2010年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（全国卷II含答案）

1 20102010 年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题 全国卷年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题 全国卷 IIII 含 含 答案 答案 第第 卷卷 选择题 选择题 本卷共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符 合题目要求的 参考公式 如果事件 A B 互斥 那么 球的表面积公式 P A BP AP B S 4 R2 如果事件 A B 相互独立 那么 其中 R 表示球的半径 P A BP AP B 球的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是p 那么 3 4 VR 3 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 其中 R 表示球的半径 P 1 0 1 2 kkn k nn kC ppkn 一 选择题一 选择题 1 设全集 U6xNx 集合 A1 3B3 5 则 U AB 1 4 1 5 2 4 2 5 不等式 3 0 2 x x 的解集为 23xx 2x x 23x xx 或 3x x 3 已知 2 sin 3 则cos 2 A 5 3 B 1 9 C 1 9 D 5 3 4 函数1 ln 1 1 yxx 的反函数是 A 1 1 0 x yex B 1 1 0 x yex 2 C 1 1 R x yex D 1 1 R x yex 5 若变量 x y满足约束条件 1 325 x yx xy 则2zxy 的最大值为 A 1 B 2 C 3 D 4 6 如果等差数列 n a中 3 a 4 a 5 a 12 那么 1 a 2 a 7 a A 14 B 21 C 28 D 35 7 若曲线 2 yxaxb 在点 0 b处的切线方程式10 xy 则 A 1 1ab B 1 1ab C 1 1ab D 1 1ab 8 已知三棱锥SABC 中 底面 ABC 为边长等于 2 的等边三角形 SA 垂直于底面 ABC SA 3 那么直线 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值为 A 3 4 B 5 4 C 7 4 D 3 4 9 将标号为 1 2 3 4 5 6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中 若每个信封放 2 张 其 中标号为 1 2 的卡片放入同一信封 则不同的放法共有 A 12 种 B 18 种 C 36 种 D 54 种 10 ABC 中 点 D 在边 AB 上 CD 平分 ACB 若CBa CAb 1 2ab 则CD A 12 33 ab B 22 33 ab C 34 55 ab D 43 55 ab 11 与正方体 1111 ABCDABC D 的三条棱AB 1 CC 11 A D所在直线的距离相等的点 A 有且只有 1 个 B 有且只有 2 个 C 有且只有 3 个 D 有无数个 12 已知椭圆C 2 2 x a 2 2 b y 1 0 ab 的离心率为 2 3 过右焦点F且斜率为 k k 0 的直线与 C 相交于 A B 两点 若AF 3FB 则k 3 A 1 B 2 C 3 D 2 第第 卷 非选择题 卷 非选择题 二二 填空题 本大题共填空题 本大题共 4 4 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 2020 分 分 13 已知 是第二象限的角 1 tan 2 则cos 14 9 1 x x 的展开式中 3 x的系数是 15 已知抛物线 2 C2 0 ypx p 的准线为l 过 M 1 0 且斜率为3的直线与l相 交于点 A 与 C 的一个交点为 B 若 AMMB 则p等于 16 已知球 O 的半径为 4 圆 M 与圆 N 为该球的两个小圆 AB 为圆 与圆 N 的公共弦 AB 4 若 OM ON 3 则两圆圆心的距离 MN 三三 解答题 本大题共解答题 本大题共 6 6 小题 共小题 共 7070 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 1717 本小题满分 本小题满分 1010 分 分 ABC 中 D 为边 BC 上的一点 BD 33 5 sin 13 B 3 cos 5 ADC 求 AD 1818 本小题满分 本小题满分 1212 分 分 已知 n a是各项均为正数的等比例数 列 且 12 12 11 2 aa aa 345 345 111 64 aaa aaa 求 n a的通项公式 设 2 1 nn n ba a 求数列 n b的前n项和 n T 1919 本小题满分 本小题满分 1 12 2 分 分 如图 直三棱柱 ABC A1B1C1中 AC BC AA1 AB D 为 BB1的中点 E 为 AB1上的一点 AE 3EB1 4 证明 DE 为异面直线 AB1与 CD 的公垂线 设异面直线 AB1与 CD 的夹角为 45o 求二面角 A1 AC1 B1的大小 2020 本小题满分 本小题满分 1212 分 分 如图 由 M 到 N 的电路中有 4 个元件 分别标为 T1 T2 T3 T4 电流能通过 T1 T2 T3的概率都是p 电流能通过 T4的概率是 0 9 电流能否通过各元件相互独立 已 知 T1 T2 T3中至少有一个能通过电流的概率为 0 999 求p 求电流能在 M 与 N 之间通过的概率 2121 本小题 本小题满分满分 1212 分 分 已知函数 32 331f xxaxx 设2a 求 f x的单调区间 设 f x在区间 2 3 中至少有一个极值点 求a的取值范围 2222 本小题满分 本小题满分 1212 分 分 5 已知斜率为 1 的直线l与双曲线 C 22 22 1 0 0 xy ab ab 相交于 B D 两点 且 BD 的中点为M 1 3 求 C 的离心率 设 C 的右顶点为 A 右焦点为 F DFBF 17 证明 过 A B D三点的圆与 x轴相切 6 20102010 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学试题参考答案和评分参考文科数学试题参考答案和评分参考 三 解答题三 解答题 1717 解 解 由 3 cos0 52 ADCB 知 由已知得 124 cos sin 135 BADC 从而 sinsin BADADCB sincoscossinADCBADCB 41235 513513 33 65 由正弦定理得 AD sinsin BD BBAD 所以 sin AD sin BDB BAD 5 33 13 25 33 65 1818 解 解 设公比为 q 则 1 1 n n aa q 由已知有 11 11 234 111 234 111 11 2 111 64 aa q aa q a qa qa q a qa qa q 7 化简得 2 1 26 1 2 64 a q a q 1919 解法一 解法一 连结 1 A B 记 1 A B与 1 AB的交点为 F 因为面 11 AA BB为正方形 故 11 A BAB 且 1 AF FB 又 1 AE 3EB 所以 1 FE EB 又 D 为 1 BB的中点 故 1 DEBFDEAB 作CGAB G 为垂足 由 AC BC 知 G 为 AB 中点 又由底面ABC 面 11 AA B B 得CG 11 AA B B 连结 DG 则 1 DGAB 故DEDG 由三垂线定理 得DECD 所以 DE 为异面直线 1 AB与 CD 的公垂线 因为 1 DGAB 故CDG 为异面直线 1 AB与CD的夹角 CDG 45 设 AB 2 则 1 AB2 2 DG 2 CG 2 AC 3 作 111 B HA C H 为垂足 因为底面 11111 A B CAAC C 面 故 111 B HAAC C 面 8 又作 1 HKAC K 为垂足 连结 1 B K 由三垂线定理 得 11 B KAC 因此 1 B KH 为 解法二 解法二 以 B 为坐标原点 射线 BA 为x轴正半轴 建立如图所示的空间直角坐标系 Bxyz 设 AB 2 则 A 2 0 0 1 B 0 2 0 D 0 1 0 1 3 E 0 2 2 又设C 1 0 c 则 1 1 1 DE0B A 2 2 0 DC 1 1 c 2 2 于是 1 DE B A 0 DE DC 0 AA 故 1 DEB ADEDC 所以 DE 为异面直线 1 AB与 CD 的公垂线 因为 1 B A DC 等于异面直线 1 AB与 CD 的夹角 9 故 11 cos45B A DCB A DC AA 即 2 2 2 224 2 c 解得 2c 故AC 22 1 又 11 AA BB 0 2 0 所以 11 AC AC AA 1 22 所以 1 cos 15 m n m n m n A 由于 m n 等于二面角 111 A AC B的平面角 所以二面角 111 A AC B的大小为 15 arccos 15 2020 解 解 10 记 1 A表示事件 电流能通过T 1 2 3 4 i i A 表示事件 123 TTT 中至少有一个能通过电流 B 表示事件 电流能在 M 与 N 之间通过 123123 AA A AAAA AA 相互独立 3 123123 P 1 AP A A AP A P A P Ap AA 又 P 1 P A 1 0 9990 001A 故 3 1 0 0010 9pp 44134123 BA A A A A A A A AAAAA 44134123 P B P A A A A A A A A AAAAA 44134123 P A P A A A P A A A A AAAAA 44134123 P A P A P A P A P A P A P A P A 0 9 0 1 0 9 0 9 0 1 0 1 0 9 0 9 0 9891 2121 解 解 11 式无解 式的解为 55 43 a 因此a的取值范围是 5 5 4 3 2222 解 解 由题设知 l的方程为 2yx 代入 C 的方程 并化简 得 2222222 440baxa xaa b 设 1122 B x yD xy 12 故不妨设 12 xa xa 22222 11111 BF 2 2 332xayxaxaax 22222 22222 FD 2 2 332xayxaxax