2011年高考数学 直线和圆的方程单元测试卷

直线和圆的方程单元测试卷直线和圆的方程单元测试卷 满分 150 分 时间 120 分钟 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 1 若 0 当点 1 cos 到直线 xsin ycos 1 0 的距离是 时 这条直线的斜 2 1 4 率是 A 1 B 1 C D 3 2 3 3 答案 D 解析 由点到直线的距离公式得 d sin sin2 sin cos2 1 sin2 cos2 又 0 sin sin2 故 sin sin2 2 1 4 sin 则 tan 1 2 3 3 从而直线的斜率 k tan 3 3 2 2009 北京市东城区 设 A B 为 x 轴上两点 点 P 的横坐标为 2 且 PA PB 若 直线 PA 的方程为 x y 1 0 则直线 PB 的方程为 A 2x y 7 0 B 2x y 1 0 C x 2y 4 0 D x y 5 0 答案 D 解析 PA 的方程为 x y 1 0 P 2 3 又 A 点在 x 轴上 A 1 0 而 PA PB 且 B 点在 x 轴上 B 5 0 直线 PB 的方程为 x y 5 0 故选 D 3 2009 北京市西城区 已知圆 x 2 2 y2 36 的圆心为 M 设 A 为圆上任一点 N 2 0 线段 AN 的垂直平分线交 MA 于点 P 则动点 P 的轨迹是 A 圆 B 椭圆 C 双曲线 D 抛物线 答案 B 解析 PA PN PM PN PM PA MA 6 MN 所以动点 P 的轨迹是 椭圆 故选 B 4 过点 M 2 1 的直线 l 与 x 轴 y 轴分别交于 P Q 两点且 MP MQ 则 l 的方程是 A x 2y 3 0 B 2x y 3 0 C 2x y 5 0 D x 2y 4 0 答案 D 解析 由题意知 M 是线段 PQ 的中点 设直线的方程为 y k x 2 1 分别令 y 0 x 0 得 P Q 0 1 2k 2 1 k 0 由中点坐标公式得 2 k 2 1 k 0 2 1 2 所以直线的方程为 y x 2 1 1 2 即 x 2y 4 0 故选 D 5 直线 x 2y 3 0 与圆 C x 2 2 y 3 2 9 交于 E F 两点 则 ECF 的面积为 A B 3 2 3 4 C 2 D 5 3 5 5 答案 C 解析 圆心 2 3 到 EF 的距离 d 2 6 3 55 又 EF 2 4 S ECF 4 2 故选 C 9 5 1 255 6 若 a b c 分别是 ABC 中角 A B C 所对边的边长 则直线 sinA x ay c 0 与 bx sinB y c 0 的位置关系是 A 平行 B 重合 C 垂直 D 相交但不垂直 答案 C 解析 a 0 sinA 0 b 0 sinB 0 ABC 中 a sinA b sinB 直线 sinA x ay c 0 的斜率 k1 sinA a 直线 bx sinB y c 0 的斜率 k2 b sinB k1 k2 sinA a b sinB 将 代入 得 k1 k2 1 故两直线相互垂直 故选 C 7 已知直线 l1 bx 2y 2 0 和 l2 2x 6y c 0 相交于点 1 m 且 l1到 l2的角为 则 b c m 的值分别为 3 4 A 1 11 B 1 11 3 2 3 2 C 1 11 D 11 1 3 2 3 2 答案 C 解析 直线 l1 l2的斜率分别为 k1 k2 b 2 1 3 由 l1到 l2的角为 得 1 解得 b 1 3 4 1 3 b 2 1 b 6 将 1 m 代入 l2 x 2y 2 0 得 m 3 2 将 1 代入 l2 2x 6y c 0 得 c 11 故选 C 3 2 8 已知 A 3 8 和 B 2 2 在 x 轴上有一点 M 使得 AM BM 为最短 那么点 M 的 坐标为 A 1 0 B 1 0 C 0 D 0 22 5 22 5 答案 B 解析 点 B 2 2 关于 x 轴的对称点为 B 2 2 连接 AB 易求得直线 AB 的方 程为 2x y 2 0 它与 x 轴的交点 M 1 0 即为所求 故选 B 9 把直线 x 2y 0 向左平移 1 个单位 再向下平移 2 个单位后 所得直线正好与 圆 x2 y2 2x 4y 0 相切 则实数 的值为 A 3 或 13 B 3 或 13 C 3 或 13 D 3 或 13 答案 A 解析 直线 x 2y 0 按 a 1 2 平移后的直线为 x 2y 3 0 与圆相切 则圆心 1 2 到直线的距离 d 求得 13 或 3 故选 A 8 55 10 在如右图所示的坐标平面的可行域 阴影部分且包括边界 内 若是目标函数 z ax y a 0 取 得最大值的最优解有无数个 则 a 的值等于 A B 1 1 3 C 6 D 3 答案 B 解析 将 z ax y 化为斜截式 y ax z a 0 则当直线在 y 轴上截距最大时 z 最 大 最优解有无数个 当直线与 AC 重合时符合题意 又 kAC 1 a 1 a 1 故 选 B 11 如果点 P 在平面区域Error Error 上 点 Q 在曲线 x2 y 2 2 1 上 那么 PQ 的最小值 为 A 1 B 1 5 4 5 C 2 1 D 1 22 答案 A 解析 由几何意义可得所求为可行域内的点与圆上的点之间的距离最小值 画出可行域 可得 d最小 1 故选 A 5 12 过点 C 6 8 作圆 x2 y2 25 的切线于切点 A B 那么 C 到两切点 A B 连线的 距离为 A 15 B 1 C D 5 15 2 答案 C 解析 切点弦 AB 的方程为 6x 8y 25 点 C 6 8 到直线 AB 的距离为 d 故选 C 6 6 8 8 25 62 82 15 2 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 13 设直线 2x 3y 1 0 和 x2 y2 2x 3 0 相交于点 A B 则弦 AB 所在直线的垂 直平分线方程是 答案 3x 2y 3 0 解析 圆 x2 y2 2x 3 0 的圆心为 C 1 0 由平面几何知识知 弦 AB 的垂直平分线 必过圆心 C 1 0 直线 2x 3y 1 0 的斜率为 kAB 2 3 所求直线的斜率为 k 3 2 弦 AB 的垂直平分线方程为 y x 1 3 2 即 3x 2y 3 0 14 在坐标平面上有两个区域 M 和 N 其中区域 M Error Error 区域 N x y t x t 1 0 t 1 区域 M 和 N 公共部分的面积用函数 f t 表示 则 f t 的表达式为 答案 f t t2 t 1 2 解析 作出不等式组Error Error 所表示的平面区域 由 t x t 1 0 t 1 得 f t S OEF S AOD S BFC 1 t2 1 t 2 t2 t 1 2 1 2 1 2 15 已知点 P m n 位于第一象限 且在直线 x y 1 0 上 则使不等式 a 恒 1 m 4 n 成立的实数 a 的取值范围是 答案 9 解析 由题意 m n 1 m 0 n 0 m n 1 m 4 n 1 m 4 n 5 5 2 9 n m 4m n4 当且仅当 n 2m 即 m n 时等号成立 1 3 2 3 a 的取值范围是 a 9 16 2008 天津 已知圆 C 的圆心与抛物线 y2 4x 的焦点关于直线 y x 对称 直线 4x 3y 2 0 与圆 C 相交于 A B 两点 且 AB 6 则圆 C 的方程为 答案 x2 y 1 2 10 解析 y2 4x 焦点 F 1 0 圆心 O 0 1 O 到 4x 3y 2 0 的距离 d 1 5 5 则圆半径 r 满足 r2 12 32 10 圆方程为 x2 y 1 2 10 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 17 本小题满分 10 分 过点 M 0 1 作直线 使它被直线 l1 x 3y 10 0 和 l2 2x y 8 0 所截得的线段恰好被 M 平分 求此直线方程 解法一 过点 M 且与 x 轴垂直的直线是 y 轴 它和两已知直线的交点分别是 0 和 10 3 0 8 显然不满足中点是点 M 0 1 的条件 故可设所求直线方程为 y kx 1 与已知两直线 l1 l2分别交于 A B 两点 联立方程 组 Error Error Error Error 由 解得 xA 由 解得 xB 7 3k 1 7 k 2 点 M 平分线段 AB xA xB 2xM 即 0 7 3k 1 7 k 2 解得 k 故所求直线方程为 x 4y 4 0 1 4 解法二 设所求直线与已知直线 l1 l2分别交于 A B 两点 点 B 在直线 l2 2x y 8 0 上 故可设 B t 8 2t M 0 1 是 AB 的中点 由中点坐标公式得 A t 2t 6 A 点在直线 l1 x 3y 10 0 上 t 3 2t 6 10 0 解得 t 4 B 4 0 A 4 2 故所求直线方程为 x 4y 4 0 18 本小题满分 12 分 已知方程 x2 y2 2x 4y m 0 1 若此方程表示圆 求 m 的取值范围 2 若 1 中的圆与直线 x 2y 4 0 相交于 M N 两点 且 OM ON O 为坐标原点 求 m 3 在 2 的条件下 求以 MN 为直径的圆的方程 解 1 x 1 2 y 2 2 5 m m 5 2 设 M x1 y1 N x2 y2 则 x1 4 2y1 x2 4 2y2 则 x1x2 16 8 y1 y2 4y1y2 OM ON x1x2 y1y2 0 16 8 y1 y2 5y1y2 0 由Error Error 得 5y2 16y m 8 0 y1 y2 y1y2 16 5 8 m 5 代入 得 m 8 5 3 以 MN 为直径的圆的方程为 x x1 x x2 y y1 y y2 0 即 x2 y2 x1 x2 x y1 y2 y 0 所求圆的方程为 x2 y2 x y 0 8 5 16 5 19 本小题满分 12 分 A B C 三城市分别有某种机器 10 台 10 台 8 台 支援 D 市 18 台 E 市 10 台 从 A 市调一台机器到 D E 两市的运费分别为 200 元和 800 元 从 B 市调一台机器到 D E 两市的运费分别为 300 元和 700 元 从 C 市调一台机器到 D E 两市 的运费分别为 400 元和 500 元 1 若从 A B 两市各调 x 台到 D 市 当三市 28 台机器全部调运完毕后 求总运费 P x 关于 x 的函数表达式 并求 P x 的最大值和最小值 2 若从 A 市调 x 台到 D 市 从 B 市调 y 台到 D 市 当 28 台机器全部调运完毕后 用 x y 表示总运费 P 并求 P 的最大值和最小值 解 1 机器调运方案如下表 ABC需量 D200 x300 x400 18 2x 18 E800 10 x 700 10 x 500 2x 10 10 供量10108 总运费 P x 200 x 300 x 400 18 2x 800 10 x 700 10 x 500 2x 10 17200 800 x 又由 0 x 10 0 18 2x 8 得定义域 5 x 9 所以 P x max P 5 13200 元 P x min P 9 10000 元 2 机器调运方案如下表 ABC需量 D200 x300y400 18 x y 18 E800 10 x 700 10 y 500 x y 10 10 供量10108 总运费 P 200 x 300y 400 18 x y 800 10 x 700 10 y 500 x y 10 17200 100 5x 3y 其中 0 x 10 0 y 10 0 18 x y 8 在 xOy 平面内作出上述不等式的可行域 如上图中阴影部分 其中 l1 x y 18 l2 x y 10 可见 当 x 10 y 8 时 Pmin 9800 当 x 0 y 10 时 Pmax 14200 20 本小题满分 12 分 已知圆 M x2 y2 2mx 2ny m2 1 0 与圆 N x2 y2 2x 2y 2 0 交于 A B 两点 且这两点平分圆 N 的圆周 求圆 M 的圆心的轨 迹方程 并求其中半径最小时圆 M 的方程 解 由圆 M 的方程知 M m n 又由方程组 Error Error 得直线 AB 的方程为 2 m 1 x 2 n 1 y m2 1 0 又 AB 平分圆 N 的圆周 所以圆 N 的圆心 N 1 1 在直线 AB 上 2 m 1 1 2 n 1 1 m2 1 0 供 方 运 费 需 方 供 方 运 费 需 方 m2 2m 2n 5 0 即 m 1 2 2 n 2 x 1 2 2 y 2 即为点 M 的轨迹方程 又由题意可知当圆 M 的半径最小时 点 M 到 AB 的距离最小 即 MN 最小 d m 1 2 n 1 2 2 n 2 n 1 2 n2 3 由 可知 n 2 d 1 即最小值为 1 此时 m 1 n 2 故此时圆 M 的方程为 x 1 2 y 2 2 5 21 本小题满分 12 分 将一块直角三角板 ABO 置于平面直角坐标系中 如右图所示 已知 AB OB 1 AB OB 点 P是三角板内一点 现因三角板中阴影部分受到损坏 要把 1 2 1 4 损坏部分锯掉 可用经过点 P 的任一直线 MN 将三角板锯成 AMN 问应如何确定直线 MN 的斜率 可使锯成的 AMN 的面积最大 解 由题意可知 B 1 0 A 1 1 kOP kPB 1 2 1 2 kMN lAO y x lAB