山东省德州市2013年高考数学一模试卷 文（解析版）新人教A版

1 20132013 年山东省德州市高考数学一模试卷 文科 年山东省德州市高考数学一模试卷 文科 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1212 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 6060 分 把正确答案涂在答题卡上 分 把正确答案涂在答题卡上 1 5 分 2013 德州一模 设集合 A x x2 5x 6 0 B x 5 x 7 则 A B A 5 7 B 5 6 C 5 6 D 6 7 考点 一元二次不等式的解法 交集及其运算 专题 计算题 不等式的解法及应用 分析 通过求解不等式化简集合 A 然后直接利用交集运算求解 解答 解 由 A x x2 5x 6 0 x 1 x 6 B x 5 x 7 所以 A B x 1 x 6 x 5 x 7 5 6 故选 B 点评 本题考查了交集及其运算 考查了一元二次不等式的解法 是基础的计算题 2 5 分 2013 德州一模 复数 A 3 4iB 3 4iC 3 4iD 3 4i 考点 复数代数形式的混合运算 专题 计算题 分析 利用两个复数的商的乘方 等于被除数的乘方 除以除数的乘方 运算求得结果 解答 解 3 4i 故选 B 点评 本题考查复数代数形式的混合运算 两个复数的商的乘方 等于被除数的乘方 除 以除数的乘方 3 5 分 2013 德州一模 命题 x R x2 2x 0 的否定是 A x R x2 2x 0 B x R x2 2x 0 C x R x2 2x 0 D x R x2 2x 0 考点 特称命题 命题的否定 专题 探究型 分析 利用特称命题的否定是全称命题 去判断 解答 解 因为命题是特称命题 根据特称命题的否定是全称命题 所以命题 x R x2 2x 0 的否定是 x R x2 2x 0 故选 C 2 点评 本题主要考查特称命题的否定 要求掌握特称命题的否定是全称命题 4 5 分 2013 德州一模 如图所示 程序框图运行后输出 k 的值是 A 4B 5C 6D 7 考点 循环结构 专题 图表型 分析 根据所给数值判定是否满足判断框中的条件 然后执行循环语句 一旦不满足条件 就退出循环 执行语句输出 k 从而到结论 解答 解 当输入的值为 n 5 时 n 不满足上判断框中的条件 n 16 k 1 n 不满足下判断框中的条件 n 16 n 满足上判断框中的条件 n 8 k 2 n 不满足下判断框中的条件 n 8 n 满足判断框中的条件 n 4 k 3 n 不满足下判断框中的条件 n 4 n 满足判断框中的条件 n 2 k 4 n 不满足下判断框中的条件 n 2 n 满足判断框中的条件 n 1 k 5 n 满足下面一个判断框中的条件 退出循环 即输出的结果为 k 5 故选 B 3 点评 本题主要考查了循环结构 是当型循环 当满足条件 执行循环 属于基础题 5 5 分 2013 德州一模 设双曲线的焦点为 5 0 则该双曲 线的离心率等于 A B C D 考点 双曲线的简单性质 专题 计算题 圆锥曲线的定义 性质与方程 分析 由双曲线的性质可求得 a2 9 25 从而可求得 a 继而可求该双曲线的离心率 解答 解 依题意 c 5 b2 9 a2 9 25 a2 16 又 a 0 a 4 该双曲线的离心率 e 故选 C 点评 本题考查双曲线的简单性质 属于中档题 6 5 分 2013 德州一模 已知直线 l 平面 直线 m 平面 下列命题正确的是 4 l m a l m l m l m A B C D 考点 平面与平面垂直的判定 空间中直线与直线之间的位置关系 直线与平面平行的判 定 专题 证明题 空间位置关系与距离 分析 由已知中直线 l 平面 直线 m 平面 结合条件根据线面垂直 面面平行的几 何特征 判断选项的正误得到答案 解答 解 直线 l 平面 直线 m 平面 若 l m 直线 m 平面 则 与 可能 平行也可能相交 故 不正确 若 l m 直线 l 平面 则直线 m 平面 又 直线 m 平面 则 故 正确 若 直线 l 平面 直线 m 平面 则 l 与 m 可能平行 可能相交也可 能异面 故 不正确 若 直线 l 平面 l 正确 故选 C 点评 本题考查的知识点是空间平面与平面关系的判定及直线与直线关系的确定 熟练掌 握空间线面关系的几何特征是解答本题的关键 7 5 分 2013 德州一模 直线 y x m 与圆 x2 y2 1 在第一象限内有两个不同的交 点 则 m 取值范围是 A m 2 B m 3 C D 1 m 考点 直线与圆相交的性质 专题 计算题 直线与圆 分析 求出直线过 0 1 时 m 的值 以及直线与圆相切时 m 的值 即可确定出满足题意 m 的范围 解答 解 如图所示 当直线过 0 1 时 将 0 1 代入直线方程得 m 1 当直线与圆相切时 圆心到切线的距离 d r 即 1 解得 m 或 m 舍去 5 则直线与圆在第一象限内有两个不同的交点时 m 的范围为 1 m 故选 D 点评 此题考查了直线与圆相交的性质 利用了数形结合的思想 熟练掌握数形结合法是 解本题的关键 8 5 分 2013 德州一模 函数 y 2x x2的图象为 A B C D 考点 指数函数的图像变换 专题 函数的性质及应用 分析 利用指数函数和二次函数的图象和性质进行判断 解答 解 当 x 0 时 y 1 0 所以排除 B C 当 x 时 2x 0 x2 此时 y 2x x2 所以排除 A 故选 D 点评 本题主要考查函数图象的识别 要充分利用函数的性质进行判断 当图象中没有确 定坐标时 可以利用极限思想进行判断 9 5 分 2013 德州一模 若正项数列 an 满足 1gan 1 1 1gan 且 a2001 a2002 a2003 a2010 2013 则 a2011 a2012 a2013 a2020的值为 A 2013 1010B 2013 1011C 2014 1010D 2014 1011 考点 等比数列的性质 专题 计算题 等差数列与等比数列 分析 由对数式可得正项数列 an 为等比数列 且公比 q 10 而所求的式子等于 a2001 a2002 a2003 a2010 q10 代值可得 6 解答 解 由题意可得 1gan 1 1gan 1 即 10 所以正项数列 an 为等比数列 且公比 q 10 所以 a2011 a2012 a2013 a2020 a2001 a2002 a2003 a2010 q10 2013 1010 故选 A 点评 本题考查等比数列的判断和等比数列的性质 属中档题 10 5 分 2013 德州一模 函数的图象沿 x 轴向右平移 a 个单位 a 0 所得图象关于 y 轴对称 则 a 的最小值为 A B C D 考点 二倍角的余弦 函数 y Asin x 的图象变换 专题 三角函数的图像与性质 分析 先利用二倍角公式 诱导公式 化简函数 再利用图象关于 y 轴对称 即可求 a 的 最小值 解答 解 函数 沿 x 轴向右平移 a 个单位 a 0 可得 y 图象关于 y 轴对称 cos2xsin2a 0 2a k k Z a 0 a 的最小值为 故选 C 点评 本题考查二倍角公式 诱导公式 化简函数 考查图象的性质 属于中档题 11 5 分 2013 德州一模 若 均为单位向量 且 0 则 的最小 值为 A B 1C 1D 7 考点 平面向量数量积的性质及其运算律 专题 计算题 平面向量及应用 分析 易求 表示出 由表达式可判断 与同向时 2 最小 最小值可求 再开方可得答案 解答 解 因为 0 所以 2 2 则 所以 2 2 3 2 则当 与同向时 最大 2最小 此时 所以 3 2 故 1 即 的最小值为 1 故选 A 点评 本题考查平面向量数量积的性质及其运算律 考查向量模的求解 考查学生分析问 题解决问题的能力 12 5 分 2013 德州一模 已知函数 y f x 的图象关于 y 轴对称 且当 x 0 时有 f x xf x 0 成立 a 20 2 f 20 2 b log 3 f 1og 3 c 1og39 f 1ong39 则 a b c 的大小关系是 A b a c B c a b C c b a D a c b 考点 利用导数研究函数的单调性 函数单调性的性质 专题 计算题 分析 构造函数 g x xf x 则 g x 为减函数 利用指数函数与对数函数的性质可 知 1og39 2 20 2 1 log 3 0 利用 g x xf x 的单调性即可求得答案 解答 解 令 g x xf x y f x 的图象关于 y 轴对称 故 y f x 为偶函数 g x xf x xf x g x 即 g x xf x 为奇函数 又 g x f x xf x 0 g x 为 R 上的减函数 1og39 2 20 2 1 log 3 0 a 20 2 f 20 2 b log 3 f log 3 c 1og39 f 1ong39 b a c 故选 A 8 点评 本题考查利用导数研究函数的单调性 考查数函数与对数函数的性质及 g x xf x 的单调性 考查分析与运算能力 属于中档题 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 4 小题 每小题小题 每小题 4 4 分 共分 共 1616 分 把答案填在答题纸的相应位置 分 把答案填在答题纸的相应位置 13 4 分 2013 德州一模 某单位有职工 480 人 其中青年职工 210 人 中年职工 150 人 老年职工 120 人 为了了解该单位职工的健康情况 用分层抽样的方法从中抽取样本 若样本中的青年职工为 7 人 则样本容量为 16 考点 分层抽样方法 专题 概率与统计 分析 利用分层抽样的定义 确定抽取比例 然后确定样本容量 解答 解 设样本容量为 n 则由题意知 解得 n 16 故答案为 16 点评 本题主要考查分层抽样的应用 比较基础 14 4 分 2013 德州一模 一空间几何体的三视图如图所示 该几何体的体积为 则图中 x 的值为 考点 由三视图求面积 体积 专题 计算题 空间位置关系与距离 分析 由三视图可知该几何体是底部为圆柱 顶部为正四棱锥的组合体 正四棱锥的底面 为圆内接正方形 利用数据先求出锥体的高 再利用体积公式列方程求解即可 解答 解 由三视图可知该几何体是底部为圆柱 顶部为正四棱锥的组合体 正四棱锥的 底面为圆内接正方形 9 圆柱体积为 22 4 16 正四棱锥的体积为 由已知 16 解得 x 故答案为 点评 本题考查三视图求几何体的体积 考查计算能力 空间想象能力 三视图复原几何 体是解题的关键 15 4 分 2013 德州一模 若 x y 满足约束条件 目标函数 z x 2y 最大 值记为 a 最小值记为 b 则 a b 的值为 10 考点 简单线性规划 专题 不等式的解法及应用 分析 作出可行域 利用平移求出最大值和最小值 即可 解答 解 由 z x 2y 得 作出不等式对应的可行域 平移直线 由平移可知当直线经过点 D 1 0 时 直线 的截距最小 此时 z 取得最小值 将 D 1 0 代入 z x 2y 得 z 1 即 b 1 当直线经过点 B 时 直线的截距最大 此时 z 取得最大值 由 解得 即 B 3 4 将 B 3 4 代入 z x 2y 得 z 3 2 4 11 即 a 11 所以 a b 11 1 10 故答案为 10 10 点评 本题主要考查线性规划的应用 利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值 利 用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法 16 4 分 2013 德州一模 已知锐角 满足 3tan tan 则 tan 的最 大值为 考点 两角和与差的正切函数 专题 三角函数的求值 分析 由条件利用两角和的正切公式化简可得 tan 再利 用基本不等式求得它的最大值 解答 解 已知锐角 A B 满足 tan 3tanA tan 0 tan 0 且 化简可得 tan 当且仅当 时 取等号 故 tan 的最大值为 故答案为 点评 本题主要考查两角和的正切公式的应用 利用基本不等式求式子的最大值 属于中 档题 11 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 共小题 共 7474 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 12 分 2013 德州一模 在 ABC 中 角 A B C 的对边分别为 a b c 已知角 A sinB 3sinC 1 求 tanC 的值 2 若 a 求 ABC 的面积 考点 余弦定理 正弦定理 专题 解三角形 分析 1 利用 sinB 3sinC 差角的正弦公式 即可得出结论 2 利用正弦定理 余弦定理 求出 b c 即可求 ABC 的面积 解答 解 1 角 A B C sinB 3sinC sin C 3sinC cosC sinC 3sinC cosC sinC tanC 2 sinB 3sinC b 3c 在 ABC 中 由余弦定理可得 a2 b2 c2 2bccosA 7c2 a c 1 b 3 ABC 的面积为 点评 本题考查余弦定理 正弦定理的运用 考查学生的计算能力 属于中档题 18 12 分 2013 德州一模 对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计 随机抽 取 M 名学生作样本 得到这 M 名学生参加社区服务的次数 根据此数据作出了频数与频率 的统计表和频率颁直方图如下 分组频数频率 10 15 100 25 15 20 24n 20 25 mp 25 30 20 05 12 合计 M1 1 求出表中 M p 及图中 n 的值 2 在所取样本中 从参加社区服务的次数不少于 20 次的学生中任选 2 人 求至多一人 参加社区服务次数在区间 25 30 内的概率 考点 列举法计算基本事件数及事件发生的概率 频率分布直方图 专题 概率与统计 分析 1 根据 0 25 求得 M 的值 再由频数数之和为 M 40 10 24 m 2 求得 m 的 值 可得 P n 2 参加社区服务的次数不少于 20 次的学生共有 6 人 从中任选 2 人 所有的选 法共有 种 而 2 人参加社区服务都次数在区间 25 30 内的情况 只有一种 可得 2 人参加社区服务都次数在区间 25 30 内的概率为 用 1 减去 此概率 即得所求 解答 解 1 根据分组 10 15 内的频数为 10 频率为 0 25 可得 0 25 解得 M 的值 再由频数之和为 M 40 10 24 m 2 m 4 可得 P 的值 再由频率之和等于 1 求得 n 2 参加社区服务的次数不少于 20 次的学生共有 m 2 6 人 从中任选 2 人 所有 的选法共有 15 种 2 人参加社区服务都次数在区间 25 30 内的情况只有一种 故 2 人参加社区服务都 次数在区间 25 30 内的概率为 故至多一人参加社区服务次数在区间 25 30 内的概率为 1 点评 本题主要考查频率分步表 古典概率及其计算公式的应用 属于基础题 13 19 12 分 2013 德州一模 数列 an 是公差不小 0 的等差数列 a1 a3 是函数 f x 1n x2 6x 6 的零点 数列 bn 的前 n 项和为 Tn 且 Tn 1 2bn n N 1 求数列 an bn 的通项公式 2 记 cn anbn 求数列 cn 的前 n 项和 Sn 考点 数列与函数的综合 专题 综合题 分析 1 由已知 a1 a3 是令 f x 0 即 x2 6x 6 1 的两根 求出 a1 a3 易求数 列 an 的通项公式 Tn 1 2bn 令 n 1 得 T1 1 2b1 解得 b1 当 n 2 时 bn Tn Tn 1 2bn 1 2bn 数列 bn 是等比数列 利用公式求出数列 bn 的通项公 式 2 由 1 得 cn anbn 2n 1 利用错 位相消法求和即可 解答 解 1 令 f x 0 得 x2 6x 6 1 解得 x 1 或 5 由于 d 0 所以 a1 1 a3 5 2d 2 d 2 an 2n 1 由于 Tn 1 2bn 令 n 1 得 T1 1 2b1 解得 b1 当 n 2 时 bn Tn Tn 1 2bn 1 2bn bn bn 1 数列 bn 是等比数列 bn 2 由 1 得 cn anbn 2n 1 Sn Sn 两式相减得 Sn 5 2n 5 点评 本题考查数列通项公式的求法 考查数列前 n 项和的求法 要熟练掌握数列求和的 错位相减法 错位相减法适用于通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列 20 12 分 2013 德州一模 已知四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 是菱形 PA PD BAD 60 E 是 AD 的中点 点 Q 在侧棱 PC 上 1 求证 AD 平面 PBE 2 若 Q 是 PC 的中点 求证 PA 平面 BDQ 14 3 若 VP BCDE 3VQ ABCD 试求的值 考点 直线与平面垂直的判定 直线与平面平行的判定 专题 空间位置关系与距离 分析 1 利用线面垂直的判定定理证明 2 利用线面平行的判定定理证明 3 根据 体积条件确定线段的比值 解答 解 1 由 E 是 AD 的中点 PA PD 所以 AD PE 又底面 ABCD 是菱形 BAD 60 所以 AB BD 又 E 是 AD 的中点 所以 AD BE 又 PE BE E 所以 AD 平面 PBE 2 连结 AC 交 BD 于 O 连 OQ 因为 O 是 AC 的中点 Q 是 PC 的中点 所以 OQ PA 又 PA 面 BDQ OQ BDQ 所以 PA 平面 BDQ 3 设四棱锥 P BCDE Q ABCD 的高分别为 h1 h2 所以 因为 VP BCDE 3VQ ABCD 且底面积 所以 点评 本题主要考查空间直线与平面的位置关系的判断 要求熟练掌握相应的判定定理 21 12 分 2013 德州一模 已知函数 f x 1nx 2x 1 若函数 f x 在 x 2 处取得极值 求实数 a 的值 2 若函数 f x 在定义域内单调递增 求 a 的取值范围 3 若 a 时 关于 x 的方程 f x x b 在 1 4 上恰有两个不相等的实数根 求实数 b 的取值范围 考点 利用导数研究函数的极值 利用导数研究函数的单调性 专题 计算题 函数的性质及应用 导数的概念及应用 分析 1 求出函数的导数 f x 根据题意解关于 a 的等式 f 2 0 即可得到实数 a 的值 15 2 由题意 不等式 f x 0 在 0 内恒成立 等价转化为 a 在 0 内恒成立 求出右边的最小值为 1 即可得到实数 a 的取值范围 3 原方程化简为 x2 x lnx b 0 设 g x x2 x lnx b x 0 利用 导数研究 g x 的单调性得到原方程在 1 4 上恰有两个不相等的实数根的等价命 题 建立关于 b 的不等式组并解之 即可得到实数 b 的取值范围 解答 解 1 f x ax 2 x 0 f x 在 x 2 处取得极值 f 2 0 即 0 解之得 a 经检验符合题意 2 由题意 得 f x 0 在 0 内恒成立 即 ax2 2x 1 0 在 0 内恒成立 x2 0 可得 a 在 0 内恒成立 由 1 2 1 当 x 1 时有最小值为 1 可得 a 1 因此满足条件的 a 的取值范围国 1 3 a f x x b 即 x2 x lnx b 0 设 g x x2 x lnx b x 0 可得 g x 列表可得 g x 极小值 g 2 ln2 b 2 g x 极大值 g 1 b 方程 g x 0 在 1 4 上恰有两个不相等的实数根 且 g 4 2ln2 b 2