2011数学高考热点

第 1 页 共 20 页 2010 届高考数学热点 攻略不等式届高考数学热点 攻略不等式 不等式是中学数学的主要内容 是求解数学问题的主要工具 它贯穿于整个高中数学 的始终 融合于集合问题 方程 组 的解的讨论 函数性质的确定 三角 数列 立体 几何中的最值问题 解析几何中直线与圆锥曲线位置关系的讨论等内容 这些知识块无一 不与不等式有着紧密的联系 所涉及内容的深度与广度是其它章节无法相比的 因此 不 等式将是永不衰退的历届高考热点 所以必须加强对不等式的复习与研究 按 考试说明 的规定 不等式这一章包括五个知识点 五条考试要求 概括起来有四个方面 不等式的 性质 不等式的证明 不等式的解法以及不等式的应用 我们先来分析一下不等式高考的命题趋势 我们先来分析一下不等式高考的命题趋势 1 题型稳定 近几年来高考平面向量试题一直稳定在 1 2 个小题和其他与高中各知 识块相联系的大题上 分值约为 30 分左右 占总分值的 20 左右 2 由于近年高考命题强调能力立意 考查基础知识不再是考查对知识的复制 而是 考查对基础知识的深刻理解 考查各个基础知识点的联系和交汇 从近三年高考数学试题看 不 等式这一章内容的考查不再是单一型了 它往往与其它章节知识结合在一起构成了复合型试 题 不等式试题主要体现了等价转化 函数与方程 分类讨论 数形结合等基本数学思想 其主要题型大致分为 解不等式 证明不等式和不等式的应用 解不等式 不等式在生产实践和相关学科的学习中应用广泛 又是学习高等数学的 重要工具 所以不等式是高考数学命题的重点 解不等式的应用非常广泛 如求函数的定 义域 值域 求参数的取值范围等 高考试题中对于解不等式要求较高 往往与函数概念 特别是二次函数 指数函数 对数函数等有关概念和性质密切联系 应重视 从历年高考 题目看 关于解不等式的内容年年都有 有的是直接考查解不等式 有的则是间接考查解 不等式 第 2 页 共 20 页 证明不等式 复习不等式的性质及常用的证明方法 比较法 分析法 综合法 数学 归纳法等 掌握较灵活的运用常规方法 即通性通法 证明不等式的有关问题 不等式的应用 应用题中有一类是以不等式为数学模型的 当不等式模型建立后即 可转化为解不等式来解决问题 这是高考中常见题型 希望同学们多加关注 4 由于不等式这部分知识自身的特点 如不等式研究对象的复杂性 手法的多样性 故这部分入手容易深入难 建议大家在这两部分的复习上把握 度 重点突出 使学生知 道哪些是学生必须掌握的 如重要不等式成立的条件 哪些是需要学生根据问题灵活掌握 的 如不等式的多种证明方法的运用 注意复习节奏 在近年高考中 对不等式内容的考查的主要知识点和题型有 在近年高考中 对不等式内容的考查的主要知识点和题型有 1 关于不等式的性质 1 梳理时突出功能性 应用性 分成三类 理论依据 两条 对一个不等式进行变换的依据 四条 对两个不等式进行变换的 依据 四条 对某些性质的形式可以为使用做出调整 如当时 0 cbcacba 当时 0 ba Nnbaba nn 1 n 2 性质使用时注意方法的选择与综合 如比较法与综合法的选择 数与形的结合 特殊与一般的结合及函数性质的整合与应用等 2 关于不等式的解法 1 在进一步巩固各类基本不等式求解策略的同时 注重对策略本质的理解 对各种方法 的选择与比较 2 突出对分类讨论思想的认识与使用 提高求简意识 第 3 页 共 20 页 3 关于不等式的证明 不等式证明常用的方法有 比较法 综合法和分析法 它们是证明不等式的最基本的方法 1 比较法证不等式有作差 商 变形 判断三个步骤 变形的主要方向是因式分解 配方 判断过程必须详细叙述 如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式 则考虑用判别式法证 2 综合法是由因导果 而分析法是执果索因 两法相互转换 互相渗透 互为前提 充分运用这一辩证关系 可以增加解题思路 开扩视野 不等式证明还有一些常用的方法 换元法 放缩法 反证法 函数单调性法 判别式 法 数形结合法等 换元法主要有三角代换 均值代换两种 在应用换元法时 要注意代 换的等价性 放缩性是不等式证明中最重要的变形方法之一 放缩要有的放矢 目标可以 从要证的结论中考查 有些不等式 从正面证如果不易说清楚 可以考虑反证法 凡是含 有 至少 惟一 或含有其他否定词的命题 适宜用反证法 证明不等式时 要依据题设 题目的特点和内在联系 选择适当的证明方法 要熟悉各种 证法中的推理思维 并掌握相应的步骤 技巧和语言特点 4 关于不等式的应用 1 利用平均值定理求某些函数或对象的最大或最小值问题 强化变换的目的性 突出步骤的合理性的认识 2 突出函数 方程与不等式之间的关系 并利用三者的联系解决某些变量取值范围的问题 变量与常量的处理问题即恒成立问题 突出函数思想的理解与应用 以不等式为工具 充分展示对函数的理解 对函数相关知 识的综合应用 第 4 页 共 20 页 一 选择题 每小题 5 分 1 2009 安徽卷理 下列选项中 p 是 q 的必要不充分条件的是 A p b d q b 且 c d ac a B p a 1 b 1 q 的图像不过第二象限 01 x f xab aa 且 C p x 1 q 2 xx D p a 1 q 在上为增函数 log 01 a f xx aa 且 0 解析 解析 由 b 且 c d b d 而由 b d b 且 c d 可举反例 选 Aa ac ac a 无理不等 式 不 等 式 不等式的性质均值不等式 不等式的解法 比较法 综合法 分析法 放缩法 反证法 换元法 函数法 导数法 不等式的证明 有理不等 式 超越不等 式 绝对值不等 式 一元一次不等式 组 一元二次不等式 组 整式高次不等式 组 分式高次不等式 组 指数不等式 组 对数不等式 组 三角不等式 组 不等式的应用 函数的定义域 值域与单调性 取值范围问题 最值问题 方程根的分布 数列不等式 函 数不等式的证 明 实际应用问题 线性规划 第 5 页 共 20 页 2 设 x y 满足约束条件 若目标函数 z ax by a 0 b 0 的值是 0 0 02 063 yx yx yx 最大值为 12 则的最小值为 23 ab A B C D 4 6 25 3 8 3 11 x 2 2 y O 2 z ax by 3x y 6 0 x y 2 0 解析 解析 不等式表示的平面区域如图所示阴影部分 当直线 ax by z a 0 b 0 过直线 x y 2 0 与直线 3x y 6 0 的交点 4 6 时 目标函数 z ax by a 0 b 0 取得最大 12 即 4a 6b 12 即 2a 3b 6 而 故选 A 23 ab 23 23131325 2 6666 abba abab 答案 A 命题立意 本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题 要求能 准确地画出不等式表示的平面区域 并且能够求得目标函数的最值 对于形如已知 2a 3b 6 求的最小值常用乘积进而用基本不等式解答 23 ab 3 已知函数 则不等式的解集是 01 01 xx xx xf 111 xfxx A B 121 xx 1 xx 第 6 页 共 20 页 C D 12 xx 1212 xx 解析 解析 依题意得 1 1010 1 1 1 xx xxxxxx 或 所以 选 C 1 11 1 2121 2121 x x x x xx Rx 或或 3 是 且 的 A 必要不充分条件 B 充分不必要条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 解析 解析 易得时必有 若时 则可能有 选abcd 且 且acbd acbd adcb 且 且 A 答案 A 4 已知 为实数 且 则 是 的abcdcdabacbd A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 答案答案 B B 解析 解析 显然 充分性不成立 又 若 和 都成立 则同向不等式相加得acbdcd 即由 abacbd ab 5 2008 山东文 不等式的解集是 D 2 5 2 1 x x A B C D 1 3 2 1 3 2 1 113 2 1 113 2 解析 解析 本小题主要考查分式不等式的解法 易知排除 B 由符合可排除 C 1x 0 x 由排除 A 故选 D 也可用分式不等式的解法 将 2 移到左边直接求解 3x 6 2009 四川卷文 某企业生产甲 乙两种产品 已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨 第 7 页 共 20 页 B 原料 2 吨 生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨 B 原料 3 吨 销售每吨甲产品可获得利润 5 万元 每吨乙产品可获得利润 3 万元 该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨 B 原料不超过 18 吨 那么该企业可获得最大利润是 A 12 万元 B 20 万元 C 25 万元 D 27 万元 答案答案 D D 解析 解析 设生产甲产品吨 生产乙产品吨 则有关系 xy A 原 料 B 原 料 甲产品吨x 3x 2x 乙产品 吨y y 3y 则有 1832 133 0 0 yx yx y x 目标函数yxz35 作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标 经验证知 当 3 5 时可获得最大利润为 27 万元 故选 Dxy 7 2009 湖南卷文 若0 x 则 2 x x 的最小值为 2 2 解析 解析 0 x 2 2 2x x 当且仅当 2 2xx x 时取等号 8 2008 陕西理 是 对任意的正数 的 1 8 a x21 a x x A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件D 既不充分也不必要条件 3 4 0 6 O 0 3 13 y x9 13 第 8 页 共 20 页 解析 解析 另一方面对任意正数 1 8 a 11 222 21 88 a xxx xxx x 21 a x x 只要 所以选 A222 21 aa xxa xx 2 1 8 a 9 2009 宁夏海南卷理 设 x y 满足 24 1 22 xy xyzxy xy 则 A 有最小值 2 最大值 3 B 有最小值 2 无最大值 C 有最大值 3 无最小值 D 既无最小值 也无最大值 解析 解析 画出可行域可知 当过点 2 0 时 但无最大值 选 B zxy min 2z 10 2009 天津卷理 设若的最小值为0 0 ab 11 333 ab ab 是与的等比中项 则 A 8 B 4 C 1 D 1 4 解析 解析 因为 所以 333 ba 1 ba 当且仅当即4222 11 11 b a a b b a a b ba ba bab a a b 时 成立 故选择 C 2 1 ba 11 2008 浙江理 已知 b 都是实数 那么 是 b 的 D a 22 ba a A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 解析 解析 本小题主要考查充要条件相关知识 依题 a b 既不能推出 a b 反之 由 a b 也不能推出 22 ba 故 22 ba 是 a b 的既不充分也不必要条件 12 2009 天津卷理 若关于 x 的不等式 的解集中的整数ab 10 2 xb 2 ax 第 9 页 共 20 页 恰有 3 个 则 A B C D 01 a10 a31 a63 a 解析 解析 由题得不等式 即 它的解应在两根 2 xb 2 ax02 1 222 bbxxa 之间 故有 不等式的解集为或04 1 44 22222 baabb 11 a b x a b 若不等式的解集为 又由得 11 0 a b x a b 11 a b x a b ab 10 故 即 1 1 0 a b 2 1 3 a b 3 1 2 a b 13 2008 海南 已知 则使得都成立的x取值范 123 0aaa 2 1 1 12 3 i a xi 围是 A B C D 1 1 0 a 1 2 0 a 3 1 0 a 3 2 0 a 解析 解析 所以解集为 2222 2 1 120 0 iiii i a xa xa xa x x a 2 0 i a 又 因此选 B 123 222 aaa 14 2009 四川卷理 已知为实数 且 则 是 a b c dcd ab acbd 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 解析 解析 推不出 但 故选择ba acbd bdcbadbca B 解析 2 令 则 由2 1 3 5abcd 13 5 8acbd 可得 因为 则 所以 故 acbd abcd cd 0cd ab ab 第 10 页 共 20 页 是 的必要而不充分条件 acbd 15 2009 四川卷理 某企业生产甲 乙两种产品 已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨 B 原料 2 吨 生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨 B 原料 3 吨 销售每吨甲产品可获得利润 5 万元 每吨乙产品可获得利润 3 万元 该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨 B 原料不超过 18 吨 那么该企业可获得最大利润是 A 12 万元 B 20 万元 C 25 万元 D 27 万元 解析 解析 设甲 乙种两种产品各需生产 吨 可使利润最大 故本题即xyz 已知约束条件 求目标函数的最大 0 0 1832 133 y x yx yx yxz35 值 可求出最优解为 故 故选择 4 3 y x 271215 max z D 16 2009 重庆卷理 不等式对任意实数恒成立 则实数的取 2 313xxaa xa 值范围为 A B 1 4 2 5 C D 1 2 1 2 答案 A 解析 解析 因为对任意 x 恒成立 所以 2 4314313xxxxaa 对 22 343041aaaaaa 即 解得或 17 2009 重庆卷文 已知 则的最小值是 0 0ab 11 2 ab ab A 2B C 4D 52 2 答案 C 第 11 页 共 20 页 解析 解析 因为当且仅当 且 1111 2222 4ababab ababab 11 ab 即时 取 号 1 ab ab ab 二 填空题 每小题 5 分 18 2009 浙江理 若实数满足不等式组则的最小值是 x y 2 24 0 xy xy xy 23xy 答案 4 解析 解析 通过画出其线性规划 可知直线过点时 2 3 yxZ 2 0 min234xy 19 2009 浙江卷文 若实数满足不等式组则的最小值是 x y 2 24 0 xy xy xy 23xy 命题意图 此题主要是考查了线性规划中的最值问题 此题的考查既体现了正确画线性 区域的要求 也体现了线性目标函数最值求解的要求 解析 解析 通过画出其线性规划 可知直线过点时 2 3 yxZ 2 0 min234xy 20 2009 上海卷文 已知实数 x y 满足 则目标函数 z x 2y 的最小值是 2 2 3 yx yx x 答案 9 第 12 页 共 20 页 解析 解析 画出满足不等式组的可行域如右图 目标函数化为 z 画直线xy 2 1 及其平行线 当此直线经过点 A 时 z 的值最大 z 的值最小 A 点坐标为xy 2 1 3 6 所以 z 的最小值为 3 2 6 9 21 2009 北京卷理 若实数满足则的最小值为 x y 20 4 5 xy x y syx 答案答案 6 解析 解析 本题主要考查线性规划方面 的基础知 属于基础知识 基本运算 的考查 如图 当时 4 2xy 为最小值 246syx 第 13 页 共 20 页 故应填 6 22 2009 山东卷理 不等式的解集为 0212 xx 解析 原不等式等价于不等式组 或 2 21 2 0 x xx 1 2 2 21 2 0 x xx 或 不等式组 无解 由 得 由 得 综上得 1 2 21 2 0 x xx 1 1 2 x 1 1 2 x 所以原不等式的解集为 11x 11 xx 答案 11 xx 命题立意 本题考查了含有多个绝对值号的不等式的解法 需要根据绝对值的定义分段 去掉绝对值号 最后把各种情况综合得出答案 本题涉及到分类讨论的数学思想 6 2009 山东卷文 某公司租赁甲 乙两种设备生产 A B 两类产品 甲种设备每天能生产 A 类产品 5 件和 B 类产品 10 件 乙种设备每天能生产 A 类产品 6 件和 B 类产品 20 件 已知设 备甲每天的租赁费为 200 元 设备乙每天的租赁费为 300 元 现该公司至少要生产 A 类产品 50 件 B 类产品 140 件 所需租赁费最少为 元 解析 解析 设甲种设备需要生产天 乙种设备需要生产天 该公司所需租赁费为元 则xyz 甲 乙两种设备生产 A B 两类产品的情况为下表所示 200300zxy 产品 设备 A 类产品 件 50 B 类产品 件 140 租赁费 元 甲设备 5 10 200 乙设备 6 20 300 第 14 页 共 20 页 则满足的关系为即 5650 1020140 0 0 xy xy xy 6 10 5 214 0 0 xy xy xy 作出不等式表示的平面区域 当对应的直线过两直线的交点200300zxy 6 10 5 214 xy xy 4 5 时 目标函数取得最低为 2300 元 200300zxy 答案 2300 命题立意 本题是线性规划的实际应用问题 需要通过审题理解题意 找出各量之间的关 系 最好是列成表格 找出线性约束条件 写出所研究的目标函数 通过数形结合解答问题 23 2009 年上海卷理 若行列式中 元素 4 的代数余子式大于 0 4 1 7 5 x x 3 8 9 则 x 满足的条件是 答案 8 3 x 解析 解析 依题意 得 1 2 9x 24 0 解得 8 3 x 三 解答题 24 2009 江苏卷 本小题满分 16 分 按照某学者的理论 假设一个人生产某产品单件成本为a元 如果他卖出该产品的单 价为m元 则他的满意度为 m ma 如果他买进该产品的单价为n元 则他的满意度为 n na 如果一个人对两种交易 卖出或买进 的满意度分别为 1 h和 2 h 则他对这两种交易的 综合满意度为 1 2 hh 现假设甲生产 A B 两种产品的单件成本分别为 12 元和 5 元 乙生产 A B 两种产品的 单件成本分别为 3 元和 20 元 设产品 A B 的单价分别为 A m元和 B m元 甲买进 A 与卖 第 15 页 共 20 页 出 B 的综合满意度为h且 乙卖出 A 与买进 B 的综合满意度为h且 1 求h且和h且关于 A m B m的表达式 当 3 5 AB mm 时 求证 h且 h且 2 设 3 5 AB mm 当 A m B m分别为多少时 甲 乙两人的综合满意度均最大 最大 的综合满意度为多少 3 记 2 中最大的综合满意度为 0 h 试问能否适当选取 A m B m的值 使得 0 hh 且 和 0 hh 且 同时成立 但等号不同时成立 试说明理由 解析 解析 本小题主要考查函数的概念 基本不等式等基础知识 考查数学建模能力 抽象概 括能力以及数学阅读能力 满分 16 分 1 当时 3 5 AB mm 2 3 5 3 5 20 5 12 5 B BB BBB B m mm h mmm m 甲 h且 h且 2 3 5 3 20 5 20 3 5 B BB BBB B m mm h mmm m 乙 2 当时 3 5 AB mm 2 2 11 20511 20 5 1 1 100 251 B BB BBBB m h mm mmmm 甲 由 111 5 20 20 5 B B m m 得 故当即时 11 20 B m 20 12 BA mm 第 16 页 共 20 页 甲乙两人同时取到最大的综合满意度为 10 5 3 方法一 由 2 知 0 h 10 5 由得 0 10 1255 AB AB mm hh mm 甲 1255 2 AB AB mm mm 令则 即 35 AB xy mm 1 1 4 xy 5 14 1 2 xy 同理 由得 0 10 5 hh 乙 5 1 14 2 xy 另一方面 1 1 4 xy 141xx 5 1 4y 2 5 1 y 2 2 当且仅当 即 A m B m时 取等号 55 1 4 1 1 1 4 22 xyxy 1 4 xy 所以不能否适当选取 A m B m的值 使得 0 hh 且 和 0 hh 且 同时成立 但等号不同时成立 25 2009 湖北卷文 本小题满分 12 分 围建一个面积为 360m2的矩形场地 要求矩形场地的一面利用旧墙 利用旧墙需 维修 其它三面围墙要新建 在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为 2m 的进出口 如图所示 已知旧墙的维修费用为 45 元 m 新墙的造价为 180 元 m 设利用的旧墙的长 度为 x 单位 元 第 17 页 共 20 页 将 y 表示为 x 的函数 试确定 x 使修建此矩形场地围墙的总费用最小 并求出最小总费用 解析 解析 1 如图 设矩形的另一边长为 a m 则 45x 180 x 2 180 2a 225x 360a 360 2 y 由已知 xa 360 得 a x 360 所以 y 225x 0 360 3602 x x II 108003602252 360 225 0 2 2 x xx 当且仅当 225x 时 等号成立 10440360 360 225 2 x xy x 2 360 即当 x 24m 时 修建围墙的总费用最小 最小总费用是 10440 元 26 设数列满足为实数 n a 3 01 0 1 nn aacac cNc 且且 证明 对任意成立的充分必要条件是 0 1 n a nN 0 1 c 设 证明 1 0 3 c 1 1 3 n n acnN 设 证明 1 0 3 c 222 12 2 1 1 3 n aaannN c 解析 解析 1 1 必要性必要性 12 0 1aac 又 即 2 0 1 011ac 0 1 c 充分性充分性 设 对用数学归纳法证明 0 1 c nN 0 1 n a 当时 假设1n 1 0 0 1 a 0 1 1 k ak 则 且 3 1 111 kk acaccc 3 1 110 kk acacc 由数学归纳法知对所有成立 1 0 1 k a 0 1 n a nN 第 18 页 共 20 页 2 2 设 当时 结论成立 1 0 3 c 1n 1 0a 当 时 2n 32 1111 1 1 1 1 nnnnnn acacacaaa 由 1 知 所以 且 1 0 3 c 1 0 1 n a 2 11 13 nn aa 1 10 n a 1 13 1 nn aca 211 121 13 1 3 1 3 1 3 nn nnn acacacac 1 1 3 n n acnN 3 3 设 当时 结论成立 1 0 3 c 1n 2 1 2 02 1 3 a c 当时 由 2 知2n 1 1 3 0 n n ac 21 212 1 1 1 3 1 2 3 3 1 2 3 nnnn n acccc 2222221 122 1 2 3 3 3 n nn aaaaanccc 2 1 3 2 11 1 31 3 n c nn cc 27 2008 江西 数列为等差数列 为正整数 其前项和为 数列为等比数列