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文档简介

用心 爱心 专心 推理与证明推理与证明 一 一 合情推理与演绎推理 1 了解合情推理的含义 能利用归纳和类比等进行简单的推理 了解合情推理在数学发现 中的作用 2 了解演绎推理的重要性 掌握演绎推理的基本模式 并能运用它们进行一些简单推理 3 了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异 二 二 直接证明与间接证明 1 了解直接证明的两种基本方法 分析法和综合法 了解分析法和综合法的思考过程 特 点 2 了解间接证明的一种基本方法 反证法 了解反证法的思考过程 特点 三 三 数学归纳法 了解数学归纳法的原理 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题 1 1 推理与证明的内容是高考的新增内容 主要以选择填空的形式出现 2 2 推理与证明与数列 几何 等有关内容综合在一起的综合试题多 第第 1 1 课时课时 合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理 1 1 推理一般包括合情推理和演绎推理 2 2 合情推理包括 和 归纳推理 从个别事实中推演出 这样的推理通常称为归纳推理 归纳 推理的思维过程是 类比推理 根据两个 或两类 对象之间在某些方面的相似或相同 推演出它们在其它方面 也 或 这样的推理称为类比推理 类比推理的思维过程是 3 3 演绎推理 演绎推理是 按照严格的逻辑法则得到的 推理过 程 三段论常用格式为 M 是 P S 是 P 其中 是 它提供 了一个个一般性原理 是 它指出了一个个特殊对象 是 它根 据一般原理 对特殊情况作出的判断 4 4 合情推理是根据已有的事实和正确的结论 包括定义 公理 定理等 实验和实践的结 果 以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程 归纳和类比是合情推理常用的思维 方法 在解决问题的过程中 合情推理具有猜测和发现结论 探索和提供思路的作用 有得 基础过关基础过关 考纲导读考纲导读 高考导航高考导航 用心 爱心 专心 于创新意识的培养 演绎推理是根据已有的事实和正确的结论 按照严格的逻辑法则得到的 新结论的推理过程 例例 1 1 已知 2 3 150sin90sin30sin 222 2 3 125sin65sin5sin 222 通过观察上述两等式的规律 请你写出一般性的命题 2 3 并给出 式的证明 解 解 一般形式 2 3 120 sin 60 sinsin 222 证明 左边 2 2402cos 1 2 1202cos 1 2 2cos1 2402cos 1202cos 2 cos 2 1 2 3 240cos2cos120sin2sin120cos2cos2 cos 2 1 2 3 240sin2sin 2sin 2 3 2cos 2 1 2sin 2 3 2cos 2 1 2 cos 2 1 2 3 右边 2 3 将一般形式写成 222 3 sin 60 sinsin 60 2 222 3 sin 240 sin 120 sin 2 等均正确 变式训练 1 设 cos 010 xfxfxxf 21 fxfx 1 nn fxfx n N 则 2008 xf 解 解 xcos 由归纳推理可知其周期是 4 例例 2 2 在平面上 我们如果用一条直线去截正方形的一个角 那么截下的一个直角三角形 按图所标边长 由勾股定理有 222 bac 设想正方形换成正方体 把截线换成如图的截面 这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的 三棱锥 O LMN 如果用 321 sss表示三个侧面面积 4 s表示截面面积 那么你类比得到的结 论是 典型例题典型例题 用心 爱心 专心 解 解 2 4 2 3 2 2 2 1 SSSS 变式训练变式训练 2 2 在 ABC 中 若 C 90 AC b BC a 则 ABC 的外接圆的半径 2 22 ba r 把上面的结论推广到空间 写出相类似的结论 答案 答案 本题是 由平面向空间类比 考虑到平面中的图形是一个直角三角形 所以在空间中我们可以选取有 3 个面两两垂直的四面体来考虑 取空间中有三条侧棱两两垂直的四面体 A BCD 且 AB a AC b AD c 则此三棱锥的外接球的半径是 2 222 cba r 例例 3 3 请你把不等式 若 21 a a是正实数 则有 21 1 2 2 2 2 1 aa a a a a 推广到一般情形 并证 明你的结论 答案 答案 推广的结论 若 n aaa 21 都是正数 n n n n aaa a a a a a a a a 21 1 2 1 2 3 2 2 2 2 1 证明 证明 n aaa 21 都是正数 12 2 2 1 2aa a a 21 1 2 2 2aa a a 1 2 1 2 nn n n aa a a n n aa a a 2 1 1 2 n n n n aaa a a a a a a a a 21 1 2 1 2 3 2 2 2 2 1 变式训练变式训练 3 3 观察式子 4 7 4 1 3 1 2 1 1 3 5 3 1 2 1 1 2 3 2 1 1 222222 则可归纳出式子为 A 12 11 3 1 2 1 1 222 n n B 12 11 3 1 2 1 1 222 n n C n n n 121 3 1 2 1 1 222 D 12 21 3 1 2 1 1 222 n n n 答案 答案 C 解析 用 n 2 代入选项判断 例例 4 4 有一段演绎推理是这样的 直线平行于平面 则平行于平面内所有直线 已知直线 b 平面 直线a 平面 直线b 平面 则直线b 直线a 的结论显然是错误的 这是因为 A 大前提错误 B 小前提错误 C 推理形式错误 D 非以上错误 用心 爱心 专心 答案 答案 A 解析 直线平行于平面 并不平行于平面内所有直线 变式训练变式训练 4 4 AC BD 是菱形 ABCD 的对角线 AC BD 互相垂直且平分 补充以上推理的 大前提是 答案 答案 菱形对角线互相垂直且平分 第第 2 2 课时课时 直接证明与间接证明直接证明与间接证明 1 1 直接证明 直接从原命题的条件逐步推得结论成立 这种证明方法叫直接证明 直接证明的两种基本方法 分析法和综合法 综合法 分析法 2 2 间接证明 间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法 反证法是一种常用的间接证 明方法 反证法即从 开始 经过正确的推理 说明假设错误 从而证明了原命 题成立 这样的证明方法叫做反证法 归谬法 例例 1 1 若cba 均为实数 且 6 2 3 2 2 2 222 xzczybyxa 求证 cba 中至少有一个大于 0 答案 答案 用反证法 假设cba 都不大于 0 即0 0 0 cba 则有0 cba 而3 632 1 1 1 6 2 3 2 2 2 222222 zyxxzzyyxcba 3 1 1 1 222 zyx 222 1 1 1 zyx均大于或等于 0 03 0 cba 这与假设0 cba矛盾 故cba 中至少有一个大于 0 变式训练变式训练 1 1 用反证法证明命题 abNba 可以被 5 整除 那么ba 中至少有一个能被 5 整 除 那么假设的内容是 答案 答案 a b 中没有一个能被 5 整除 解析 至少有 n 个 的否定是 最多有 n 1 个 例例 2 2 ABC 的三个内角 A B C 成等差数列 求证 cbacbba 311 答案 答案 证明 要证 cbacbba 311 即需证3 cb cba ba cba 典型例题典型例题 基础过关基础过关 用心 爱心 专心 即证1 cb a ba c 又需证 cbbabaacbc 需证 222 bacac ABC 三个内角 A B C 成等差数列 B 60 由余弦定理 有 60cos2 222 caacb 即acacb 222 222 bacac 成立 命题得证 变式训练变式训练 2 2 用分析法证明 若a 0 则2 1 2 1 2 2 a a a a 答案 答案 证明 要证2 1 2 1 2 2 a a a a 只需证2 1 2 1 2 2 a a a a a 0 两边均大于零 因此只需证 22 2 2 2 1 2 1 a a a a 只需证 1 2222 11 44 1 2 2 2 2 2 2 a a a a a a a a 只需证 1 2 21 2 2 a a a a 只需证 2 1 2 11 2 2 2 2 a a a a 即证2 1 2 2 a a 它显然成立 原不等式成立 例例 3 3 已知数列 n a 0 n a 0 1 a 1 2 1 2 1 Nnaaa nnn 记 nn aaaS 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1 21211n n aaaaaa T 求证 求证 当 Nn时 1 1 nn aa 2 2 nSn 3 3 n T 解 解 1 证明 用数学归纳法证明 当1n 时 因为 2 a是方程 2 10 xx 的正根 所以 12 aa 假设当 nk k N时 1kk aa 因为 22 1kk aa 22 2211 1 1 kkkk aaaa 2121 1 kkkk aaaa 用心 爱心 专心 所以 12kk aa 即当1nk 时 1nn aa 也成立 根据 和 可知 1nn aa 对任何 n N都成立 2 2 证明 证明 由 22 11 1 kkk aaa 121kn 2n 得 22 231 1 nn aaaana 因为 1 0a 所以 2 1 nn Sna 由 1nn aa 及 22 11 121 nnn aaa 得1 n a 所以2 n Sn 3 3 证明 证明 由 22 11 12 kkkk aaaa 得 1 1 1 2 313 12 k kk a knn aa 所以 2 342 1 3 1 1 1 2 n n n a a aaaa 于是 2222 2322 11 3 1 1 1 2 22 nn nnn n aa n aaaaa 故当3n 时 2 11 1 13 22 n n T 又因为 123 TTT 所以3 n T 用心 爱心 专心 推理与证明章节测试题推理与证明章节测试题 1 考察下列一组不等式 525252 2233 525252 3344 525252 322355 将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广 使以上的不等式成为推广不等式的特例 则推广的不等 式可以是 2 已知数列 n a满足 1 2a 1 1 1 n n n a a a n N 则 3 a的值为 1232007 a aaa 的值为 3 已知 2 1 1 1 2 f x f xf f x xN 猜想 f x 的表达式为 A 4 22 x f x B 2 1 f x x C 1 1 f x x D 2 21 f x x 4 某纺织厂的一个车间有技术工人m名 mN 编号分别为 1 2 3 m 有 n台 nN 织布机 编号分别为 1 2 3 n 定义记号 i j a 若第i名工人操作 了第j号织布机 规定1 i j a 否则0 i j a 则等式 4142434 3 n aaaa 的实际 意义是 A 第 4 名工人操作了 3 台织布机 B 第 4 名工人操作了n台织布机 C 第 3 名工人操作了 4 台织布机 D 第 3 名工人操作了n台织布机 5 已知 111 1 23 fnnN n 计算得 3 2 2 f 4 2f 5 8 2 f 16 3f 7 32 2 f 由此推测 当2n 时 有 6 观察下图中各正方形图案 每条边上有 2 n n 个圆圈 每个图案中圆圈的总数是 n S 按此规律推出 当2n 时 n S与n的关系式 24nS 38nS 412nS 7 观察下式 1 12 2 3 4 32 3 4 5 6 7 52 4 5 6 7 8 9 10 72 则可得出一般结论 8 函数 f x由下表定义 x25314 f x 12345 用心 爱心 专心 若 0 5a 1 nn af a 0 1 2 n 则 2007 a 9 在一次珠宝展览会上 某商家展出一套珠宝首饰 第一件首饰是 1 颗珠宝 第二件首饰是由 6 颗珠宝构成如图 1 所示的正六边形 第三件首饰是由 15 颗珠宝构成如图 2 所示的正六边形 第四件首饰是由 28 颗珠宝构成如图 3 所示的正六边形 第五件首饰是由 45 颗珠宝构成如图 4 所示的正六边形 以后每件首饰都在前一件上 按照这种规律增加一定数量的珠宝 使 它构成更大的正六 边形 依此推断第 6 件首饰上应有 颗珠宝 则前n件首饰所用 珠宝总数为 颗 结果用n表示 10 将正奇数按下表排成 5 列 第 1 列第 2 列第 3 列第 4 列第 5 列 第 1 行 1357 第 2 行 1513119 第 3 行 17192123 2725 那么 2003 应该在第 行 第 列 11 如右上图 一个小朋友按如图所示的规则练习数数 1 大拇指 2 食指 3 中指 4 无名 指 5 小指 6 无名指 一直数到 2008 时 对应的指头是 填指头的名称 12 在数列 1 2 2 3 3 3 4 4 4 4 中 第 25 项为 13 观察下列的图形中小正方形的个数 则第n个图中有 个小正方形 图 1图 2 图 3 图 4 用心 爱心 专心 14 同样规格的黑 白两色正方形瓷砖铺设的若干图案 则按此规律第n个图案中需用黑色 瓷砖 块 用含n的代数式表示 15 如图所示 面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为 1 2 3 4 i a i 此四边形内任一点P到第i条边的距离记为 1 2 3 4 i h i 若 3124 1234 aaaa k 则 4 1 2 i i S ih k 类比以上 性质 体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为 1 2 3 4 i S i 此三棱 锥内任一点Q到第i个面的距离记为 1 2 3 4 i Hi 若 3124 1234 SSSS K 则 4 1 i i iH B A 4V K B 3V K C 2V K D V K 16 设 O 是ABCA内一点 ABCA三边上的高分别为 ABC hhh O 到三边的距离依次为 abc l l l 则 abc ABC lll hhh 类比到空间 O 是四面体 ABCD 内一点 四顶点到 对面的距离分别为 ABCD hhhh O 到这四个面的距离依次为 abcd l l l l 则有 17 在Rt ABC 中 两直角边分别为a b 设h为斜边上的高 则 222 111 hab 由此类比 三棱锥SABC 中的三条侧棱SA SB SC两两垂直 且长度分别为a b c 设棱锥 底面ABC上的高为h 则 18 若数列 n a是等差数列 对于 1 21nn aaa n b 则数列 n b也是等差数列 类 比上述性质 若数列 n c是各项都为正数的等比数列 对于0 n d 则 n d 时 数 列 n d也是等比数列 19 已知 ABC三边a b c的长都是整数 且abc 如果b m m N N 则这样的三 角形共有 个 用m表示 用心 爱心 专心 20 如图的三角形数阵中 满足 1 第 1 行的数为 1 2 第 n n 2 行首尾两数均为 n 其余的数都等于它肩上的两个数相加 则第 n 行 n 2 中第 2 个数是 用 n 表 示 1 22 343 4774 51114115 6162525166 21 在 ABC 中 CB CB A coscos sinsin sin 判断 ABC 的形状并证明 22 已知a b c是互不相等的非零实数 若用反证法证明三个方程 ax2 2bx c 0 bx2 2cx a 0 cx2 2ax b 0 至少有一个方程有两个相异实根 应假设 23 ABC 中 已知Babsin323 且CAcoscos 求证 ABC 为等边三角形 24 如图 111 yxP 222 yxP nnn yxP 0 21n yyy 是曲线C 0 3 2 yxy上的n个点 点 0 ii aA ni 3 2 1 在x轴的正半轴上 且 iii PAA 1 是正三角形 0 A是坐标原点 1 写出 1 a 2 a 3 a 用心 爱心 专心 2 求出点 0 nn aA n N 的横坐标 n a关于n的表达式并证明 用心 爱心 专心 推理与证明章节测试题答案推理与证明章节测试题答案 1 0 nnmkkm aba ba ba bmkn m n kN 3 1 3 2 3 B 4 A 5 21 2 2 n n fnN 6 22 2 nn 7 2 1 32 21 nnnnnN 8 4 9 1 41 6 n nn nN 10 251 3 12 食指 12 在数列 1 2 2 3 3 3 4 4 4 4 中 第 25 项为 7 13 2 32 2 nn 14 48n 15 B 提示 平面面积法类比到空间体积法 16 1 提示 平面面积法类比到空间体积法 17 2222 1111 habc 18 12 n n c cc nN 提示 等差数列类比到等比数列 算术平均数 1 21nn aaa n b 类比到几何平均数 12 n nn dc cc nN 19 1 2 m m 20 2 2 2 nn 21 解 CBA CB CB A coscos sinsin sin sin sin cossincossinCBCACABA 0cos sin sincossincossin ABCABAC 用心 爱心 专心 2 0cos 0sinsin AABC 所以三角形 ABC 是直角三角形 22 三个方程中都没有两个相异实根 证明 假设三个方程中都没有两个相异实

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