 3 关于x的函数f x sin x 有以下命题 对任意的 f x 都是非奇非偶函数 不存在 使f x 既是奇函数 又是偶函数 存在 使f x 是奇函数 对任意的 f x 都不是偶函数 其中一个假命题的序号是 因为当 时 该命题的结论不成立 变式变式 4 4 函数的最小正周期是 1 2sin 4 f xx 变式变式 5 5 下列函数中 既是 0 上的增函数 又是以 为周期的偶函数是 2 A y lgx2 B y sinx C y cosx D y x2sin 2 变式变式 6 6 已知 求函数的值域 2 0 x 12 5 cos 12 cos xxy 变式变式 7 7 已知函数 1 2 log sincos f xxx 求它的定义域和值域 求它的单调区间 判断它的奇偶性 判断它的周期性 例例 4 4 三角恒等变换三角恒等变换 化简 1 sincos sincos 22 22cos 12 变式变式 1 1 函数y 的最大值是 xxcossin2 1 A 1 B 1 C 1 D 1 2 2 2 2 2 2 2 2 变式变式 2 2 已知 求的值 cos22 2 sin 4 cossin 变式变式 3 3 已知函数 求的最大值和最小值 2 2sin3cos2 4 f xxx 4 2 x f x 例例 5 5 关于三角函数综合问题关于三角函数综合问题 1 设函数 1 求 f x的最小正周期 II 若函数 sin cos3cos cos f xxxxx xR yf x 的图象按 3 42 b 平移后得到函数 yg x 的图象 求 yg x 在 0 4 上的最大 值 2 已知函数的最小正周期为 0 2 sin sin3sin 2 xxxxf 1 求的值 2 求函数在区间上的取值范围 xf 3 2 0 13 3 设函数的最小正周期为 0 cos2 cos sin 22 xxxxf 3 2 1 求的值 2 若函数的图象是由的图象向右平移个单位长度得到的 求 xgy xfy 2 的单调增区间及对称轴方程 xgy 4 已知函数 函数的图象可由函数的图象经 22 cossin11 sin2 224 xx f xg xx f x g x 过怎样变化得出 求函数的最小值 并求使用取得最小值的的集 h xf xg x h xx 合 14 5 已知函数 其中 I 求函数 2 sinsin2cos 662 x f xxxx R 0 的值域 II 文 若函数的图象与直线的两个相邻交点间的距离为 f x yf x 1y 2 求函数的单调增区间 yf x 6 已知函数 sin f xx 其中0 2 I 若coscos sinsin0 44 求 的 值 在 I 的条件下 若函数 f x的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于 3 求函数 f x的解析式 并求最小正实数m 使得函数 f x的图像象左平移m个单位所对应的函数是偶函 数 15 课后作业课后作业 1 全国一 8 为得到函数的图像 只需将函数的图像 cos 2 3 yx sin2yx A 向左平移个长度单位B 向右平移个长度单位 5 12 5 12 C 向左平移个长度单位 D 向右平移个长度单位 5 6 5 6 2 全国二 8 若动直线与函数和的图像分别交于两点 则xa sinf xx cosg xx MN 的最大值为 MN A 1B C D 223 4 四川卷 若 则的取值范围是 02 sin3cos A B C D 3 2 3 4 33 3 32 5 天津卷 6 把函数 的图象上所有点向左平行移动个单位长度 再把所得图象sinyx xR 3 上所有点的横坐标缩短到原来的倍 纵坐标不变 得到的图象所表示的函数是 1 2 A B sin 2 3 yx xR sin 26 x y xR C D sin 2 3 yx xR sin 2 3 2 yx xR 6 天津卷 9 设 则 5 sin 7 a 2 cos 7 b 2 tan 7 c A B C D cba acb acb bac 7 安徽卷 5 将函数的图象按向量平移后所得的图象关于点中sin 2 3 yx 0 12 心对称 则向量的坐标可能为 A B C D 0 12 0 6 0 12 0 6 8 湖北卷 5 将函数的图象F按向量平移得到图象 若的一条对称轴是直3sin yx 3 3 F F 线 则的一个可能取值是 4 x A B C D 12 5 12 5 12 1111 12 9 湖南卷 6 函数在区间上的最大值是 2 sin3sin cosf xxxx 4 2 16 A 1 B C D 1 13 2 3 2 3 10 重庆卷 10 函数f x 的值域是 sin1 32cos2sin x xx 02x A B 1 0 C D 2 0 2 2 03 0 11 福建卷 9 函数f x cosx x xR R 的图象按向量 m 0 平移后 得到函数y f x 的图象 则m 的值可以为 A B C D 2 2 12 浙江卷 5 在同一平面直角坐标系中 函数的图象和直线的交 20 2 3 2 cos x x y 2 1 y 点个数是 A 0 B 1 C 2 D 4 13 海南卷 1 已知函数 y 2sin x 0 在区间 0 2 的图像如下 那么 A 1 B 2 C 1 2 D 1 3 14 已知函数 f x Acos x 的图象如图所示 2 23 f 则 0 f A 2 3 B 2 3 C 1 2 D 1 2 15 已知函数 sincos sinf xxxx x R 则 f x的最小正周期是 16 设函数 将的图像向右平移个单位长度后 所得的图像与原图像重合 cos 0 f xx yf x 3 则的最小值等于 A B C D 1 3 369 17 上海卷 6 函数f x sin x sin x 的最大值是 3 2 18 江苏卷 1 的最小正周期为 其中 则 cos 6 f xx 5 0 19 广东卷 12 已知函数 则的最小正周期是 sincos sinf xxxx x R f x 20 辽宁卷 16 已知 且在区间有最小值 sin 0 363 f xxff f x 6 3 无最大值 则 17 21 北京卷 15 本小题共 13 分 已知函数 的最小正周期为 求的值 2 sin3sinsin 2 f xxxx 0 求函数在区间上的取值范围 f x 2 0 3 22 四川卷 17 本小题满分 12 分 求函数的最大值与最小 24 74sin cos4cos4cosyxxxx 值 23 天津卷 17 本小题满分 12 分 已知函数 2 2s incoss1 2cof xxxx 0 xR 的最小值正周期是 求的值 求函数的最大值 并且求使取得最大值的 2 f x f x 的集合 x 18 24 安徽卷 17 已知函数 求函数的最小正 cos 2 2sin sin 344 f xxxx f x 周期和图象的对称轴方程 求函数在区间上的值域 f x 12 2 25 山东卷 17 已知函数f x 为偶函数 且函数 0 0 cos sin 3 xx y f x 图象的两相邻对称轴间的距离为 f 的值 将函数y f x 的图象向右平移 2 8 个单位后 再将得到的图象上各点的横坐标舒畅长到原来的 4 倍 纵坐标不变 得到函数y g x 的图 6 象 求g x 的单调递减区间 26 湖北卷 16 已知函数 117 cos sin sin cos 112 t f