11归纳推理（高效课堂）

1 归纳与类比归纳与类比 1 1 归纳推理归纳推理 性格决定命运 气度决定格局 细节决定成败 态度决定一切 思路决定出路 高度性格决定命运 气度决定格局 细节决定成败 态度决定一切 思路决定出路 高度 决定深度决定深度 学习目标 1 通过实例了解归纳推理的概念 2 能利用归纳推理进行一些简单的推理 学习重点难点 重点 归纳推理的理解与应用 难点 归纳推理的应用 本节课的教学中 为了突出重点 突破难点 需要注意以下两点 1 结构的开放性 归纳推理很大程度上是一种创造性思维 教学中每个学生作出的推理可能并不一致 在这里有些时候结论是开放的 不是唯一的 只要 合情 就应该认为是对的 应当鼓励 学生积极地创造性的思维 当然面对推出的不同结论 可以比较哪些结论是更具有研究价 值的 哪些思考是更有深度的 2 过程的复杂性 归纳推理有时不是一蹴而就的 并不是所有的问题只看三五个特殊情形 就能得出一 般性结论 有些问题则需要多看几个 在归纳的同时也能培养学生在探究问题的过程中锲 而不舍的精神 教学流程 情境引入 新知探究 归纳推理的定义 特点 作用 应用示例 抽象概括 归纳推 理的一般步骤 课堂练习 通过练习 进行体验 感悟 课堂小结 通过总结 升华对本 节课所学知识的认识 导学流程 一 了解感知一 了解感知 问题导思 1 同学甲发现锐角三角形 直角三角形都存在唯一内切圆 由此他推断所有的三角形都 存在唯一内切圆 2 同学乙观察到 25 52 26 62 27 72 由此他推断 n 5 时 2n n2 以上两位同学的推断方式有什么共同特点 提示 都是从特殊到一般 由部分到整体的推理 从学生熟悉的实例出发 引出归纳推理的概念 以问题的形式启发学生思考如何进行从学生熟悉的实例出发 引出归纳推理的概念 以问题的形式启发学生思考如何进行 归纳推理 完成下列问题归纳推理 完成下列问题 1 歌德巴赫猜想 任何一个不小于 6 的偶数都等于两个奇质数之和 是怎样得出的 歌德巴赫提出猜想的推理过程 通过对一些偶数的验证 发现它们总可以表现成两个 奇数之和 而且没有反例 于是猜想 任何一个不小于 6 的偶数都等于两个奇质数之和 2 试通过归纳猜想得出凸多面体中 顶点数 V 棱数 E 面数 F 满足的关系 2 FEV 3 阅读课本 P53 55 请思考归纳推理的特征是什么 1 归纳推理的定义 根据一类事物中部分事物具有某种属性 推断该类事物中每一 个都有这种属性 这样的推理方式称为归纳推理 2 归纳推理的一般步骤 对有限的资料进行观察 分析 归纳 整理 提出带有规律性的结论 即猜想 即 实验 观察 概括 推广 猜测一般性结论 3 特征 由部分到整体 由个别到一般 4 由归纳推理得到的结论 结论是否真实 5 归纳推理得到的结论未必真实 存在意义何在 是一种具有创造性的推理 通过归纳法得到的猜想 可以作为进一步研究的起点 帮助 人们发现问题和提出问题 4 根据上面所学知识完成下列问题 二 深入学习二 深入学习 结合了解感知中对归纳推理定义的理解 注意对归纳推理得出的结论正确性的判断 完成下列例题 活用所学 典例 数与式中的归纳推理 例例 1 观察下列等式 1 1 2 3 4 9 3 4 5 6 7 25 4 5 6 7 8 9 10 49 照此规律 第五个等式应为 解析 本题考查数列中的不完全归纳法 由前四个等式得 第 n 行等式的左边为 以 n 为首项 公差为 1 的等差数列的前 2n 1 项的和 右边为 2n 1 2 则推算第 5 个等式为 5 6 7 8 9 10 11 12 13 81 变式训练 变式训练 观察以下不等式 b ab a b a 6 b a 6 15 4 4 15 4 4 8 3 3 8 3 3 3 2 2 3 2 2 均为实数 请推测 若 已知 1 1 22 3 2 1 1 22 1 32 5 3 1 1 22 1 32 1 42 7 4 可以归纳出对大于 1 的正整数 n 成立的一个不等式 1 满足什么条件时成立 1 2 1 3 1 nn 1 解 当 n 1 时 左边 1 右边 不等式不成立 1 12 当 n 2 时 左边 1 1 2 2 2 2 右边 1 23 12 2 2 左边 1 2 1 3 6 3 2 2 3 63 1 2 右 6 3 1 4 2 1 7 6 6 8 3 边 不等式成立 猜想 当 n N 且 n 3 时不等式成立 10 观察下表 填表后再解答问题 1 完成下列表格 序号123 图形 的个数824 的个数14 2 试求第几个图形中 的个数和 的个数相等 解 1 16 9 2 设第 n 个图形中 的个数和 的个数相等 观察图形可知 8n n2 解得 n 8 或 n 0 舍去 所以第 8 个图形中 的个数和 的个数相等 11 设函数 f x x 0 f1 x f x 且当 n 2 时 fn x f fn 1 x 试求 f2 x x x 2 f3 x 并归纳出 fn x n N 解 f2 x f f1 x f1 x f1 x 2 x x 2 x x 2 2 x x 2 x 2 x 3x 4 f3 x f f2 x f2 x f2 x 2 x 3x 4 x 3x 4 2 x x 2 3x 4 x 7x 8 猜想 fn x n N x 2n 1 x 2n 12 观察以下各等式 sin230 cos260 sin 30 cos 60 3 4 sin220 cos250 sin 20 cos 50 3 4 sin215 cos245 sin 15 cos 45 3 4 分析上述各式的共同特点 猜想出反映一般规律的等式 并给出证明 思路探究 观察等式左边三角函数名称和角之间的关系 猜想一般规律 自主解答 猜想 sin2 cos2 30 sin cos 30 3 4 证明 sin2 cos2 30 sin cos 30 sin2 cos cos 30 sin sin 30 2 sin cos cos 30