函数与几何图形

第 1 页 共 32 页 2008 年中考试卷分类 函数与几何图形 1 如图 在直角梯形 ABCD 中 DC AB A 90 AB 28cm DC 24cm AD 4cm 点 M 从点 D 出发 以 1cm s 的速度向点 C 运动 点 N 从点 B 同时出发 以 2cm s 的速度向点 A 运动 当其中一个动点 到达端点停止运动时 另一个动点也随之停止运动 则四边形 AMND 的面积 y cm2 与两动点运动的 时间 t s 的函数图象大致是 D 2 如图 已知正三角形 ABC 的边长为 1 E F G 分别是 AB BC CA 上的点 且 AE BF CG 设 EFG 的面积为 y AE 的长为 x 则 y 关于 x 的函数的图象大致是 C 3 潍坊 如图 圆 B 切 y 轴于原点 O 过定点 2 3 0 A 作圆 B 切线交圆于点 P 已知 3 tan 3 PAB 抛物线 C 经过 A P 两点 1 求圆 B 的半径 2 若抛物线 C 经过点 B 求其解析式 3 投抛物线C交 y 轴于点 M 若三 角形 APM 为直角三角形 求点 M 的坐标 4 威海 如图 在梯形 ABCD 中 AB CD AB 7 CD 1 AD BC 5 点 M N 分别在边 AD BC 上运动 并保持 MN AB ME AB NF AB 垂足分别为 E F 1 求梯形 ABCD 的面积 2 求四边形 MEFN 第 2 页 共 32 页 面积的最大值 3 试判断四边形 MEFN 能否为正方形 若能 求出正方形 MEFN 的面积 若不 能 请说明理由 解 1 分别过 D C 两点作 DG AB 于点 G CH AB 于点 H AB CD DG CH DG CH 四边形 DGHC 为矩形 GH CD 1 DG CH AD BC AGD BHC 90 AGD BHC HL AG BH 2 17 2 GHAB 3 2 分 在 Rt AGD 中 AG 3 AD 5 DG 4 174 16 2 ABCD S 大大 2 MN AB ME AB NF AB ME NF ME NF 四边形 MEFN 为矩形 AB CD AD BC A B ME NF MEA NFB 90 MEA NFB AAS AE BF 设 AE x 则 EF 7 2x A A MEA DGA 90 MEA DGA DG ME AG AE ME x 3 4 6 49 4 7 3 8 2 7 3 4 2 xxxEFMES MEFN大大 当 x 4 7 时 ME 3 7 4 四边形 MEFN 面积的最大值为 6 49 3 能 由 2 可知 设 AE x 则 EF 7 2x ME x 3 4 若四边形 MEFN 为正方形 则 ME EF 即 3 4x 7 2x 解 得 10 21 x EF 2114 7272 105 x 4 四边形 MEFN 能为正方形 其面积为 25 196 5 14 2 MEFN S大大大 5 青岛 已知 如图 在 Rt ABC 中 C 900 AC 4cm BC 3cm 点 P 由 B 出发沿 BA 方向向点 A 匀速运动 速度为 1cm s 点 Q 由 A 出发沿 AC 方向向点 C 匀速运动 速度为 2cm s 连接 PQ 若 设运动的时间为 t s 0 t 2 解答下列问题 1 当 t 为何值时 PQ BC 2 设 AQP 的面 积为 y cm2 求 y 与 t 之间的函数关系式 3 是否存在某一时刻 t 使线段 PQ 恰好 把 Rt ABC 的周长和面积同时平分 若存在 求出此时 t 的值 若不存在 说明理由 CD ABEF N M GH CD ABEF N M GH 第 3 页 共 32 页 4 如图 连接 PC 并把 PQC 沿 QC 翻折 得到四边形 PQP C 那么是否存在某一时刻 t 使 四边形 PQP C 为菱形 若存在 求出此时菱形的边长 若不存在 说明理由 解 1 在 Rt ABC 中 5 22 ACBCAB 由题意知 AP 5 t AQ 2t 若 PQ BC 则 APQ ABC AC AQ AB AP 5 5 4 2tt 7 10 t 2 过点 P 作 PH AC 于 H APH ABC BC PH AB AP 3 PH 5 5t tPH 5 3 3 ttttPHAQy3 5 3 5 3 3 2 2 1 2 1 2 3 若 PQ 把 ABC 周长平分 则 AP AQ BP BC CQ 24 32 5 tttt 解得 1 t 若 PQ 把 ABC 面积平分 则 ABCAPQ SS 2 1 即 2 5 3 t 3t 3 t 1 代入上面方程不成立 不存在这一时刻 t 使线段 PQ 把 Rt ACB 的周长和面积同时平分 4 过点 P 作 PM AC 于 PN BC 于 N 若四边形 PQP C 是菱形 那么 PQ PC PM AC 于 M QM CM PN BC 于 N 易知 PBN ABC AB BP AC PN 54 tPN 5 4t PN 5 4t CMQM 42 5 4 5 4 ttt 解得 9 10 t 当 9 10 t时 四边形 PQP C 是菱形 此时 3 7 5 3 3 tPM 9 8 5 4 tCM 在 Rt PMC 中 9 505 81 64 9 49 22 CMPMPC 菱形 PQP C 边长为 9 505 6 温州 如图 在 Rt ABC 中 图 B AQ P C H P B AQ P C 图 M N 第 4 页 共 32 页 A 90 AB 6 AC 8 D E 分别是边 AB AC 的中点 点 P 从点 D 出发沿 DE 方向运动 过点 P 作 PQ BC 于 Q 过点 Q 作 QR BA 交 AC 于 R 当点 Q 与点 C 重合时 点 P 停止运动 设 BQ x QR y 1 求点 D 到 BC 的距离 DH 的长 2 求 y 关于 x 的函数关系式 不要求写出自变量 的取值范围 3 是否存在点 P 使 PQR 为等腰三角形 若存在 请求出所有满足要求的 x 的值 若 不存在 请说明理由 解 1 RtA 6AB 8AC 10BC 点D为AB中点 1 3 2 BDAB 90DHBA BB BHDBAC DHBD ACBC 312 8 105 BD DHAC BC A 2 QRAB 90QRCA CC RQCABC RQQC ABBC 10 610 yx 即y关于x的函数关系式为 3 6 5 yx 3 存在 分三种情况 当PQPR 时 过点P作PMQR 于M 则QMRM 1290 290C 1C 84 cos1cos 105 C 4 5 QM QP 13 6 425 12 5 5 x 18 5 x 当PQRQ 时 312 6 55 x 6x 当PRQR 时 则R为PQ中垂线上的点 于是点R为EC的中点 11 2 24 CRCEAC tan QRBA C CRCA 3 6 6 5 28 x 15 2 x 综上所述 当x为18 5 或 6 或15 2 时 PQR 为等腰三角形 7 义乌 如图 1 所示 直角梯形 OABC 的顶点 A C 分别在 y 轴正半轴与x轴负半轴上 过点 B C 作 直线l 将直线l平移 平移后的直线l与 x 轴交于点D 与y轴交于点 E 1 将直线l向右平移 设平移距离 CD 为 t t 0 直角梯形 OABC 被直线l扫过的面积 图中阴影部份 为 s s 关于 t 的函数图象如图 2 所示 OM 为线段 MN 为抛物线的一部分 NQ 为射线 N 点横坐标为 4 求梯形上 底 AB 的长及直角梯形 OABC 的面积 当 2 t 4 时 求 S 关于 t 的函数解析式 2 在第 1 题的条件下 当直线l向 A BC D E R P H Q M 2 1 A BC D E R P H Q A BC D E R P H Q 第 5 页 共 32 页 左或向右平移时 包括l与直线 BC 重合 在直线AB上是否存在点 P 使 PDE 为等腰直角三角形 若存在 请直接写出所有满足条件的点 P 的坐标 若不存在 请说明理由 解 1 2AB 8 4 2 OA 4OC S梯形 OABC 12 当42 t时 直角梯形 OABC 被直线l扫过的面积 直角梯形 OABC 面积 直角三角开 DOE 面积 2 1 12 4 2 4 84 2 Stttt 2 存在 12345 8 12 4 4 4 4 4 4 8 4 3 PPPPP 每个点对各得 1 分 对于第 2 题我们提供如下详细解答 评分无此要求 下面提供参考解法二 以点 D 为直角顶点 作 1 PPx 轴 Rt ODE 在中 2OEOD 设2ODbOEb 1 Rt ODERt PPD 图示阴影 4b 28b 在上面二图中分别可得到P点的生标为 P 12 4 P 4 4 E 点在 0 点与 A 点之间不可能 以点 E 为直角顶点 同理在 二图中分别可得P点的生标为 P 8 3 4 P 8 4 E 点在 0 点下方不可能 以点 P 为直角顶点 第 6 页 共 32 页 同理在 二图中分别可得P点的生标为 P 4 4 与 情形二重合舍去 P 4 4 E 点在 A 点下方不可能 综上可得P点的生标共 5 个解 分别为 P 12 4 P 4 4 P 8 3 4 P 8 4 P 4 4 8 大连 如图 24 1 抛物线 y x2的顶点为 P A B 是抛物线上两点 AB x 轴 四边形 ABCD 为矩形 CD 边经过点 P AB 2AD 求矩形 ABCD 的面积 如图 24 2 若将抛物线 y x2 改为抛物线 y x2 bx c 其他条件不变 请猜想矩形 ABCD 的面积 若将抛物线 y x2 bx c 改为抛物线 y ax2 bx c 其他条件不变 请猜想矩形 ABCD 的面积 用 a b c 表示 并直接写出答案 附加题 若将 24 题中 y x2 改为 y ax2 bx c AB 2AD 条件不要 其他条件不变 探索矩形 ABCD 面积为常数时 矩形 ABCD 需 要满足什么条件 并说明理由 9 东莞 将两块大小一样含 30 角的直角三角板 叠放在一起 使得它们的斜边 AB 重合 直角边不 重合 已知 AB 8 BC AD 4 AC 与 BD 相交于点 E 连结 CD 1 填空 如图 9 AC BD 四边形 ABCD 是 梯形 2 请写 出图 9 中所有的相似三角形 不含全等三角形 3 如图 10 若以 AB 所在直线为x轴 过点 A 垂直于 AB 的直线为 y轴建立如图 10 的平面直角 坐标系 保持 ABD 不动 将 ABC 向x轴的正方向平移到 FGH 的位置 FH 与 BD 相交于点 P 设 AF t FBP 面积为 S 求 S 与 t 之间的函数关系式 并写出 t 的取值值范围 1 4 3 4 3 等腰 2 共有 9 对相似三角形 写对 3 5 对得 1 分 写对 6 8 对得 2 分 写对 9 对得 3 分 第 7 页 共 32 页 DCE ABE 与 ACD 或 BDC 两两相似 分别是 DCE ABE DCE ACD DCE BDC ABE ACD ABE BDC 有 5 对 ABD EAD ABD EBC 有 2 对 BAC EAD BAC EBC 有 2 对 所以 一共有 9 对相似三角形 3 由题意知 FP AE 1 PFB 又 1 2 30 PFB 2 30 FP BP 6 分 过点 P 作 PK FB 于点 K 则 1 2 FKBKFB AF t AB 8 FB 8 t 1 8 2 BKt 在 Rt BPK 中 13 tan2 8 tan30 8 26 PKBKtt FBP 的面积 113 8 8 226 SFB PKtt S 与 t 之间的函数关系式为 2 3 8 12 St 或 2 3416 3 1233 Stt t 的取值范围为 08t 10 大连 如图 ABC 的高 AD 为 3 BC 为 4 直线 EF BC 交线段 AB 于 E 交线段 AC 于 F 交 AD 于 G 以 EF 为斜边作等腰直角三角形 PEF 点 P 与点 A 在直线 EF 的异侧 设 EF 为 x PEF 与四边 形 BCEF 重合部分的面积为 y 求线段 AG 用 x 表示 求 y 与 x 的函数关系式 并求 x 的取值范 围 21 图 10 P G H F E DC B A x y K 第 8 页 共 32 页 11 金华 如图 在平面直角坐标系中 已知 AOB 是等边三角形 点 A 的坐标是 0 4 点 B 在第 一象限 点 P 是 x 轴上的一个动点 连结 AP 并把 AOP 绕着点 A 按逆时针方向旋转 使边 AO 与 AB 重合 得到 ABD 1 求直 线 AB 的解析式 2 当点 P 运 动到点 3 0 时 求此时 DP 的长及点 D 的坐标 3 是否存在点 P 使 OPD 的面积等于 3 4 若存在 请求出符合条件的点 P 的坐标 若不存在 请说明理由 1 如图 过点 B 作 BE y 轴于点 E 作 BF x 轴于点 F 由已知得 BF OE 2 OF 22 42 2 3 点 B 的坐标是 2 3 2 1 分 设直线 AB 的解析式是 y kx b 则有 4 22 3 b kb 解得 3 3 4 k b 2 分 直线 AB 的解析式是 y 3 3 x 4 1 分 2 如图 ABD 由 AOP 旋转得到 ABD AOP AP AD DAB PAO DAP BAO 600 ADP 是等边三角形 DP AP 22 4 3 19 2 分 如图 过点 D 作 DH x 轴于点 H 延长 EB 交 DH 于点 G 则 BG DH 方法 一 在 Rt BDG 中 BGD 900 DBG 600 BG BD cos600 3 1 2 3 2 DG BD sin600 3 3 2 3 2 OH EG 5 3 2 DH 7 2 点 D 的坐标为 5 3 2 7 2 2 分 方法 二 易得 AEB BGD 900 ABE BDG ABE BDG BGDGBD AEBEAB 而 AE 2 BD OP 3 BE 23 AB 4 则有 H G F E x y B A O D P 第 9 页 共 32 页 3 242 3 BGDG 解得 BG 3 2 DG 3 2 OH 5 3 2 DH 7 2 点 D 的坐标为 5 3 2 7 2 2 分 3 假设存在点 P 在它的运动过程中 使 OPD 的面积等于 3 4 设点 P 为 t 0 下面分三种情况讨论 当 t 0 时 如图 BD OP t DG 3 2 t DH 2 3 2 t OPD 的面积等于 3 4 133 2 224 tt 解得 1 212 3 3 t 2 212 3 3 t 舍去 点 P1的坐标为 212 3 3 0 当 4 3 3 t 0 时 如图 BD OP t BG 3 2 t DH GF 2 3 2 t 2 3 2 t OPD 的面积等于 3 4 133 2 224 tt 解得 1 3 3 t 2 3t 点 P2的坐标为 3 3 0 点 P3的坐标为 3 0 当 t 4 3 3 时 如图 BD OP t DG 3 2 t DH 3 2 t 2 OPD 的面积等于 3 4 133 2 224 tt 解得 1 212 3 3 t 舍去 2 212 3 3 t 点 P4的坐标为 212 3 3 0 x y B A O D P H G E x y B A O D PH G F E H G F E x y B A O D P 第 10 页 共 32 页 综上所述 点 P 的坐标分别为 P1 21 2 3 3 0 P2 3 3 0 P3 3 0 P4 212 3 3 0 12 衢州 已知直角梯形纸片 OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示 四个顶点的坐标分别为 O 0 0 A 10 0 B 8 32 C 0 32 点 T 在线段 OA 上 不与线段端点重合 将纸片折叠 使点 A 落在射线 AB 上 记为点 A 折痕经过点 T 折痕 TP 与射线 AB 交于点 P 设点 T 的横坐标为 t 折叠后纸片重叠部分 图中的阴影部分 的面积为 S 1 求 OAB 的度数 并求当点 A 在线段 AB 上时 S 关于 t 的函数关系式 2 当纸片重叠部分的图形是四边形时 求 t 的取值范围 3 S 存在最 大值吗 若存在 求出这个最大值 并求此时 t 的值 若不存在 请说明理由 解 1 A B 两点的坐标分别是 A 10 0 和 B 8 32 3 810 32 OABtan 60OAB 当点 A 在线段 AB 上时 60OAB TA TA A TA 是等边三角形 且ATTP t10 2 3 60sin t10 TP t10 2 1 AT 2 1 APPA 2 TPA t10 8 3 TPPA 2 1 SS 当 A 与 B 重合时 AT AB 4 60sin 32 所以此时10t6 2 当点 A 在线段 AB 的延长线 且点 P 在线段 AB 不与 B 重合 上时 纸片重叠部分的图形是四边形 如图 1 其中 E 是 TA 与 CB 的交点 当点 P 与 B 重合时 AT 2AB 8 点 T 的坐标是 2 0 又由 1 中求得当 A 与 B 重合时 T 的坐标是 6 0 所以当纸片重叠部分的图形是四边形时 6t2 3 S 存在最大值 A A B P T E C O y x B E A AT C O y x P F 第 11 页 共 32 页 当10t6 时 2 t10 8 3 S 1 在对称轴 t 10 的左边 S 的值随着 t 的增大而减小 当 t 6 时 S 的值最大是32 当6t2 时 由图 重叠部分的面积 EBATPA SSS 2 1 A EB 的高是 60sinBA 2 3 4t10 2 1 t10 8 3 S 22 34 2t 8 3 28t4t 8 3 22 当 t 2 时 S 的值最大是34 当2t0 即当点 A 和点 P 都在线段 AB 的延长线是 如图 其中 E 是 TA 与 CB 的交点 F 3 2 是 TP 与 CB 的交点 ETFFTPEFT 四边形 ETAB 是等腰形 EF ET AB 4 34324 2 1 OCEF 2 1 S 综上所述 S 的最大值是34 此时 t 的值是2t0 13 梅州 如图 11 所示 在梯形 ABCD 中 已知 AB CD AD DB AD DC CB AB 4 以 AB 所在直线为 x 轴 过 D 且垂直于 AB 的直线为 y 轴建立平面直角坐标系 1 求 DAB 的度数及 A D C 三点的坐标 2 求过 A D C 三点的抛物线的解析式及其对称轴 L 3 若 P 是抛物线的对称轴 L 上的点 那么使 PDB 为等腰三角形的点 P 有几个 不必求点 P 的坐标 只需说明理由 解 解 1 DC AB AD DC CB CDB CBD DBA DAB CBA DAB 2 DBA DAB DBA 90 DAB 60 DBA 30 AB 4 DC AD 2 Rt AOD OA 1 OD 3 A 1 0 D 0 3 C 2 3 2 根据抛物线和等腰梯形的对称性知 满足条件的抛 物线必过点 A 1 0 B 3 0 故可设所求为 y a x 1 x 3 将点 D 0 第 12 页 共 32 页 3 的坐标代入上式得 a 3 3 所求抛物线的解析式为 y 3 1 3 3 xx 其对称轴 L 为直线x 1 3 PDB 为等腰三角形 有以下三种情况 因直线 L 与 DB 不平行 DB 的垂直平分线与 L 仅有一个交点 P1 P1D P1B P1DB 为等腰三角形 因为以 D 为圆心 DB 为半径的圆与直线 L 有两个交点 P2 P3 DB DP2 DB DP3 P2DB P3DB 为等腰三角形 与 同理 L 上也有两个点 P4 P5 使得 BD BP4 BD BP5 由于以上各点互不重合 所以在直线 L 上 使 PDB 为等腰三角形的点 P 有 5 个 14 丽水 如图 在平面直角坐标系中 已知点A坐标为 2 4 直线 X 2 与 x 轴相交于点 B 连结 OA 抛物线 y x2从点 O 沿 OA 方向平移 与直线 X 2 交于点 P 顶点 M 到 A 点时停止移动 1 求线段 OA 所在直线的函数解析式 2 设抛物线顶点 M 的横坐 标为 m 用 m 的代数式表示点 P 的坐标 当 m 为何值时 线段 PB 最短 3 当线段 PB 最短时 相应的抛物线上是否存在点 Q 使 QMA 的面积与 PMA 的面积相等 若存在 请求出点 Q 的坐 标 若不存在 请说明理由 解 1 设OA所在直线的函数解析式为kxy A 2 4 42 k 2 k OA所在直线的函数解析式为2yx 2 顶点 M 的横坐标为m 且在线段OA上移动 2ym 0 m 2 顶点M的坐标为 m 2m 抛物线函数解析式为 2 2yxmm 当2 x时 2 2 2ymm 2 24mm 0 m 2 第 13 页 共 32 页 点P的坐标是 2 2 24mm PB 2 24mm 2 1 3m 又 0 m 2 当1m 时 PB 最短 3 当线段PB最短时 此时抛物线的解析式为 21 2 xy 假设在抛物线上存在点Q 使 QMAPMA SS AA 设点Q的坐标为 x 2 23xx 当点Q落在直线OA的下方时 过P作直线PC AO 交y轴于点C 3PB 4AB 1AP 1OC C点的坐标是 0 1 点P的坐标是 2 3 直线PC的函数解析式为12 xy QMAPMA SS AA 点Q落在直线12 xy上 2 23xx 21x 解得 12 2 2xx 即点Q 2 3 点Q与点P重合 此时抛物线上不存在点Q 使 QMA与 APM的面积 相等 2 分 当点Q落在直线OA的上方时 作点P关于点A的对称称点D 过D作直线DE AO 交y轴于点E 1AP 1EODA E D的坐标分别是 0 1 2 5 直线DE函数解析式为12 xy QMAPMA SS AA 点Q落在直线12 xy上 2 23xx 21x 解得 1 22x 2 22x 代入12 xy 得 1 52 2y 2 52 2y 此时抛物线上存在点 1 22 52 2Q 225 22 2 Q D y O A B P M x 2 x C E 第 14 页 共 32 页 使 QMA与 PMA的面积相等 2 分 综上所述 抛物线上存在点 1 22 52 2Q 225 22 2 Q 使 QMA与 PMA的面积相等 15 绍兴 将一矩形纸片 OABC 放在平面直角坐标系中 O 0 0 A 6 0 C 0 3 动点 Q 从 点 O 出发以每秒 1 个单位长的速度沿 OC 向终点 C 运动 运动 2 3 秒时 动点 P 从点 A 出发以相等的 速度沿 AO 向终点 O 运动 当其中一点到达终点时 另一点也停止运动 设点 P 的运动时间为t 秒 1 用含 t 的代数式表示 OP OQ 2 当 t 1 时 如图 1 将 OPQ 沿 PQ 翻折 点 O 恰 好落在 CB 边上的点 D 处 求点 D 的坐标 3 连结 AC 将 OPQ 沿 PQ 翻折 得到 EPQ 如图 2 问 PQ 与 AC 能否平行 PE 与 AC 能否垂直 若能 求出相应的t值 若不能 说明理由 解 1 6OPt 2 3 OQt 图 1 O P A x B D C Q y 图 2 OPA x BC Q y 1 D 图 3 OFA x BC y E Q P 2 当1t 时 过D点作 1 DDOA 交OA于 1 D 如图 1 则 5 3 DQQO 4 3 QC 1CD 13 D 3 PQ能与AC平行 若PQAC 如图 2 则 OPOA OQOC 即 66 2 3 3 t t 14 9 t 而 7 0 3 t 14 9 t PE不能与AC垂直 若PEAC 延长QE交OA于F 如图 3 则 2 3 33 5 t QFOQ QF ACOC A 2 5 3 QFt EFQFQEQFOQ 第 15 页 共 32 页 22 5 33 tt 2 51 51 3 t 又RtRtEPFOCA PEOC EFOA 63 26 51 3 t t 3 45t 而 7 0 3 t t 不存在 16 台州 如图 在矩形 ABCD 中 9AB 3 3AD 点 P 是边 BC 上的动点 点 P 不与点 B C 重合 过点 P 作直线 PQ BD 交 CD 边于 Q 点 再把 PQC 沿着动直线 PQ 对折 点 C 的对应点是 R 点 设 CP 的长度为 x PQR 与矩形 ABCD 重叠部分的面积为 y 1 求 CQP 的度数 2 当 x 取何 值时 点 R 落在矩形 ABCD 的 AB 边上 3 求 y 与 x 之间 的函数关系式 当 x 取何值时 重叠部分 的面积等于矩形面积 的 7 27 解 1 如图 四边形ABCD是矩形 ABCDADBC 又9AB 3 3AD 90C 9CD 3 3BC 3 tan 3 BC CDB CD 30CDB PQBD 30CQPCDB 2 如图 1 由轴对称的性质可知 RPQCPQ RPQCPQ RPCP 由 1 知30CQP 60RPQCPQ 60RPB 2RPBP CPx PRx 3 3PBx 在RPB 中 根据题意得 2 3 3 xx D Q C B P R A 第 24 题 D Q C B P R A 图 1 第 16 页 共 32 页 解这个方程得 2 3x 3 当点R在矩形ABCD的内部或AB边上时 02 3x 2 113 3 222 CPQ SCP CQxxx A RPQCPQ 当02 3x 时 2 3 2 yx 当R在矩形ABCD的外部时 如图 2 2 33 3x 在RtPFB 中 60RPB 22 3 3 PFBPx 又RPCPx 36 3RFRPPFx 在RtERF 中 30EFRPFB 36ERx 2 13 3 1818 3 22 ERF SERFRxx RPQERF ySS 当2 33 3x 时 2 31818 3yxx 综上所述 y与x之间的函数解析式是 2 2 3 02 3 2 31818 3 2 33 3 xx y xxx 矩形面积9 3 327 3 当02 3x 时 函数 2 3 2 yx 随自变量的增大而增大 所以y的 最大值是6 3 而矩形面积的 7 27 的值 7 27 37 3 27 而7 36 3 所以 当02 3x 时 y的值不可能是矩形面积的 7 27 当2 33 3x 时 根据题意 得 2 31818 37 3xx 解这个方程 得3 32x 因为3 323 3 所以3 32x 不合题意 舍去 所以3 32x D Q C B P R A 图 2 FE 第 17 页 共 32 页 综上所述 当3 32x 时 PQR 与矩形ABCD重叠部分的面积等于矩形面积的 7 27 17 我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为 蛋圆 如果一条直线与 蛋圆 只有一个交点 那么这 条直线叫做 蛋圆 的切线 如图 12 点 A B C D 分别 是 蛋圆 与坐标轴的交点 已知点 D 的坐标为 0 3 AB 为半圆的直径 半圆圆心 M 的坐标为 1 0 半圆半径 为 2 1 请你求出 蛋圆 抛物线部分的解析式 并写出自 变量的取值范围 2 你能求出经过点 C 的 蛋圆 切线的 解析式吗 试试看 3 开动脑筋想一想 相信你能求出经 过点 D 的 蛋圆 切线的解析式 解 1 解法 1 根据题意可得 A 1 0 B 3 0 则设抛物线的解析式为 3 1 xxay a 0 又点 D 0 3 在抛物线上 a 0 1 0 3 3 解之得 a 1 y x2 2x 3 自变量范围 1 x 3 2 设经过点 C 蛋圆 的切线 CE 交 x 轴于点 E 连结 CM 在 Rt MOC 中 OM 1 CM 2 CMO 60 OC 3 在 Rt MCE 中 OC 2 CMO 60 ME 4 点 C E 的坐标分别为 0 3 3 0 切线 CE 的解析式为3x 3 3 y 3 设过点 D 0 3 蛋圆 切线的解析式为 y kx 3 k 0 由题意可知方程组 32 3 2 xxy kxy 只有一组解 即323 2 xxkx有两个相等实根 k 2 过点 D 蛋圆 切线的解析式 y 2x 3 A O B M D C 解图 12 y x E 第 18 页 共 32 页 18 嘉兴 如图 直角坐标系中 已知两点 O 0 0 A 2 0 点 B 在第一象限且 OAB 为正三角形 OAB 的外接圆交y轴的正半轴于点 C 过点 C 的圆的 切线交x轴于点 D 1 求 B C 两点的坐标 2 求 直线 CD 的函数解析式 3 设 E F 别是线段 AB AD 上的两个动点 且 EF 平分四边形 ABCD 的周 长 试探究 AEF 的最大面积 1 2 0 A 2OA 作BGOA 于G OAB 为正三角形 1OG 3BG 13 B 连AC 90AOC 60ACOABO 2 3 tan30 3 OCOA 2 3 0 3 C 2 90AOC AC 是圆的直径 又CD 是圆的切线 CDAC 30OCD 2 tan30 3 ODOC 2 0 3 D 设直线CD的函数解析式为 0 ykxb k 则 2 3 3 2 0 3 b kb 解得 3 2 3 3 k b 第 24 题 第 24 题 第 19 页 共 32 页 直线CD的函数解析式为 2 3 3 3 yx 3 2ABOA 2 3 OD 4 2 3 CDOD 2 3 3 BCOC 四边形ABCD的周长 2 3 6 3 设AEt AEF 的面积为S 则 3 3 3 AFt 133 sin603 243 SAF AEtt A 2 3339373 3 434632 Sttt 当 93 6 t 时 max 7 33 128 S 点EF 分别在线段ABAD 上 02 32 032 33 t t 解得1 3 2 3 t 93 6 t 满足 13 2 3 t AEF 的最大面积为 7 33 128 19 杭州 在直角坐标系 xOy 中 设点 A 0 t 点 Q t b 平移二次函数 2 txy 的图象 得到 的抛物线 F 满足两个条件 顶点为 Q 与 x 轴相交于 B C 两点 OB 1 的常数 设过 Q R 两点 且以 QR 的垂直平分线为对称轴的抛物线与 y 轴的交点为 N 其顶点为 M 记 QNM 的面积为 S QNM QNR 的面积 S QNR 求 S QNM S QNR的值 21 重庆 已知 如图 抛物线 y ax2 2ax c a 0 与 y 轴交于点 C 0 4 与 x 轴交于点 A B 点 A 的坐标为 4 0 1 求该抛物线的解析式 2 点 Q 是线段 AB 上的动点 过点 Q 作 QE AC 交 BC 于点 E 连接 CQ 当 CQE 的面积最大时 求点 Q 的坐标 3 若平行于 x 轴的动 直线l与该抛物线交于点 P 与直线 AC 交于点 F 点 D 的坐标为 2 0 问 是否存在这样的直线 l 使得 ODF 是等腰三角形 若存在 请求出点 P 的坐标 若不存在 请说明理由 22 东营 在 ABC 中 A 90 AB 4 AC 3 M 是 AB 上的动点 不与 A B 重合 过 M 点作 MN BC 交 AC 于点 N 以 MN 为直径作 O 并在 O 内作内接矩形 AMPN 令 AM x 1 用含 x 的代数式表示 NP 的面积 S 2 当 x 为何值时 O 与直线 BC 相切 3 在动点 M 的运动过 程中 记 NP 与梯形 BCNM 重合的面积为 y 试求 y 关于 x 的函数表达式 并求 x 为何值时 y 的 值最大 最大值是多少 第 22 页 共 32 页 解 解 1 MN BC AMN B ANM C AMN ABC AMAN ABAC 即 43 xAN AN 4 3 x S 2 1 33 2 48 MNPAMN SSx xx 0 x 4 2 如图 2 设直线 BC 与 O 相切于点 D 连结 AO OD 则 AO OD 2 1 MN 在 Rt ABC 中 BC 22 ABAC 5 由 1 知 AMN ABC AMMN ABBC 即 45 xMN 5 4 MNx 5 8 ODx 过 M 点作 MQ BC 于 Q 则 5 8 MQODx 在 Rt BMQ 与 Rt BCA 中 B 是公共角 BMQ BCA BMQM BCAC 5 5 25 8 324 x BMx 25 4 24 ABBMMAxx x 49 96 当 x 49 96 时 O 与直线 BC 相切 3 随点 M 的运动 当 P 点落在直线 BC 上时 连结 AP 则 O 点为 AP 的中点 MN BC AMN B AOM APC AMO ABP 1 2 AMAO ABAP AM MB 2 故以下分两种情况讨论 当 0 x 2 时 2 8 3 xSy PMN 当x 2 时 2 33 2 82 y 大大 当 2 x 4 时 设 PM PN 分别交 BC 于 E F 四边形 AMPN 是矩形 PN AM PN AM x 又 MN BC 四边形 MBFN 是平行四边形 FN BM 4 x 424PFxxx 又 PEF ACB A B C MN D 图 2 O Q A B C MN P 图 4 O EF A B C M N P 图 3 O A B C M N P 图 1 O 第 23 页 共 32 页 2 PEF ABC SPF ABS 23 2 2 PEF Sx MNPPEF ySS 2 22 339 266 828 xxxx 当 2 x 4 时 2 9 66 8 yxx 2 98 2 83 x 当 8 3 x 时 满足 2 x 4 2y 大大 综上所述 当 8 3 x 时 y值最大 最大值是 2 23 上海 正方形 ABCD 的边长为 2 E 是射 线 CD 上的动点 不与点 D 重合 直线 AE 交直线 BC 于点 G BAE 的平分线交射线 BC 于点 O 1 如图 8 当 CE 3 2 时 求线段 BG 的长 2 当点 O 在线段 BC 上时 设x ED CE BO y 求 y 关于 x 的函数解析式 3 当 CE 2ED 时 求线段 BO 的长 解 1 在边长为 2 的正方形ABCD中 3 2 CE 得 3 4 DE 又 ADBC 即 ADCG 1 2 CGCE ADDE 得1CG 2BC 3BG 2 当点O在线段BC上时 过点O作AGOF 垂足为点F AO为BAE 的角平分线 90 ABO yBOOF 在正方形ABCD中 BCAD CGCE x ADED 2 AD xCG2 又 CE x ED 2CEED 得 x x CE 1 2 在 Rt ABG 中 2AB 22BGx 90B 2 222AGxx 2AFAB 2 2222FGAGAFxx OFAB FGBG 即 AB yFG BG 得 1 2222 2 x xx y 0 x 3 当EDCE2 时 当点O在线段BC上时 即2 x 由 2 得 3 2102 yOB 当点O在线段BC延长线上时 4CE 2 DCED 在 Rt ADE 中 22 AE 第 24 页 共 32 页 设AO交线段DC于点H AO是BAE 的平分线 即HAEBAH 又 CDAB AHEBAH AHEHAE 22 AEEH 224 CH CDAB BO CO AB CH 即 BO BO2 2 224 得222 BO 24 中山 如图 11 在梯形 ABCD 中 AD BC AB AD DC 2cm BC 4cm 在等腰 PQR 中 QPR 120 底边 QR 6cm 点 B C Q R 在同一直线 l 上 且 C Q 两点重合 如果等腰 PQR 以 1cm 秒的速度沿直线 l 箭头所示方向匀速运动 t 秒时梯形 ABCD 与等腰 PQR 重 合部分的面积记为 S 平方厘米 1 当 t 4 时 求 S 的值 2 当 4 t 10 求 S 与 t 的函数关系 式 并求出 S 的最大值 1 t 4 时 Q 与 B 重合 P 与 D 重合 重合部分是BDC 32322 2 1 25 如图 抛物线经过 A 3 0 B 0 4 C 4 0 三 点 1 求抛物线的解析式 2 已知 AD AB D 在线段 AC 上 有一动点 P 从点 A 沿线段 AC 以每 秒 1 个单位长度的速度移动 同时另一个动点 Q 以某一 第 25 页 共 32 页 速度从点 B 沿线段 BC 移动 经过 t 秒的移动 线段 PQ 被 BD 垂直平分 求 t 的值 3 在 2 的情况下 抛物线的对称轴上是否存在一点 M 使 MQ MC 的值最小 若存在 请求出点 M 的坐标 若不存在 请说明理由 1 解法一 设抛物线的解析式为 y a x 3 x 4 因为 B 0 4 在抛物线上 所以 4 a 0 3 0 4 解得 a 1 3 所以抛物线解析式为 2 111 3 4 4 333 yxxxx 解法二 设抛物线的解析式为 2 0 yaxbxca 依题意得 c 4 且 9340 16440 ab ab 解得 1 3 1 3 a b 所以 所求的抛物线的解析式为 2 11 4 33 yxx 2 连接 DQ 在 Rt AOB 中 2222 345ABAOBO 所以 AD AB 5 AC AD CD 3 4 7 CD AC AD 7 5 2 因为 BD 垂直平分 PQ 所以 PD QD PQ BD 所以 PDB QDB 因为 AD AB 所以 ABD ADB ABD QDB 所以 DQ AB 所以 CQD CBA CDQ CAB 所以 CDQ CAB DQCD ABCA 即 210 577 DQ DQ 所以 AP AD DP AD DQ 5 10 7 25 7 2525 1 77 t 所以 t 的值是 25 7 3 答对称轴上存在一点 M 使 MQ MC 的值最小 理由 因为抛物线的对称轴为 1 22 b x a 第 26 页 共 32 页 所以 A 3 0 C 4 0 两点关于直线 1 2 x 对称 连接 AQ 交直线 1 2 x 于点 M 则 MQ MC 的值最小 过点 Q 作 QE x 轴 于 E 所以 QED BOA 900 DQ AB BAO QDE DQE ABO QEDQDE BOABAO 即 10 7 453 QEDE 所以 QE 8 7 DE 6 7 所以 OE OD DE 2 6 7 20 7 所以 Q 20 7 8 7 设直线 AQ 的解析式为 0 ykxmk 则 208 77 30 km km 由此得 8 41 24 41 k m 所以直线 AQ 的解析式为 824 4141 yx 联立 1 2 824 4141 x yx 由此得 1 2 824 4141 x yx 所以 M 128 241 则 在对称轴上存在点 M 128 241 使 MQ MC 的值最小 26 龙岩 如图 等腰梯形 ABCD 中 AB 4 CD 9 C 60 动点 P 从点 C 出发沿 CD 方向向点 D 运 动 动点 Q 同时以相同速度从点 D 出发沿 DA 方向向终点 A 运动 其中一个动点到达端点时 另一个 动点也随之停止运动 1 求 AD 的长 2 设 CP x 问当x为何值时 PDQ 的面积达到最大 并求 出最大值 3 探究 在 BC 边上是否存在点 M 使得四边形 PDQM 是菱形 若存在 请找出点 M 并求出 BM 的长 不存在 请说明理由 1 解法 一 如图 25 1 过 A 作 AE CD 垂足为 E 依题意 DE 2 5 2 49 2 分 第 27 页 共 32 页 在 Rt ADE 中 AD 52 2 5 60 cos DE 5 分 解法二 如图 25 2 过点 A 作 AE BC 交 CD 于点 E 则 CE AB 4 2 分 AED C 60 又 D C 60 AED 是等边三角形 AD DE 9 4 5 5 分 2 解 如图 25 1 CP x h 为 PD 边上的高 依题意 PDQ 的面积 S 可表示为 S 2 1 PD h 6 分 2 1 9 x x sin60 4 3 9x x2 4 3 x 2 9 2 16 381 8 分 由题意 知 0 x 5 9 分 当x 2 9 时 满足 0 x 5 S最大值 16 381 10 分 3 证法一 如图 25 3 假设存在满足条件的点 M 则 PD 必须等于 DQ 11 分 于是 9 x x x 2 9 此时 点 P Q 的位置如图 25 3 所示 连 QP PDQ 恰为等边三角形 过点 Q 作 QM DC 交 BC 于 M 点 M 即为所求 连结 MP 以下证明四边形 PDQM 是菱形 易证 MCP QDP D 3 MP PD MP QD 四边形 PDQM 是平行四边形 又 MP PD 四边形 PDQM 是菱形 13 分 所以存在满足条件的点 M 且 BM BC MC 5 2 9 2 1 14 分 注 本题仅回答存在 给 1 分 证法二 如图 25 4 假设存在满足条件的点 M 则 PD 必须等于 DQ 11 分 于是 9 x x x 2 9 此时 点 P Q 的位置如图 25 4 所示 PDQ 恰为等边三角形 过点 D 作 DO PQ 于点 O 延长 DO 交 BC 于点 M 连结 PM QM 则 DM 垂直平分 PQ MP MQ 易知 1 C 图 25 1 图 25 2 图 25 3 第 28 页 共 32 页 PQ BC 又 DO PQ MC MD MP 2 1 CD PD 即 MP PD DQ QM 四边形 PDQM 是菱形 13 分 所以存在满足条件的点 M 且 BM BC MC 5 2 9 2 1 14 分 注 本题仅回答存在 给 1 分 27 南平 如图 平面直角坐标系中有一矩形纸片 OABC O 为原点 点 A C 分别在 x 轴 y 轴上 点 B 坐标为 2 m 其中 m 0 在 BC 边上选取适当的点 E 和点 F 将 OCE 沿 OE 翻折 得到 OGE 再将 ABF 沿 AF 翻折 恰好使点 B 与点 G 重合 得到 AGF 且 OGA 900 1 求 m 的值 2 求过点 O G A 的抛物线的解析式和对称轴 3 在抛物线的对称轴上是否存在点 P 使得 OPG 是等腰三角形 若不存在 请说明理由 若存在 直接答出所有满足条件的点 P 的坐标 不要求写出求解过程 1 解法一 解法一 2 B m 由题意可知2AGAB 2OGOC OAm 2 分 90OGA 222 OGAGOA 3 分 2 22m 又0m 2m 4 分 解法二 解法二 2 B m 由题意可知2AGAB 2OGOC OAm 2 分 90OGA 45GOAGAO 3 分 2 2 coscos45 OG mOA GOA 4 分 2 解法一解法一 过G作直线GHx 轴于H 则1OH 1HG 故 11 G 5 分 图 25 4 第 29 页 共 32 页 又由 1 知 2 0 A 设过OGA 三点的抛物线解析式为 2 yaxbxc 抛物线过原点 0c 6 分 又 抛物线过GA 两点 1 420 ab ab 解得