2012全国各地中考数学试题分类解析汇编 代数综合

用心 爱心 专心1 精编版精编版 2012 2012 全国各地中考数学试题分类解析汇编全国各地中考数学试题分类解析汇编 代数综合问题代数综合问题 1 2012 广东佛山 10 分 规律是数学研究的重要内容之一 初中数学中研究的规律主要有一些特定的规则 符号 数 及其运算规律 图形的 数值特征和位置关系特征等方面 请你解决以下与数的表示和运算相关的问题 1 写出奇数 a 用整数 n 表示的式子 2 写出有理数 b 用整数 m 和整数 n 表示的式子 3 函数的研究中 应关注 y 随 x 变化而变化的数值规律 课本里研究函数图象的特征实 际上也是为了说明函数的数值规律 下面对函数 y x2的某种数值变化规律进行初步研究 由表看出 当 x 的取值从 0 开始每增加 1 个单位时 y 的值依次增加 1 3 5 请回答 当 x 的取值从 0 开始每增加 1 2 个单位时 y 的值变化规律是什么 当 x 的取值从 0 开始每增加 1 n 个单位时 y 的值变化规律是什么 答案 解 1 n 是任意整数 则表示任意一个奇数的式子是 2n 1 2 有理数 b m n n 0 3 当 x 的取值从 0 开始每增加 1 2 个单位时 列表如下 xi012345 yi01491625 yi 1 yi 1357911 xi0 1 2 1 3 2 2 5 2 用心 爱心 专心2 故当 x 的取值从 0 开始每增加 1 2 个单位时 y 的值依次增加 1 4 3 4 5 4 2i1 4 当 x 的取值从 0 开始每增加 1 n 个单位时 列表如下 故当 x 的取值从 0 开始每增加 1 n 个单位时 y 的值依次增加 2 1 n 2 3 n 2 5 n 2 2i1 n 考点 分类归纳 数字的变化类 二次函数的性质 实数 分析 1 n 是任意整数 偶数是能被 2 整除的数 则偶数可以表示为 2n 因为偶数与 奇数相差 1 所以奇数可以表示为 2n 1 2 根据有理数是整数与分数的统称 而所有的整数都可以写成整数的形式 据 此可以得到答案 3 根据图表计算出相应的数值后即可看出 y 随着 x 的变化而变化的规律 yi0 1 4 1 9 4 4 25 4 yi 1 yi 1 4 3 4 5 4 7 4 9 4 11 4 xi0 1 n 2 n 3 n 4 n 5 n yi0 2 1 n 2 4 n 2 9 n 2 16 n 2 25 n yi 1 yi 2 1 n 2 3 n 2 5 n 2 7 n 2 9 n 2 11 n 用心 爱心 专心3 2 2012 广东梅州 10 分 1 已知一元二次方程 x2 px q 0 p2 4q 0 的两根为 x1 x2 求证 x1 x2 p x1 x2 q 2 已知抛物线 y x2 px q 与 x 轴交于 A B 两点 且过点 1 1 设线段 AB 的长 为 d 当 p 为何值时 d2取得最小值 并求出最小值 答案 1 证明 a 1 b p c q p2 4q 0 1212 bc xx pxx q aa 2 解 把 1 1 代入 y x2 px q 得 p q 2 即 q p 2 设抛物线 y x2 px q 与 x 轴交于 A B 的坐标分别为 x1 0 x2 0 d x1 x2 d2 x1 x2 2 x1 x2 2 4 x1 x2 p2 4q p2 4p 8 p 2 2 4 当 p 2 时 d 2的最小值是 4 考点 一元二次方程根的判别式和根与系数的关系 抛物线与 x 轴的交点 曲线上点的 坐标与方程的关系 二次函数的最值 分析 1 根据一元二次方程根与系数的关系可直接证得 教材中没有元二次方程根与系数的关系可先根据求根公式得出 x1 x2的值 再求出两根的和与积即可 2 把点 1 1 代入抛物线的解析式 再由 d x1 x2 可得 d2关于 p 的函 数关系式 应用二次函数的最值原理即可得出结论 3 2012 广东湛江 12 分 先阅读理解下面的例题 再按要求解答下列问题 例题 解一元二次不等式 x2 4 0 解 x2 4 x 2 x 2 x2 4 0 可化为 x 2 x 2 0 由有理数的乘法法则 两数相乘 同号得正 得 解不等式组 得 x 2 解不等式组 得 x 2 用心 爱心 专心4 x 2 x 2 0 的解集为 x 2 或 x 2 即一元二次不等式 x2 4 0 的解集为 x 2 或 x 2 1 一元二次不等式 x2 16 0 的解集为 2 分式不等式的解集为 3 解一元二次不等式 2x2 3x 0 答案 解 1 x 4 或 x 4 2 x 3 或 x 1 3 2x2 3x x 2x 3 2x2 3x 0 可化为 x 2x 3 0 由有理数的乘法法则 两数相乘 异号得负 得 x0 2x30 或 x0 2x30 解不等式组 得 0 x 3 2 解不等式组 无解 不等式 2x2 3x 0 的解集为 0 x 3 2 考点 有理数的乘法法则 一元一次不等式组的应用 分析 1 将一元二次不等式的左边因式分解后根据有理数的乘法法则 两数相乘 同 号得正 化为两个一元一次不等式组求解即可 2 根据有理数的除法法则 两数相除 同号得正 可以得到其分子 分母同号 从而转化为两个一元一次不等式组求解即可 3 将一元二次不等式的左边因式分解后 有理数的乘法法则 两数相乘 异号 得负 化为两个一元一次不等式组求解即可 4 2012 贵州黔西南 14 分 问题 已知方程 2 x x1 0 求一个一元二次方程 使它的 根分别是已知方程根的 2 倍 解 设所求方程的根为 y 则 y 2x 所以 y x 2 把 y x 2 代入已知方程 得 2 yy 1 0 22 化简 得 2 y 2y4 0 故所求方程为 2 y 2y4 0 用心 爱心 专心5 这种利用方程根的代换求新方程的方法 我们称为 换根法 请阅读材料提供的 换根法 求新方程 要求 把所求方程化成一般形式 1 已知方程 2 x x2 0 求一个一元二次方程 使它的根分别是已知方程根的相反数 则所求方程为 2 已知关于 x 的一元二次方程 2 ax bx c 0 a0 有两个不等于零的实数根 求一个一 元二方程 使它的根分别是已知方程的倒数 答案 解 1 y2 y 2 0 2 设所求方程的根为 y 则 1 y x x 0 于是 1 x y y 0 把 1 x y 代入方程 2 ax bx c 0 得 2 11 a b c 0 yy 去分母 得 a by cy2 0 若 c 0 有 2 ax bx 0 可得有一个解为 x 0 与已知不符 不符合题意 c 0 所求方程为 cy2 by a 0 c 0 考点 一元二次方程的应用 分析 1 设所求方程的根为 y 则 y x 所以 x y 把 x y 代入已知方程 得 y2 y 2 0 2 根据所给的材料 设所求方程的根为 y 再表示出 x 代入原方程 整理即得 出所求的方程 5 2012 江苏南京 9 分 的思考 下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批阅 我的结果也正确 小明发现他解答的结果是正确的 但是老师却在他的解答中划了一条横线 并打开了一个 题目 某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室 要求长与宽的比为 2 1 在温室内 沿前侧内墙保留 3m 的空地 其他三侧内墙各保留 1m 的通道 当温室的长与宽各为多少时 矩形蔬菜种植区域的面积 是 288m2 解 设矩形蔬菜种植区域的宽为 xm 则长为 2xm 根据题意 得 x 2x 288 解这个方程 得 x1 12 不合题意 舍去 x2 12 所以温室的长为 2 12 3 1 28 m 宽为 12 1 1 14 m 答 当温室的长为 28m 宽为 14m 时 矩形蔬菜种植区域的面积是 288m2 用心 爱心 专心6 结果为何正确呢 1 请指出小明解答中存在的问题 并补充缺少的过程 变化一下会怎样 2 如图 矩形 A B C D 在矩形 ABCD 的内部 AB A B AD A D 且 AD AB 2 1 设 AB 与 A B BC 与 B C CD 与 C D DA 与 D A 之间的距离分 别为 a b c d 要使矩形 A B C D 矩形 ABCD a b c d 应满足什么条件 请 说明理由 C D D C B B A A c b d a 答案 解 1 小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为 2 1 的理由 在 设矩形蔬菜种植区域的宽为 xm 则长为 2xm 前补充以下过程 设温室的宽为 ym 则长为 2ym 则矩形蔬菜种植区域的宽为 y 1 1 m 长为 2y 3 1 m 2y3 12y4 2 y1 1y2 矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为 2 1 2 a c b d 2 理由如下 要使矩形 A B C D 矩形 ABCD 就要 A D AD A BAB 即 ADac2 ABbd1 即 2ABac2 ABbd1 即 a c b d 2 考点 一元二次方程的应用 几何问题 相似多边形的性质 比例的性质 分析 1 根据题意可得小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为 2 1 的理由 所以由已知条件求出矩形蔬菜种植区域的长与宽的关系即可 用心 爱心 专心7 2 由使矩形 A B C D 矩形 ABCD 利用相似多边形的性质 可得 A D AD A BAB 然后利用比例的性质 6 2012 江苏盐城 12 分 知识迁移 当0a 且0 x 时 因为 2 a x x 0 所以2 a xa x 0 从而 a x x 2 a 当 xa 时取等号 记函数 0 0 a yxax x 由上述结论可知 当xa 时 该函数 有最小值为2 a 直接应用 已知函数 1 0 yx x 与函数 2 1 0 yx x 则当x 时 12 yy 取得最小值 为 变形应用 已知函数 1 1 1 yxx 与函数 2 2 1 4 1 yxx 求 2 1 y y 的最小 值 并指出取得该 最小值时相应的x的值 实际应用 已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分 一是固定费用 共360元 二是燃油费 每 千米为1 6元 三是折旧费 它与路程的平方成正比 比例系数为0 001 设该汽车一次运输 的路程为x千米 求当x为多少时 该汽车平均每千米的运输成本最低 最低是多少元 答案 解 直接应用 1 2 变形应用 2 2 1 1 44 1 1 11 yx xx yxx 2 1 y y 有最小值为2 44 用心 爱心 专心8 当14x 即1x 时取得该最小值 实际应用 设该汽车平均每千米的运输成本为y元 则 2 0 0011 6360360360000 0 0011 60 001 1 6 xx yxx xxx 当360000600 x 千米 时 该汽车平均每千米的运输成本y最低 最低成本为0 001 2 3600001 62 8 元 考点 二次函数的应用 几何不等式 分析 直接运用 可以直接套用题意所给的结论 即可得出结果 函数 0 0 a yxax x 由上述结论可知 当xa 时 该函 数有最小值为2 a 函数 1 0 yx x 与函数 2 1 0 yx x 则当11x 时 12 yy 取得最小值为2 12 变形运用 先得出 2 1 y y 的表达式 然后将1x 看做一个整体 再运用所给结论即 可 实际运用 设该汽车平均每千米的运输成本为y元 则可表示出平均每千米的运 输成本 利用所 给的结论即可得出答案 7 2012 四川内江 12 分 如果方程 2 0 xpxq 的两个根是 12 xx 那么 1212 xxp x xq 请根据以上结论 解决下列问题 1 已知关于x的方程 2 0 0 xmxnn 求出一个一元二次方程 使它的两个根分 别是已知方程两根的倒数 2 已知a b满足 22 15a50 1550abb 求 ab ba 的值 3 已知a b c满足0 16abcabc 求正数c的最小值 用心 爱心 专心9 答案 解 1 设关于x的方程 2 0 0 xmxnn 的两根为 12 xx 则有 1212 xxm x xn 且由已知所求方程的两根为 12 11 xx 12 1212 11xxm xxx xn 1212 1111 xxx xn 所求方程为 2 1 0 m xx nn 即 2 10 0 nxmxn 2 a b满足 22 1550 1550aabb a b是方程 2 1550 xx 的两根 15 5abab 22 222 215 2247 5 ababababab baababab 3 0 16abcabc 且0c 16 abc ab c a b是一元二次方程 2 16 00 xc xc c 的两个根 代简 得 22 1600cxc xc 又 此方程必有实数根 此方程的0 即 2 2 4160cc 33 40c c 又 0c 33 40c 4c 正数c的最小值为 4 考点 一元二次方程根与系数的关系和根的判别式 代数式化简 分析 1 设方程 2 0 0 xmxnn 的两根为 12 xx 得出 12 11m xxn 12 111 xxn 再根据这个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数 即可求出答 案 2 根据a b满足 22 1550 1550aabb 得出a b是一元二次方程 2 1550 xx 的两个根 由15 5abab 即可求出 ab ba 的值 用心 爱心 专心10 3 根据0 16abcabc 得出 16 abc ab c a b是一元二次方 程 22 160cxc x 的两个根 再根据0 即可求出 c 的最小值 8 2012 山东济宁 8 分 有四张形状 大小和质地相同的卡片 A B C D 正面分别写 有一个正多边形 所有正多边形的边长相等 把四张卡片洗匀后正面朝下放在桌面上 从 中随机抽取一张 不放回 接着再随机抽取一张 1 请你用画树形图或列表的方法列举出可能出现的所有结果 2 如果在 1 中各种结果被选中的可能性相同 求两次抽取的正多边形能构成平面镶 嵌的概率 3 若两种正多边形构成平面镶嵌 p q 表示这两种正多边形的个数 x y 表示对应正 多边形的每个内角的度数 则有方程 px qy 360 求每种平面镶嵌中 p q 的值 答案 解 1 画树形图如下 所有出现的结果共有 12 种 2 两次抽取的正多边形能构成平面镶嵌的情况有 4 种 AB AD BA DA P 两次抽取的正多边形能构成平面镶嵌 41 123 3 当正三角形和正方形构成平面镶嵌时 则有 60p 90q 360 即 2p 3q 12 p q 是正整数 p 3 q 2 当正三角形和六边形构成平面镶嵌时 则有 60p 120q 360 即 p 2q 6 p q 是正整数 p 4 q 1 或 p 2 q 2 用心 爱心 专心11 考点 列表法和树状图法 概率 多边形内角和定理 平面镶嵌 密铺 分析 1 列表或画树状图即可得到所有的可能情况 2 根据平面镶嵌的定义 能构成平面镶嵌的多边形有正三角形与正方形 正三 角形与正六边形 然后根据概率公式列式计算即可得解 3 对两种平面镶嵌的情况 根据方程代入数据整理 再根据 p q 都是整数解答 9 2012 浙江湖州 10 分 为进一步建设秀美 宜居的生态环境 某村欲购买甲 乙 丙 三种树美化村庄 已知甲 乙丙三种树的价格之比为 2 2 3 甲种树每棵 200 元 现计 划用 210000 元资金 购买这三种树共 1000 棵 1 求乙 丙两种树每棵各多少元 2 若购买甲种树的棵树是乙种树的 2 倍 恰好用完计划资金 求这三种树各能购买多少 棵 3 若又增加了 10120 元的购树款 在购买总棵树不变的前提下 求丙种树最多可以购买 多少棵 答案 解 1 已知甲 乙丙三种树的价格之比为 2 2 3 甲种树每棵 200 元 乙种树每棵 200 元 丙种树每棵 3 2 200 300 元 2 设购买乙种树 x 棵 则购买甲种树 2x 棵 丙种树 1000 3x 棵 根据题意 200 2x 200 x 300 1000 3x 210000 解得 x 30 2x 600 1000 3x 100 答 能购买甲种树 600 棵 乙种树 300 棵 丙种树 100 棵 3 设购买丙种树 y 棵 则甲 乙两种树共 1000 y 棵 根据题意得 200 1000 y 300y 210000 10120 解得 y 201 2 y 为正整数 y 最大为 201 答 丙种树最多可以购买 201 棵 考点 一元一次方程和一元一次不等式的应用 分析 1 利用已知甲 乙丙三种树的价格之比为 2 2 3 甲种树每棵 200 元 即可 求出乙 丙两种树每棵钱数 用心 爱心 专心12 2 设购买乙种树 x 棵 则购买甲种树 2x 棵 丙种树 1000 3x 棵 利用 1 中所求树木价格以及现计划用 210000 元资金购买这三种树共 1000 棵 得出等式方程 求 出即可 3 设购买丙种树 y 棵 则甲 乙两种树共 1000 y 棵 根据题意列不等式 求出即可 10 2012 内蒙古赤峰 14 分 阅读材料 1 对于任意两个数ab 的大小比较 有下面的方法 当ab0 时 一定有ab 当ab0 时 一定有ab 当ab0 时 一定有ab 反过来也成立 因此 我们把这种比较两个数大小的方法叫做 求差法 2 对于比较两个正数ab 的大小时 我们还可以用它们的平方进行比较 22 ab ab ab ab0 22 ab 与 ab 的符号相同 当 22 ab 0 时 ab 0 得ab 当 22 ab 0 时 ab 0 得ab 当 22 ab 0 时 ab 0 得ab 解决下列实际问题 1 课堂上 老师让同学们制作几种几何体 张丽同学用了 3 张 A4 纸 7 张 B5 纸 李明 同学用了 2 张 A4 纸 8 张 B5 纸 设每张 A4 纸的面积为 x 每张 B5 纸的面积为 y 且 x y 张丽同学的用纸总面积为 W1 李明同学的用纸总面积为 W2 回答下列问题 W1 用 x y 的式子表示 W2 用 x y 的式子表示 请你分析谁用的纸