山东省青岛市2013届高三数学上册1月调研考试 理 （含解析）沪教版

1 山东省青岛一中山东省青岛一中 2012 20132012 2013 学年学年 1 1 月调研考月调研考试试 高三数学 理工科 高三数学 理工科 本试题卷共 8 页 六大题 21 小题 全卷满分 150 分 考试用时 120 分钟 祝考试顺利 注意事项 1 答卷前 考生务必将自己的姓名 准考证号填写在试题卷和答题卡上 并将准考 证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置 用统一提供的 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的 方框涂黑 2 选择题的作答 每小题选出答案后 用统一提供的 2B 铅笔把答题卡上对应题目的 答案标号涂黑 如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其它答案标号 答在试题卷 草稿纸 上无效 3 非选择题的作答 用统一提供的签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域 内 答在试题卷 草稿纸上无效 4 考生必须保持答题卡的整洁 考试结束后 请将本试题卷和答题卡一并上交 一 选择题 本大题共 10 小题 每小题 5 分 共 50 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 选出正确选项填在答题卡相应位置 1 设集合 则使成立的的值是 1 0 1 M 2 aaN MNN a A 1 B 0 C 1 D 1 或 1 答案 C 解析 若 则有 若 不成立 若 则MNN NM 0a 0 0 N 1a 不成立 若 则 满足 所以 选 C 1 1 N 1a 1 1 N NM 1a 2 投掷两颗骰子 其向上的点数分别为m和n 则复数为纯虚数的概率为 2 mni A 1 3 B 1 4 C 1 6 D 1 12 答案 C 2 解析 投掷两颗骰子共有 36 种结果 因为 所以要使负责 222 2mnimnmni 为纯虚数 则有 即 共有 6 种结果 所以复数为纯虚 2 mni 22 0mn mn 数的概率为 选 C 61 366 3 设为实数 函数的导函数为 且是偶函数 a 32 3 f xxaxax fx fx 则曲线在原点处的切线方程为 yf x A B 31yx 3yx C D 31yx 33yx 答案 B 解析 函数的导数为 若为偶函数 则 所以 2 32 3 fxxaxa fx 0a 所以 所以在原点处的切线方程为 3 3f xxx 2 33fxx 0 3f 选 B 3yx 4 阅读右面的程序框图 则输出的S A 14 B 30 C 20 D 55 答案 B 解析 第一次循环 第二次循环 第三次循环 1 2Si 2 125 3Si 第四次循环 此时满足条件 输出 2 5314 4Si 2 14430 5Si 选 B 30S 5 在实验室进行的一项物理实验中 要先后实施个程序 其中程序只能出现在第一6A 3 或最后一步 程序和在实施时必须相邻 则实验顺序的编排方法共有 BC A 种 B 种 C 种 D 种344896144 答案 C 解析 将 BC 看做一个整体 此时有 5 个程序 若 A 在第一步有种排法 若 A 在最 42 42 A A 后一步有种排法 所以总共有种 选 C 42 42 A A 4242 4242 96A AA A 6 设表示三条直线 表示两个平面 则下列命题中abc 不正确的是 A c c B a b b c b c a 是 在 内的射影 C bc bc c D b ab a 答案 D 解析 对于选项 D 可能还有或者与相交 所以 D 不正确 b b 7 已知两点 1 0 1 3 ABO为坐标原点 点C在第二象限 且 120 AOC 设 2 OCOAOB R 则等于 A 1 B C 1D 2 答案 C 解析 因为所以 10 1 3 OAOB 1OA 2 23 OCOAOB 因为 所以 222 2 3 444OC cos120OA OCOA OC A 所以 平方解得 选 C 2 1 2444 0 2 2 1 8 过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于两点 它们到直线的距xy4 2 BA 2 x 离之和等于 5 则这样的直线 A 有且仅有一条B 有且仅有两条C 有无穷多条D 不存在 答案 本题答案应为 D 试题提供的答案是 B 4 解析 抛物线的焦点坐标为 准线方程为 若直线 AB 的斜率不存xy4 2 1 0 1x 在 则横坐标之和等于 6 不适合 故设直线 AB 的斜率为 k 则直线 AB 为 代入抛物线 y2 4x 得 所以 1 yk x 2222 2 2 0k xkxk 因为 A B 到直线的距离之和等于 5 即 2 12 2 2 2 k xx k 2 x 12 225xx 即 所以 解得 显然不成立 所以不存 12 1xx 2 12 2 2 2 1 k xx k 2 3k 在这样的直线 选 D 9 某学生四次模拟考试时 其英语作文的减分情况如下表 考试次数 x 1234 所减分数 y 4 5432 5 显然所减分数 y 与模拟考试次数 x 之间有较好的线性相关关系 则其线性回归方程为 A B 25 5 7 0 xy25 5 6 0 xy C D 25 6 7 0 xy25 5 7 0 xy 答案 D 解析 由题意可知 所减分数 y 与模拟考试次数 x 之间为负相关 所以排除 A 考试次数 的平均数为 所减分数的平均数为 1 1234 2 5 4 x 即直线应该过点 代入验证可知直线 1 4 5432 5 3 5 4 y 2 5 3 5 成立 选 D 25 5 7 0 xy 10 已知定义在上的函数是奇函数且满足 数列R xf 2 3 xfxf 3 2 f 满足 且 其中为的前项和 则 n a1 1 a21 nn Sa nn n S n an 65 afaf A B C D 3 2 32 答案 C 解析 由 可知函数的对称轴为 又函数为奇函数 所以有 2 3 xfxf 3 4 x 所以 即 函数 33 22 fxf xf x 3 2 f xf x 3 f xf x 5 的周期为 3 由得 所以当时 21 nn Sa nn 2 nn San 2n 即 所以 111 2 21 221 nnnnnnn aSSananaa 1 21 nn aa 所以 23456 3 7 15 31 63aaaaa 因为函数为奇函 56 31 63 1 0 1 0 f af affffff 数 所以 由 可得 所以 0 0f 3 2 f 2 1 3ff 选 C 56 3f af a 二 填空题 本大题共 5 小题 每小题 5 分 共 25 分 11 已知把向量向右平移两个单位 再向下平移一个单位得到向量 则的坐 1 1 a b b 标为 答案 11 解析 因为向量 所以 ba 1 1 b 12 若某几何体的三视图 单位 cm 如图所示 则此几何体的表面积是 cm 2 答案 6 132 解析 由三视图可知 该几何体试题是半个圆锥 如图 底面半径为 2 圆锥的高为 3 圆锥的母线长为 所以底面积为 三角形 圆锥的 22 3213 2 1 22 2 1 4 36 2 VAB S 6 底面弧长为 圆锥的侧面积为 所以圆锥的表面积为2 1 21313 2 62136 213 13 已知点 P 的坐标 过点 P 的直线 与圆 4 1 xy x yyx x 满足l 22 14C xy 相交于 A B 两点 则的最小值为 AB 答案 4 解析 如图 点 P 位于三角形内 圆的半径为 要使的最小值 则有圆CDE14AB 心到直线 的距离最大 有图象可知当点 P 位于 E 点时 圆心到直线 的距离最大 此ll 时直线 所以 所lOP 1 3 E 22 22 14 1 3 42AEOAOE 以 即最小值为 4 24ABAE 14 设二次函数的值域为 则的最大值 2 4 f xaxxc xR 0 19 19ca 为 答案 6 5 解析 因为二次函数的值域为 所以有 且 即 所 0 0a 2 44 0 4 ac a 4ac 以 所以 4 c a 1919 4 199 1 caa a 22 22 183613365 13361336 aaaaa aaaa 7 当且仅当 即 2 5556 111 36 1336536 13 132 a aa a a a a 36 a a 时取等号 所以最小值无 2 36 6aa 6 5 15 1 2 小题选做一题 1 如图 圆O的直径AB 8 C为圆周上一点 BC 4 过点C作圆的切线l 过点A作 直线l的垂线AD D为垂足 AD与圆O交于点E 则线段AE的长为 答案 4 解析 连接 OC BE 如下图所示 因为圆 O 的直径 AB 8 BC 4 所以 OBC 为等边三角 形 COB 60 又直线 是过的切线 所以 又 所以 lCOCl ADl ADOC 故在中 所以 Rt ABE 60ACOB 1 4 2 AEAB 2 在平面直角坐标系下 曲线 t为参数 曲线 1 22 xta C yt 为参数 若曲线C1 C2有公共点 则实数的取值范围为 2 2sin 12cos x C y a 答案 15 15 解析 曲线的方程为 曲线方程为 圆心为 1 C220 xya 2 C 22 1 4xy 8 半径为 2 若曲线C1 C2有公共点 则有圆心到直线的距离 即 0 1 2 22 2 12 a 所以 即实数的取值范围是 15a 1515a a 15 15 三 解答题 本大题共 6 个小题 共 75 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 16 本小题满分 12 分 在 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为a b c q q a2 1 p p cb 2 Ccos 且qp 求 I 求 sin A 的值 II 求三角函数式1 tan1 2cos2 C C 的取值范围 17 本小题满分 12 分 在数列中 n a 11231 1 1 23 2 nn n aaaanaanN 1 求数列的通项 n a n a 2 若存在 使得成立 求实数的最小值 nN 1 n an 18 本小题满分 12 分 如图 在四棱锥ABCD PGFE中 底面ABCD是直角梯形 侧棱垂直于底面 AB DC ABC 45o DC 1 AB 2 PA 1 求PD与BC所成角的大小 求证 BC 平面PAC 求二面角A PC D的大小 9 19 本小题满分 12 分 英语老师要求学生从星期一到星期四每天学习 3 个英语单词 每周五对一周内所学单 词随机抽取若干个进行检测 一周所学的单词每个被抽到的可能性相同 英语老师随机抽了 4 个单词进行检测 求至少有 3 个是后两天学习过的单词的概 率 某学生对后两天所学过的单词每个能默写对的概率为 对前两天所学过的单词 4 5 每个能默写对的概率为 若老师从后三天所学单词中各抽取一个进行检测 求 3 5 该学生能默写对的单词的个数 的分布列和期望 20 本大题满分 13 分 已知椭圆的离心率为 以原点为圆心 椭圆的短半轴为 22 22 1 0 xy Cab ab 1 2 半径的圆与直线相切 过点 P 4 0 且不垂直于 x 轴直线 与椭圆 C60 xy l 相交于 A B 两点 1 求椭圆 C 的方程 2 求的取值范围 OBOA 3 若 B 点在于 x 轴的对称点是 E 证明 直线 AE 与 x 轴相交于定点 10 21 本题满分 14 分 1 证明不等式 ln 1 0 1 x xx x 2 已知函数 ln 1 ax f xx ax 在 0 上单调递增 求实数a的取值范围 3 若关于 x 的不等式 1 1 1 x x bxe 在 0 上恒成立 求实数b的最大值 理科参考答案 1 C 2 C 3 B 4 B 5 C 6 D 7 C 8 B 9 D 10 C 11 1 1 12 6 2 13 4 14 15 1 4 2 13 6 5 15 15 16 解 I qp cbCa 2cos2 根据正弦定理 得CBCAsinsin2cossin2 又 sinsinsincoscossinBACACAC 1 sincossin 2 CAC 0sin C 2 1 cos A 又0A 3 A sinA 2 3 6 分 II 原式CCC C C CC C C cossin2cos21 cos sin 1 sin cos2 11 tan1 2cos2 2 22 11 4 2sin 22cos2sin CCC 3 2 0 C 12 13 4 2 4 C 1 4 2sin 2 2 C 2 4 2sin 21 C Cf的值域是 2 1 12 分 17 解 1 6 分 2 1 1 2 3 2 n n n a n n 2 由 1 可知当时 1 1 n n a an n 2n 2 2 3 11 n n a nn n 设 8 分 1 2 2 3n n n f nnnN 则又及 1 21 111 10 2 2 31 n nn f nf nn f nf n 11 23f 所以所求实数的最小值为 12 分 1 1 22 a 1 3 18 取的AB中点H 连接DH 易证BH CD 且BD CD 1 分 所以四边形BHDC为平行四边形 所以BC DH 所以 PDH为PD与BC所成角 2 分 因为四边形 ABCD为直角梯形 且 ABC 45o 所以 DA AB 又因为AB 2DC 2 所以AD 1 因为 Rt PAD Rt DAH Rt PAH都为等腰直角 三角形 所以PD DH PH 故 PDH 60o 4 分2 连接CH 则四边形ADCH为矩形 AH DC 又AB 2 BH 1 在 Rt BHC中 ABC 45o CH BH 1 CB AD CH 1 AC 22 AC2 BC2 AB2 BC AC 6 分 又PA平面ABCD PA BC 7 分 PA AC A BC 平面PAC 8 分 如图 分别以AD AB AP为x轴 y轴 z轴 建立空间直角坐标系 则由题设可知 A 0 0 0 P 0 0 1 C 1 1 0 D 1 0 0 12 0 0 1 1 1 1 9 分AP PC 设m m a b c 为平面PAC的一个法向量 则 即 0 0 AP PC A A m m 0 0 c abc 设 则 m m 1 1 0 10 分1a 1b 同理设n n x y z 为平面PCD的一个法向量 求得n n 1 1 1 11 分 1 1 1 00 11 cos 222 A A m n m n m n 所以二面角A PC D为 60o 12 分 19 设英语老师抽到的 4 个单词中 至少含有 3 个后两天学过的事件为A 则由题意 可得 5 分 314 666 4 12 C C C3 C11 P A 由题意可得 可取 0 1 2 3 则有P 0 6 分 2 122 55125 P 1 12 2 4121319 C 55555125 P 2 9 分 21 2 4241356 C 55555125 P 3 10 分 2 4348 55125 所以 的分布列为 11 分 故E 0 1 2 3 12 分 2 125 19 125 56 125 48 125 11 5 20 1 解 由题意知 即 1 2 c e a 222